圆锥曲线期末复习训练题

圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 （ ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ） A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ）B. C.D. 29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．1) B．(0 C．1) D．(030．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ） ABC ．12D33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ ）A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ ）A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．的离心率2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD44F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2| ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ． 147A 、F ，点B （0，b ）则该双曲线离心率e 的值为（ ）A B C D 48．直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ． 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则与a b -的大小关系为A BCD ．不确定．50．点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( )ABCD ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P ，则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）AB C ．b a D ．ab二、填空题：53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= .61．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ．62．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为 ． 63．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题：64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 66．已知抛物线22(0)x py p =>．（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，，且||||PA PM +的最小值是4．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．（Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．。

圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种形式。

在解题过程中，我们需要掌握它们的定义、性质和方程等知识点。

接下来，我将为大家整理一些圆锥曲线的复习题，并附上详细的解答，希望对大家的学习有所帮助。

题目一：已知椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，且F1F2 = 2c，求椭圆的方程。

解答一：根据椭圆的定义，椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于定值2a，即PF1 + PF2 = 2a。

根据题目中的已知条件，我们可以得到PF1 + PF2 = 2c。

由于F1F2 = 2c，所以PF1 + PF2 = F1F2。

因此，椭圆的方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1。

题目二：已知双曲线的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，且F1F2 = 2c，求双曲线的方程。

解答二：双曲线的定义是双曲线上的任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值等于定值2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

根据题目中的已知条件，我们可以得到|PF1 - PF2| = 2c。

由于F1F2 = 2c，所以|PF1 - PF2| = F1F2。

因此，双曲线的方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1。

题目三：已知抛物线的焦点为F，准线为l，焦距为p，求抛物线的方程。

解答三：抛物线的定义是抛物线上的任意一点P到焦点的距离等于焦距与准线之间的距离的二倍，即PF = p/2。

根据题目中的已知条件，我们可以得到PF = p。

因此，抛物线的方程为y^2 = 2px。

通过以上的例题，我们可以看到圆锥曲线的方程与其定义和性质密切相关。

在解题过程中，我们需要根据已知条件，运用定义和性质进行推导，最终得出方程的形式。

同时，我们还需要熟练掌握圆锥曲线的图形特征，以便更好地理解和应用。

除了方程的推导，我们还可以通过图形的变换来解题。

例如，通过平移、旋转和缩放等操作，我们可以改变圆锥曲线的位置和形状，从而得到更多的解题思路。

圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在本文中，我们将通过一些复习题和答案来帮助大家巩固对圆锥曲线的理解和运用。

1. 椭圆题目：（1）已知椭圆的焦点为F1(-3,0)，F2(3,0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。

解答：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为椭圆的长半轴长度。

根据题目中的信息，我们可以得到c=3，e=2/3。

由于椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为(x+3)²/a²+y²/b²=1。

将离心率的定义代入方程中，得到(2/3)²=1-(3/a)²，整理后可得到a=9/2。

将a的值代入方程中，得到(x+3)²/(9/2)²+y²/b²=1。

化简后可得到椭圆的方程为4(x+3)²+9y²=81。

（2）已知椭圆的方程为16x²+9y²=144，求椭圆的离心率和焦点坐标。

解答：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为椭圆的长半轴长度。

根据题目中的方程，我们可以得到16x²/144+y²/16=1。

将椭圆的方程化简后，可以得到c²=a²-b²，其中a²=144/16=9，b²=16-9=7。

代入离心率的定义公式，可得到e=c/a=√(7/9)。

根据焦点的坐标公式，我们可以得到焦点的横坐标为±c=±√(9-7)=±√2，纵坐标为0。

所以椭圆的焦点坐标为F1(√2,0)和F2(-√2,0)。

2. 双曲线题目：（1）已知双曲线的焦点为F1(-4,0)，F2(4,0)，离心率为2，求双曲线的方程。

解答：双曲线的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为双曲线的长半轴长度。

圆锥曲线典型训练100题1.如图,已知A ,B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,P ,Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB ∆和PQA ∆面积的比值.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的点到焦点的最大距离为3，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：01=+-my x 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，与x 轴交于点D ，且满足DB DA λ=,若3121-<≤-λ，求实数m 的取值范围.3.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是22，且经过抛物线y x 42=的焦点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 为椭圆C 上的点，且0=⋅AB AE 。

