2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷

2007年云南省昆明市高二年级数学竞赛复赛试题【考试时间：2007年5月13日 9:00—11:00】一、选择题本大题共7个小题，每小题6分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U R =且{}12A x x =->，{}2680B x x x =-+<，则()U C A B 等于A ．(]2,3B ．()2,3C ．[)1,4-D ．()1,4-2．设集合{}03M x x =<≤，{}02N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．矩形A B C D 中，4A B =，3B C =，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角B ACD --，则四面体A B C D 的外接球的体积为A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π4．把函数cos y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，然后再把图象向左平移4π个单位，得到新的函数图象，那么新函数的解析式为A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin 2y x =-5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a =A ．9:5B ．5:9C ．3:5D ．5:36．设()11x f x x -=+，记()()1f x f x =，若()()()1n nf x ff x +=，则()2007fx =A ．xB ．1x-C ．11x x -+ D ．11x x+-7．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有 A ．76B ．100C ．132D ．150二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在题中横线上。

7 8 9 9 4 4 6 4 732007年天河区高二数学竞赛试题2007年4月12日下午2：30—4：30一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，84.4 B ．84，6.1 C ．85，6.1 D ．85，42.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18913.动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A ）一条直线 （B ） 双曲线的右支 （C ） 抛物线 （D ） 椭圆4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

）5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.6、已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______. 7.已知02s i n 2s i n 5=α，则)1t a n ()1t a n (00-+αα的值是_______________________.8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 另一个端点N 在底面ABCD∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.9. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.10．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 三、解答题：（本大题共5小题，共90分。

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33x x ++=-+.令31log x t +=，则1433t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31l o g 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =,25AP AD BC =+，则APD ABCSS =△△ ( ) A.310 B. 25 C. 715 D. 815解 连PD ，则25DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABC AD DP ADP S S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.2 B.2- C. 12 D. 12-解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=-=-= 故选（B ）.4. 已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )A.724 B. 316 C. 748 D. 1148解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .因为1111223S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，所以113BM B M =，故113,44BM B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯-⨯-⨯=所以1173348V S AO =⋅==11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A.521. B. 27. C. 13 D. 821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.CA C 1因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）. 6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231kx +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n+为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2007年广西高二数学竞赛初赛试卷一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）25 （D ）102、已知)2csc(,βαβα-满足、αcsc 、)2csc(βα+构成公差不为0的等差数列，则βαcos sin 的值为（ ）（A ）1± （B ）2±（C ）3±（D ）2±3、过点)0,2007(的所有直线中，过两个有理点（纵坐标与横坐标都是有理数的点）的直线条数是（ ）（A ）0条 （B ）无数条 （C ）至少1条 （D ）有且仅有1条 4、等比数列{a n }中，首项20071=a ，公比21-=q ，记n T 为它的前n 项之积，则n T 最大时，n 的值为（ ）（A ）9 （B ）11 （C ）12 （D ）13 5、关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（ ）（A ）16 （B ）24 （C ）32 （D ）48 6、二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a值范围是（ ）（A ）01<≤-a （B ）1->a （C ）01<<-a （D ）1-≤a 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、化简：=+31arctan2cot arc 。

