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成都2024～2025学年度上期高2025届十月考试数学试卷（答案在最后）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1.已知集合{}1,2,4A =,2{|20}B x N x x =∈+-≤,则A B = A.{}2,1,0,1,2,4-- B.{}0,1,2,4 C.{}1,2,4D.{}12.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差3.已知0.10.6a =,0.6log 0.3b =,0.6log 0.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为A.b c a>> B.a b c>> C.c b a>> D.a c b>>4.已知实数a ,b ,c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是A.22ab cb > B.222a c c a+≥ C.||||a b > D.0ab bc +>5.“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R”的一个充分不必要条件是A.[2,2]- B.(0,2⎤⎦C．(,2[2,)⎤-∞+∞⎦U D．[2,)+∞6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过()年.（lg 20.3010≈）A.155 B.159C.162D.1667.若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A.(12)y f x =-B.1(1)2y f x =-C.(12)y f x =-- D.1(1)2y f x =--8.已知函数11,0,()2221,0.x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩,则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为A．0B．3C．6D．9二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

绝密★启用前湖南省2024-2025学年高三上学期10月第二次联考物理考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，a 、b 两段圆柱形导体连接在一起，两圆柱体的材料、长度均相同，a 的横截面积小于b 的横截面积，a 圆柱体的电阻为，b 圆柱体的电阻为。

在连接体两端加上恒定电压，a 圆柱体两端的电压为，单位时间通过导体横截面的电量为，导体中自由电荷定向移动的速率为；b 圆柱体两端的电压为，单位时间通过导体横截面的电量为，导体中自由电荷定向移动的速率为。

下列关系正确的是A ．B ．C ．D ．2．在平直的道路上测试两辆赛车的启动和刹车性能，两赛车均从静止开始先匀加速运动后匀减速运动到速度为零。

若两车运动的位移相等，则下列判断正确的是A ．两车加速时加速度大小一定相等B ．两车减速时加速度大小一定相等C ．两车运动的最大速度之比一定等于两车运动时间之比D ．两车运动的最大速度之比一定等于两车运动时间之比的倒数3．如图所示，O 点为等边三角形ABC 的中心。

在A 、B 两点放置两电荷量相等的点电荷，若两点电荷是同种电荷，则O 点场强大小为；若两点电荷是异种电荷，则O 点场强大小为，与的比值为1R 2R 1U 1q 1v 2U 2q 2v 12R R <12v v >12q q >12U U =1E 2E 1E 2EAB ．C ．3 D4．如图所示，从地面上P 点斜向上抛出甲、乙两个小球，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同，甲球到达M 点时的动能和乙球到达N 点时的动能相等，甲球到达M 点时的速度大小为，重力的瞬时功率为；乙球到达N 点时的速度大小为，重力的瞬时功率为。

