数项级数的概念与性质

数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。

数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。

二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。

如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。

三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。

2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。

3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。

四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。

2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。

3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。

4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。

数项级数的概念与基本性质8.1 数项级数的概念与基本性质教学目的：理解级数的概念和基本性质。

教学重点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数。

教学难点：有限项相加与无穷项相加的差异。

教学过程：1.导入我们以前研究的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要。

在许多技术问题中，常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数。

无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。

无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础。

2.讲授新课2.1 常数项级数的概念定义8.1：设给定数列{an}，我们把形如a1+a2+。

+an+。

=∑an (n=1,2.)的式子称为一个无穷级数，简称级数。

其中第n项an称为级数∑an的通项（或一般项）。

如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数。

例如，等差数列各项的和a1+(a1+d)+(a1+2d)+。

+[a1+(n-1)d]+。

称为算术级数。

等比数列各项的和XXX.称为等比级数，也称为几何级数。

级数2n-1+。

+1111+。

=∑(2n-1)/(3n) (n=1,2.)称为调和级数。

级数(8.1.1)的前nXXX：XXX，k=1,2.n称Sn为级数∑an的前n项部分和，简称部分和。

2.2 常数项级数收敛与发散定义8.2：若级数(8.1.1)的部分和数列{Sn}的极限存在，即limSn=S (常数)n→∞则称极限S为无穷级数∑an的和。

记作S=∑an=a1+a2+。

+an+。

此时称级数∑an收敛；如果数列{Sn}没有极限，则称级数∑XXX发散，这时级数没有和。

显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差rn=S-Sn=an+1+an+2+。

叫做级数的余项。

用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|。

例1：讨论几何级数∑aq^(n-1)=a+aq+aq^2+。

第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。

数项级数的定义数项级数的定义数项级数是由一系列有限或无限个数项所组成的一种特殊的数列。

这些数项可以是实数、复数或其他类型的数字。

在这个级数中，每个数字都被称为一个“项”，而这些项被按照一定的顺序排列在一起，形成了一个整体。

1. 数项级数的基本概念1.1 级数和部分和对于一个由n个项组成的级数，我们可以将它表示为S_n，其中S_n 表示前n个项之和。

当n趋近于无穷大时，我们可以得到该级数的总和S。

1.2 收敛与发散如果一个级数在某种意义下能够收敛于某个值S，则我们称该级数是收敛的。

反之，如果该级别不能收敛，则我们称它是发散的。

2. 数学公式表示对于一个由n个项组成的级别，我们可以用以下公式来表示它：∑ a_n = a_1 + a_2 + … + a_n其中a_n代表第n个项。

3. 级别收敛与发散判断方法3.1 正项级别判定法则正向级别指所有a_n都为正实数组成的级别。

如果正向序列满足以下条件，则该序列是收敛的：a_n ≤ a_(n+1) (n≥N)3.2 比值判别法对于一个级数∑ a_n，如果存在一个正整数q，使得：|a_(n+1) / a_n| ≤ q (n≥N)则该级数是收敛的。

3.3 积分判别法对于一个级别∑ a_n，如果存在一个连续的正函数f(x)，满足以下条件，则该级数是收敛的：∫ f(x)dx 从N到无穷大收敛4. 常见级数之和4.1 等比级数求和公式对于形如∑ ar^n的等比级数，我们可以用以下公式来求和：S = a / (1-r)其中a为首项，r为公比。

