2019届高三数学下学期周练八理

2019年高三八市联考数学试题（理科）一．选择题（每小题 5分，共60分 ）1.设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则ST =A.[)0,+∞B.(]1,3C.[)3,+∞D.(](),01,-∞+∞2.若复数23201934134iz i i i i i-=+++++++，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C.三 D.四3.已知1，a 1,a 2,3成等差数列，1，b 1,b 2,b 3,4成等比数列，则122a ab +的值为 A. 2 B. -2 C. ±2 D.544已知双曲线222-13x y a =的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该双曲线的渐近线是( ） A. y= ±12x B. y=xC. y x =D.y x = 5.下列命题中，错误命题是 A.“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 B. 线性回归直线 ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y C. 在平面直角坐标系中到点（1,0）和（0，1的点的轨迹为椭圆 D. 在锐角ABC ∆中,有22sin cos A B >6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）A.B.C.D.7.若542345012345(2)3(3)(3)(3(3)(3)x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-），则a 3=A. -70B. 28C.-26D.408．在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2，c=tan 2tan B A =，则ABC ∆ 的面积为A. 2B. 3C.D.9.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”。

荆州中学高三第八次双周考数学试题(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ). i 41iz =+zA. B. C.2 D. 2i -2i 2-2.集合，，则= }{220A x x x =--≤{}10B x x =-<A B ( ).A. B. }{1x x <}{11x x -≤<C. D.{}2x x ≤{}21x x -≤<3.执行右图所示的程序框图，则输出的值为( ). n A.63 B.47 C.23 D.7 4.已知正项等差数列的前项和为()，{}n a n n S n N *∈，则的值为( ).25760a a a +-=11S A.11 B.12 C.20 D.225.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”()f x [)0+∞，a b ，a b >()()f a f b >的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面外有两条直线，，它们在平面α内的射影分别是直线αa b ，，则下列命题正确的是( ).m n A.若，则 B.若，则a b ⊥m n ⊥m n ⊥a b ⊥C.若，则 D.若和相交，则和相交或异//m n //a b m n a b 面8.若展开式的常数项为60，则的值为( ).6ax⎛⎝a A.4 B. C.2 D.4±2±9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.10+438316310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A. B. C. D. 45192523504110011.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别2222:1x y C a b-=00a b >>，12F F ，1F 交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线M N ，22MF NF ，220MF NF ⋅= 22MF NF =C的离心率为( ).12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式()22ln f x ax x x =-+12x x ，恒成立，则实数的取值范围是( ).()()12f x f x λ>+λA. B. C. D. [)3-+∞，()3+∞，[)e -+∞，()e +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设满足约束条件，则的取值范围为 .x y ，001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩2z x y =-14.若非零向量满足，则 .a b，()2a a b ⊥+ a b b+= 15.在锐角中，，，则中线AD 长的取值范围ABC ∆2BC =sin sin 2sin B C A +=是 .16.在平面直角坐标系中，点()()，记的面积xOy n A ()122nn n n+-⋅，*n N ∈21221n n n A A A -+∆为，则 .n S 1ni i S ==∑三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数.()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(Ⅰ)求函数的最小正周期； ()f x (Ⅱ)若，，求. 0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()13f α=cos 2α18.(本小题满分12分)在四棱锥中，，P ABCD -BC BD DC ===DPE.2AD AB PD PB ====(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；E PC BE PAD (Ⅱ)当平面平面时，求二面角的余弦值. PBD ⊥ABCD C PD B --19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一x 组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地t ()2N μσ，μ等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共x 2σ2s 233.6s ≈有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则5.8≈Z ()2N μσ，，.()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=20.(本小题满分12分)设椭圆()，圆与轴正半轴交于点2222:1x y C a b+=0a b >>22:2O x y +=x，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．A O A C (Ⅰ)求椭圆的方程；C (Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？O P C M N ，PM PN ⋅若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数(为自然对数的底数). ()()ln 1x f x e x =-+e (Ⅰ)求函数的单调区间；()f x (Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值. ()()g x f x ax =-a R ∈()g x请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数).以坐标原点为极点，xOy 1C cos sin x y αα=⎧⎨=⎩αO x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.2C =2cos ρθ(Ⅰ)求、交点的直角坐标；1C 2C (Ⅱ)设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.A 3π⎛⎫⎪⎝⎭4，B 2C AOB ∆23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数.()1f x x =+(Ⅰ)若，求实数的取值范围；()22f x x +>x (Ⅱ)设()，若的最小值为，求的值.()()()g x f x f ax =+1a >()g x 12a荆州中学高三第八次双周考数学试题(理科)答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 14.115. 16. ()1 6-，222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭三、解答题：17.(本小题满分12分) (Ⅰ)∵， ()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭∴函数的最小正周期为. …………………………5分()f x T π= (Ⅱ)由可得，. ()13f α=1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵，∴. 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又∵，∴， 110sin 2632x π⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴，cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴. cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………………………12分 18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取的中点为，连结，. CD M EM BM 由已知得，为等边三角形，. BCD ∆BM CD ⊥∵， 2AD AB ==BD =∴， 30ADB ABD ∠=∠= ∴，∴.90ADC ∠= //BM AD 又∵平面，平面，BM ⊄PAD AD ⊂PAD 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCCDAD DDCCBABDPCE MA∴∥平面.BM PAD ∵为的中点，为的中点，∴∥. E PC M CD EM PD 又∵平面，平面， EM ⊄PAD PD ⊂PAD ∴∥平面.EM PAD ∵，∴平面∥平面.EM BM M = BEM PAD ∵平面，∴∥平面. …………………………5分 BE ⊂BEM BE PAD (Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，AC BD O PO O BD AC BD ⊥.PO BD ⊥∵平面平面，，PBD ⊥ABCD PO BD ⊥∴平面，，.PO ⊥ABCD 1PO AO ==3CO =以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间O OCx 直角坐标系.D xyz -则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).D C P 易知平面的一个法向量为. PBD ()11 0 0n =，，设平面的法向量为，PCD ()2n x y z =，，则，，∴， 2n DC ⊥ 2n DP ⊥ 2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵，，∴. ()3DC =()0 1DP =30x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令，∴，y =13x z =-=-，()213n =--∴121212cos n n n n n n ⋅===⋅，设二面角的大小为，则分 C PD B --θcos θ=19.