若直线BE ，BD 的斜率均存在，且分别记为BD BE k k ,,求证：BDBEk k 为定值；并求出该值。

4.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于A ，B 两点，线段AB 中点为)21,1(M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于E ，F 两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.5.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线12y x =上的圆E 与x 轴相切，且EF 关于点()1,0M -对称． （Ⅰ）求E 和Γ的标准方程；（Ⅱ）过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：CD AB >．6.已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0）的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为（1，22) ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过点P （0，b ）且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.7.已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ⋅=uuu r uuu r. （1）求||||AM BM +u u u r u u u r的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得直线l 恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.8.已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT ，T为切点，且PT =(1)求椭圆C 1及圆C 2的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，其中l 1与椭圆的另一交点为D ，l 2与圆交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值.9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B，离心率2e =，O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC .记直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.10.已知直线l ：y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH ⋅为定值．11.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ， 求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥， 证明：点M 在定直线上.12.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y=k （x+1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x=m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离到x 轴的距离分别为d 1，d 2，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最大时，求|AB |.14.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 为该椭圆的右焦点，过点F 任作一直线l 交椭圆于,M N 两点，且||MN 的最大值为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，若直线AM ，AN 分别交直线2x a =于P ，Q 两点，求证：FP FQ ⊥.16.已知椭圆Ma＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l：x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．17.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，圆Q：()(222=2x y-+的圆心Q在椭圆C上，点P（0C（I）求椭圆C的方程；（II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．18.设椭圆E 的方程为2221x y a +=（1a >），点O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM 的斜率为14． （1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交y 轴于点(0,)T t （1t ≠），问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由．19.设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=. （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.20.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．21.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F A 是椭圆C的左顶点，且满足124AF AF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上异于A 点的两个动点，且满足AM AN ⊥，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．22.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23， A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.23.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点. （1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的上、下、左、右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x轴正半轴上的某点G 满足432===GC GA GD ，， （1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在圆222x y b +=上， 且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点， 求证：△PF 2Q 的周长是定值．25.设,,,P Q R S 是椭圆2222:x y M a b+=1(0)a b >>的四个顶点，菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ∆的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .(I)求椭圆M 的方程；(Ⅱ) ABC ∆的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.26.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.27.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>错误！未找到引用源。