4.2 调和级数求和公式调和级数指形如∑ 1/n的级别。

这个序列是发散的，但它可以用以下公式来近似计算：S_n = ln(n) + γ + ε_n其中γ为欧拉常数（约为0.577），ε_n是一个趋近于零的误差项。

5. 应用领域在实际生活中，级别经常被用于描述各种数量关系。

例如，在金融领域中，人们经常使用复利计算来计算投资回报率。

这种计算方法就涉及到等比级数。

8.1数项级数的概念与基本性质教学目的理解级数的概念和基本性质教学重点级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数教学难点有穷项相加与无穷项相加的差异教学过程1.导入以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课2.1常数项级数的概念定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞==++++121n nn aa a a （8.1.1）的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数∑∞=1n na的通项（或一般项）．如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.例如， 等差数列各项的和+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．等比数列各项的和+++++-112111n q a q a q a a称为等比级数，也称为几何级数．级数11n n ∞=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．级数（8.1.1）的前n 项和为：121nn k k k S a a a a ===+++∑ ，称n S 为级数∑∞=1n na的前n 项部分和，简称部分和．2.2常数项级数收敛与发散定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞→lim (常数)则称极限S 为无穷级数∑∞=1n na的和．记作++++==∑∞=n n n a a a a S 211此时称级数∑∞=1n na收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数∑∞=1n na发散，这时级数没有和．显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差++=-=++21n n n n a a S S r叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．例１ 讨论几何级数+++++=∑∞=-n n n aq aq aq a aq211的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．结论：几何级数∑∞=-11n n aq，当1||<q 时收敛，且qaaq n n -=∑∞=-111；1||≥q 时发散． 例2 判别无穷级数++++⋅+⋅=+∑∞=)1(1321211)1(11n n n n n 的敛散性． 例3 证明级数+++++=∑∞=n n n 3211发散．2.3收敛级数的基本性质 性质8.1 若s an n=∑∞=1,σ=∑∞=1n nb，则级数σ±=±∑∞=s b a n n n 1)(．性质8.2 若∑∞=1n na收敛，k 为非零常数，则级数∑∞=1n nka也收敛，且有∑∑∞=∞==11n n n na k ka．性质8.3 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a .性质8.3表明，0lim =∞→n n a 是级数收敛的必要条件．因此，如果级数的通项不趋于0，则该级数一定发散；若该级数的通项趋于0，则该级数可能收敛，也可能发散．例4 已知级数为++++++12735231n n ， 讨论其敛散性．注意：性质8.3只是级数收敛的必要条件，并非充分条件．例如调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111， n a n 1=，01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，但它是发散的.3.小结 3.1无穷级数∑∞=1n nu＝ +++++n u u u u 321其中n u 叫通项．3.2部分和n nk kn u u u us +++==∑= 211，当s s n n =∞→lim 存在时级数收敛，否则发散．3.3四条基本性质：性质1-4．3.4收敛的必要条件．4.布置习题(略)8.2正项级数及其审敛法教学目的理解正项级数的概念和性质教学重点正项级数的各种审敛法，几何级数与P-级数教学难点比较判别法教学过程1.复习 1.1问题⑴级数就是无穷多项相加吗? ⑵级数收敛的必要条件?⑶算术级数、等比级数、调和级数的敛散性 1.2讲解作业 2.讲授新课级数的问题，首先是敛散性问题.一般来说，根据级数收敛与发散的定义、性质只能判别出少数级数的敛散性，因此还必须建立其他的判别法.下面将分别给出正项级数、任意项级数的敛散性判别法.首先，来研究正项级数及其敛散性的判别法.2.1正项级数的定义定义8.3 若数项级数∑∞=1n nu的一般项0≥n u （ ,2,1=n ），则称数项级数∑∞=1n nu为正项级数．正项级数是很重要的一类数项级数，下面我们给出两种常用的判定正项级数收敛或发散的法则，这些法则都给出了级数收敛的充分条件． 2.2比较判别法定理8.1（比较判别法） 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，若n n cv u ≤（1,2,;n =c 为大于零的常数）则（1）当∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（2）当∑∞=1n nu发散时，∑∞=1n nv也发散．