(本小题满分12分)(Ⅰ)； 0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …………………………5分(Ⅱ)由题意得，，，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，()39.250.80.6826P t <<=所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)；()39.2 50.8，100000.68266826⨯= …………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为知，，c b c a ==，∴椭圆的方程可设为.C 222212x y b b +=易求得，∴点在椭圆上，∴， )A 222212b b+=解得，∴椭圆的方程为2263a b ⎧=⎨=⎩C. …………………………5分 22163xy +=(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)PO x =知，，M N，，∴.0OM ON OM ON ==⋅=，，OM ON ⊥当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，P O y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，即.=()2221m k =+联立直线和椭圆的方程得，()2226x kx m ++=∴，得.()222124260k x kmx m +++-=()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩∵， ()()1122OM x y ON x y == ，，，∴，()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++，()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++∴.OM ON ⊥综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有. O P C M N ，OM ON ⊥在中，由与相似得，为定值.Rt OMN ∆OMP ∆NOP ∆22OP PM PN =⋅=…………………………12分21.(本小题满分12分) (Ⅰ)易知，且. 1x >-()11x f x e x '=-+令，则， ()11x h x e x =-+()()2101x h x e x '=+>+∴函数在上单调递增，且. ()11x h x e x =-+()1x ∈-+∞，()()000h f '==可知，当时，，单调递减； ()1 0x ∈-，()()0h x f x '=<()()ln 1x f x e x =-+当时，，单调递增.()0x ∈+∞，()()0h x f x '=>()()ln 1x f x e x =-+∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.…………………………()f x ()1 0-，()0+∞，5分(Ⅱ)∵，∴.()()()ln 1xg x f x ax e x ax =-=-+-()()g x f x a ''=-由(Ⅰ)知，在上单调递增， ()g x '()1x ∈-+∞，当时，；当时，，则有唯一解. 1x →-()g x '→-∞x →+∞()g x '→+∞()0g x '=0x 可知，当时，，单调递减； ()01x x ∈-，()0g x '<()()ln 1x g x e x ax =-+-当时，，单调递增，()0x x ∈+∞，()0g x '>()()ln 1x g x e x ax =-+-∴函数在处取得极小值，且满足.()g x 0x x =()()0000ln 1x g x e x ax =-+-0x 0011x e a x -=+∴. ()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+令，则. ()()()11ln 111x x x e x x ϕ=--++-+()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦可知，当时，，单调递增； ()1 0x ∈-，()0x ϕ'>()x ϕ当时，，单调递减， ()0x ∈+∞，()0x ϕ'<()x ϕ∴.()()max 01x ϕϕ==∴函数极小值的最大值为1. …………………………12()g x 分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)，，∴，∴.221:1C x y +=2:=2cos C ρθ2=2cos ρρθ222x y x +=联立方程组得，解得，222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求交点的坐标为，.………………………5分 12⎛ ⎝12⎛ ⎝，(Ⅱ)设，则.()B ρθ，=2cos ρθ∴的面积AOB∆11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当时， ………………………10分 2312πθ=max 2S =+23.(本小题满分10分)(Ⅰ)，即或， ()22f x x +>1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨+-⎩10 122x x x +<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>∴实数的取值范围是. ………………………5分 x 13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(Ⅱ)∵，∴，∴， 1a >11a -<-()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，易知函数在时单调递减，在时单调递增，()g x 1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，1x a⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭∴.()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，解得. ………………………10分 1112a -=2a =。

正视图侧视图河南省正阳县第二高级中学学年上期高三理科数学周练八一、选择题：本大题共个小题，每题分，共分。

每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

.若集合，则集合( ).... . 关于的二次方程有实根，则复数对应的点在（ ）. 第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是( ) .[] .[]..直线与函数的图像相切于点，且∥，为坐标原点，为图像的一个最高点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则（）. . . ..已知为非零向量，则“函数为偶函数”是“”的（）. 充分不必要条件 . 必要不充分条件. 充要条件 . 既不充分也不必要条件 、等差数列的前项和为,且当取得最大值时，数列的公差为（）. . . .．若圆: 关于直线对称，则由点()向圆所作的切线长的最小值是（）. . . . .平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为( ) . . . .、已知函数①，②，则下列结论正确的是( ) .两个函数的图象均关于点成中心对称..①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，再向右平移个单位即得②. .两个函数在区间上都是单调递增函数. .两个函数的最小正周期相同.．设, 分别为双曲线（>，>）的左、右焦点，为双曲线右支上任一点。

若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )．（，] ．（，） ．（，] ．[，）. 对于函数()，若在定义域内存在实数，满足()(),则称()为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（） . . . .．已知函数（）是定义在上的以为周期的函数，”当∈（－，]时，（）＝其中>．若函数＝－的零点个数是，则的取值范围为( )．（，） ．（，） ．（，） ．（，＋∞）二、填空题：本大题共个小题，每题分，共分。

河南省正阳县第二高级中学2017-2018学年下期高三理科数学周练（八）一.选择题：1.若集合{|1}M x x =≤，2{|,1}N y y x x ==≤，则A ．M=NB ．M N ⊆C ．M N =∅D ．N M ⊆2．在复平面内，复数12i+(其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 函数()f x 是R 上奇函数，对任意实数都有3()()2f x f x =--，当13(,)22x ∈时，2()log (21)f x x =-，则(2018)(2019)f f +=（ ）A ．-2B ． 1C ．1-D ． 24.在区间[0,1]上随机取两个数，，则函数21()4f x x ax b =++有零点的概率是（ ） A ．112 B ．23 C ．16 D ．13A．－3 B．3 C．4 D．6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为s＝25，则判断框中可填写的关于i的条件是 A．i≤4 ? B．i≤5 ? C．i≥5 ? D．i≥4 ?7.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）A．3 B．5 C. 6 D．7与函数图象重合，则的最小值是（）A． 1:2 B． 3:2 C. 5:2 D． 7:2海阔天空专业文档A． 2b:a B． 3b:a C. 4b:a D． 5b:a10. 若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是A．3 B．4C．D．8=A． B． C． D．12. 对，设是关于的方程的实数根，A．1010 B．1012 C．2018 D．2020二.填空题：13. 安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．14. 已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则15. 已知抛物线＝4y，斜率为－的直线交抛物线于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为___________．16. 已知，其中e为自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是___三.解答题：17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2＋4S＝b2＋c2．海阔天空专业文档18. 如图，在边长为2。

