中考数学相似三角形复习同步检测(24)姓名

备战中考数学（浙教版）巩固复习相似三角形（含解析）一、单选题1.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.１∶2.如图，△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=A D，则△ABC与△DEF的面积比是（）A.1：6B.1：5C.1：4D.1：23.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A. B.C.D.4.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶15.下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。

A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A.1︰2B.1︰3C.1︰D.2︰37.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是()A.1250km B. 125km C.12.5km D.1.25km8.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A.=B.=C.=D.=9.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，同时边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A.12mB.13.5mC.15D.16.5 m10.如图，小明把一个边长为10的正方形DEFG剪纸贴在△ABC纸片上，其中AB=AC=26，BC=20，正方形的顶点D，G分别在边AB、AC上，且AD=AG，点E、F在△ABC内部，则点E到BC的距离为（）A.1B.2C.D.11.如图所示，图中共有相似三角形（）A.5对B.4对C.3对D.2对二、填空题12.已知△ABC∽△A1B1C1 ，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1 = ________．13.假如在比例尺为1∶1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3. 4厘米，那么A、B两地的实际距离是________千米．14.把一个正多边形放大到原先的2.5倍，则原图与新图的相似比为___ _____15.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC___ _____．16.如图，G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，交AB、AC，分别于D、E两点,若△ADE的面积为5，则四边形BDEC的面积为______ __．17.假如=，那么=________18.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长是________．19.如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论：①∠ACP=15°；②△APE是等腰三角形；③AE2=PE•AB；④△APC的面积为S1 ，正方形ABCD的面积为S2 ，则S1：S2=1：4．其中正确的是________（把正确的序号填在横线上）．20.把一个多边形的面积扩大为原先的3倍，且与原先的多边形相似，则其周长扩大为原先的________倍．三、解答题21.要测量旗杆高CD ，在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1. 5m．求旗杆的高度．22.如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．四、综合题23.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O动身．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A动身，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时刻为t 秒（t＞0）．（1）当t=3秒时，直截了当写出点N的坐标；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，要求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？24.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与A E交于点F，且．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若，求证：．25.已知线段a、b、c满足，且．（1）求a、b、c的值；| |（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】本题可依照相似三角形的性质求解，相似三角形的周长比等于相似比．【解答】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．【点评】本题要紧考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．2.【答案】C【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．【分析】由△ABC通过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，依照位似图形的性质，即可得AC∥DF，即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后依照相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DE F的面积比．3.【答案】D【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵，∴DE∥BC，选项C不符合题意；，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．【分析】依照平行线分线段成比例定理对各个选项进行判定即可．4.【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故答案为：C．【分析】依照相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案。

专题24 二次函数与相似三角形存在问题1．（2021—2022浙江省宁波市九年级开学考试）如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．2．（2021·云南腾冲·中考一模）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点()2,0A -和点()4,0B ，与y 交于点C ，顶点为D ，连接AC 、BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是第一象限抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当四边形OBPC 面积取最大值时，求点P 的坐标；（3）点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2021·浙江诸暨·九年级期末）如图，已知Rt ABC 中，30BAC ∠=︒，90C ∠=︒，A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(3,0)，抛物线1y 的顶点记为Q ，且经过ABC 的三个顶点A 、B 、C （点A 在点B 左侧，点C 在x 轴下方）．抛物线2y 也交x 轴于点A 、B ，其顶点为P ．（1）求C 点的坐标和抛物线1y 的顶点Q 的坐标． （2）当AP CP +的值最小时，求抛物线2y 的解析式．