注意：定理8.1告诉我们：只需与已知敛散性的正项级数作比较，便可判定正项级数的敛散性．通常我们选用几何级数和下面的-p 级数作为判定正项级数敛散性的比较对象．级数+++++p p p n131211（常数0>p ） 称为-p 级数，-p 级数当1≤p 时发散，当1>p 时收敛（证明从略）．调和级数即为1p =时的情形．例5 判定下列级数的敛散性：(1)∑∞=11n n；(2)∑∞=11n nn． 2.3比值判别法比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审敛法．定理8.2（比值判别法，又称达朗贝尔判别法） 若正项级数∑∞=1n nu（0>n u ）的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（1）1<ρ时，级数收敛；（2）1>ρ（或∞=ρ）时，级数发散； （3）1=ρ时，不能判断级数的敛散性．例6 判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=122n n n ； (2)∑∞=1!n n n n ．２.４课堂练习⑴利用比较判别法，判断下列级数的敛散性： ① ++++7151311；② +-++++1253321n n ． ⑵利用比值判别法，判断下列级数的敛散性：①∑∞=123n n n ；②∑∞=1!1n n ．3.小结⑴正项级数的概念；⑵比较审敛法、比值审敛法 4.布置习题(略)8.3任意项级数及其审敛法教学目的理解变号级数的概念和性质教学重点交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛教学难点绝对收敛与条件收敛教学过程1.复习复习正项级数比较审敛法、比值审敛法 2.讲授新课2.1绝对收敛级数与条件收敛级数设),3,2,1( =n u n 为任意实数，则级数∑∞=1n nu称为任意项级数．为了判定任意项级数∑∞=1n nu的收敛性，通常先考察其各项的绝对值组成的正项级数∑∞=1n nu的收敛性．定理8.3 若绝对值级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛．注：由于∑∞=1||n nu总是正项级数，因此定理8.3 使得一大类级数的收敛性问题转化为正项级数的收敛性问题．定义8.4 若级数∑∞=1||n n u收敛，则称原级数∑∞=1n n u 绝对收敛．若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu为条件收敛．例7 判断级数∑∞=1!n nn a （a 为任意常数）的敛散性． 注意：定理8.3的逆定理并不成立．即绝对收敛的级数一定收敛，但收敛级数却不一定绝对收敛．2.2交错级数及其审敛法定义8.5 若级数的各项符号正负相间，即∑∞=+-=+-+-114321)1(n n n u u u u u ，或 ∑∞=-=+-+-1321)1(n n nu u u u ，则称此级数为交错级数，其中0>n u （ ,2,1=n ）． 由于级数∑∑∞=∞=+--=-111)1()1(n n n n n nu u ，所以下面只讨论∑∞=+-11)1(n n n u 的敛散性．定理8.4（莱布尼兹判别法） 若交错级数∑∞=+-11)1(n n n u ，0>n u ，1,2,n = ，满足条件：（1）1+≥n n u u ，1,2,n = ；（2）0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛，且其和1u S ≤．例8 判断级数∑∞=-1)1(n nn 的敛散性．解 此交错级数1n u n =，111n u n +=+，满足（1）111+>n n （1,2,n = ）（2）01)1(lim lim =-=∞→∞→nu n n n n 由莱布尼兹判别法知，级数收敛．又由于(1)1n n u n n -==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数是条件收敛．此例也说明，定理8.3的逆定理不成立． 3.小结⑴任意项级数的M 判别法 ⑵绝对收敛与条件收敛⑶交错级数与莱布尼茨判别法 (另提行)4.布置习题(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4幂级数及其收敛性教学目的理解幂级数的概念；求简单幂级数的收敛半径及收敛区间．教学重点幂级数的收敛性教学难点幂级数的收敛性教学过程1.导入上一节学习了常数项级数的概念及敛散性的判别方法，常数项级数是函数项级数的特例，那么什么是函数项级数呢？ 2.讲授新课2.1函数项级数的概念若给定一个定义在区间I 上的函数列)(1x u ，)(2x u ，…，)(x u n ，… 则由此函数列构成的表达式121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.1）称为定义在I 上的函数项级数，)(x u n 称为一般项或通项．对每一确定的点I x ∈0，都对应一个数项级数121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.2）若数项级数（8.2.2）收敛，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的收敛点．若数项级数（8.2.2）发散，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的发散点．函数项级数（8.2.1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛域内的数项级数，因此，有一个确定的和()x S ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是关于x 的函数()x S ，通常称()x S 为函数项级数的和函数，记作()()∑∞==1n n x u x S ．