第1页（共8页） 第2页（共8页）绝密★启封前2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷（八）数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知集合{}{}1,2018|,1log 2017<==>=x y y T x x S x ,则=S T I （ ） A ．），（20181B ．），（10C ．），（20182017D ．），（20171 2．已知函数()f x 的定义域为R ，则命题p ：“函数()f x 为奇函数”是命题q ：“0R x ∃∈，()()00f x f x =--”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)(2,)-⋃+∞ C ．(2,)+∞D ．(1,0)-4．若集合{}012310A =L ，，，，的非空子集有m 个，满足3,4,5}1,2{0，， B A 的集合B 有n 个，则m-n=（ ） A ．992B ．993C ．2017D ．20185． 已知()}20{,|20360+-≤⎧⎪=-+≤⎨⎪-+≥⎩x y D x y x y x y ，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2,,210;P x y D x y ∀∈-+≤：()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤--()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥：其中真命题的是（ ） A ．12,P P B ．23,P P C ．34,P PD ．24,P P6．=+--+4355215811614log 501log 2log 235log —）（（ ）A ．843B ．2762C ．859D ．271167． 设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞ C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞ 8．已知函数x x x x x f cos sin 21)(2+=，则其导函数)(x f '的图象大致是（ ） A ．B．C ．D ．9． 已知函数()21cos 2f x x t x =-．若其导函数()'f x 在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10． 已知函数20182)1sin()1()(23+-+--=x x x x x f ，则++-++-+-)0()1()2015()2016(ff f f f ()()()()()()101232018f f f f f f ++-++----=L L L （ ）≠⊂≠⊂第3页（共8页） 第4页（共8页）A ．0B ．1C ．2017D ．2018 11．已知方程2121009x x -⋅=的根是1x ，方程2log 4036x x ⋅=的根是2x ，则12x x ⋅（ ） A ．4B ．1009C ．2018D ．403612．设函数()f x =，若曲线11cos 22e e y x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．20,1e e ⎡⎤-+⎣⎦B ．20,1e e ⎡⎤+-⎣⎦ C ．20,e e 1⎡⎤++⎣⎦D ．20,e e 1⎡⎤--⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．一条斜率为1的直线l 与曲线1:x C y e =和曲线22:4C y x =分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于 ．14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒），平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018807202++=，若 6.05l =，则最大车流量为__________辆/时．15． 已知函数()32f x x ax =-与()2g x ax ax b =-+在(]0,2上存在相同的零点，则b 的取值范围为__________．16．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意x ∈R ，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是__________．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 17．（10分）已知{}31≤<-=x x A ，{}m x m x B 31+<≤=．（1）若m=1时，求A B U ；（2）若A C B R ⊆，求实数m 的取值范围．18．（12分）结合命题:p 函数2log )(3-=a axx f a在()0,∞-上是减函数；命题:q 函数a x x x f 54)(2++=的值域为),0[+∞． （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数122)(+-=-a x x f（1）求证：)(x f 的图像关于点)1,(-a M 对称；（2）若x x f 2)(-≥在a x ≥上恒成立，求实数a 的取值范围．第5页（共8页） 第6页（共8页）20．（12分）已知函数)()(22R c b a cx be ae x f x x ∈--=-、、的导函数)(x f '为偶函数，且曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线的斜率为c -4． （1）确定b a ,的值；（2）若)(x f 有极值，求c 的取值范围．21．（12分）设1>a ，函数a e x x f x -+=)1()(2． （1）求)(x f 的单调区间；（2）证明：)(x f 在R 上仅有一个零点．（3）若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤e a m ．第7页（共8页） 第8页（共8页）22．（12分）已知函数)1(ln )(xx e x f x +=（1）求函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）试比较)(x f 与1的大小关系．好教育云平台 第一次月考测试卷答案 第1页（共4页） 好教育云平台 第一次月考测试卷答案 第2页（共4页）理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1-6：CACCDA7-12：CBACCD第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 1314．201815．44,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．⎛ ⎝⎭三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）17．解：（1）1=m 时，(][)4131，，，=-=B A ，）（4,1-=⋃B A ， （2）(]()+∞-∞=,31 ，-A C R ，由A C B R ⊆可分以下两种情况： ①当∅=B 时，m m 31+≥，解得21-≤m ，②当∅≠B 时，⎩⎨⎧>-≤++<313131m m mm 或，解得3>m ，综上得()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，18．解：对:p 2311302<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-a a a a对:q △02016≥-=a ，解得54≤a ．， （1）若p 为真命题，则231<<a ，（2）由题知q p 与一真一假，那么由以下两种情况 ①p 真q 假：25454231<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<a a a ， ②p 假q 真：3154231≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤a a a a 或， 综上得：31254≤<<a a 或． 19．解：（1）设)(x f 的图像上任一点为),(y x P ，则122+-=-a x y),(y x P 关于点)1,(-a M 的对称点为)2,2(y x a P ---'，则12212222)2(+-=++-=-----ax a ax y ，说明点)2,2(y x a P ---'也在函数)(x f y =的图像上∴)(x f 的图像关于点)1,(-a M 对称，（2）由x x f 2)(-≥，化为()2222220x a x a +⋅-⋅≥在a x ≥上恒成立，令a x t 22≥=，则()22220a a g t t t =+⋅-⋅≥恒成立，)(t g y =的对称轴为022<-=ax∴)(t g y =在[)+∞,2a 递增，0)2(≥∴a g 解得0≥a ，20．解：（1）c be ae x f x x -+='-2222)(， ∵)(x f '为偶函数 ∴)()(x f x f '=-'恒成立 即c be ae c be ae x x x x -+=-+22222222--，得b a =， ∵曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线的斜率为c -4 ∴c c b a f -=-+='422)0( 得1==b a ， （2）由)(x f 有极值知()()2222222e e 22e 2e e x x x x xc f x c --⋅+'=+-=存在符号零点即()2222e e 2x x y c =-⋅+存在符号零点，记02>=x e t ，则上式可写为()222,0y t c t t =-⋅+>，由于20==t y ，则404162>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-=c c c △， 法二：)1(2t t c +=，看)0)(1(2>+==t tt y c y 与图像交点（略）．好教育云平台 第一次月考测试卷答案 第3页（共4页） 好教育云平台 第一次月考测试卷答案 第4页（共4页）21．22．解：（1）(1)f e =∴切点为(1,)e'221()(ln )x f x e x x x=+-'(1)f e ∴=， ∴切线方程为(1)y e e x -=- 即y ex =；（2）(1)1f e =>，所以猜想()1f x >，理由如下：因为1()1(ln )1ln 1x x x f x e x x x x e->⇔+>⇔+>， 【或：要比较()f x 与1的大小，只需比较11ln x x x e -+与的大小，即比较ln 1x x +与xx e 的大小】令()ln 1g x x x =+，()xxh x e =，'()ln 1g x x =+， 令'1()0,g x x e >>； '1()0,0g x x e <<<，()g x ∴在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增，min 11()()1g x g e e∴==-，'1()x x h x e-=，令'()0,01h x x ><<；'()0,1h x x <>()h x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，max 1()(1)h x h e∴==，min max ()()g x h x >()()g x h x ∴>恒成立，()1f x ∴>．。