2022秋期末专项复习——圆锥曲线一．选择题1．若m R ∈，直线1:(2)6280l m x y m ++−−=，2:210l x my m +++=，则“1m =”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，四边形12AF F B 是梯形，12//AF BF ，且12||2||AF BF =，则△12BF F 的面积为( )A ．4B ．2C ．4D ．2二．多选题3．下列说法错误的是( )A ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．若点(,)P m n 是曲线221(0)43x y y +=上的动点，则11n m ++的取值范围是1[1,]3−C ．已知双曲线22145x y −=左焦点为F ，P 是左支上一动点，则||PF 的最小值是52D ．已知(6,3)A ，1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左右焦点，P 是椭圆C 上的一动点，则1||||PA PF −的最小值是1−4．已知(,)P x y 为曲线x =( ) A ．若z x y =−，则z 的最大值为1B ．存在一个定点和一条定直线，使得点P 到该定点的距离等于点P 到该定直线的距离C ．P 到直线2y x =−−的距离的最小值为2D 65．设A ，B 是抛物线2:E y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是( ) A ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则||AB 的最小值为1 B ．有且只有两条直线过点(1,0)P 且与抛物线E 只有一个公共点 C ．若直线AB 过y 轴上一定点，则OA OB ⋅为定值 D ．若OA OB ⊥，则||||2OA OB6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线22:2||2||C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( ) A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴B ．曲线C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过5D ．若(,)T a b 是曲线C 上任意一点，|4318|a b +−的最小值是11−三．填空题7．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b+=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC ∆的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e = ．四．解答题8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(5,0)F −，2(5,0)F ，点M 满足12||||6MF MF −=，记点M 轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）已知1l ，2l 是经过圆22:9O x y +=上一点P 且与C 相切的两条直线，斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为0k ，求证：012()k k k +为定值．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M 、N 在椭圆C 上，且以MN 为直径的圆经过点A ，求点A 到直线MN 距离的最大值．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在222:O x y r +=，使得O 的任意切线l 与椭圆交于A ，B 两点，都有0OA OB ⋅=．若存在，求出r 的值，并求此时AOB ∆的面积S 的取值范围；若不存在，请说明理由．11．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点0(A x ，2)在抛物线上，OAF ∆的面积为1．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点B 是抛物线C 上异于点A 的一点，直线AB 与直线2y x =+交于点P ，过P 作y 轴的垂线交抛物线C 于点M ，求证：直线BM 过定点．12．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形． （1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．若m R ∈，直线1:(2)6280l m x y m ++−−=，2:210l x my m +++=，则“1m =”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【分析】根据两直线平行的条件即可求出m ，进而求解结论．【解答】解：直线1:(2)6280l m x y m ++−−=，2:210l x my m +++=， 2(2)6m m ∴+=，解得1m =或3m =−，当1m =时，直线1:36100l x y +−=，2:220l x y ++=，此时两直线平行，当3m =−时，直线1:620l x y −+−=，2:620l x y −−=，此时两直线平行，故“1m =”是“12//l l ”的充分不必要条件， 故选：A ．2．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，四边形12AF F B 是梯形，12//AF BF ，且12||2||AF BF =，则△12BF F 的面积为( ) A．4 B．2C．4D．2【分析】由椭圆的方程可得a ，b 的值，求出c 的值，再由12//AF BF ，且12||2||AF BF =，可得122F A F B =，设A ，B 的坐标，可得A ，B 的坐标的关系，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程可得B 的纵坐标，进而求出三角形的面积．【解答】解：由椭圆22:142x y C +=，可得2a =，1b =，所以c ==1(F 0)，2F 0)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为12//AF BF ，且12||2||AF BF =，所以122F A F B =，即1(x +12)2(y x =−122122)2x x y y y ⎧=−⎪⇒⎨=⎪⎩因为A ，B在椭圆上，所以2222222224(284x y x y ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得2x =，2y =所以1212211||22BF F SF F y =⋅=⋅=， 故选：A ．二．多选题3．下列说法错误的是( )A ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．若点(,)P m n 是曲线221(0)43x y y +=上的动点，则11n m ++的取值范围是1[1,]3−C ．已知双曲线22145x y −=左焦点为F ，P 是左支上一动点，则||PF 的最小值是52D ．已知(6,3)A ，1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左右焦点，P 是椭圆C 上的一动点，则1||||PA PF −的最小值是1−【分析】对于A 选项，结合直线垂直的性质，即可求解，对于B 选项：根据11n m ++的几何意义，利用斜率公式，即可求得11n m ++的取值范围；对于C 选项：根据双曲线的焦半径公式，可求得||PF 的最小值；对于D 选项：根据椭圆的定义，利用A ，P ，2F 三点共线时求得1||||PA PF −的最小值．