山东省新高考适应性考试2025届高三上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B =I （ ）A ．(,1)-∞B ．(3),-∞C ．(3,)+∞D ．(4,)+∞2．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ） A ．()2,1--B ．[]1,4C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ） A ．sin ,cos ,tan ααα B ．sin ,tan ,cos ααα C ．22sin ,cos ,tan αααD ．22cos ,sin ,tan ααα4．已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()f x 的解析式为（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()12π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()6f x f x =-，且当03x ≤≤时，()()()0.5log 1,012,13a x x f x x x x ⎧++≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩（a 为常数），则()()20232025f f +的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．26．若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A．( B．((),-∞-⋃+∞C．(,-∞-D．()+∞7．设R a ∈且0a ≠，n 为正整数，集合()cos πx S x a x n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．有以下两个命题：①对任意a ，存在n ，使得集合S 中至少有2个元素；②若存在两个n ，使得S 中只有1个元素，则25a <，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是假命题D ．①、②都是真命题8．设数列1(1)n n a n+-=的前n 项和为n S ，数学家墨卡托、牛顿、Gregory Saint-Vincen 曾分别独立发现当n 足够大时，n S 会趋向于一常数ln 2，先给出以下三个数学事实：①11ln 222n S =；②如果求数列前n 项和n S 时存在给其中的某些项用括号括起后得到n S '，lim n n S ∞∞'→=，则lim n n S ∞∞→=；③121211(N)214n nk n k +-=>∈-∑.基于以上数学事实我们可以推出：将数列{}na 的项按某种规律重新排列（如：将第m 个偶数项排到第21m +个奇数项后）后前n 项和n S ''在n 足够大时（ ）.A ．最终一定趋于ln 2B ．最终一定不趋于任何一个常数C ．最终一定趋于某一常数但不一定是ln 2D ．以上均不正确二、多选题9．已知函数()22()sin cos n n n f x x x n *=+∈N ，记()n f x 的最小值为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（ ） A ．212a =B ．43116S =C ．()1ln 12ni i a =+<∑D ．若数列{}n b 满足211log n nb a =-，则12114ni i i i bbb ++=<∑10．已知sin 22cos ()e x x f x +=，（参考数据ln13.4 2.6≈），则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为π的周期函数B ．()f x 在(π,0)-上单调递增C ．()f x 在(2π,2π)-内共有4个极值点D ．设()()g x f x x =-，则()g x 在29π,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上共有5个零点11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =现有ABC V 满足sin :sin :sin A B C =，且ABC S =△，则（ ）A ．ABC V 三个内角、、ABC 满足关系2A+C =BB ．ABC V 的周长为10+C ．若B ∠的角平分线与AC 交于D ，则BD D ．若O 为ABC V 的外心，则()26BO BA BC ⋅+=u u u r u u u r u u u r三、填空题12．已知角α的终边经过点P ⎝⎭，则sin α=，cos α=． 13．函数[]()sin 20,πy x x x =+∈的最大值为．14．已知1:a ζ，2a ，L ，n a 为有穷整数数列，对于给定的正整数m ，若对于任意的{1,2,,}n m ∈L ，在ζ中存在i a ，1i a +，L ，(,0)i j a i j +≥使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称ζ为“m ⊗同心圆数列”．若12:,,,k a a a ζL 为“2023⊗同心圆数列”，则k 的最小值为．四、解答题15．已知函数1()ln f x ax x a=-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在最大值，且最大值小于0，求a 的取值范围.16．已知集合A 是由元素x组成的，其中x m =+m ，n ∈Z ． (1)设1x =2x(231x =-，试判断12,x x ，3x 与A 之间的关系；(2)任取12,x x A ∈，试判断12x x +，21x x 与A 之间的关系． 17．已知公差d 不为0的等差数列 a n 的前n 项和为6397,6,15n S S a S ==. (1)求 a n 的通项公式；(2)令212n a n b =+，记n T 为数列 b n 的前n 项和，若2024n T ≥，求n 的最小值.18．若1x ，()221x x x >是函数ℎ x 在[]0,2π内的两个零点，则定义ℎ x 的A 型12x x →零点旋转函数为()121cos πx x H x A x x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，A ∈R 且0A ≠.将函数()sin2f x x x =-在[]0,2π内所有的零点从小到大排列后，记第n 个零点为()*n x n ∈N ，集合(){}0,02πP x f x x ==≤≤.(1)请用列举法写出P .(2)设函数()g x 是()f x 的1型13x x →零点旋转函数，函数()()()2x g x g x t ϕ⎡⎤=--⎣⎦，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，t ∈R . （i ）讨论φ x 的零点个数；（ii ）若φ x 有两个零点m ，n ，证明：()cos 0m n +<.19．拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f ⎧==⎪⎨==⎪⎩，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =-+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L ⎛⎫⎛⎫=≈=-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c =++满足()()()()()()001100H f H f H f ⎧='='⎪=⎨⎪⎩(1)求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x …；(2)若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ-…，求实数λ的取值范围；(3)利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001）。