2019届高三数学试卷(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的． ⒈已知集合，，则(C A)∩B= ( )A.B.C.D.⒉已知z 是纯虚数，且()321i z ai +=+（i 是虚数单位，），则( ) A.1 B.C.2D.⒊执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ( ) A.3 B.32C.0D.3- ⒋等比数列的前n 项和为，已知32175,2,S a a a =+=则5a = ( ) A.B.C.2D.⒌若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在(0,3)π上恰有一个 极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( ) A.B.C.D.⒍一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．B ．2C ．D ．7．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球 的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．3πC ．8πD ．9π 8、在中，(cos16,cos 74),AB =(2cos 61,2cos 29)BC =，则面积为( ) A ． B. C ．D ．9.某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为 A.916 B.2764 C.81256 D.71610.已知()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+=0630202,y x y x y x y x D ，给出下列四个命题：();0,,:1≥+∈∀y x D y x P ();012,,2≤+-∈∀y x D y x P ：();411,,:3-≤-+∈∃x y D y x P();2,,224≤+∈∃y x D y x P ： 其中真命题的是( )A.21,P PB.32,P PC. 43,P PD.42,P P11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于,A B 两点，若抛物线的焦点为F ，且0FA FB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．512.若121,,2,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦都有3211221ln 3ax x x x x+≥--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]0,1B. (1,3)C. [)1,+∞D. (,1)-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上. 13．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为 _______． 14.()()201201xnnn aa x a x a x dx x x ++++=+⎰ ，则12n a a a +++= ．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得512x +=.类似上述过程，则3232++= ． 16．对于定义域为[0,)+∞上的函数)(x f ，如果同时满足下列三条：①对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若10x ≥，20x ≥，都有12()f x x +≥)()(21x f x f +成立； ③若12,[0,1)x x ∈，则1212(1)(1)1f x f x x x +-+>-.则称函数)(x f 为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为 .（1）()sin f x x =； （2）21()([0,1])4g x x x =∈； （3）()21x h x =-； （4）()ln(1)p x x =+.三、解答题 （本大题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和244n S n n =-+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列72nn a-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图一，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示．（Ⅰ）证明：平面PBC PBD ⊥平面；（Ⅱ）求二面角A BM C --的余弦值.AB CDP M图一223413俯视图侧视图图二19．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（Ⅰ）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（Ⅱ）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．20．已知动圆M 过定点()2,0E ，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 是轨迹C 上的两点，且4OA OB ⋅=-uu r uu u r，()1,0F ，记OFA OAB S S S ∆∆=+，求S 的最小值．21.已知函数24)(++=x e x x x f . （Ⅰ）讨论函数的单调性,并证明当2->x 时，042>+++x xex ;（Ⅱ）证明：当)1,0[∈a 时，函数)2()2(3)(22->+--=+x x aax e x g x 有最小值，设)(x g 最小值为)(a h ，求函数)(a h 的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=,直线l的参数方程为3222x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 直线l和圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）直线l与x 轴的交点为P ，求PA PB+．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21)(,22+=--+=x x g x x x f （Ⅰ）求不等式())(x g x f ≥的解集； （Ⅱ）若()t t x f R x 5,2-≥∈∀恒成立，求实数t的取值范围．高三数学试卷(理)参考答案 1—12 ADAABCBBAD DC 12.令32()ln ,()3a f x x x g x x x x =+=--，则问题转化为121,,2,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12()()f x g x ≥恒成立，则min max ()()f x g x ≥，由2()32(32),g x x x x x '=-=-得()g x 在12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且125(),(2)128g g =-=，max ()(2)1g x g ∴==，则min ()1,()ln 1af x f x x x x≥⇒=+≥恒成立，所以2max (ln )a x x x ≥-.令2()ln ,()12ln h x x x x h x x x x '=-∴=--，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()h x 单调递增，当(]1,2x ∈时，()h x 单调递减，故max ()(1)1,1h x h a ==∴≥.故选C.13.34或32； 14.()1221n n -+⋅-； 15.3； 16.(3) 17．(Ⅰ)解：当n ≥2时，2214[4(1)(1)]52n n n a S S n n n n n -=-=-----=- 当1n =时，117a S ==∴{71522n n a n n ==-，，≥ ............4分（II ）令72n n na b -=，当n = 1时，1117702T b -===， 当2n ≥时，17122n n n n a n b --+==，23213451022222n n n n n T --+=++++++ ，234113*********n n n n n T -+=+++++ ，两式相减得：2111111122222n n n n T -+=++++-11()132212212n n n n n -++=-=-- ，∴1342n n n T -+=- (n ≥2)综上，1013422n n n n T n -=⎧⎪+=⎨-⎪⎩，，≥ .............. 分 18.解：(Ⅰ)证：由俯视图可得222BD BC CD +=∴BC ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ，而PD ∩BD ＝D ，故BC ⊥平面PBD∵BC PBC ⊂平面，∴平面PBC ⊥平面PBD ．.........4分(Ⅱ)：由侧视图可得MD = 3，由俯视图及ABCD 是直角梯形得：2124AB AB =⇒=∴2222213AD BD AB =-=-=， 以DA DC DP、、为x 轴、y 轴、z 轴建立的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，A (3，0，0)，B (3，1，0)，C (0，4，0)，M (0，0，3)(010)(330)(313)AB BC BM ==-=-- ，，，，，，，，设平面AMB 的法向量为n 1 = (x 1，y 1，z 1)，则1100AB BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ n n ，即11110330y x y z =⎧⎨--+=⎩令13x =，则13z =，∴1(303)=，，n 是平面AMB 的一个法向量设平面BMC 的法向量为n 2 = (x 2，y 2，z 2)，则2200AB BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ，即22222330330x y x y z ⎧-+=⎨--+=⎩ 令x 2 = 3，则224333y z ==，，∴243(33)3=，，n 是平面BMC 的一个法向量1212122222243(303)(33)133cos ||||4433(3)3(3)()3⋅⋅<>===+⨯++，，，，，n n n n n n 又由图可知， 二面角A －BM －C 为钝二面角∴二面角A －BM －C 的余弦值为134-．...12分 19．