其中x 是收敛域内的任意一点．将函数项级数的前n 项和记作()x S n ，则在收敛域上有()()x S x S n n =∞→lim ．函数项级数中最简单、最重要的一类，就是我们下面要讨论的幂级数． 2.2幂级数及其收敛性定义8.6 形如+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100（8.2.3）的级数称为幂级数，其中0a ，1a ，…，n a ，…称为幂级数的系数．对幂级数，我们首先要考虑的也是它的收敛性问题，首先介绍如下定理． 定理8.5 若ρ=+∞→||lim 1nn n a a ， 其中n a ，1+n a 是幂级数∑∞=0n n nx a相邻两项的系数，则(1)当0=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a在任何()+∞∞-∈,x 处收敛；(2)当+∞=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a仅在0=x 收敛；(3)当ρ为不等于的常数时，幂级数∑∞=0n nn x a 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ρρ1,1x 内收敛，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,11,ρρ x 内发散． 0≠ρ时，令ρ1=R ，并规定：0=ρ时，+∞=R ；+∞=ρ，0=R ．R 称为幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径；区间()R R ,-称为幂级数的收敛区间． R 为正常数时，幂级数在收敛区间的端点处R x ±=可能收敛，也可能发散；R x >时，幂级数发散．如果收敛半径R 为正数，那么在求幂级数收敛域时，要注意考察端点处的敛散性，所得收敛域有四种：[,]R R -、(,]R R -、[,)R R -、(,)R R -，它们通常都称为幂级数的收敛区间.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径与收敛区间． 例2 求幂级数∑∞=12n nn x 的收敛区间．例3 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛区间．练一练求下列幂级数的收敛区间：(1)∑∞=1n nnx ； (2)∑∞=1!n n x n ．3.小结⑴幂级数的概念； ⑵收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间注意讨论端点； 4.布置习题(略)8.5幂级数的性质教学目的理解幂级数的性质，会幂级数的主要运算.教学重点幂级数的4条性质(包括在收敛区间内可逐项求导和逐项积分).教学难点收敛区间内可逐项求导和逐项积分.教学过程1.复习1.1幂级数的概念. 1.2收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间讨论端点. 2.讲授新课2.1幂级数的性质性质8.4 若幂级数∑∞=0n nnx a与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为1R 和2R ，则∑∑∑∞=∞=∞=+=+0)(n nn n n nn n nn x b a x b x a 的收敛半径等于1R 和2R 中的较小的一个．性质8.5 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数∑∞==0)(n n n x a x S 在区间),(R R -内连续．性质8.6 设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式：∑∑∞=-∞=='='010)()(n n n n nn x na x a x S ，其中R x <||，且逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质8.7 设幂级数的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在区间),(R R -内可积，且有逐项积分公式：∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===011)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x S ，其中R x <||，且逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径． 2.2利用性质求幂级数的收敛区间和和函数例4 求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛区间及和函数．解11lim ||lim 1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，收敛半径11==ρR ，又1±=x 时，所得的级数发散，因此收敛区间为)1,1(-．设和函数∑∞=-=11)(n n nxx S ，由性质8.7xxx dx nx dx nxdx x S n n n xn xn n x-====∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-1)()(11111，)1,1(-∈x ， 两边对x 求导得 2)1(1)1()(x x x x S -='-=，)1,1(-∈x ． 课堂练习：⑴求幂级数101n n x n +∞=+∑的和函数．解 设和函数为)(x s ，即)(x s ＝∑∞=++011n n n x ． 