19.3梯形

19．3 梯形一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8 C．4：2：8：6 D．8：4：2：62．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，AC、BD相交于点O，•则图中面积相等的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．（2006·长沙）如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，•BC=8，则此等腰梯形的周长为（）A．19 B．20 C．21 D．22(1) (2)4．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形5．梯形的对角线（）A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分C．不相等D．不可能互相垂直6．在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若等腰梯形的两底之差等于一腰的长，那么它的下底角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°8．顺次连接等腰梯形各边中点，得到的四边形为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形9．下列命题中，真命题有（）①有两个角相等的梯形是等腰梯形;②有两条边相等的梯形是等腰梯形;③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.A．1个B．2个C．3个D．4个(3) (4)10．（2006·天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、•BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm二、填空题11．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______，∠A=______．12．梯形ABCD中，AD∥CB，AB⊥BC，∠C=60°，BC=CD=4cm，则AD=______，AB=_____，S梯形ABCD=_______．13．直角梯形的一条腰长12cm，这条腰与上底的夹角为135°，则这个梯形的上、下底相差为______cm．14．（2006·湖北常德）等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，•则等腰梯形的下底角为________．15．（2006·河南课改）如图4，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B 的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=______km．16．•写出等腰梯形ABCD（••AB•∥CD）••特有而一般梯形不具有的三个特性：__________________________．三、解答题17．（2006·北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90•°，•∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=22．求：BE的长．18．（2006·河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．19．（2006·贵州课改）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，P•为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．（1）写出图中三对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择（1）中写出的全等三角形中任意一对进行证明．20．（2006·江苏南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E．求证：四边形ABFE是等腰梯形．21．已知梯形ABCD，其中AB∥CD．现要求添加一个条件，例如BC=AD，使梯形ABCD 是等腰梯形，那么除了BC=AD外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？•甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件：甲：∠A=∠B；乙：∠B+∠D=180°；丙：∠A=∠D；丁：此梯形是轴对称图形．哪些同学的条件符合要求？给种理由．能添加其他的一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？22．阅读材料：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD=12AC·BD．证明：∵AC⊥BD，∴1,21.2ACDABCS AC PDS AC BP∆∆⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩gg∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC·PD+12AC·BP=12AC（PD+PB）=12AC·BD．解答问题：（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________．（2）已知：如图甲，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，•且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．（3）如图乙，用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，•并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？甲乙23．要剪切如图19-3-17所示的甲、乙两种直角梯形零件，•且使两种零件的数量相等，现有两种面积相等的矩形铁板，第一种长500mm，宽300mm，•第二种长600mm，•宽250mm 可供选用．（1）填空：为了充分利用材料，应选用第_____种铁板，•这里一块铁板最多能剪甲、乙两种零件共______个，剪下这几个零件后，剩余的边角料的面积是_____mm2．（2）画图：选出要用的铁板示意图，•在上面画出剪切线并把边角余料用阴影表示出来．答案:1．A 2．C 3．D 4．C 5．B6．A 点拨：正确的是②．7．B 点拨：平移一对角线，可得出等边三角形．8．C 点拨：由等腰梯形对角线相等可得出．9．B 点拨：真命题有③④．10．D 11．102°125°12．2cm 3cm 63cm213．214．60°15．316．AD=BC；∠A=∠B；∠C=∠D17．点拨：过D作DF⊥BC于F，在等腰Rt△DFC中，用勾股定理求出FC=2，所以BC=3，•在等腰Rt△BEC中，再由勾股定理求出BE=32218．解：△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C．∵E为BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，∵AB DCB C BE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形．∴AB=DE．∵AB=AD，∴AD=AE=DE．∴△ADE为等边三角形．19．解：（1）△APB≌△DPC，△ABE≌△DCF，△BEP≌△CFP，△BFP≌△CEP （2）假设是△ABP≌△DCP证明：∵PA=PD，∴P点在线段AD的中垂线上．又∵ADCB为等腰梯形，AD、BC分别为上下底，由对称轴可知P点也是在BC的中垂线上，∴PB=PC，∴△ABP≌△CDP．20．证明：过点D作DG⊥AB于G．在直角梯形ABCD中，∠DCB=∠CBA=90°，•∵∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形，∴DC=BG．又∵AB=2CD，∴AG=GB，∴DA=DB，∠DAB=∠DBA．又∵EF∥AB，AE与BF相交于D点，∴四边形ABFE是等腰梯形．21．解：甲、乙、丁三位同学的条件均符合要求．理由：甲从同一底上两个角进行限定．乙则从对角及邻角之间关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B+∠C=180°，从而可由∠B+∠D=180°，得∠C=∠D．• 丁则从对称性进行限定，这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．对于丙的限定，由于∠A+∠D=180°，故∠A=∠D=90°，从而梯形ABCD是直角梯形，可添加∠C=∠D或AC=BD．22．解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．（2）S梯形=25cm2．（3）∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴S梯形ABCD=12AC·BD=12AC2=800．∴AC=BD=40cm．答：竹条的长是40cm．23．解：（1）两块铁板的面积都是150000mm2，第一块铁板可剪出甲、乙零件各2•个，第二块铁板可剪出甲、乙零件各1个，为了充分利用铁板，故应选用第一种铁板，•最多能剪出甲、乙两种零件共4件，这时剩余的边角料的面积为[500×300-（100+300）•×200-（100+300）×150]mm2=10000mm2（2）如图所示剪切线，阴影部分为余料．。