（3）设点M 是抛物线1y 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若PQM 是与ABC 相似的三角形，求抛物线2y 的顶点P 的坐标．4．（2020—2021湖南长郡中学九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为A 、B ，与y 轴相交于点C ，点A （2-，0），4BO AO =，连接BC ，tan ∠OCB =2．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C 、B 重合），过点P 做PD ⊥BC ，垂足为点D ．①点P 在运动过程中，线段PD 的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；②以P 、D 、C 为顶点的三角形与△COA 相似时，求出点P 的坐标．5．（2021·山东临沭·九年级期末）如图，已知抛物线24y ax bx =++与x 轴交于(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为D ，连接BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的表达式并写出该抛物线的对称轴；（2）在直线BC 上方的抛物线上找一点P ，使得PBC ∆的面积最大，求出此时点P 的坐标； （3）点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M N E 、、为顶点的三角形与OBC ∆相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·湖南·长沙市九年级期中）如图，已知抛物线26y ax bx =++经过两点(1,0)A -，(3,0)B ，C 是抛物线与y 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP 与x 轴交于点Q ，当BQC BCO ∠=∠时，求此时P 点坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得90CNM ∠=︒，且CMN ∆与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．7．（2021·广东·佛山市九年级期末）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．点D 是直线BC 上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD 、CD ，设点D 的横坐标为m ，BCD △的面积为s ．求s 与m 的函数关系式，并求出s 的最大值；（3）如图2，点E 坐标为()20,，过点D 作DF BC ⊥于F ，连接CD 、CE ，是否存在点D ，使得CDF 与CEO 相似？若存在，请直接写出点D 的坐标：若不存在，请说明理由．8．（2021·云南·昆明市九年级月考）如图1，已知二次函数()241y x b b =--++的图象与一次函数5y kx =+的图象相交于点A ，B ，其中点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴上，点M 为二次函数图象的顶点． （1）求点M 的坐标及k 的值；（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式25()41kx x b b +≤--++的解集______；（3）如图2，抛物线对称轴为直线x b =与直线AB 交于C ，在直线AB 上是否存在点P ，使得点M 、C 、P 组成的三角形与AOB ∆与相似，若存在，请求出满足条件的所有点P 坐标；若不存在，说明理由．9．（2021·江苏·景山中学九年级月考）如图1，二次函数214y x x =-+的图像与x 轴交于点O 、点A ，顶点为B ， 点M 、N 的坐标分别为（0 ，m ）、（0 ，n ）． （1）求点B 的坐标．（2）如图2，将函数图像在y 轴左侧部分沿x 轴翻折，图像其余部分保持不变，得到的新图像记为G ．①过点M 作y 轴的垂线l ，当m 时，直线l 与图像G 有且只有两个交点． ②请求出翻折后图像的函数关系式．（3）如图3，点Q 是第二象限内图像上的动点，当m ＞1 ，n ＜0，且∠QMB ＝90°时，是否存在点M ，使得△QMB 与△ABN 相似．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2021·广东·深圳市中考模拟预测）如图，二次函数()2680y ax ax a =-+≠的图象经过点A ，B ，C 三点，且4OB OC OA ==，点D 在抛物线上，//CD x 轴．（1）请求出抛物线的解析式． （2）点P 为y 轴右侧抛物线上一点．①如图①，若OP 平分COD ∠，OP 交CD 于点E ，求点P 的坐标．②如图②，抛物线上一点F 的横坐标为2，直线CF 交x 轴于点G ，过点P 作直线CF 的垂线，垂足为Q ，若PCQ CGO ∽△△，求点Q 的坐标．11．（2021·湖南宁乡·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线:2l y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线2y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为(6,)C n ．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线上位于,B C 之间的一动点（不与点,B C 重合），设点P 的横坐标为,a 当a 为何值时，∆APC 的面积最大，并求出其最大值；（3）在y 轴上是否存在点M ，使以点,,B M C 为顶点的三角形与∆BAO 相似？若存在，直接写出点M 的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．12．（2021·辽宁丹东·中考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线232y ax x c =-+()0a ≠与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为()40-，，与y 轴交于点C ，且C 点坐标为()02，． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为第二象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，当线段CD CF =时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线上点A 与点D 之间有一点P （包括A 、D 两点），在线段EA 上是否存在点Q ，使得以P 、Q 、E 为顶点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）设过点C 的射线与CA 的夹角为α，且1tan 3α=，请直接写出该射线与抛物线的交点M 的坐标．13．（2021·山东阳谷·中考一模）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，且B 点坐标为()0,4，以点A 为顶点的抛物线解析式为()22y x =-+．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB 平移，此时抛物线顶点记为C ，与y 轴交点记为D ，当点C 的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以点B ，D ，P 为顶点的三角形与AOB 相似，若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学一轮复习基础训练（相似三角形）班级 姓名 学号 成绩一、选择题（每题4分，共28分）1.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A 1B 1C 1相似的是（ ）A ．BC ．D ．2.