两端求导，并注意到)1,1(,1112-∈+++++=-x x x x xn ． 可得1001()()11n n n n x s x x n x +∞∞==''===+-∑∑． 上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xs x s x x x -==---⎰， (1,1)x ∈-. 由于(0)0s =．又当1x =-时，10(1)1n n n +∞=-+∑收敛，所以 ∑∞=++011n n n x =)1,1[)1ln(-∈--x x ． ⑵求幂级数21(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求级数01(1)21n n n ∞=-+∑的和． 解略3.小结幂级数的性质，特别是逐项微分和逐项积分性质.4.布置习题(略)8.6函数展开成幂级数教学目的函数能展开为幂级数的条件；泰勒级数的概念．5个重要的初等函数的幂级数展开式及它们的收敛区间；将简单的初等函数展开为x 的幂级数．教学重点函数展开成泰勒级数；间接展开法.教学难点函数展开成泰勒级数.教学过程1.导入前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的求法，但在实际问题中往往会提出相反的问题：对于已知函数)(x f ，能否用幂级数来表示? 下面将讨论这个问题．2.讲授新课2.1泰勒级数⑴泰勒展开式若函数)(x f 在点0x 的某一邻域内具有直到)1(+n 阶的导数，则对此邻域内任意x 有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f()()()()()()()10100!1!++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ. （8.3.1） 称(8.3.1)为)(x f 的泰勒展开式或泰勒公式，其中ξ在0x ，x 之间，且()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为)(x f 的n 阶泰勒余项． n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+≈ ． (8.3.2) 在泰勒展开式中，当00=x 时，记x θξ=，10<<θ，公式（8.3.1）成为()()()()11)(2!1!)0(!2)0()0()0(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (8.3.3) 称(8.3.3)为)(x f 的麦克劳林展开式．⑵泰勒级数若)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，此时我们可让多项式（8.3.1）的项数趋于无穷而构成幂级数 +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 （8.3.4） 幂级数（8.3.4）称为函数)(x f 的泰勒级数．定理8.６ 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数，则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当∞→n 时的极限为零.即0)(lim =∞→x R n n （)(0x U x ∈）． 在（8.3.4）式中，若00=x ，可得 +++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2 （8.3.5） 级数（8.3.5）称为函数)(x f 的麦克劳林级数．函数)(x f 的麦克劳林级数是x 的幂级数，若)(x f 能展开成x 的幂级数，则展开式是唯一的，就是)(x f 的麦克劳林级数．2.2函数展开成幂级数⑴直接展开法利用麦克劳林公式将)(x f 展开成x 的幂级数，其步骤如下：①求出)(x f 的各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，如果)(x f 在0=x 处的某阶导数不存在，则)(x f 不能展开成幂级数；②求出函数及其各阶导数在0=x 处的值： )0(f ，)0(f '，)0(f ''，…，)0()(n f ，…；③写出函数)(x f 的幂级数并求出收敛半径R ；④考察),(R R x -∈时，余项)(x R n 的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ （ξ在0与x 之间）． 是否为零.如果为零，则级数（8.3.6）收敛，且和函数就是)(x f ．即+++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2． ),(R R x -∈ 如果极限不为零，则级数（8.3.6）的和函数就不是)(x f ，即)(x f 不能展开成x 的幂级数．例1 将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数．例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数．例3 函数m x x f )1()(+=（其中m 为任意常数）展开成x 的幂级数．⑵间接展开法通常利用几何级数、x e 、x sin 、()mx +1的幂级数展开式，根据函数幂级数展开式的唯一性，通过代数运算或求导、求积分运算将函数)(x f 展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．例4 将x211-展开为x 的幂级数． 例5 将函数x x f cos )(=展开为x 的幂级数．例6 将)1ln()(x x f +=展开为x 的幂级数．3.小结⑴泰勒系数与泰勒级数；⑵函数的泰勒级数展开式（主要掌握间接展开）；4.布置习题(略)。