【解答】解：对于A ：直线210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直，则20a a +=，解得0a =或1a =−， 故“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充分不必要条件，故A 选项错误；对于B 选项：11n m ++表示的几何意义：(,)P m n 与(1,1)Q −−连线的斜率，如图，所以10(1)1(2)(1)PA k −−==−−−−，20(1)12(1)3PA k −−==−−， 所以斜率的取值范围为1(,1][,)3−∞−+∞，故B 选项错误；对于C 选项：双曲线的焦半径公式可知，0||PF a ex =−−，0x a −，所以当0x a =−时，即P 位于左定点时，取得最小值，最小值为321c a −=−=，故C 选项错误；对于D 选项：由椭圆的定义可知，12||||6PF PF +=，所以12||6||PF PF =−，所以122||||||||6||6PA PF PA PF AF −=+−−，由2||5AF ==，所以1||||1PA PF −−，A ，P ，2F 三点共线时，取等号，所以1||||PA PF −的最小值为1−，故D 选项正确，故选：ABC ．4．已知(,)P x y 为曲线x =( ) A ．若z x y =−，则z 的最大值为1B ．存在一个定点和一条定直线，使得点P 到该定点的距离等于点P 到该定直线的距离C ．P 到直线2y x =−−D 6【分析】由曲线x =24x y =的右半部分（包含原点），即可判断B 正确；借助二次函数的最值即可判断A 正确；数形结合判断C 选项错误；利用抛物线的定义，的最小值，从而判断D 正确．【解答】解：由题意知24(0)x y x =，即曲线x =24x y =的右半部分（包含原点），由抛物线定义可知，B 正确；2211(2)144z x y x x x =−=−=−−+，当2x =时，1max z =，A 正确；由图象可知，原点到直线2y x =−−C 错误；设点(1,5)A ，易知抛物线焦点为(0,1)F ，准线为1y =−， 设点P 到准线1y =−的距离为d ，||||||5(1)6PF PA d PA =+=+−−=，D 正确．故选：ABD ．5．设A ，B 是抛物线2:E y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是( ) A ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则||AB 的最小值为1 B ．有且只有两条直线过点(1,0)P 且与抛物线E 只有一个公共点 C ．若直线AB 过y 轴上一定点，则OA OB ⋅为定值 D ．若OA OB ⊥，则||||2OA OB 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ．1(0,)4F ，分类讨论：//AB x 轴，容易得出||AB ；AB 与x 轴不平行时，设直线AB 的方程为1()4m y x −=，代入抛物线方程可得22221(1)0216m m y y m −++=，利用根与系数的关系可得121|2AB y y =++，即可判断出正误．B ．设过点(1,0)P 且与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程可得20x kx k −+=，由△0=，解得k ；过点(1,0)与x 轴垂直时与抛物线只有一个交点，即可判断出正误．C ．设直线AB 过y 轴上一定点(0,)M t ，方程为y kx t =+，代入抛物线方程为20x kx t −−=，△0>，把根与系数的关系可得1212OA OB x x y y ⋅=+，即可判断出正误．D ．设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程为20x kx t −−=，△0>，根据OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ⋅=+=，解得t ，计算2222221122||||()()OA OB x y x y ⋅=++，即可判断出正误．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ．1(0,)4F ，若//AB x 轴，则214x =，解得12x =±，则1||212AB =⨯=．若AB 与x 轴不平行时，设直线AB的方程为1()4m y x −=，代入抛物线方程可得22221(1)0216m m y y m −++=， 122112y y m ∴+=+，12211||112AB y y m∴=++=+>，因此||AB 的最小值为1，因此A 正确．B ．设过点(1,0)P 且与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程可得20x kx k −+=，由△240k k =−=，解得0k =或4，此时与抛物线只有一个公共点；过点(1,0)与x 轴垂直时与抛物线只有一个交点，因此B 不正确．C ．设直线AB 过y 轴上一定点(0,)M t ，方程为y kx t =+，代入抛物线方程为20x kx t −−=，△0>，可得12x x k +=，12x x t =−，2212121212()()()y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++，则22221212OA OB x x y y t tk tk t t t ⋅=+=−−++=−+为定值，因此C 正确；D ．设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程为20x kx t −−=，△0>，可得12x x k +=，12x x t =−，2212121212()()()y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++，OA OB ⊥，222212120OA OB x x y y t tk tk t t t ⋅=+=−−++=−+=，解得0t =或1，0t =不符合题意，舍去，取1t =，则22222222222222222222222112212121212121212||||()()(1)(1)(1)[1()2](12)44OA OB x y x y x x x x x x x x x x t t x x x x t t k t k ⋅=++=++=+++=+++−=+++=+，则||||2OA OB ，0k =时取等号．因此D 正确．故选：ACD ．6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线22:2||2||C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( ) A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴B ．曲线C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过5D ．若(,)T a b 是曲线C 上任意一点，|4318|a b +−的最小值是11−【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD ． 【解答】解：由于222||2||x y x y +=+，则①当0x ，0y 时，2222x y x y +=+，化简得22(1)(1)2x y −+−=，表示圆心为(1,1)，半径r =②当0x ，0y <时，2222x y x y +=−，化简得22(1)(1)2x y −++=，表示圆心为(1,1)−，半径r =③当0x <，0y 时，2222x y x y +=−+，化简得22(1)(1)2x y ++−=，表示圆心为(1,1)−，半径r =的半圆；④当0x <，0y <时，2222x y x y +=−−，化简得22(1)(1)2x y +++=，表示圆心为(1,1)−−，半径r =半圆．