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上，DE △BC ，M 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)连接AM 交DE 于点N ，则 （ ） A .AE AN AN AD = B .CEMNMN BD = C .MC NE BM DN = D .BMNE MC DN =第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3.如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且△CAD =△B . 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2a B .2.5a C .3a D .3.5a4.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）A ．61B ．31C ．51D ．41 5.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，点O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于 E ，则BE △EC =（ ）A . 1△2B . 1△3C . 1△4D . 2△36.如图， ABCD 中,点F 为BC 的中点,延长AD 至E ,使DE :AD =1:3,连接EF 交DC 于点G ,则S △DEG :S △CFG =（ ）A .2:3B .3:2C .9:4D .4:9第6题图 第7题图 第12题图 第13题图7.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'=1,则A'D 等于（ ）A .2B .3C .4D .32 二、填空题（每空4分，共36分） N EAB C D M B A CD8.若23=+x y x ，则xy = ． 9.在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．10.在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （5，0），以点O 为位似中心，相似比为1:2，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为 .11.若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为 .12.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠ADE =∠ACB ，若AD =2，AB =6，AC =4，则AE 的长是 .13.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 等于 .14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .第14题图 第15题图 第16题图15.如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC =1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 .16.如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，AD △AB 且AD =AB =2，过点D 作DE △AD ，DE 交AC 于点E ．若DE =1，则△ABC 的面积为 .三、解答题（17至19题每题8分，20题12分，共36分）17.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O 、A 、B 、C 、D 在同一条直线上），测得AC =2m ，BD =2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．第17题图18.如图，△ABD =△BCD =90°，DB 平分△ADC ，过点B 作BM △CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2 =AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．第18题图19.如图，Rt△ABC 中，△ACB =90°，以AC 为直径的△O 交AB 于点D 过点D 作△O 的切线交BC 于点E ，连接OE .（1）求证：△DBE 是等腰三角形；（2）求证：△COE △△CA B.第19题图 20.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABD ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF ．（1）如图1，若AD =BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ，求证：BD =2DO ．（2）已知点G 为AF 的中点．如图2，若AD =BD ，CE =2，求DG 的长．第20题图E B 图图2图1G F AB (E)CD E。

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（ ）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（ ）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（ ）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（ ） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（ ）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为 ．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为 ．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为 ．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为 ；CF 的长为 ．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为 ．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。

专题24相似三角形判定与性质1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，：S△CBF＝（）2＝4：25；∴S△AEF②当AE：ED＝3：2时，：S△CBF＝（）2＝9：25。

中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023·辽宁抚顺)下列各组图形不是相似图形的是( ) A. B. C. D.2. (2023·辽宁葫芦岛)如图,12∠=∠,那么添加一个条件后,仍不能判定ABC 与△ADE 相似的是( )A.C ADE ∠=∠B.B D ∠=∠C. AB BC AD DE =D. AB AC AD AE= 3. (2023·福建三明)如图 DE BC ∥ :3:2BD CE = 9AD = 则AE 的长为( )A.3B.4C.6D.94. (2023·福建三明)如图 在ABC 中 DE BC ∥23AD DB = 10AC = 则AE 的长为( )A.103B.4C.6D.203 5. (2023·河北唐山)如图 将Rt △ABC 平移到△A'B'C'的位置 其中∠C ＝90°使得点C'与△ABC 的内心重合 已知AC ＝4 BC ＝3 则阴影部分的面积为( )A.25 B.2425 C.52 D.25246. (2023·辽宁葫芦岛)如图 ABC 中 90ABC ∠=︒ AB BC = AF BC ∥ 点D 在线段AC 上运动 DE AC ⊥交射线AF 于点E 连接BD CE 设线段BD 的长为x 线段CE 的长为y 则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.7. (2023·辽宁沈阳)如图 以点O 为位似中心 作四边形ABCD 的位似图形A B C D '''' 已知 若四边形ABCD 的面积是2 则四边形A B C D ''''的面积是( )A.4B.6C.16D.188. (2023·河北张家口)古代的“矩”是指包含直角的作图工具 如图1 用“矩”测量远处两点间距离的方法是:把矩按图2平放在地面上 人眼从矩的一端A 望点B 使视线刚好通过点E 量出AC 长 即可算得BC 之间的距离.