ʌ高三物理试题参考答案㊀第１㊀页(共４页)ɔ三湘名校教育联盟 ２０２５届高三第二次大联考 物理参考答案㊁提示及评分细则１．B ㊀设地球半径为R ,根据万有引力定律和牛顿第二定律可得G Mm (R ＋h )２＝m a ,解得a ＝G M(R ＋h )２,可知h 越大,a 越小,且a 与h 不是线性关系,故选项B 正确．２．D㊀t ＝０时刻质点P 向y 轴负方向运动,由波的传播方向与质点振动方向的关系,知该波沿x 轴负方向传播,选项A 错误;由图(b )知波长为λ＝１．０m ,由图(c )知周期为T ＝１．０s ,则波速为v ＝λT ＝１．０m /s,选项B 错误;t ＝１．０s 时质点P 位于平衡位置,加速度为０,速度最大,选项C 错误;由图(c)知质点P 振动的振幅为A ＝０．２m ,t ＝１０s ＝１０T ,则１０s 内质点P 运动的路程为s ＝１０ˑ４A ＝８m ,选项D 正确．３．C ㊀由题意知木筷在水中做简谐运动,振幅为A ,周期为T ＝２t ０,t ＝０时位移为y ＝－A ,所以其振动方程为y ＝－A co s ωt ＝－A c o s ２πT t ＝－A c o s πt ０t ,故选项C 正确．４．B ㊀t １时间内的平均速度为v １＝d t １,t ２时间内的平均速度为v ２＝２dt ２,由于做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,有v t １２＝v １＝d t １㊁v t ２２＝v ２＝２d t ２,所以列车运动的加速度为a ＝v t ２２－vt １２１２t １＋１２t ２＝２d (２t １－t ２)t １t ２(t １＋t ２),故选项B 正确．５．A㊀由万有引力的提供向心力得G Mm (R ＋h )２＝m v ２R ＋h ,在地面附近有G MmR ２＝m g ．在时间微元Δt 内与空间站作用的稀薄空气颗粒的质量为Δm ＝ρS v Δt ,对这部分空气颗粒应用动量定理则有F Δt ＝Δm v ,联立解得F ＝ρS g R ２R ＋h ．由牛顿第三定律知天宫空间站所受空气阻力大小为f ＝F ＝ρS g R ２R ＋h ,故选项A 正确．６．D㊀小物块从P 点运动到A 点,由动能定理和动量定理得－μm gx ＝１２m v ２A －１２m v ２０㊁－μm g t ＝m v A －m v ０,联立解得v A ＝７m /s ,t ＝０．２s ,选项A 错误;从A 点到C 点,由动能定理得－m gR (１＋s i n ３７ʎ)＝１２m v ２C －１２m v ２A ,解得v C ＝５m /s ．在C 点根据牛顿第二定律有F N ＋m gs i n ３７ʎ＝m v ２C R ,解得F N ＝８２３N ,由牛顿第三定律知对轨道的压力大小为F ᶄN ＝F N ＝８２３N ,选项B 错误;设小物块从C 点拋出时的水平和竖直分量分别为v x 和v y ,则v x ＝v C s i n ３７ʎ＝３m /s ,v y ＝v C c o s ３７ʎ＝４m /s ,则小物块运动到最高点时的速度大小为３m /s,距离地面最大高度为H ＝R (１＋s i n ３７ʎ)＋v ２y２g＝２m ,选项C 错误㊁选项D 正确．７．A C ㊀O 点分别在A D 和B C 的中垂线上,A D 处和B C 处分别放置等量异种点电荷,G H 为０等势线,所以O 点的电势为零,将电子从G 点沿直线移动到H 点,电场力不做功,选项A 正确㊁选项D 错误;A B 处和C D 处分别放置等量同种点电荷,它们在中垂线E F 上产生的电场强度方向均由E 指向F ,所以O 点电场强度不为ʌ高三物理试题参考答案㊀第２㊀页(共４页)ɔ０,选项B 错误;因电场强度方向均由E 指向F ,所以E 点电势高于F 点电势,带负电的电子在电势高处电势能小,所以电子在E 点的电势能小于在F 点的电势能,选项C 正确．