解：(I)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()4042160381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2224122423381P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()444114381P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ 即X 的分布列为:X 0 1 2 3 4 P168132812481881181设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X n ≤，即0X =，1X =，2X =，…，X n =，这1n +个互斥事件的和事件，则n0 1 2 3 4()P X n ≤16814881728180811∵728090%8181≤≤，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．.......6分 (II)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18,13,8，()()180P Y P X ===()()721281P X P X +=+==，()()813381P Y P X ====,()()18481P Y P X ====,即Y 的分布列为：Y 18 138P7281 881181则()728114081813881818181E Y =⨯+⨯+⨯=．故该厂获利的均值为140881．.......12分 20．解：(I)设(),M x y ，PQ 的中点N ，连MN ，则：2PN =，MN PQ ⊥， ∴222MN PN PM +=.又PM EM =,∴222MN PN EM +=∴()22242x x y +=-+，整理得动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：24y x =……5分 (II)设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不失一般性，令10y >，则111122OFA S OF y y =⋅⋅=△，∵4OA OB ⋅=-uu r uu u r ,∴221212416y y y y +=-,解得128y y =- ①直线AB 的方程为：211222121444y x y y y y y y --=--，()12y y ≠-,即2111244y x y y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+，令0y =得2x =，即直线AB 恒过定点()2,0E , 当12y y =-时，AB x ⊥轴，()2,22A ，()2,22B -．直线AB 也经过点()2,0E . ∴121212OAB S OE y y y y =⋅-=-△.由①可得118OAB S y y =+△,∴111182OFA OAB S S S y y y ∆∆⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1138212432y y =+=≥. 当且仅当11382y y =，即1433y =时，min 43S =……12分 21.解：（I ）由24)(++=x e x x x f 得 222224(2)()0,(4)(4)4(4)x x x x f x e e x x x x ++⎛⎫+'=+=≥≠- ⎪+++⎝⎭ 故()f x 在(,4)(4,)-∞--+∞和上单调递增， ………………3分 当2->x 时，由上述单调递增知()(2)1f x f >-=-，即214x x e x +>-+， 即：042>+++x xex ，得证. …………………5分（II ）对22e 3()(2)x ax a g x x +--=+求导得:2233(4)[e ]e (4)4()(2)(2)x x x x a x a x x g x x x +++++++'==++，(2)x >-．记2()e 4x x x a x ϕ+=++，2x >-．由（Ⅰ）知，函数()x ϕ区间(2,)-+∞内单调递增， 又(2)10a ϕ-=-+<，(0)0a ϕ=>，所以存在唯一正实数0x ，使得02000()e 04x x x a x ϕ+=+=+,于是，当0(2,)x x ∈-时，()0x ϕ<，()0g x '<，函数()g x 在区间0(2,)x -内单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>， ()0g x '>，函数()g x 在区间0(,)x +∞内单调递增．所以()g x 在(2,)-+∞内有最小值020020e 3()(2)x ax a g x x +--=+，即02020e 3()(2)x ax a h a x +--=+．又因为0200e 4x x a x +-=+．所以02001()()e 4x h a g x x +==+． 根据（Ⅰ）知，()f x 在(2,)-+∞内单调递增，0200e (1,0]4x x a x +=-∈-+，所以020x -<≤． 令21()e (20)4x u x x x +=-<≤+，则23()e 04x x u x x ++'=>+，函数()u x 在区间(2,0]-内单调递增，所以(2)()(0)u u x u -<≤,即函数()h a 的值域为21e(,]24． ……………12分22.解：（Ⅰ）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分（Ⅱ）把3222x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==- 令202t+=得点P 对应的参数为04t =-， 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+= …………10分法二：把3222x t ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得323y x =-+,令0y =得点Ｐ坐标为(23,0)P ，又因为直线l恰好经过圆C 的圆心，故2222(230)(02)8PA PB PC +==-+-=.10分23.（Ⅰ）由题可得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，当2x <-时，由())(x g x f ≥可得 92x ≤-，所以92x ≤-；当22x -≤≤时，由())(x g x f ≥可得12x ≥，所以122x ≤≤；当2x >时，由())(x g x f ≥可得72x ≤，所以722x <≤；综上可得，不等式())(x g x f ≥的解集为917,,222⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ . …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,所以(),4min -=x f ，若∀x ∈R ，()25f x t t ≥- 恒成立，解得41≤≤t ，综上，t 的取值范围为[]4,1. ……………10分。

2019年山东省高三（下）质检数学试卷（理科）（八）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y |y=﹣x 2+1，x ∈R }，B={y |y=log 2x }，则A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，1]B ．RC ．∅D ．[1，+∞）2．为考察某种药物预防疾病的效果，对100只某种动物进行试验，得到如下的列联表：经计算，统计量K 2的观测值k ≈4.762，则在犯错误的概率不超过（ ）的前提下认为药物有效，已知独立性检验中统计量K 2的临界值参考表为：A ．0.005B ．0.05C ．0.010D ．0.025 3．已知复数z 1=2+ai （a ∈R ），z 2=1﹣2i ，若为纯虚数，则|z 1|=（ ）A ．B ．C ．2D ．4．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a 有解的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．6．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．247．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a n}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值（）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负8．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．99．已知max{a，b}=设实数x，y满足则max{2x+3y ﹣1，x+2y+2}的取值范围是（）A．[2，9]B．[﹣1，9] C．[﹣1，8] D．[2，8]10．已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足：∀x∈（0，+∞），f（f（x）﹣log2x）=3，则函数g（x）=f（x）﹣sin2πx﹣2的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（1，0），=（0，1），若向量（+）⊥（λ﹣），则实数λ的值为．12．已知函数y=的值域为[0，+∞），则实a的取值集合为．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y ﹣2）2=1相交，则双曲线C的离心率e的取值范围是．14．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有种．（用数字作答）15．关于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx，下列命题：①若存在x1，x2有x1﹣x2=π时，f（x1）=f（x2）成立；②f（x）在区间[﹣，]上是单调递增；③函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称图象；④将函数f（x）的图象向右平移个单位后将与y=2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题：本大题共6小题，共75分.16．在锐角△ABC中，．（1）求角A；（2）若a=，当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求B和b．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD=1，∠BCD=120°，E为线段BP的靠近点B的一个四等分点，AE⊥PC．（1）求棱PA的长；（2）求平面PCB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．18．质点P从如图放置的正方形ABCD的顶点A出发，根据掷骰子的情况，按照以下的规则在顶点间来回移动：如果朝上数字大于等于5，向平行于AB边的方向移动；如果朝上数字小于等于4，向平行于AD边的方向移动．记掷骰子2n（n∈N*）次后质点P回到A点的概率为a n，回到C点的概率为c n．