若4cm a = 5cm b = 20m AC = 则BC =( )A.15mB.16mC.18mD.20m9. (2023·河北邯郸)一种燕尾夹如图1所示 图2是在闭合状态时的示意图 图3是在打开状态时的示意图(此时AB CD ) 相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态 点B D 之间的距离减少了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10. (2023·河北邢台)题目:“如图 在矩形ABCD 中 9AB = 15BC = P Q 分别是BC CD ，上的点.”张老师要求添加条件后 编制一道题目 并解决 甲 乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )甲:若4CQ = 则在BC 上存在2个点P 使ABP 与PCQ △相似;乙:若AP PQ ⊥ 则CQ 的最大值为254A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲 乙都对D.甲 乙都错二 填空题（本大题共10道小题）11. (2021·湘潭)如图 在△ABC 中 点D E 分别为边AB AC 上的点 试添加一个条件: 使得△ADE 与△ABC 相似.(任意写出一个满足条件的即可)12. (2023·辽宁抚顺)如图 AB CD EF ∥∥ 直线1l 2l 与这三条平行线分别交于点A C E 和点B D F .已知3AC = 8AE = 4DF = 则BD 的长为______.13. (2023·辽宁葫芦岛)如图 已知点(62)(1,1)E F ---，，以点O 为位似中心 按1:2的比例把EFO △缩小 则点E 的对应点的坐标为___________14. (2023·福建泉州)如图 AB AC 、是O 的弦(不是直径) 将AB 沿AB 翻折交AC 于点D .若AB AC = AD BD = 则AD CD＝_______.15. (2021·营口)如图 DE 是△ABC 的中位线 F 为DE 中点 连结AF 并延长交BC 于点G.若S △EFG ＝1 则S △ABC ＝ .16. (2023·辽宁朝阳)如图 在某校的2022年新年晚会中 舞台AB 的长为20米 主持人站在点C 处自然得体 已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点 则此时主持人与点A 的距离为_____米.17. (2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图 某小区门口的栏杆短臂1AO m = 长臂12OB m =.当短臂端点高度下降0.5AC m = 则长臂端点高度上升BD 等于___________m(栏杆的宽度忽略不计);18. (2023·辽宁本溪)如图 菱形ABCD 的边长为2 =60B ∠︒ 点E 在线段DC 的延长线上 将射线AE 绕点A 逆时针旋转60︒交BC 的延长线于点F 设CE x CF y ==， 则y 与x 之间的函数关系式的为______.19. (2023·辽宁锦州)如图 在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =;将ABC ∠绕点A 逆时针旋转 使点C 恰好落在AD 延长线上的点F 处 此时点B 落在点E 处 EF 交CD 于点G 则FG =______.20. (2023·河北秦皇岛)如图1 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 10AB = 6AC =.动点P Q 从点A 同时出发 点P 以每秒5个单位的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以每秒6个单位的速度沿边AC 向终点C 匀速运动 连接PQ 以PQ 为边作正方形PQMN 使得点M C 始终在PQ 的同侧.设点P 运动的时间为t 秒.(1)线段AQ 的垂直平分线________点P (填“经过”或“不经过”);(2)PQ =________(用含t 的式子表示);(3)如图2 当点M 落在边BC 上时 t =________.三 解答题（本大题共10道小题）21. (2023·福建泉州)如图 在矩形ABCD 中 点E 在边BC 上 AF DE ⊥ 垂足为F 4=AD 2CE = 210DE = 求DF 的长.22. (2023·福建龙岩)如图 在△ABC 中 ∠C=90° 点D 在线段AC 上 且CD=2AD.求作DE ⊥AC 于点D 且DE 交AB 于点E;并求出DE BC的值.(要求:尺规作图保留作图痕迹 不写作法)23. (2023·福建宁德)如图 已知ABC 内接于O BC 是O 的直径.(1)尺规作图:确定点D E 的位置 使得点D 是弧AC 的中点 ∥DE AC 交直线BC 于点E;(保留作图痕迹 不写作法)(2)在(1)的条件下 求证:DE 是O 的切线;(3)连接BD 交AC 于点F 若6AB = 10BC = 求DF 的长.24. (2023·河北唐山)如图 AB 是⊙O 的直径 AC 是弦 直线EF 经过点C AD ⊥EF 于点D ∠DAC=∠BAC(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)求证:AC 2=AD ·AB;(3)若⊙O 的半径为2 ∠ACD=30° 求图中阴影部分的面积.25. (2023·福建福州)在ABC 中 8BC = 两条高AD BE 交于点H F 是CH 的中点 连接AF 并延长交边BC 于点G.(1)如图1 若ABC 是等边三角形.①求证:2AH DH =;②求CG 的长.(2)如图2 若AH DH = CG BD = 求ABC 的面积.26. (2021·金华)如图1是一种利用镜面反射 放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜 BC 与刻度尺边MN 的交点为D 从A 点发出的光束经平面镜P 反射后 在MN 上形成一个光点E.已知AB ⊥BC MN ⊥BC AB ＝6.5 BP ＝4 PD ＝8.(1)ED 的长为 ;(2)将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC ′(如图2) 点P 的对应点为P ′ BC ′与MN 的交点为D ′ 从A 点发出的光束经平面镜P ′反射后 在MN 上的光点为E ′.若DD ′＝5 则求EE ′的长．27. (2023·福建福州)如图(1) 等腰三角形ABC 中 5BC = 3AB AC ==.点D E 分别在AB AC 上 DE BC ∥.(1)操作发现:将图(1)中的ADE 绕点A 逆时针旋转 当点D 落在BC 边上时 DE 交AC 于点M 如图(2).发现:⋅=⋅AB CM BD CD .请证明这个结论.(2)实践探究:将图(1)中的ADE 绕点A 顺时针旋转(90BAD ∠>︒) 当D E C 三点在同一条直线上时 连接BD 如图(3).请解答以下问题:①求证:△≌△ADB AEC ;②探究线段AD BD CD 之间的数量关系 并说明理由.28. (2023·福建三明)在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线22y ax ax c =++与x轴交于点A B 与y 轴交于点C 点A 的坐标为()2,0 点53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上.(1)求抛物线的表达式;(2)如图① 点P 在y 轴上 且点P 在点C 的下方 若45PDC ∠=︒ 求点P 的坐标;(3)如图② E 为线段CD 上的动点 射线OE 与线段AD 交于点M 与抛物线交于点N 求MN OM的最大值.29. (2023·河北邢台)如图1 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ ,D E 分别为边,AB AC 上的点 且DE BC ∥.