2、设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，外心、垂心分别为O 、H 。

那么→→→→-++OH OC OB OA = 。

3、已知函数b x a x x f +++=)1()(2满足：（1）3)3(=f ；（2）对任何实数x 都有x x f ≥)(，则)(x f 的解析式为 。

4、R k ∈，方程0322224=-++-k k kx x 的实数x 的取值范围是 。

2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。

2007年山东省滕州一中高二数学竞赛选拔试题考生注意：1、本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一．选择题（本题满分60分，每小题6分）（1）数集{x ，x 2－x }中x 的取值范围是(A)(－∞，＋∞)(B)(－∞，0)∪(0，＋∞) (C)(－∞，2)∪(2，＋∞)(D)(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)答案：D （2）使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 (A)36- (B)3(C)36+ (D)6 答案：D（3）已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则下面关于a ，b ，c 符号判断正确的是(A)a ＞0，b ＜0，c ＜0(B)a ＞0，b ＞0，c ＞0 (C)a ＜0，b ＜0，c ＞0(D) a ＜0，b ＞0，c ＜0 答案：B（4）函数y ＝cos 4x ＋sin 2x 的最小正周期为(A)4π(B)2π(C)π (D)2π答案：B（5）当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )满足2 f (－sin x )＋3 f (sin x )＝sin2x ，则f (x )是 (A)奇函数(B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既奇又偶函数 答案：A（6）若实数x ，y 满足(x +5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）2答案：B（7）等差数列的前p 项之和为q ，（p ，q 为不相等的正整数），前q 项之和为p ，则这个数列的前q p +项之和为（A ）q p + （B ）q p - （C ）q p +- （D ）q p --答案：D（8）正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是：它的底面边长与侧棱长的比为（A ）1:3 （B ）3:1 （C ）1:2 （D ）2:1答案：C（9）△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线交此圆于A 1、B 1、C 1三点，则C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值是 （A ）2（B ） 4 （C ） 6 （D ） 8答案：A （10）点P 在双曲线x 2－y 2＝a 2的右支上，A 1、A 2分别为双曲线的左、右顶点，且∠A 2P A 1＝2∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2为(A)30°(B)27．5° (C)25° (D)22．5°答案：D 二．填空题（本题满分24分，每小题6分）（11）数列{a n }满足S n ＝n 2a n ，若有a 1＝1003，则a 2005的值为_________________． 答案：20051 （12）f (x )是定义在(0,+∞)上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则实数a 的取值范围是_____________． 答案：)5,1()31,0(（13）过双曲线的左焦点1F 且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若在双曲线的虚轴所在的直线上存在一点C ，使︒=∠90ACB ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ． 答案：（14）已知集合}10000,,2|{≤≤∈==n N n x x M n ，把M 中最高位数字是1的数全部抽取出来，组成一个新的集合N ，则N 中元素的个数共有 个（取30103.02lg =）． 答案：302215+≥e三．解答题（本大题共5小题，满分66分）（15）（满分12分）若函数)1(,3)(23-≥-+=a x bx ax x f 为R 上的单调函数，求点),(a b 组成的集合在直角坐标平面bOa 上所成图形的面积．（16）（满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24,E 、F 分别为PC 、CD 的中点．（Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF ；（Ⅱ）设P A ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围．解析：（I ）证：由已知//DF AB =且DAB ∠为直角．故ABFD是矩形．从而CD BF ⊥．又PB ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知.CD PD ⊥ D PDC 中,E 、F 分别为PC 、CD 的中点，故EF//PD,从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF ．（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在PAC 中易知EG//PA ．又因PA ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD ．在底面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ．垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD ．从而EHG ∠为二面角E －BD －C 的平面角． 设1122AB PAC EG PA k αα===则在中，有 以下计算GH ，考虑底面的平面图．连结GD ，因1122CBD S BD GH GB DF =⋅=⋅故GH ＝GB DFBD ⋅．在.2.ABD AB a AD a BD ==中，因得．而11,22GB FB AD a ===,5GB AB DF AB GH BD ⋅===从而得．因此，1tan 2ka EG EHG GH ===．由0k >知EHG ∠是锐角．故要使 EHG ∠30︒>tan 30︒>=，解之得，中的取值范围为k > （17）已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().f f x x x f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式22222)() 2)(2)222322,(1)1f(0)=a,f(00)00,()x f x x x f f a a f a a ∈+=-++=-++=-+=-+=-+=222解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x 所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)(())().() ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x ∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1 若=0，则，即202202 0()1,() 1. () 1 ()xx x x x x f x x x f x x x f x x x x R --=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。