８．A D㊀以小球A 为研究对象,受力情况如图所示:由共点力平衡条件得F T c o s ３０ʎ＝m g ㊁F T s i n ３０ʎ＝F ,由库仑定律得F ＝k ２q ２(l s i n ３０ʎ)２＝８k q ２l ２,联立解得m ＝８３k q ２gl ２㊁F T ＝１６k q２l ２,选项A ㊁D 正确．９．A C ㊀算珠甲的加速度大小为a １＝０．４－０．３０．１m /s ２＝１．０m /s ２,算珠乙的加速度大小为a ２＝０．２－００．２m /s ２＝１．０m /s ２,由牛顿第二定律μm g ＝ma 知两算珠与导杆的动摩擦因数均为μ＝０．１,选项A 正确㊁选项B 错误;开始两算珠之间的距离为Δx ＝(０．４＋０．３)ˑ０．１２m＝３．５ˑ１０－２m ,选项C 正确;碰后算珠甲运动的距离为x 甲＝０．１ˑ０．１２m＝５．０ˑ１０－３m ,选项D 错误．１０．B C ㊀设弹簧开始时的压缩量为x ０,则m g ＝k x ０．当小物块C 恰好离开地面时,有m g ＝k x １,解得x １＝x ０．设小物块A 开始下落时距小物块B 的高度为H ,下落过程与碰撞过程有m g H ＝１２m v ２１㊁m v １＝２m v ２．小物块A ㊁B 在弹簧原长处分离,设分离时的速度大小为v ３,由能量守恒得１２ˑ２m v ２２＋１２k x ２０＝１２ˑ２m v ２３＋２m g x ０．小物块A ㊁B 分离后,小物块B 向上运动到最度点的过程中,由能量守恒得１２m v ２３＝m gx １＋１２k x ２１,联立解得H ＝９m gk ,选项A 错误㊁选项B 正确;小物块A ㊁B 一起运动到最低点的过程中发生的位移大小为x ２,由能量守恒定律得１２ˑ２m v ２２＋２m gx ２＝１２k (x ０＋x ２)２－１２k x ２０,联立解得x ２＝(１＋１０)m g k,则弹簧的最大弹性势能为E p ＝１２k (x ０＋x ２)２＝[(２＋１０)m g ]２２k,选项C 正确㊁选项D 错误．１１．(１)如图所示(２分)(２)甲(１分)(３)７．７ˑ１０－３~８．３ˑ１０－３(答案在此区间都可给分,下同,２分)㊀㊀２．６ˑ１０－３~２．８ˑ１０－３(２分)ʌ解析ɔ(１)根据电路原理图(a )将图(b)中的实物进行连接,答案如图所示．(２)应选择的毫安表的表头为图(c )中的甲．在电容器的充放电过程中,电流会先增大后减小,且会反向．甲电流表指针指向中间,且左右两边都有刻度,说明它可以测量交变电流,即电流方向改变时,指针可以向左右两边偏转,因此适合本实验．而乙电流表只能测量单向电流,不适合本实验．(３)根据i －t 图像的面积表示电容器充电完毕后的电荷量,由图知,每小格代表的电荷量为q １＝I t ＝１２ˑ１０－３ˑ１２C ＝２．５ˑ１０－４C ．数出图线包围的格数,满半格或超过半格的算一格,不满半格的舍去,数得格数为n ＝３２格,则电容器充电完毕后的电荷量为Q ＝３２q１＝８．０ˑ１０－３C ;根据电容的定义知,电容器的电容为C ＝Q U ＝８．０ˑ１０－３３．０F ＝２．７ˑ１０－３F ．ʌ高三物理试题参考答案㊀第３㊀页(共４页)ɔ１２．(１)m ２－m １m １＋m ２g (２分)(２)(m ２－m １)g h (１分)㊀㊀(m ２－m １)２g ２t ２２(m １＋m ２)(２分)㊀㊀２m １＋m ２()h ２t２(２分);(３)A C (２分)ʌ解析ɔ(１)设小球A 加速上升过程中绳子拉力为T ,根据牛顿第二定律有T －m １g ＝m １a ,m ２g －T ＝m ２a ,联立解得a ＝m ２－m １m １＋m ２g ．(２)小球A ㊁B 连结在一起,A 上升的距离一定等于B 下降的距离,A ㊁B 的速度总是大小相等．