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[学习难点][情感目标]通过观察、实验、探究，猜想结论，并能积极的快乐的学习。

一、预习看书117—119页，用铅笔记下你的疑问和收获。

二、完成下列预习作业：１、回忆：平行四边形的性质和判定？矩形、菱形、正方形的性质和判定？２、梯形的定义____________________________________.在下面作一个梯形。

指出梯形的底（上底、下底）高，梯形的面积公式。

3、你学过哪些特殊的梯形？并且画一个。

观察一下有什么性质？用你所学过的知识证明你所得到的结论。

（1）等腰梯形的同一底边上的两底角相等。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

问题:_等腰梯形还有其它的性质吗？应该从哪些方面来了解他的性质？______________________________________________________________________________ 小组评价：_____________________________________________ 组长签字：__________ 三、合作探究，解决问题：（1）有两个角相等的梯形是 ______A、等腰梯形B、直角梯形C、一般梯形D、等腰梯形或直角梯形（2）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形和圆中，既是轴对称又是中心对称图形有___________A、6种B、5种C、4种D、3种（3）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30度，∠C=45度AD=AB=8cm，求腰CD和下底BC的长度。

19.3梯形的经典例题：1.梯形的定义：一组对边平行，一组边不相等的四边形叫做梯形。

2.梯形分类：等腰梯形，直角梯形，一般梯形。

3．等腰梯形的性质：同一底上的两个角相等；梯形的对角线相等；两腰相等，两底平行。

知识点总结：（1）等腰梯形同一腰上的两个角互补；（2）在研究等腰梯形的时候，通常利用等腰梯形的性质将等腰梯形转化为等腰三角形或平行四边形来解决。

（3）根据等腰梯形的性质可以证明角相等，线段相等，直线平行等问题。

4.等腰梯形的中位线：（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行且等于两底和的一半。

5.梯形的面积=（a+b）×h÷2 或梯形的面积=中位线×h6.重心：（1）线段的重心，就是线段的中点，（2）平行四边形，矩形，菱形，正方形的重心就是对角线的交点。

（3）三角形的重心是三角形3条中位线的交点。

三角形的外心是三角形3条角平分线线的交点。

三角形有1个内心，3个外心，外心是外角平分线的交点。

总结梯形中的辅助线：常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:专题练习：一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1试一试：在梯形ABCD中，AB∥CD, ∠A=60°,AD=BC=DC.求证AB=2CD.2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。