1． 若函数()21x f x x =+且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】110【解析】()()()121x f x f x x ==+，()()()2212x fx f f x x ==⎡⎤⎣⎦+，……，()()992199x fx x =+．故()()991110f=． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36，【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++ 【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++ 4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a b a b +【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，． 由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OPOQ+=+． F ED CB AO yx于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b+． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k <或4k = 【解析】 当且仅当 0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩，所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d = (ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯=……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+ 故981001012a =⨯． 二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② …………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 ()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++． 特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212nn a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得121A A ==．故 ()1nn a n α=+．…………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n nn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得 12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故 1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为 ()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………5分又由柯西不等式得()222713y x x x=+++- ()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-=⎪⎝⎭≤所以11y ≤． …………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．……………………………………15分一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，ITQPNMCBA求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =． 于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1sin 2PN NT PMT =⋅∠于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，I 2I 1ABCMNPQ TI所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠． 因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．二、求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x =+-+．则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n =-<+ 因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k kn k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n =-+>-． 三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C km 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由1!C ()k kmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i tl k =≡+∏1ki i =≡∏ ()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C k m p k α且1α+p／∣!C k m k ．从而p ／∣C k m ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由 1!C ()==-+∏k kmi k m k i 21[((!)]k i i tl k =≡+∏ 1ki i =≡∏ ()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p ／∣C km ． 若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!pk α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏ 21[((!)]ki i tl k =≡+∏ 1k i i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C kmp k α且1α+p／∣!C km k ．从而p ／∣C k m．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---12(2)2x x≥⋅⋅--2=，当且仅当122x x =--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ）[解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =-+，22424a a x =++， 故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a -+≥-且24424a a ++<， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． [解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564ab c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394ca b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a=，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a=无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =． 若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） [解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)nn n n f x a x aaa b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3)22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-， 故2112122a a ---=-，解得23a =-+，23a =--(舍去)． 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)nn n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，答12图1答12图2所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111P O A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心． 因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅ 111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则 222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 2262PM PP MPP r r =⋅=⋅=，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223((26))4a a r =--23263ar r =-． 又1r =，46a =，所以124363183PAB PEF S S ∆∆-=-=． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分 由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=．…10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= …15分 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式:121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ．即 1210864353210+++--<x x x x x ． …5分 分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210++-<x x ，864242(241)(1)0+++++-<x x x x x x ，…10分所以 4210+-<x x ，221515()()022---+--<x x ． …15分 所以2152-+<x ，即152-+-<152-+<x ． 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ． …5分即6422232262133122(1)2(1)+>+++++=+++x x x x x x x x， )1(2)1()1(2)1(232232+++>+x x xx ， …10分答15图令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)>+g g x x， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211>+x x， …15分 即222()10+-<x x ，解得2512-<x 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >． 直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=． 又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--2448≥+=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分 一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32AE AB =，31BC EC =-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记E C B α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3s i n 32s i n 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得 231sin cos 22EAC EAC -∠=∠， 故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，………40分从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=，5BD =．故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在圆O 外，故0P 在BD上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A BC S ∆=答一图1111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=， 记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin)4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠， 整理得231s i n c o s 22EAC EAC -∠=∠，故1t a n 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，…40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，2AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在⊙O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，1112212cos1355B C BD ==+-⋅⋅︒=，故52λ=，所以 min 5()21102f P =⋅⋅=． …50分 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期．…10分又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．…20分（Ⅱ）若T 是无理数，令 111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令 21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ………30分 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k kk a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分） 设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n kn kk n k k k x x a xa x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n kn k k x x a xx -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． …10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()kk b aa x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811kk a=>∑． …20分充分性：假设200811kk a=>∑．定义多项式函数如下：20081()1kk k f s a s==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．…30分 下取数列{}n x 为01nk n k x s==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nk nk s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a ss a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ）解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷一 选择题1.已知集合A ={x|x 2−x −2<0,x ∈R }， B ={x| x 2−1≥0,x ∈R }，则A ∩B ＝（ ）A. {x|-1<x <2}B. {x|x ≤−1, or 1≤x <2}C. {x|1<x <2}D. {x|1≤x <2} 2. 当)4,0(π∈x 时，下面四个函数中最大的是（ ）。

A. sin(cos x) B. sin(sin x) C. cos(sin x) D. cos(cos x) 3. 已知椭圆1422=+y x 上一点Ａ到左焦点的距离为3，则点Ａ到直线334=x 的距离为（ ）A. 2B.3)332(2- C.3)334(2- D.3334-4.设非常值函数f (x) (x ∈R)是一个偶函数，它的函数图像y= f(x)关于直线22=x 对称，则该函数是 （ ）A. 非周期函数B.周期为22的周期函数C. 周期为22 的周期函数D. 周期为2 的周期函数5. 如果64log 9log 2log 1)(32x x xx f -+-=，则使f(x)<0的x 的取值范围为（ ）A.0<x<1B.381<<xC.+∞<<x 1D.+∞<<x 386. 设f (x )=min {2x +4,x 2+1,5−3x }，则max f (x ) = （ ）A. １B. ２ Ｃ. ３ D. ４ 二、填空题7. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。

若23=+-OC OB OA =______.8. 已知数列1},{1=aa n，前ｎ项部分和S n满足1112---=-n n n n n n S S S S S S ，则a n=_______。

9.方程x x x x 116cos sin 16+=ππ的解集合为_________ 。

2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。

11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。