系统重力势能减少量为E p ＝m ２g h －m １g h ＝(m ２－m １)gh ;动能增加量为E k ＝１２(m １＋m ２)v ２,由v ＝a t ㊁a ＝m ２－m １m １＋m ２g 和h ＝v ２t 可得速度v ＝(m ２－m １)g t m １＋m ２或v ＝２ht ,则动能增加量为E k ＝(m ２－m １)２g ２t ２２(m １＋m ２)或E k＝２(m １＋m ２)h ２t２．(３)如果细绳质量不能忽略,则A ㊁B 组成的系统势能将有一部分转化为绳子的动能,从而为验证机械能守恒定律的实验带来误差,选项A 正确;若绳太长,容易引起物体的摆动,当物体摆动时,两物体的速度大小有差别,给计算系统的动能带来误差,即尽量保证物块只沿竖直方向运动,不要摇晃,选项B 错误㊁选项C 正确;绳子长度和两个物块质量差应适当,即两个物块的质量之差不能尽可能小,也不能尽可能大,选项D错误．１３．ʌ解析ɔ(１) 飞鲨 战斗机在直轨道上的加速过程,由动能定理得P t －f L ＝１２m v ２B (３分)解得v B ＝２(P t －fL )m(２分)(２)在B 点,由牛顿第二定律得F N －m g ＝m v ２BR(２分)联立解得F N ＝m g ＋２(P t －fL )R(２分)由牛顿第三定律知 飞鲨 战斗机对轨道的压力大小为F ᶄN ＝F N ＝m g ＋２(P t －fL )R(１分)１４．ʌ解析ɔ(１)粒子从M 到N 的运动过程中,根据动能定理有qU ＝１２m v ２N (２分)解得v N ＝２q U m(１分)粒子经过P 点时的速度大小为v P ＝v N c o s ３０ʎ＝８q U ３m(２分)(２)粒子从N 点到P 点的运动过程中,根据动能定理有qU ２＝１２m v ２P －１２m v ２N (２分)ʌ高三物理试题参考答案㊀第４㊀页(共４页)ɔ解得U ２＝１３U (１分)(３)粒子从N 点到P 点做类平抛运动,有L ＝v N t (１分)d ＝v y２t (１分)又t a n ３０ʎ＝v yv N (２分)联立解得L d ＝２３１(２分)１５．ʌ解析ɔ(１)由动量守恒定律,得３m v ０＝(３m ＋m )v １(１分)解得v １＝３４v ０A 与C 第一次碰后向左运动的距离最大,碰后对A 应用动能定理得－μ ３m g x １＝０－１２m (k v １)２(１分)解得x １＝３k ２v ２０３２μg (２分)(２)设A 与C 第２次碰前的速度为v ２,由动量守恒定律得３m v １－m k v １＝(３m ＋m )v ２(１分)解得v ２＝３－k４v １对A 应用动量定理得－３μm g t １＝０－m k v １(１分)３μm g t ２＝m v ２(１分)又x １－v ２２t ２＝v ２t ３(１分)求A 与C 第１次与第２次碰撞之间的时间间隔为t ＝t １＋t ２＋t ３(１分)联立解得t ＝v ０μg ３＋７k ３２＋k ２６－２k éëêêùûúú(２分)(３)第２次碰后对A 应用动能定理得－μ ３m g x ２＝０－１２m (k v ２)２(１分)联立解得x ２＝k ２６μg (３－k ４)２v ２１＝３k ２v ２０３２μg (３－k ４)２(１分)同理可得x ３＝k ２６μg (３－k ４)２v ２２＝k ２６μg (３－k ４)４v ２１＝３k ２v ２０３２μg (３－k ４)４(１分)A 与C 碰后运动的总路程为S ＝２x １＋２x ２＋２x ３＋２x ４＋ (１分)联立解得S ＝３k ２v ２０１６μg １＋(３－k ４)２＋(３－k４)４＋(３－k ４)６＋ éëêêùûúú＝３k ２v ２０g μ１７－k ２＋６k (１分)若学生将答案写成S ＝３k ２v ２０[１６－(３－k )２]μg 也给分éëêêùûúú。