（I）求a1的值；（II）当n=2时，设X表示质点P到达C点的次数，X的分布列和期望；（III）当m=2015时，试比较a2015c2015，的大小（只需写出结论）．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．21．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[e，e2]，（e=2.71828…是自然对数的底数）使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=﹣x2+1，x∈R}，B={y|y=log2x}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．R C．∅D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】根据条件求出集合的等价条件即可得到结论．【解答】解：A={y|y=﹣x2+1，x∈R}={y|y≤1}，B={y|y=log2x}=R，则A∩B={y|y≤1}，故选：A2．为考察某种药物预防疾病的效果，对100只某种动物进行试验，得到如下的列联表：经计算，统计量K2的观测值k≈4.762，则在犯错误的概率不超过（）的前提下认为药物有效，已知独立性检验中统计量K2的临界值参考表为：A ．0.005B ．0.05C ．0.010D ．0.025 【考点】独立性检验．【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于3.841，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为药物有效．【解答】解：由题意算得，k 2=4.762＞3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为药物有效． 故选B ．3．已知复数z 1=2+ai （a ∈R ），z 2=1﹣2i ，若为纯虚数，则|z 1|=（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z 1=2+ai （a ∈R ），z 2=1﹣2i ， ∴，由为纯虚数，则，解得a=1，则z1=2+i，|=．∴|z故选：D．4．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a 有解的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式和不等式的几何意义可得各自对应的a的集合，由集合的包含关系可判．【解答】解：由|a|≥1可得a≤﹣1或a≥1，又关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解，∴a≥|x|+|x﹣1|的最小值，又∵|x|+|x﹣1|表示数轴上的点到0和1的距离之和，∴|x|+|x﹣1|的最小值为1，即a≥1，∵{a|a≥1}是集合{a|a≤﹣1或a≥1}的真子集，∴|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的必要不充分条件，故选：B5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．6．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．故选：B．7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a n}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值（）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负【考点】数列与函数的综合．【分析】由题设知a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，由此能够导出（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值恒为正数．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，数列{a n}是等差数列，且a3＜0，∴a2+a4=2a3＜0，则a2＜﹣a4，a1+a5=2a3＜0，则a1＜﹣a5，又由x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，若a2＜﹣a4，则f（a2）＞f（﹣a4）=﹣f（a4），必有f（a2）+f（a4）＞0．①同理f（a1）+f（a5）＞0，②，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，∴f（a3）＞0③综合①、②、③可得f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）＞0，故选A．8．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+[]=0，0＞4，否；n=1，S=0+[]=1，1＞4，否；n=2，S=1+[]=2，2＞4，否；n=3，S=2+[]=3，3＞4，否；n=4，S=3+[]=5，4＞4，否；n=5，S=5+[]=7，5＞4，是；输出S=7．故选：C．9．已知max{a，b}=设实数x，y满足则max{2x+3y ﹣1，x+2y+2}的取值范围是（）A．[2，9]B．[﹣1，9] C．[﹣1，8] D．[2，8]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：2x+3y﹣1﹣（x+2y+2）=x+y﹣3，即z=max{2x+3y﹣1，x+2y+2}=，其中直线x+y﹣3=0过A，C点．在直线x+y﹣3=0的上方，平移直线z=2x+3y﹣1（红线），当直线z=2x+3y﹣1经过点B（2，2）时，直线z=2x+3y﹣1的截距最大，此时z取得最大值为z=2×2+3×2﹣1=9．在直线x+y﹣3=0的下方，平移直线z=x+2y+2（蓝线），当直线z=x+2y+2经过点O（0，0）时，直线z=x+2y+2的截距最小，此时z取得最小值为z=0+2=2．即2≤z≤9，故选：A．10．已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足：∀x∈（0，+∞），f（f（x）﹣log2x）=3，则函数g（x）=f（x）﹣sin2πx﹣2的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由条件求得f（x）=2+log2x，本题即求数y=f（x）的图象和函数y=sin2πx+2的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值．设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=3，可得t+log2t=3，可解得t=2，故f（x）=2+log2x．函数g（x）=f（x）﹣sin2πx﹣2的零点的个数，即函数y=f（x）的图象（图中绿色曲线）和函数y=sin2πx+2的图象（图中红色曲线）的交点个数，如图所示：由于函数y=f（x）的图象（图中绿色曲线）和函数y=sin2πx+2的图象（图中红色曲线）的交点个数为3，故选：C．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（1，0），=（0，1），若向量（+）⊥（λ﹣），则实数λ的值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质可得（+）•（λ﹣）=0，再利用两个向量坐标形式的运算法、两个向量的数量积公式求得实数λ的值．【解答】解：由题意可得（+）•（λ﹣）=（1，1）•（λ，﹣1）=λ﹣1=0，∴λ=1，故答案为：1．12．已知函数y=的值域为[0，+∞），则实a的取值集合为{a∈R|a≤1} ．【考点】函数的值域．【分析】要使值域为[0，+∞），需要x2﹣2x+a的最小值小于等于0，求解即可．【解答】解：由题意：保证y=的值域为[0，+∞），需要x2﹣2x+a的最小值小于等于0即可．设g（x）=x2﹣2x+a，由二次函数的性质可知：当x=1时，g（x）取得最小值．即∵g（x）min≤0，即﹣1+a≤0解得：a≤1故答案为：{a∈R|a≤1}13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y ﹣2）2=1相交，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为ax±by=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交，∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1，∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：（1，）．14．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有48种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，运用排除法分2步进行分析：①、将5本书进行全排列，计算全部的摆法数目，②、计算其中语文书相邻的情况数目与数学书相邻的情况数目，以及语文、数学书同时相邻的情况数目；由事件的关系计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5本书进行全排列，有A55=120种情况，②、其中语文书相邻的情况有A22A44=48种，数学书相邻的情况有A22A44=48种，语文、数学书同时相邻的情况有A22A22A33=24种，则同一科目的书均不相邻的摆法有120﹣48﹣48+24=48种；故答案为：48．15．关于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx，下列命题：①若存在x1，x2有x1﹣x2=π时，f（x1）=f（x2）成立；②f（x）在区间[﹣，]上是单调递增；③函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称图象；④将函数f（x）的图象向右平移个单位后将与y=2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【分析】利用三角恒等变换求得f（x）=2cos（2x+），显然函数的周期为π，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得结论【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），显然函数的周期为π，若存在x1，x2，有x1﹣x2=π时，f（x1）=f（x2）成立，故①正确．在区间[﹣，]上，2x+∈[0，π]，函数f（x）=2cos（2x+）是减函数，故②不正确．当x=时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称图象，故③正确．将函数f（x）的图象向右平移个单位后将，得到的图象对应的函数解析式为y=2cos[2（x﹣）+]=2cos（2x﹣）=2sin2x，故④正确，故答案为：①③④．三.解答题：本大题共6小题，共75分.16．在锐角△ABC 中，．（1）求角A ；（2）若a=，当sinB +cos （﹣C ）取得最大值时，求B 和b ．