6.1 无穷级数的概念及性质

§第一讲无穷级数及其收敛性
一、无穷级数的概念
定义1 把一个数列﹛u n﹜的各项依次用“+”号连接起来所得到的表达式
u1+u2+…+u n+…, (1)
称为无穷级数或数项级数，简称为级数.u n的下标n称为项数，u n称为级数的通项，它是项数n的函数。

级数（1）的前n项之和
S n=u1+u2+…+u n
称为级数的前n项部分和。

定义4 若级数（1）的部分和数列{S
}收敛于有限值S,即
n
limS n=S,则称级数（1）收敛且和为S,记为;如果部分和数列{Sn}发散，则称级数发散。

二、级数的基本性质
性质1级数∑u n与∑ku n （k≠为实数）
同时收敛或同时发散.当∑u n收敛与S时，∑ku n收敛于
kS，即
∑ku n=k∑u n .
性质2 若级数∑u n和∑v n都收敛，其和分别为A和B，则级数∑(u n v n)也收敛，其和为A+_B，即
∑(u n+_v n)=∑u n∑v n
性质3 在级数的前面加上或去掉有限项或者改变级数中有一项限的值，不改变级数的敛散性.但在级数收敛的情况下，新级数的和一般要改变.
性质4 在一个收敛级数中按原来的顺序任意添加符号，所构成的新级数仍然收敛，且和不变.
推论如果一个级数按原来的顺序以某种方式添加括号后所构成的级数发散，那么原来的级数必定n发散.
性质5 （级数收敛的必要条件）收敛级数的通项必趋向于零.即如果∑u n收敛，则.=0.。

无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。

其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。

无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim⁡(S_n)。

在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。

二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim⁡(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。

如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim⁡(S_n) = ±∞，那么称级数发散。

2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。

（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。

（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。

高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。

以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。

其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。

2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。

数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。

3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。

如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。

4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。

常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。

5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。

在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。

6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。

无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。

7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。

例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。

以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。

希望能对读者有所帮助。

无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。

一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。

一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。

无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。

二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。

它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。

等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。

等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。

3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。

例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。

三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。

如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。

无穷级数的概念与性质无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它指的是无数项的和数。

无穷级数的数学公式一般写成∑n=1∞an，其中an表示每一项的系数。

无穷级数在物理、经济等领域应用广泛，是数学研究的重点。

一、收敛与发散在分步分析无穷级数性质前，我们必须先了解收敛与发散的概念。

在无穷级数中，若该级数的部分和Sn满足：Sn趋于某一固定的唯一数L，即limSn=L，则称该无穷级数收敛于L（或收敛于∞，收敛于-∞）。

反之，如果Sn的值不趋于任何一个常数，则称该无穷级数发散。

例如：1+1/2+1/4+···+1/2n+···，其中每一项的系数an=1/2n，这个级数收敛于2。

而1+2+4+···+2n+···，这个级数则是发散的。

二、正项级数正项级数指的是每一项的系数an均为非负数。

对于正项级数，一般用单个符号∑an表示，而不是∑n=1∞an。

正项级数的充分必要条件是部分和单调不降及有界或有上界。

即如果存在一个B使得Sn≤B，那么称该级数有上界，如果B不存在，则称该级数发散。

三、级数收敛判定法在判定一个级数的收敛或发散时，需要掌握一些常用的级数收敛判定法。

（一）比值判别法比值判别法即通过求出级数的相邻两项之比的极限值来判断级数的收敛性。

如果该极限值小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。

例如：an=(n+1)/(2n+1) 则有limn→∞an+1/an=1/2 < 1，所以此级数收敛。

（二）根值判别法根值判别法实际上是比值判别法的特例，即通过求出级数的每一项的n次方根的极限值来判断级数的收敛性。

如果该极限小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。

例如：an=1/n^2，则有limn→∞an^1/n=1，所以此级数收敛。

无穷级数知识点总结专升本一、概念无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。

无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。

无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。

对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。

二、级数的性质1.级数的部分和级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。

当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。

当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。

2.级数的收敛与发散级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。

3.级数的敛散性级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。

级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。

4.级数的比较性级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。

可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。

5.级数的运算性质级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。

三、收敛级数1.正项级数对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。

正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。

2.幂级数幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。

幂级数通常需要通过收敛半径来判断其收敛性。

3.级数的收敛判别法级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。

4.级数收敛性的应用无穷级数的收敛性可以应用于数学和物理等领域，如泰勒级数、傅立叶级数等。

四、发散级数1.发散级数的定义对于发散级数而言，其和不存在，无法通过有限项之和来表示。

发散级数可能是几何级数、调和级数、交错级数等。

2.级数的发散判别法级数的发散判别法是用来判断级数是否发散的方法，例如：项数发散法、数值发散法、微分法等。

第五讲 无穷级数§1 概念及其性质 无穷级数（简称级数）：121nn n uu u u ∞==++++∑，n u 称为第n 项式通项一般项。

121nn n i i S u u u u ==+++=∑为1n n u ∞=∑的前n 项和。

定义：若lim n n S S →∞=（有限数），则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为其和，即1nn uS ∞==∑；若lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散。

例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。

（1）1n ∞=； （2）()11!n n n ∞=+∑； （3）()()1112n n n n ∞=++∑；提示：将通项n u 写成两项差的形式，即1n n n u v v -=-。

解：（1）n u ==)(()111n S n n =++++=→∞ →∞∴1nn u∞=∑发散。

（2）()()()11111!!1!n n u n n n +-==-++； ()()()1111111112!2!3!!1!1!n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-→ →∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11nn u∞==∑。

（3）()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦()()()1111111212232334112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()1111212124n n n ⎡⎤=-→ →∞⎢⎥⋅++⎣⎦ ∴114nn u∞==∑。

性质：① 设0c ≠为常数，则1nn cu∞=∑与1nn u∞=∑具有相同的敛散性；② 设1nn uS ∞==∑，1n n v σ∞==∑，则()1n n n u v S σ∞=±=±∑；设1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则()1nn n uv ∞=±∑发散；设1nn u∞=∑与1nn v∞=∑均发散，则()1nn n uv ∞=±∑具体分析。

无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。

它的形式为一列数相加的无穷和。

无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。

本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。

无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。

我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。

具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。

在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。

其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。

反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。

2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。