2024—2025学年第一学期10月质量检测试卷高三物理（答案在最后）一、本题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.有关运动与相互作用的关系，下列说法正确的是（）A.一个物体速度向东，则其受合力一定向东B.一个物体速度越大，则其受合力一定越大C.一个物体受合力为0，则其速度一定为0D.一个物体受合力越大，则其速度变化一定越快【答案】D【解析】【详解】A．如果物体向东减速运动，则其合力向西。

A错误；BC．如果物体以很高的速度做匀速运动，则其合力为零。

BC错误；D．一个物体受合力越大，根据牛顿第二定律可知，其加速度越大，即速度变化就越快。

D正确。

故选D。

2.ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。

汽车在进入ETC通道感应识别区前需要减速至5m/s，然后匀速通过感应识别区。

甲、乙两辆以15m/s的速度行驶的汽车在进入ETC通道感应识别区前都恰好减速至5m/s，减速过程的v-t图像如图所示，则（）A.t1时刻甲车的速度大于乙车的速度B.0～t1时间内甲、乙两车的平均速度相同C.0～t1时间内甲、乙两车的速度变化量相同D.t1时刻甲、乙两车距感应识别区的距离相同【答案】C【解析】【详解】A ．由图可知，t 1时刻甲车的速度等于乙车的速度，故A 错误；B ．v -t 图像与时间轴围成的面积表示位移，由图知，0～t 1时间内甲车的位移大于乙车，则0～t 1时间内甲车的平均速度大于乙车，故B 错误；C ．0时刻两车速度相同，t 1时刻甲车的速度与乙车的速度也相同，则0～t 1时间内甲、乙两车的速度变化量相同，故C 正确；D ．v -t 图像与时间轴围成的面积表示位移，由图知，甲车在2t 时刻到达识别区，乙车在3t 时刻到达识别区，而甲车在21~t t 内位移小于乙车在13~t t 内位移，说明t 1时刻甲车更靠近识别区，故D 错误。

故选C 。

3.如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N 1，球对木板的压力大小为N 2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中A.N 1始终减小，N 2始终增大B.N 1始终减小，N 2始终减小C.N 1先增大后减小，N 2始终减小D.N 1先增大后减小，N 2先减小后增大【答案】B 【解析】【详解】试题分析：对小球进行受力分析如图所示，设：板与竖直方向夹角为θ，则：2=m sin ，1=mtan ，随着板顺时针方向转动，θ越来越大，因此N 2越来越小，同样1N 也越来越小，答案B 正确．考点：共点力作用下物体的平衡，力的合力与分解4.如图所示，光滑水平桌面上木块A 、B 叠放在一起，木块B 受到一个大小为F 水平向右的力，A 、B 一起向右运动且保持相对静止。

高三数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回．4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知全集U=AvB={0,1,2,3,4,5},A^（见B)= {1,3,5}，则集合B =(）A.{1,3,5}B.{0,2,4}C.0D.{0,1,2,3,4,5}25兀25冗2.sin" �-cos —= （）1212 1-2A 五2B1-2c石D.－—3已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-f(x -y)=2f(y)，则/(0)=()A.0B.IC.2D.-14已知x>O,y>O,且－＋2y =l.则2x ＋一的最小值为（）yA.2B.4C.6 D .85设函数f(x)=ln 伬＋l)+sin.x+1,则曲线y =f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A -B . -C .－D22 3636把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是0“C ，空气的温度是0。