已知10BC = 32AD DB =.(1)DE 的长为______;ADE 与ABC 的周长比为______;(2)将ADE 绕点A 旋转 连接,BD CE .①当ADE 旋转至图2所示的位置时 求证:ABD ACE ∽△△; ②如图3 当ADE 旋转至点D 在BC 上时 AD BC ⊥ 直接．．写出AB 及EC 的长.30. (2023·辽宁锦州)【问题情境】如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = D E 是AB 上的两个动点 且AD BE = 连接CD CE .(1)【初步尝试】ACD ∠与BCE ∠之间的数量关系__________;(2)【深入探究】如图2 点F 在边BC 上 且DF DC = CE 与DF 相交于点G. ①求证:DF CE ⊥;②探究线段CF 与BE 之间的数量关系 并说明理由;(3)【拓展应用】如图3 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 点D E 分别在线段AB 两侧的延长线上 且AD BE = 连接CD CE .点F 在边BC 的延长线上 且DF DC = EC 的延长线与DF 相交于点G.若3AC = 2AD 请直接写出CG 的长度.答案一 选择题（本大题共10道小题）1. B2. C3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. B10. B二 填空题（本大题共10道小题）11. ∠ADE ＝∠C(答案不唯一) 12. 12513. ()31-，或()31-， 51+ 15. 24 16. ()105117. 6 18. 4y x= 19. 54/114/1.25 20. 经过 5t 35三 解答题（本大题共10道小题）21. 2105 【详解】解:四边形ABCD 是矩形 ∴90DCE ∠=︒ AD BC ∥∴ADF DEC ∠=∠.AF DE ⊥∴90AFD ∠=︒ ∴AFD DCE ∠=∠ ∴AFD DCE △∽△∴DF AD CE DE=. 又4=AD 2CE = 210DE =∴42210DF = ∴2105DF =. 22. 作图见解析;31DE BC = 【详解】如图所示:∵∠C=90° DE ⊥AC ∴DE ∥BC∴DE AD BC AC =∵CD=2AD ∴13DE AD BC AC ==. 23. (1)见解析(2)见解析(3)5DF =【详解】(1)解:正确作出图形.(如图所示)∴如图所示 点D 点E 就是所求作的点.(2)证明:如下图所示 连接OA 设OD 交AC 于点M.∵点D 是弧AC 的中点∴弧AD 等于弧DC .∴AOD COD ∠=∠.∵OA OC =∴OD AC ⊥.90OMC ∴∠=︒ M 是AC 中点.∥DE AC90ODE OMC ∴∠=∠=︒ OD 是O 的半径∴DE 是O 的切线.(3)证明:如下图所示=6AB 10BC = 90A ︒∠= 根据勾股定理 得 228AC BC AB =-=.90OMC ∠=︒ 90A ︒∠=OD AB ∴∥.∵点O 是BC 的中点 点M 是AC 的中点132OM AB ∴== 142AM AC == ABF MDF ∠=∠ 90A FMD ︒∠=∠=.ABF MDF ∴∽.MF MD AF AB∴=. 2163MF AF ∴==. 114MF AM ∴==. 在Rt DMF △中 根据勾股定理 得2222215DF MD FM =+=+=.24. (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)33223π-. 【详解】解:(1)证明:连接OC∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA.∵∠DAC=∠BAC ∴∠OCA=∠DAC.∴OC ∥AD. ∵AD ⊥EF ∴OC ⊥EF.∵OC 为半径 ∴EF 是⊙O 的切线.(2)证明:∵AB 为⊙O 直径 AD ⊥EF∴∠BCA=∠ADC=90°.∵∠DAC=∠BAC ∴△ACB ∽△ADC.∴AD AC AC AB=. ∴AC 2=AD •AB.(3)∵∠ACD=30° ∠OCD=90° ∴∠OCA=60°.∵OC=OA∴△OAC 是等边三角形.∴AC=OA=OC=2 ∠AOC=60°.∵在Rt △ACD 中 AD=12AC=1.由勾股定理得3∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×(2+1)×3﹣260233236023ππ⋅⋅=-. 25. (1)①见解析;②85;(2)86. 【详解】(1)①证明:AD BE 是等边三角形ABC 的高 60ABC BAC ∴∠=∠=︒ 90ADB ∠=︒ AD BE 分别平分BAC ∠和ABC ∠ 30HBA HAB HBD ∠∠∠∴===︒BH AH ∴= 12DH BH = 2AH DH ∴=;②解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= 2AH DH = F 是CH 的中点23AH AD ∴= 1HF CF = 23HK DG ∴= 1HK CG= 23CG DG ∴= AD BC ⊥ 等边三角形ABC 的边长为84CD ∴=2855CG CD ∴==; (2)解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= ∵F 是CH 的中点∴HK CG =AH DH =22AD DH AH ∴==2DG HK ∴=.CG BD =HK BD ∴=2DG BD ∴=.8BC =2BD CG ∴== 4DG = 6CD ∴=.90ADB BEA ∠∠︒== BHD AHE ∠=∠HBD DAC ∠∠∴= BDH ADC ∴△∽△BD HD AD CD ∴= 即1226ADAD =26AD ∴=1862ABC S BC AD ∴=⋅=△26. 13 11.527. (1)见解析(2)(1)见解析;(2)53BD CD AD -= 理由见解析【详解】(1)解:在图(1)中DE BC ∥ B ADE ∴∠=∠;在图(2)中 根据旋转的性质B ADE ∴∠=∠ ADC ADE MDC ∠=∠+∠ ADC B BAD ∠=∠+∠ MDC BAD ∴∠=∠ AB AC = B C ∴∠=∠ ABD DCM ∴∽ ∴AB BDDC CM =∴⋅=⋅AB CM BD CD ;(2))①在图(1)中DE BC ∥ ADAEAB AC ∴=AB AC = AD AE ∴=DAE BAC ∠=∠∴在图(3)中 DAE CAD BAC CAD ∠+∠=∠+∠ DAB EAC ∴∠=∠ 在ADB 和AEC 中AD AEDAB EAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADB AEC ≌ ②53BD CD AD -= 理由如下ADB AEC ≌BD CE ∴=35AD AB DE BC ==53DE AD ∴=BD CD CE CD DE -=-=∴53BD CD AD -=.28. (1)2142y x x =--+(2)30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)258【详解】(1)解:∵点()2,0A 53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上∴4405962a a c a a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.