作出曲线22:2||2||C x y x y +=+的图像如图所示：对于选项A ，易知曲线图像有4条对称轴，则选项A 正确；对于选项B ，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为22r π⨯⨯=，则选项B 正确；对于选项C ，由图可知，曲线C 上的任意两点间的最大距离为4r =C 错误；对于选项D ，圆心(1,1)到直线43180x y +−=的距离为1115d ==，(,)T a b 到直线43180x y +−=的距离2|4318|5a b d +−==，若使2d 最小，则有21115d d r =−=，所以|4318|1155a b +−=|4318|11a b +−=−，则选项D 正确．故选：ABD ．三．填空题7．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b +=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC ∆的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e=． 【分析】设A ，B ，C 坐标分别为(i x ，)1i y i =，2，3，通过三角形的重心坐标公式，结合椭圆方程，通过重心与椭圆的方程联立转化求解a ，b ，c 的关系，求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：设A ，B ，C 坐标分别为(i x ，)1i y i =，2，3， 则312312()()x x x y y y =−+⎧⎨=−+⎩代入椭圆方程可得22121222()()1x x y y a b +++=， 其中2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以12122212x x y y a b +=−⋯⋯①联立方程222222x y cb x a y a b=−⎧⎨+=⎩消去x 可得22224()20a b y b cy b +−−=， 所以212222b cy y a b +=+，41222b y y a b −=⋯⋯+② 所以4421212121222()()()c b x x y c y c y y c y y c a b −=−−=−++=⋯⋯+③，将②③代入①得225e =，从而e =．． 四．解答题8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(5,0)F −，2(5,0)F ，点M 满足12||||6MF MF −=，记点M 轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）已知1l ，2l 是经过圆22:9O x y +=上一点P 且与C 相切的两条直线，斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为0k ，求证：012()k k k +为定值．【分析】（1）根据双曲线的定义可得答案；（2）设0(P x ，0)y ，过点P 的C 的切线方程为00()y y k x x −=−，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由△0=可得2220000(9)2160x k x y k y −−++=，即可得到00122029x y k k x +=−，然后可证明． 【解答】解：（1）因为1212||||6||10MF MF F F −=<=，所以点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支， 所以12||||62MF MF a −==，12||102F F c ==，所以3a =，5c =，4b =，所以C 的方程为221(3)916x y x −=； 证明：（2）设0(P x ，0)y ，则22009x y +=， 设过点P 的C 的切线方程为00()y y k x x −=−，联立22001916()x y y y k x x ⎧−=⎪⎨⎪−=−⎩可得222222000000(169)(1818)18991440k x k x ky x kx y k x y −+−+−−−=，由222222000000(1818)4(169)(1899144)0k x ky k kx y k x y =−−−−−−=， 可得2220000(9)2160x k x y k y −−++=，所以00122029x y k k x +=−，所以22000000122220000222(9)()2999y x y y x k k k x x x x −+=⋅===−−−−．9．已知焦点在x轴上，短轴长为的椭圆C ，经过点(2,1)A ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M 、N 在椭圆C 上，且以MN 为直径的圆经过点A ，求点A 到直线MN 距离的最大值．【分析】（1）利用待定系数法可求椭圆的标准方程．（2）可证直线MN 过定点，从而可求点A 到直线MN 距离的最大值．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则b =24113a +=，故26a =，故椭圆标准方程为：22163x y +=． （2）若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率均存在且非零，故可设:(2)1AM y k x =−+，1:(2)1AN y x k=−−+．由22163(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−+⎩，可得222(12)4(12)2(12)60k x k k x k ++−+−−=， 故222(12)6212M k x k −−⨯=+，故2222(12)34421212M k k k x k k −−−−==++，故2224112M k k y k −−+=+．同理，222442N k k x k −++=+，22422N k k y k +−=+． 故22224222222422(2)(241)(12)(42)13(1)31(2)(442)(12)(244)2(1)3(1)232MNk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−+−++−−−+−−+===+−−−+−++−−+−−， 故直线MN 的方程为：22222224131442()1223212k k k k k k y x k k k k−−+−−+−−−=−+−−+， 整理得到：2222222231314422412322321212k k k k k k k k y x k k k k k k −−+−−+−−−−+=−⨯+−−−−++，整理得到：2222222222222222231(31)(442)(241)(232)3133123113121()232(232)(12)2322322323232323233k k k k k k k k k k k k k kk k k k k y x x x x k k k k k k k k k k k k k k k −−+−−−+−−+−−+−−−−+−−+−−+−−+=+=+=−⨯−=−−−−−−+−−−−−−−−−−，故直线MN 过定点21(,)33−．若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率一个不存在，另一个则为零， 此时(2,1)M −，(2,1)N −或(2,1)M −，(2,1)N −，此时MN 的方程为：2x y =−，也过21(,)33−， 综上，直线MN 过定点21(,)33Q −．所以A 到MN的距离的最大值为||AQ ==，当且仅当AQ MN ⊥即11MN AQk k =−=−时取最大值． 10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点P．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在222:O x y r +=，使得O 的任意切线l 与椭圆交于A ，B 两点，都有0OA OB ⋅=．若存在，求出r 的值，并求此时AOB ∆的面积S 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为椭圆离心率e=P ．