'C,则mun 后该物体的温度0°C 满足0=0。

+（O '飞）e 了若O 。

,0'不变，在t 1m i n ,t 2min 后该物体的温度分别为O1°C,02°C ，且O.＞仇，则下列结论正确的是（）22t t ＞＜ l l t t A BC若0'＞0。

，则t.>片若0'＜0。

，则t1< t2D若0'＞0o，则t.＜片若0'＜0o，则t1> t27已知log.,m> l(m, n > 0且m*l,n* l),m+n= e2,则（）A.(m-n，十l)e<lB.(m-n+l)">lC.lm-nl e<lD.lm-nl e>I8在c,.ABC中，AB=4,BC=6，乙ABC=90°,点P在c,.AB C内部，且乙BPC=90°,AP =2,记乙ABP=a,则tan2a=()3 24 3A.2B.3C.3D.4二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知命题p玉eR,x-l xl>x2，命题q如aE（沪），cos(¾-a)=s in（千叶，则（）A.P是真命题B勹D是真命题c.q是真命题 D ---q是真命题10已知函数f(x)=c o s(x+：），则（）A.f(x)为偶函数B.f(x)的最大值为cos2c.J(x)在(1,2)上单调递减D.f(x)在(1,20)上有6个零点11已知函数f(x)=�x, +bx'+ex,下列结论正确的是()A若x=X。