(2)解法一:如图 过点P 作PE PD ⊥交DC 的延长线于点E 过点P 作x 轴的平行线FG过点D 作DF PF ⊥于点F 过点E 作EG PF ⊥于点G∴90DPE ∠=︒ 90DFP PGE ∠=∠=︒又∵45PDC ∠=︒∴PDE △为等腰直角三角形 PE PD =设点P 坐标为()0,m∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴52DF m =- 3PF = ∵DF PF ⊥ EG PG ⊥又∵90DPE ∠=︒∴90FDP DPF ︒∠+∠= 90EPG DPF ︒∠+∠=∴FDP EPG ∠=∠在DFP △和PGE 中DFP PGE FDP GPE DP PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS DFP PGE △≌△ ∴52PG DF m ==- 3EG PF == ∴5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点当0x =时 4y =∴()0,4C又∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设直线CD 的表达式为y kx b =+ ∴4532b k b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得:124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CD 的表达式为142y x =+ 把5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入142y x =+ 得:154322m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭解得:32m = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法二:把CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CF 连接DF ∴CDF 为等腰直角三角形 CD CF = 45CDF ∠=︒ ∴DF 与y 轴的交点即为P 点作DG y ⊥轴于G 作FH y ⊥轴于H∴90DGC CHF ︒∠=∠=∴90DCG CDG ∠+∠=∵90DCF ∠=∴90DCG HCF ∠+∠=∴CDG HCF ∠=∠.在CDG 和FCH 中DGC CHF CDG FCH CDG FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS CDG FCH △≌△∴GC HF = DG CH =∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴3DG = 53422CG =-= ∴32HF CG == 3CH DG == ∴431OH =-=∴F 坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CF 的表达式为11b y k x =+ ∴1111312532k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得:111332k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CF 的表达式为1332y x =-+ 当0x =时 32y = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法三:过P 作PE CD ⊥于点E 过点D 作DF OC ⊥于F ∴90PEC DFC ∠=∠=︒∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴50,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3DF = 534CF =-= ∴2222333522CD DF CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵90DFC PEC ∠=∠=又∵FCD ECP ∠=∠ ∴DCF PCE ∽△△ ∴CF CE DF PE= ∴31232CE PE == ∴2PE CE =.∵PE CD ⊥ 45PDC ∠=︒∴45DPE PDC ∠=∠=︒∴PE DE = ∴32352CD CE DE CE PE CE CE CE =+=+=+==∴152CE =5PE =∴()2222155522PC CE PE ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ∴53422OP OC PC =-=-=∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)解法一:过点N 作NH y ∥轴 交直线AD 于点H 则HNO QOM ∠=∠ 又∵NMH OMQ ∠=∠∴MNH MOQ ∽△△ ∴MN NH MO OQ = 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 当0x =时 1y =∴直线AD 与y 轴的交点坐标为()0,1Q ∴1OQ =设1,12H t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴N 的坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴2211114132222NH t t t t t ⎛⎫=--+--+=--+ ⎪⎝⎭∴22111125322228MN NH t t t MO OQ ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.解法二:过点N 作NQ x ∥轴 交直线AD 于点Q 则NQA QAB ∠=∠ 又∵NMQ OMA ∠=∠∴MNQ MOA ∽△△∴MN NQ MO OA= 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 设点N 坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴点Q 坐标为22126,42t t t t ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴()22266NQ t t t t t =-+-=--+∴22611252228MN NQ t t t MO OA --+⎛⎫===-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.29. (1)6 3:5(2)①证明过程见详解;②8AB = 245EC = 【详解】(1)解:∵DE BC ∥32AD DB = 10BC = ∴AD DE AB BC = 35AD AB = ∴3310655DE BC ==⨯= ∴△ADE 与ABC 的周长比为3:5 故答案为:6 3:5. (2)解:①证明:由(1)可知 AE AD AC AB= ∴AE AC AD AB = 根据图形旋转的性质得 BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ∽△△;②由(1)可知 6DE = BAD CAE ∠=∠在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒∴90BAD DAC ∠+∠=︒∴90DAC CAE ∠+∠=︒ 即DA AE ⊥∴AE DC ∥ 90AEC ECD ∠=∠=︒∴四边形AECD 是矩形∴6AC DE ==在Rt ABC △中 22221068AB BC AC -=-= ∵AD BC ⊥∴1122ABC S BC AD AC AB △ ∴6824105AC AB EC AD BC ∴8AB = 245EC =.30. (1)ACD BCE ∠=∠(2)①见解析;②CF =2BE 见解析(3)81717CG =【详解】(1)解:∵AC BC =∴A B ∠=∠∵AD BE =∴ACD BCE ≅∴ACD BCE ∠=∠故答案为:ACD BCE ∠=∠;(2)①如答图1∵90ACB ∠=︒∴90ACD DCF ∠+∠︒=∵DF DC =∴DCF CFD ∠∠=.∵CGF BCE CFD ∠∠+∠=由(1)知=ACD BCE ∠∠∴90CGF ACD DCF ∠∠+∠︒==. ∴.DF CE ⊥②CF=2BE.理由:如答图3 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥于点N则90CNE DHF ∠=∠︒=在DHF △和CNE 中,,.DF CE HDF ECN DHF CNE ⎧⎪∠∠⎨⎪∠=∠⎩＝＝∴()DHF CNE AAS ≅∴HF EN =.∵9045ACB CBE ∠︒∠︒==，∴EN =2BE .∴HF =2BE CF =2BE . (3)如答图5 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥交CB 延长线于点N由(2)探究可得22CF CH FH ===2BE . ∵AD =2∴BE AD ==2∴21CF CH FH ===，.∵390AC ACB =∠=︒，∴33BC AC AB ===，2 4BD =2∵90ACB DHC ABC DBH ∠=∠=︒∠=∠， ∴ABC DBH ∴BA AC BD DH = 32342DH= ∴4DH = ∴CD =22CH DH +17∵DF DC = ∴F DCF ∠=∠.又∵90DHC CGF ∠=∠=︒∴CFG DCH ∴CG CF DH DC =∴417CG ∴817CG =。