【考点】余弦定理的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由余弦定理，结合条件，可得sin2A=1，即可求角A ；（2）先得出B=时，sinB +cos （﹣C ）取得最大值，再利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由余弦定理可得=∵△ABC 是锐角三角形， ∴cosB ＞0， ∴sin2A=1，∴2A=，∴A=；（2）由（1）知，B +C=，∴sinB +cos （﹣C ）=sinB +cos （B ﹣）=sinB +cosBcos +sinBsin=sinB +cosB=sin （B +）∵0＜﹣B ＜，0＜B ＜，∴＜B ＜，∴＜B+＜，∴B+=，即B=时，sinB+cos（﹣C）取得最大值，由正弦定理可得b===．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD=1，∠BCD=120°，E为线段BP的靠近点B的一个四等分点，AE⊥PC．（1）求棱PA的长；（2）求平面PCB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以、所在方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA=t，通过向量的加法运算及⊥，计算即可；（2）所求值即为平面PCB的法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，利用向量知识计算即可．【解答】解：（1）以、所在方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD=1，∴△ABC≌△ADC，又∵∠BCD=120°，∴∠BCA=∠ACD=60°，∴AC===2，∴A（0，0，0），C（0，2，0），B（，，0），设PA=t，则P（0，0，t）（t＞0），∴=（﹣，﹣，t），==（﹣，﹣，），从而=+=（，，），又∵=（0，2，﹣t），且⊥，∴•==0，解得t=3，∴棱PA的长为3；（2）由（1）知C（0，2，0），B（，，0），P（0，0，3），D（﹣，，0），∴=（0，﹣2，3），=（﹣，，0），=（，，0），设平面PCB的法向量为=（x，y，z），由，得，取x=，得=（，3，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取x=，得=（，﹣3，﹣2），∵===﹣，∴平面PCB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值为．18．质点P从如图放置的正方形ABCD的顶点A出发，根据掷骰子的情况，按照以下的规则在顶点间来回移动：如果朝上数字大于等于5，向平行于AB边的方向移动；如果朝上数字小于等于4，向平行于AD边的方向移动．记掷骰子2n（n∈N*）次后质点P回到A点的概率为a n，回到C点的概率为c n．（I）求a1的值；（II）当n=2时，设X表示质点P到达C点的次数，X的分布列和期望；（III）当m=2015时，试比较a2015c2015，的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式能求出a1．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）当m=2015时，能比较质点P回到A点的概率、回到C点的概率和的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意=．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=（）4+（）4+2×（）2×（）2=，P（X=1）=+2×=，P（X=2）==，∴X的分布列为：∴EX==．（Ⅲ）当m=2015时，a2015＞＞c2015．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）通过记等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a1=2可知公差d=2，进而可知a n=2n；通过T n=2n﹣1与T n﹣1=2n ﹣1﹣1（n≥2）作差，进而可知b n=2n﹣1；（Ⅱ）通过（I）可知a n b n=n•2n，S n=n（n+1），进而可知c n=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用错位相减法计算可知数列{（﹣1）n ab n}的前n项和A n=﹣﹣•（﹣2）n+1；通过分类讨论，结合并n项相加法可知数列{（﹣1）n lnS n}的前n项和B n=（﹣1）n ln（n+1），进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）记等差数列{a n}的公差为d，依题意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n；∵T n=2n﹣1，∴T n﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：b n=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知a n b n=n•2n，S n=2•=n（n+1），∴c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，记数列{（﹣1）n a n b n}的前n项和为A n，数列{（﹣1）n lnS n}的前n 项和为B n，则A n=1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，﹣2A n=1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n﹣1）•（﹣2）n+n•（﹣2）n+1，错位相减得：3A n=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n•（﹣2）n+1=﹣n•（﹣2）n+1=﹣﹣•（﹣2）n+1，∴A n=﹣﹣•（﹣2）n+1；当n为偶数时，B n=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln （n+1）]=ln（n+1）﹣ln1=ln（n+1），当n为奇数时，B n=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln （n+1）]=﹣ln（n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：B n=（﹣1）n ln（n+1），∴数列{c n}的前n项和A n+B n=（﹣1）n ln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD 横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．21．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[e，e2]，（e=2.71828…是自然对数的底数）使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出函数g（x）的定义域，再利用导数g′（x）即可得结论；（2）由题意得，a≥=h（x）在（1，+∞）上恒成立，即a≥h max（x）即可，根据配方法易得h max（x）=，即得结论；（3）通过分析，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f min（x）≤”，结合（2）及f′（x），分①、②a≤0、③三种情况讨论即可．【解答】解：（1）由得，x＞0且x≠1，则函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx﹣1=0，解得x=e，当0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0；当x＞e时g′（x）＞0，∴函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+∞）；（2）由题意得，函数f（x）=在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≥在（1，+∞）上恒成立，令h（x）=，x∈（1，+∞），因此a≥h max（x）即可，由h（x）==﹣（﹣）2+≤，当且仅当，即x=e2时等号成立，∴h max （x ）=，因此a ，故a 的最小值为；（3）命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f （x 1）≤f ′（x 2）+a ”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f min （x ）≤f ′max （x ）+a ”，由（2）得，当x ∈[e ，e 2]时，f ′max （x ）=﹣a ，则f ′max （x ）+a=，故问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f min （x ）≤”，∵f ′（x ）=﹣a ，由（2）知，①当时，f ′（x ）≤0在[e ，e 2]上恒成立，因此f （x ）在[e ，e 2]上为减函数，则f min （x ）=f （e 2）=，故a ；②当a ≤0时，f ′（x ）≥0在[e ，e 2]上恒成立，因此f （x ）在[e ，e 2]上为增函数，则f min （x ）=f （e ）=a ﹣ae ≥e，不合题意；③当时，由于f ′（x ）==﹣（﹣）2+﹣a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′（x ） 的值域为[f ′（e ），f ′（e 2）]，即．由f ′（x ）的单调性和值域知，存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f ′（x 0）=0，且满足：当x ∈（e ，x 0），时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）为减函数； 当x ∈（x 0，e 2），时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）为增函数；所以，f min （x ）=f （x 0）=，x 0∈（e ，e 2），所以，=与矛盾，不合题意．综上所述，得a．。