2024-2025学年度十月月度检测数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命题人：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．2.已知函数()*(2),nf x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，′≥0，可得()(2)nf x x =-是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =-，得()1(2)n f x n x --'=，则当21,n k k =+∈N 时，′≥0，()(2)nf x x =-是增函数，当1n =时，可得()f x 是增函数；当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3.函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（）A.B. C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b.【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)(3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4.已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a xa x+<<-的最小值为（）A.5B.112 C.203D.163【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=⨯=⇒=，则03,30x x <-，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1161033⎛≥+= ⎝，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等.故选：D5.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（）．A.π12x = B.π6x =C.π3x =D.5π12x =【答案】D【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合特殊值法计算得a =角公式化简得()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最后整体替换计算得到结果；【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，取0x =，可得()π300322a f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，即a =．故()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ．故选：D ．6.设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（）A.b c a >>B.a c b>> C.a b c>> D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =-<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得.【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =-，求导得()1cos 0f x x '=->，则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 2ln 27b a =>=>=，所以b a c >>.故选：D7.已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.【详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x x ωωωωω=--+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω=+-=+π24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ，当ππ22π42x m ω+=-+，m ∈Z ，0ω>,即当3ππ,8m x m ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，当1m =时，5π8x ω=为y 轴右侧第1条对称轴.因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，故由3150628k <+≤，解得11416k -<≤，k ∈Z故0k =，得32ω=．故选：C.8.定义在R上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11e xf x +>的解集是（）A.()3,+∞ B.(),3-∞ C.()1,+∞ D.(),1-∞【答案】C【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，得到()()0f x f x +'>，令()()e xg x f x =，得到()0g x '>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，又因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x +'>，令()()e x g x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，可得()()23f x f x f x ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，则()()3333[()()222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =⨯+==，所以()212e e eg =⨯=，则不等式()11e xf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>，又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >，所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞．故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列等式成立的是（）A.()21sin15cos152︒-︒=B.22sin 22.5cos 22.52︒-︒=-C.1cos28cos32cos62cos582︒︒-︒︒=-D.(3tan10cos502︒︒=-【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302︒-︒=-︒︒=-︒=，成立；B：22sin 22.5cos 22.5cos 452︒-︒=-︒=-，成立；C ：cos 28cos32cos62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=，不成立；D：(sin102sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10cos10︒-︒-︒︒-︒︒-︒=⋅︒=︒︒︒cos101cos10︒=-=-︒，不成立.故选：AB10.已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（）A.2p =B.3AF =C.t =或-D.线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l x ty =+，可知焦点1,0，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上，过F 作直线:1l x ty =+，可知1,0，则12p=，得2p =，A 选项正确；抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty --=.设1,1，2,2，由韦达定理有124y y t +=，124y y =-，2AF FB =，得122y y=-，解得12y y =-=12y y ==，124y y t=+，则4t =或4t =-，C 选项错误；则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确；12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==⨯=，B 选项正确.故选：ABD.11.已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=-上的一点，则下列选项中正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC.对任意[]01,1y ∈-，恒有012x <D.曲线C 在11y -≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x -，y -计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =-的单调性来得出300y y -的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=-，将x ，y 替换为x -，y -，所得等式与原来等价，故A 正确；B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =-均可，故B 错误；C ．由330000x x y y +=-，[]01,1y ∈-，函数3y x x =-，故213y x '=-，令2130y x '=-=，解得：13x =±，在1,3x ⎡∈--⎢⎣⎦，,13⎤⎥⎣⎦时，0'<y ，函数单调递减，在,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0'>y ，函数单调递增，所以300,99y y ⎡-∈-⎢⎣⎦，又因为()3f x x x =+是增函数，15289f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，所以有012x <，故C 正确；D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=-≥，又320002x x x +≥，32000022y y y y -≤-，所以22000x y y ≤-．曲线22x y y =-与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π12-【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，得()22cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.故答案为：π12-.13.海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30︒，距离为海里C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30︒，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=︒，903060ADB ∠=-︒=︒，所以180756045DBA ∠=︒-︒-︒=︒，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即306sin 45sin 60AD =︒︒，所以60AD =，在ADC △中，30DAC ∠=︒，所以20CD =.故答案为：14.若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，则b a -取得最大值时，sin2a b+=__________．【答案】2【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，由此可得答案.【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，即2π2sin sin cos 04m x m x x ⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭恒成立，若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x ⎛⎫=---=--=-≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k -≤≤+∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则b a -取得最大值时()7πππ,π,1212a k bk k =-=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin ,222k k a b k -+++==∈Z .故答案为：2.【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数()π4sin cos 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）()min 2f x =-，()max 1f x =【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】解：()2π314sin cos 4sin cos sin cos 2sin 622f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πcos212sin2cos212sin 21226x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，于是π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()21f x -≤≤，当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a *N ，且ABC V 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF ︒∠=，CDF θ∠=()090θ︒︒<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a =（2）12-【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值；（2）由正弦定理可得出()sin 60DF θ=+︒，()sin 150DE θ=︒-，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式化简即可求得结果.【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC V 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,所以()222(2)(4)1cos 022a a a C a a ++-+-<=<+，得24120a a --<，解得26a -<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC V 不存在，故存在4a =满足题设．所以4a =【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=︒∠=︒<<︒，所以90BDE θ∠=︒-．在CDF V 中，因为()2sin60sin 60DF θ=︒+︒，所以()3sin 60DF θ=+︒在BDE V 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=︒︒-，所以()sin 150DE θ=︒-．所以()()132sin 60sin 150S θθ=⨯+︒︒-，设()()()sin 60sin 150f θθθ=+︒︒-，()090θ︒<<︒，所以11()sin cos cos sin 2222f θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2213cos cos sin 444θθθθ+=++化简可得：()1sin 242f θθ=+所以1122S =-当45θ=︒时，S取得最小值12-18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ上的中线长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y -+-或220x y ++=（3）8【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ上中线为2得PQ ==，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅= ，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又2222,2c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k-+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅= ，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.【小问3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++所以23422,212M x x k x k +==+2(1)12M M k y k x k =-=-+所以2222(,)1212k k M k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N N k y x k k =--=+所以221(,)1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值..19.正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”；（3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案.【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾，所以集合A 不是“三元可拆集”；【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +⨯==+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +⨯=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤；当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､{}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。