沪教版九年级数学上册《24.3相似三角形》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．如果点G 是ABC 的重心，D 是边BC 的中点，那么AG GD ：的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．23 D ．322．如图，在ABC 中，DE//BC ，AD=2BD ，若ADE 的周长为4，则ABC 的周长为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．123．如图，在ABC 和ADE 中AB BC AE ED=，要使ABC 与ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）A ．B D ∠=∠ B ．B E ∠=∠C ．AD AB = D ．AC BC =4．已知ABC 的三边长分别是2，5，6，DEF 的三边长如以下四个选项所列，若要使ABC DEF ∽△△，则DEF 的三边长分别是（ ）A ．3，6，7B ．18，6，15C ．3，8，9D ．10，12，85．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．246．如图，ABC 的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与ABC 相似的是（ ）A ．B ．B ．C ．D ．7．在直角坐标平面内，一点光源位于()05A ，处，线段CD 垂直于x 轴，D 为垂足，()31C ，，348．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形,C （﹣4，4），F （2，1），则位似中心的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2.5）C ．（0，3）D ．（0，4）9．如图，在Rt ABC 中90,4cm,3cm ACB AC BC ∠=︒==，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，与ABC 相似（25202525二、填空题11．已知点G 为ABC 的重心，若ABC 的面积为6，则BCG 的面积为 ． 12．如图，AB CD AD ∥，与BC 相交于点E ．若234AB CD AD ===，，，则AE 的长为 ．13．已知ABC DEF ∽△△，如果它们对应高的比:2:3AM DN =，那么ABC 和DEF 的面积比是 ．14．如图，已知矩形ABCD 中，AB=6，AD=8将矩形ABCD 沿直线MN 翻折后，点B 恰好落在边AD 上的点E 处，如果AE=2AM ，那么CN 的长为 .三、解答题15．如图，在ABC 中,4,6,3DE BC AD BD DE ===∥，求BC 的长度．16．如图，甲楼AB 高18米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1:2，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）17．如图，点D E F ，，分别在ABC 三边上，且DE BC ∥，且38EF AB BD AD BC ==∥，，．(1)求CF 的长；(2)若ADE 的面积为4，求四边形BDEF 的面积．参考答案：14．835-15．15216．甲楼的影子落在乙楼上有()18102-米 17．(1)6 (2)24。

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得的最大值及此时点的坐标；(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，在y 轴的负半轴是否存在点Q ，使得？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．CD x ()2,0D P AC PH y ∥CD H CD Q PQ HQ PQ =524PQ PH -P BC 214y x bx c =++BC 25M MN x N AM AMN ABC ∽ M AC 12OQC OAC ∠∠=(1)如图1，当，时，求的值；(2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标；(3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴分别交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接交于点E ，求(3)如图2，连接，过点O 作直线，点P ，Q 分别为直线点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线1a =1k =b 12a =A l y T T 1k =l C M N ，P y Q MQP NQP ∠=∠xOy 23y ax ax c =-+(1,0)A -AD BC ，AC BC ，l BC ∥PQB CAB ∽()1,2A ()5,0B 22y ax =-(1)求点C 的坐标和直线的表达式；(2)设抛物线分别交边①若与相似，求抛物线表达式；②若是等腰三角形，则a 的值为6．如图，抛物线经过(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为．①如图1，若时，求的值：②如图2，直线与抛物线交于点，连接(1)求抛物线的解析式；AB 22(0)y ax ax a =->CDB △BOA △OAE △2y x mx n =++C C BC 90ACB ∠=︒t BD E(1)若，．①如图1，求点A 、B 、C 和点P 的坐标；②如图2，当时，求点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为，且，当标．(1)求点、、的坐标；(2)连接，抛物线的对称轴、为顶点的三角形与理由．2b =3c =3105MN =,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭PM BC ∥93102AN MN +=A B C BC C D(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求证：是直角三角形；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作轴与抛物线交于点M ，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P 在抛物线上．(1)求a 的值；(2)直线与抛物线，分别交于点A ，B ，若的最大值为3，请求出m 的值；(3)Q 是x 轴的正半轴上一点，且的中点M 恰好在抛物线上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数经过点、，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线于点E 和点F ．设点P 的横坐标为m ．ABC MN x ⊥O M N ，，ABC xOy ()()221:20C y x m m m =--+<22:C y ax =()x t t m =>1C 2C AB PQ 2C PQG ∠2y x bx c =-++()40A ，()02B ，AB(1)求二次函数的表达式；(2)若E 、F 、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m 的值．