荆州中学高三第八次双周考数学试题(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.41.已知i为虚数单位，z，则复数z的虚部为().1iA.2iB.2iC.2D.22.集合，，则=A x x xB x x10A B220().A.x x1B.x1x1C.x x2D.x2x13.执行右图所示的程序框图，则输出n的值为( ).A.63B.47C.23D.74.已知正项等差数列的前项和为S (n N)，a nn na5a7a602，则S的值为( ).11A.11B.12C.20D.225.已知偶函数f x在0，上单调递增，则对实数a，b，“a b”是“f a f b”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.1A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面外有两条直线a，b，它们在平面内的射影分别是直线m，n，则下列命题正确的是( ).A.若a b，则m nB.若m n，则a bC.若m//n，则a//bD.若m和n相交，则a和b相交或异面618.若ax展开式的常数项为60，则a的值为( ).xA.4B.4C.2D.29.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).4816A.254210B.C.D.33310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).4192341A. B. C. D.52550100x y2211.设双曲线C:1(a0，b0)的左、右焦点分别为F，F，过F的直线分别交22121a b双曲线左右两支于点M，N，连结MF，NF，若220，，则双曲线的MF NF MF NFC 2222离心率为( ).A. 2B. 3C. 5D. 612.已知函数f x ax x x有两个不同的极值点，若不等式22ln x，xf x f x1212恒成立，则实数的取值范围是( ).A.3，B.3，C.e ，D.e ，第Ⅱ卷2本卷包括必考题和选考题两部分.第 13题—第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22题、第 23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分.把答案填在答题卡上的相应位置.x 0y 013.设 x ，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z2x y 的取值范围为.x y 3 0a b14.若非零向量 a ，b 满足 aa 2b，则.b15.在 锐 角 ABC 中 ， BC 2 ， sin B sin C 2sin A ， 则 中 线 AD 长 的 取 值 范 围是.nn 1nn 16.在平面直角坐标系 xOy 中，点 ()( )，记 AA A的面积为A 2 ，n N *n2n 1 2n 2n 12Snn，则S.i i 1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分 12分)已知函数cos 2sin 2 .f xxx6(Ⅰ)求函数 f x 的最小正周期； (Ⅱ)若0 ，，求.1， fcos 22 3P18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD中，BC BD DC 2 3 ，EAD AB PD PB 2 D .AC 3B(Ⅰ)若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)当平面PBD平面ABCD时，求二面角C PD B的余弦值.19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布，其中近似地等N，2于样本平均数x，2近似地等于样本方差s2，s233.6.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：33.6 5.8.若随机变量Z服从正态分布N，2，则P Z0.6826，P2Z2.0.954420.(本小题满分12分)x y222设椭圆C:1( )的离心率为，圆22与轴正半轴交于点，a b0O:x y2x Aa b222圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断PM PN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f x e x ln x1(e为自然对数的底数).4(Ⅰ)求函数f x的单调区间；(Ⅱ)若g x f x ax，a R，试求函数g x极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程x cos在直角坐标系xOy中，曲线的方程为(为参数).以坐标原点O为极点，x轴C1ysin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2cos.(Ⅰ)求C1、C2交点的直角坐标；4，B C AOB(Ⅱ)设点A的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.2323.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数f x x1.(Ⅰ)若f x2x2，求实数x的取值范围；1(Ⅱ)设g x f x f ax(a1)，若g x的最小值为，求的值.a25荆州中学高三第八次双周考 数学试题(理科)答案一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案DCCDADDDC C B A二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分.132 213.1，614.115.16.n3，2n 42 33三、解答题：17.(本小题满分 12分)31 3 1(Ⅰ)∵，f xcos 2xsin 2xcos 2x sin 2x cos 2x sin 2x2 2 2 2 6∴函数 fx的最小正周期为T. …………………………5分f1sin 2 1(Ⅱ)由 可得， .36 37∵0,，∴.2 ，2 6 6 61 1又∵ 0 sin 2，∴，x 2 ，6 3 2622 2∴cos 2，6 3∴cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin .1 2 66 6 6 6 6 6 6………………………12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD的中点为M，连结EM，BM.由已知得，BCD为等边三角形，BM CD.P∵AD AB 2 ，BD 2 3 ，∴ADB ABD30 ，E D∴ADC 90，∴BM// AD.又∵BM平面PAD，AD平面PAD，M AC B6∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD.又∵EM平面PAD，PD平面PAD，∴EM∥平面PAD.∵EM BM M，∴平面BEM∥平面PAD.∵BE平面BEM，∴BE∥平面PAD. …………………………5分(Ⅱ)连结AC，交BD于点O，连结PO，由对称性知，O为BD的中点，且AC BD，PO BD.∵平面PBD平面ABCD，PO BD，∴PO平面ABCD，PO AO1，CO 3 .以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz.则D(0， 3 ，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1).易知平面PBD的一个法向量为.n1 1，0，0设平面PCD的法向量为，n x，y，z2n DC0则n DC，n DP，∴ 2 ，2 2n DP23x3y0∵DC3，3，0，D P0，3，1，∴.3y z令y 3 ，得x1，z 3 ，∴，n2 1，3， 3n n1 13∴cos 1 2 .n，n1 2n n13 131 213设二面角C PD B的大小为，则cos. ………………………12分1319.(本小题满分12分)(Ⅰ)x0.0634 0.18380.2042 0.2846 0.1650 0.1054 0.0258 44.7245 ； (5)分(Ⅱ)由题意得，39.2，50.8 ，P39.2 t50.80.6826 ，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2，50.8的人数约为100000.6826 6826 (人)； (12)分720.(本小题满分 12分)2(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ，由椭圆的离心率为知，b c ，a 2b ，2xy22∴椭圆C 的方程可设为221.2bb22易求得 A2，0，∴点2， 2在椭圆上，∴，12bb22222a 6xy解得，∴椭圆 C 的方程为. (5)1b23 63分(Ⅱ)当过点 P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2 ，由(Ⅰ)知，2222M，，N，，2222OM，，ON，，OMON OMON，∴ . 当过点 P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y kx m ，M x ，y ，N x ，y1122，m∴ ，即 m22k 21.2 k12联立直线和椭圆的方程得 xkxm，2 2622224km 4 12k 2m64km∴，得.12k x4kmx 2m6 0x x2221222k12m62x x2k11 22∵，OMx ，y ，ONx ，y1122∴，OMONx xy yx xkxm kxm 1 21 21 2122m64km21k x xkm xxm 1kkmm22221 212222k1 2k 11 k 2m 6 4k m m 2k13m 6k6 3 2k 26k 62 2 222222222k 2 12k 21 2k2 10 ，∴OM ON .综上所述，圆O 上任意一点 P 处的切线交椭圆C 于点 M ，N ，都有OM ON .在 Rt OMN 中，由 OMP 与 NOP 相似得， OP 2PMPN2 为定值.……………………8……12分21.(本小题满分 12分) 1(Ⅰ)易知 x 1，且.f xexx 111令 ，则 ，h x eh xexxx 1x 121∴函数在 x1， 上单调递增，且 h 0f0 .h xexx 1可知，当 x 1，0时， h x fx0 ，ln1单调递减；f x e xx当 x 0， 时， h x fx0 ，ln1单调递增.f xexx∴函数 f x 的单调递减区间是1，0，单调递增区间是0， (5)分(Ⅱ)∵ln 1，∴.g xf xaxe x x axgxf x a由(Ⅰ)知， g x在 x1，上单调递增，当 x 1时， g x；当 x 时， gx ，则 g x0 有唯一解 .x可知，当时，， 单调递减；x ，xgxg x e xln x 1 ax1当 xx ， 时， g x 0 ， g xeln x 1 ax 单调递增，x1∴函数 g x在 处取得极小值，且 满足 .x x gxe xxax xln1x ea 0x11∴.g x1 x eln x 1 1x0 0 0x111令，则.xx e xxx e1ln 1 1xxx 1x 12可知，当 x 1，0时，x 0 ， x单调递增；当 x 0，时，x0 ，x 单调递减，∴.x max1∴函数 g x极小值的最大值为 1.…………………………12分22.(本小题满分 10分) (Ⅰ) 1 : 221， 2 : =2cos ，∴ ，∴.C xy C2=2 cosx 2y 2 2x911xx2221x y 1 22联立方程组得，解得， ，2 2x y 2x33y y12 221 3 1 3，，∴所求交点的坐标为，.………………………5分2 22 2(Ⅱ)设 B ，，则 =2cos .11∴ AOB 的面积sin4 sin4 cos sinS OA OBAOB22332 cos 2 3623∴当时，.………………………10分S max2 31223.(本小题满分 10分)x 1 0x10 1(Ⅰ) f x 2x 2 ，即 x 1 >2 2x 或 ，xx 1>2 2xx 1 2x 231∴实数 x 的取值范围是.………………………5分，3a 1 x 2，x，11 1(Ⅱ)∵ a 1 ，∴，∴，1g x1 a x ， x1，aa1a1 x2 x， ，a11易知函数 g x在 时单调递减，在时单调递增，x，x，a a11∴.g xg1 minaa1 1 ∴1，解得 a 2 .………………………10分a 210。