故可得方程组222211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩求解即可得到椭圆C 的方程；（2）假设存在222:O x y r +=满足题意，联立直线与椭圆方程，求出O 到直线距离以及弦长，利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且过点P ，所以222211c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=， （2）假设存在222:O x y r +=满足题意，当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立椭圆方程可得22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得222(21)4240k x kmx m +++−=，由题意知，△222(4)4(21)(24)0km k m =−+−>，即242k m −>−，根据韦达定理得，122421kmx x k −+=+，21222421m x x k −=+，∴22121224()()21m k y y kx m kx m k −=++=+， 0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即22212122224402121m m k x x y y k k −−+=+=++， 化简得223440m k −−=，且21m >，O 到直线l的距离d r ==所以22224(1)3m r k ===+，又222r b =，故满足题意， 所以存在圆的方程为224:3O x y +=，AOB ∆的面积1||2s AB r =，又因为12|AB x x =−==当0k ≠时||)6AB =，当且仅当2214k k =即2k =±时取等号，|6，当0k=时，||AB =，当直线l的斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或(两点， 易知存在圆的方程为224:3O x y +=且||AB ，||6AB ，所以4[3S ∈，r =． 11．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点0(A x ，2)在抛物线上，OAF ∆的面积为1．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点B 是抛物线C 上异于点A 的一点，直线AB 与直线2y x =+交于点P ，过P 作y 轴的垂线交抛物线C 于点M ，求证：直线BM 过定点． 【分析】（1）由条件列方程求0x ，p ，由此可得拗物线方程；（2）联立直线BM 与拁物线方程，结合条件A ，B ，P 三点共线，可证明 直线BM 过定点．【解答】解：（1）因为点P 在抛物线上，所以024px =，即02px =，1||2||122OPF pS OF ∆=⨯==，因为0p >，故解得2p =，01x =，抛物线C 的标准方程为24y x =；证明：（2）设直线BM 的方程为x my t =+，1(M x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(2P y −，1)y ， 由，得2440y my t −−=，所以124y y m +=，124y y t =−， 由（1）可知(1,2)A ，著21x =时，9(1,2),(1,3),(,3)4B P M −，此时直线BM 的方程为46y x =−，若21x ≠时，13y ≠因为A ，B ，P 三点共线，所以12122231y y y x −−=−−， 即1212(2)(1)(3)(2)y x y y −−=−−，又因为22x my t =+，1212(2)(1)(3)(2)y my t y y −+−=−−，12121212(1)222236my y t y my t y y y y +−−+−=−−+，化简可得1212(1)(1)(32)240m y y t y m y t −+++−−−=，又124y m y =−，进而可得(1)m −，122(22)44240y y m t y tm m t +−−++−−=， 整理得2244(22)0t m m t y +−+−−=，2(22)(2)0m t y −−−=，因为22y ≠， 所以220m t −−=，此时直线BM 的方程为22(2)2x my t my m m y =+=+−=−+， 直线BM 恒过定点(2,2)， 又直线46y x =−也过点(2,2)， 综上：直线BM 过定点(2,2)．12．设A ，B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN ∆为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F 点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由已知可得||||||AF NF MF ==，得到2b ac a+=，结合隐含条件可得关于e 的方程，求解得答案；（2）()i 根据条件结合（1）中的离心率，可求得a ，c ，进而求得b ，从而得到双曲线方程；()ii 由()1i a =，设出直线l 的方程与双曲线方程联立，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系可得M与N 的横纵坐标的和与积，设AM ，AN 的方程，与12x =联立，求得P ，Q 坐标，设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上的任意一点，则0PG QG ⋅=，写出以PQ 为直径的圆的方程，取0y =可得关于x 的方程，代入根与系数的关系即可求得x 值，则答案可求．【解答】解：（1）由l x ⊥轴时，AMN ∆为等腰直角三角形，可得||||||AF NF MF ==，所以2b ac a +=，即2220c ac a −−=，故220e e −−=， 因为1e >， 解得2e =，故双曲线C 的离心率为2；（2）()i 由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点F 的距离最小， 最小距离为a c +， 即3a c +=，又2ce a==，所以1a =，2c =， 所以2223b c a =−=，所以双曲线的方程为：2213y x −=， ()ii 由题知直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+， 1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 与双曲线的方程得22213x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，化简得，22(31)1290m y my −++=，根据根与系数的关系得，1221231m y y m +=−−，122931y y m =−，① 所以121224()431x x m y y m −+=++=−，②221212122342()431m x x m y y m y y m −−=+++=−，③设直线11:(1)1y AM y x x =++， 直线22:(1)1y AN y x x =++， 令12x =，可得1(2P ，113)2(1)y x +，1(2Q ，223)2(1)y x +， 设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上的任意一点，则0PG QG ⋅=，则以PQ 为直径的圆的方程为：21212331()[][]022(1)2(1)y y x y y x x −+−−=++，由对称性可得，若存在定点，则一定在x 轴上，令0y =，可得21212331()022(1)2(1)y y x x x −+⋅=++，即212121291()024[()1]y y x x x x x −+=+++，将①②③代入，可得2222299131()034424(1)3131m x m m m ⨯−−+=−−−++−−， 即219()24x −=，解得1x =−或2，所以以PQ 为直径的圆过定点(1,0)−，(2,0)．。