(3)点P 在线段上时，若以B 、E 、F 为顶点的三角形与相似，求m 的值．13．如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由；(3)当时，求此二次函数的最大值和最小值．14．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．OA FPA V 2y x bx c =-++()1,0A -()0,3B 2y x bx c =-++x C D AB BC BD CD BCD △OBA △03x ≤≤y 21:3C y ax bx =++x ,A B y C 3OB OC OA ==(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；(3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．15．在平面直角坐标系中，点B 从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C 在第一象限，过C 作轴，垂足为D ，连接交于E ，设运动时间为秒．(1)证明：≌；(2)当与相似时，求t 的值；(3)在（2）条件下，抛物线m 经过A ，B ，D 三点，请问在抛物线m 上否存在点P ，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．1C P 1C Q ()1,045POC OCQ ∠+∠=︒P 1C 2C ()1,1T -2C T TM TN ⊥2C ,M N MN ABC 90ABC ∠=︒()0,2A CD x ⊥AD BC (0)t t >AOB BDC AEC △BED ADP △ABD △参考答案：。

浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（1）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知∽，，，则()A.2B.C.3D.2.如图，∽，若，，，则AB的长是()A.3B.2C.5D.43.如图，∽，则下列式子：①；②；③其中一定成立的有()A.3个B.1个C.2个D.0个4.如图，平行四边形ABCD中，，，点E，F分别在AD，AB上，若，∽，则()A.1B.2C.4D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是、，那么另一个三角形的最大角为______度.6.如图，∽，，，，CA的长为______.7.在中，，，若和它相似的最长的一边是36，则最短的一边是______.8.的三边长分别为，，2，的两边长分别为1和，如果∽，那么的第三边的长应等于______.9.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，∽，，，，则______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图所示，已知：∽，，，，，求AB的长；求CD的长；求的大小.11.本小题8分如图，BC，AD相交于点C，∽，，，求CE的长；求证：12.本小题8分如图，正方形ABCD的边长为1，E是边CD上的一点，F是边CB延长线上的一点，如果∽∽，且、、是对应角.求DE的长.13.本小题8分如图，在中，AD平分交BC于点点E、F分别在边AB、AC上，且，交线段AD于点G，连接BG、求证：四边形BGFE是平行四边形；若∽，，，求线段BE的长．14.本小题8分如图，与中，，，，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∽，，，，故选：根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．2.【答案】D【解析】解：∽，，，，，，解得：故选：直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．3.【答案】B【解析】解：∽，：：：BC，，只有②正确．故选：由∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：：：BC，继而求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】B【解析】解：∽，，，，，把它们代入比例式中，故选：根据相似三角形的性质可得边的比相等，将线段的长代入比例式即可求得．本题主要利用平行四边形中的对边相等，相似三角形的对应边成比例．5.【答案】80【解析】解：根据三角形的内角和是，求得其中一个三角形的第三个角是，其中角最大，根据相似三角形的性质，得：另一个三角形的最大角为可根据三角形内角和定理，求出其中一个三角形的第三角的度数，然后找出其中最大角的度数．根据相似三角形的对应角相等，即可求出另一个三角形的最大角的度数．本题主要考查了三角形的内角和定理以及相似三角形的性质．6.【答案】24【解析】解：∽，，，，，，解得：故答案为：直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题关键．7.【答案】18【解析】解：设最短的一边是x，在中，，，，若和它相似的最长的一边是36，，解得：故答案为：设最短的一边是x，由相似三角形的性质得到，即可求出x，得到最短的边．本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，解此题的关键是正确列出方程．8.【答案】【解析】解：的三边长分别为，，2，的三边长之比为，1：：，的两边长分别为1和，∽，的第三边的长应等于故答案为：先求出三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，求出的三边之比是解题的关键．9.【答案】2【解析】解：四边形ABCD是矩形，；∽，，即，解得；在中，，，由勾股定理得：故答案为：已知∽，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值．此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键．10.【答案】解：∽，，，，，解得：；∽，即，解得：；∽，，，，，【解析】由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得AB的长；根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得DC的长；根据相似三角形的对应角相等，可得，，继而可求得的大小．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例，对应角相等．11.【答案】解：∽，又，，；∽，，，，【解析】根据相似三角形的性质解答即可；根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．12.【答案】解：正方形ABCD的边长为1，，∽，，设，则，，，∽，，即，解得：，舍去，【解析】首先由正方形ABCD的边长为1，∽，证得，然后设，可得，，，又由∽，可得，即可得方程，解此方程即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．13.【答案】证明：，，，，，又，四边形BGFE为平行四边形．解：∽，，即，，，【解析】根据，又AD平分，可证得，，从而得：，又因为，所以可知四边形BGFE是平行四边形；根据∽，可得，求出AF的长，再由的结论：，即可得BE的长．解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．14.【答案】解：，，，，若∽，则，即，解得：；若∽，则，即，解得：；AD的长为：或【解析】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．由与中，，，，可求得BC的长，然后分别从∽或∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．。