第十二章 数项级数§1 级数的收敛性要求：1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论，2 掌握理解级数的基本性质要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质1 数项级数的概念、记号： 将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即n u u u 21 或1n nu称为数值级数，简称级数。

其中第n 项 nu 称为通项。

级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n nlim 存在，称级数1n n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 nk k n n u S S r 为级数1n n u 的余和若部分和数列}{n S 发散，则称级数1n nu发散，发散级数没有和。

这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。

例1 讨论几何级数 0,11a ar n n 的敛散性。

按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。

由等比数列前n 项和的计算公式，1 r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S 11111） 当 1|| r 时，r a S n n 1lim ，几何级数收敛，其和为 r a1；2） 当 1|| r 时，n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1|| r 时，显然 }{n S 发散；结论：几何级数 0,11a arn n ，当 1|| r 时，收敛，其和为 ra 1；例2 讨论级数1)1(1n n n 的敛散性.解 利用 111)1(1 n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数12n n n的敛散性.解 设 n k n n k n nn k S 11322212322212,n S 211432221 232221 n n n n , 1322212121212121 n n n n n nS S S =1211211211n n n ,) ( n .n S 2, ) ( n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数1352n n n的敛散性.解 52 , 5252352 n S n n n n n, ) ( n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数1n n u 收敛N p N n N ,,,0 有 ||n p n S S根据定理1，取 1 p ，有 n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数1n n u 收敛的必要条件为 0limn n u本推论可以方便的用来判断级数发散。

数项级数一、数项级数的相关概念数项级数：形如12n u u u ++++的表达式，其中{}n u 为一给定数列。

简记为1nn u∞=∑一般项： 第n 项n u 第n 个部分和：11nn n i i s u u u ==++=∑部分和数列： {}n s收敛级数及其和：若部分和数列{}n s 收敛于s ，即lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，且称部分和数列{}n s 的极限s 为级数1nn u∞=∑的和。

并记12n s u u u =++++发散级数： 若部分和数列{}n s 发散，则称级数1nn u∞=∑发散。

余项： 12n n n n r s s u u ++=-=++两个问题；1、判别级数的敛散性； 2、级数求和（放在最后） 用定义判别敛散性的要点是通过对部分和数列的研究 [例1] 讨论等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑的敛散性。

（结论要熟记）解：因为当1q =时，n s n =；当1q ≠时，21111n n n q s q q qq--=++++=-，且lim nn q →∞存在当且仅当||1q <，所以当||1q <时，等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑收敛于11q-；当||1q ≥时，等比级数发散。

[例2] 已知数列{}n na 收敛，12()nn n n aa ∞-=-∑也收敛，求证：1n n a ∞=∑收敛。

[赛. 1991. 苏]证明：12()nn n n aa ∞-=-∑的第n 个部分和为11111222121111()(1)(1)n n n kk kk k k k n n kkk k n n nk k aa ka kaka k an a a a +++--===+==+=-=-=-+=+--∑∑∑∑∑∑所以1nn a∞=∑的第n 个部分和为：111112(1)()nn kn k k k k an a a k a a ++-===+---∑∑设数列{}n na 收敛于A ，12()nn n n aa ∞-=-∑收敛于B ，则1n n a ∞=∑收敛，其和为1A a B --[例3] 证明调和级数11n n∞=∑发散。

一．常数项级数的概念
设有数列｛U n ｝，则称u 1+u 2+...+u n +...为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为∑Un ∞n=1，其中U n 称为级数的通项或一般项 令S n =u 1+u 2+...+u n （n=1,2,...），则称数列｛S n ｝为级数∑Un ∞n=1的部分和数列，
如果部分和数列｛S n ｝有极限S ,即
lim n→∞
Sn
则称级数∑Un ∞n=1收敛，这时极限S 叫做级数∑Un ∞n=1的和，即
S=∑Un ∞n=1
如果｛S n ｝没有极限，则称级数∑Un ∞n=1发散 讨论几何级数（等比级数） [1] =aq n-1
∑[1]∞n=1=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...的敛散性，其中a ≠0，q 是
级数的公比
解析：如果 |q|≠1，则部分和： 【2】=q n
∑[1]∞n=1
=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...=a （1−【2】）
1−q
级数（6--1）
二．收敛级数的基本性质
三．级数收敛的必要条件
定理1为必要条件，不是充分条件
四．正项级数的判别法
1.比较判别法
（比较判别法的极限形式）
2.比值判别法
例题：
3.其他判别法
五．交错级数的判别法
六．绝对收敛与条件收敛。