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。

圆锥曲线专题复习与训练常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练 【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。

1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。

2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。

3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。

分析问题和解决问题的能力及运算能力。

一、圆锥曲线的常用性质1.椭圆知识盘点一．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（ 12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。

这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。

注：当2a=12||F F 时，点的轨迹是线段12F F ；当2a<12||F F 时，点无轨迹. 椭圆定义到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹图 形焦点在x 轴上焦点在y 轴上方 程标准 方 程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数 方 程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x范围─a≤x≤a，─b≤y ≤b ─a≤x≤a，─b≤y≤b中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0,─b)，B2(0,b)A1（0，－a），A2(0，a)B1(─b，0)，B2(b，0)对称轴关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(0,c), F2(0，─c)焦距2c （其中c=22ba-）2c （其中c=22ba-）长轴短轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b离心率)10(<<=eace)10(<<=eace通径ab22ab22三．椭圆的性质：椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a(第一定义)，（2）椭圆上的点到左焦点的距离最小值:，椭圆上的点到左焦点的距离最大值:；（3）椭圆上过焦点的弦长中长轴最长，通经最短；（4）斜率为定值的动直线与椭圆所截的弦中过椭圆中心的弦长最长；（对称性）（5）在焦点三角形PF1F2中，①顶角∠PF1F2的大小当点P与短轴顶点重合时最大；②12PF F pS c y=⨯，当py越大S越大，所以当点P与短轴顶点重合时焦点三角形PF1F2的面积最大；③设顶角∠PF1F2=θ，则122tan2PF FS bθ=（椭圆的定义及余弦定理推导）④椭圆的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系：121221sinsin sinF PFePF F PF F∠=∠+∠（正弦定理推导）（6）离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1) ，e确定椭圆的形状：e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆.θ（7）点(),o oP x y在椭圆内，则22221x ya b+<，点(),o oP x y在椭圆外，则22221x ya b+>；［特别提醒］1．涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，要注意判别式∆及韦达定理的运用。

圆锥曲线复习高二圆锥曲线练习题1、F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．C ．12D 4、设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=5、设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）. （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16、双曲线8222=-y x 的实轴长是（ ）（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）427、双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．．2 C ．18、以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=9、、过椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若∠1F 2PF 60=°，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．3 C ．12 D ．1310. “0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; (2)离心率为23，经过点(2，0); (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31;12、与椭圆且短有相同的焦点，y x 14922=+轴长为2的椭圆方程是：13、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为：14、已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．15、 已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F △的面积是9，则b = ．16.设圆C 与两圆22224,4x y x y +=+=（（中的一个内切，另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.17.设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为P D 上一点，且45MD PD = （Ⅰ）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度。