北京市丰台区2012届九年级上学期期末考试试卷

北京市丰台区2012-2013学年度第一学期初三期末考试英语试卷本试卷满分120分。

考试时间120分钟。

听力理解（共26分）一、听对话, 从下面各题所给的A、B、C三幅图片中选择与对话内容相符的图片。

每段对话你将听两遍。

（共4分, 每小题1分）二、听对话或独白, 根据对话或独白的内容, 从下面各题所给的A、B、C三个选项中选择最佳选项。

每段对话或独白你将听两遍。

（共12分。

每小题1分）请听一段对话, 完成第5至第6小题。

5. Who is Ann’s science teacher?A. Bill.B. Steven.C. Mark.6. What is her teacher like?A. He is funny.B. He is strict.C. He is quiet.请听一段对话, 完成第7至第8小题。

7. What is Dave going to do during the holiday?A. Watch DVDs.B. Go surfing.C. Go swimming.8. How long will he stay at the beach?A. For two days.B. For one week.C. For two weeks.请听一段对话, 完成第9至第10小题。

9. What’s wrong with the boy?A. He is tired.B. He is thirsty.C. He is hungry.10. What does the boy ask his mother to do?A. To call his father.B. To cook dinner.C. To help his father.请听一段对话, 完成第11至第13小题。

11. Why can’t the old man find his daughter’s home?A. Because Shanghai has changed a lot.B. Because he has never been to Shanghai.C. Because his daughter moved to a new house.12. How did the old man come to Shanghai?A. By bus.B. By plane.C. By train.13. Where does the old man’s daughter work?A. In a big park.B. In a hospital.C. In the train station.请听一段独白, 完成第14至第16小题。

2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．=B．=C．=D．=2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（ ）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：53．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（ ）A．B．C．D．5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（ ）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（ ）A．4B．6C．8D．108．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y= x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A．2B．4C．8D．169．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A．AE=6cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤10时，y=t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形二．填空题（本题共20分，每小题4分）10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是 ．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A= °．12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为 cm2．13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 ．14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n为正整数）三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分）15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°．16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，求证：AB2=BG•BC．五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B 处．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．=B．=C．=D．=【分析】根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．【解答】解：A、由=得，xy=12，故本选项错误；B、由=得，3x=4y，故本选项正确；C、由=得，4x=3y，故本选项错误；D、由=得，4x=3y，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（ ）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：5【分析】由DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比相等得到AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AE：AC，∵DE：BC=3：5，∴AE：AC的值为3：5，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．3．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，∴3.5＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，∴向上一面的数字不小于3的概率是：=．故选：C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求得三角形的斜边长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：斜边长是：=，则sinα==．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（ ）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】先根据反比例函数的性质判断出反比例函数的图象所在的象限，再求出x＞0时，函数的图象所在的象限即可．【解答】解：∵反比例函数中，k=﹣5＜0，∴此函数的图象位于二、四象限，∵x＞0，∴当x＞0时函数的图象位于第四象限．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（ ）A．4B．6C．8D．10【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE==4，∴AB=2AE=8，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y= x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A．2B．4C．8D．16【分析】根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．【解答】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y==（x2﹣4x）=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．9．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A．AE=6cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤10时，y=t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．【解答】解：（1）结论A正确．理由如下：分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；（2）结论B正确．理由如下：如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC===；（3）结论C正确．理由如下：如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．（4）结论D错误．理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．二．填空题（本题共20分，每小题4分）10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是　：3　．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是5：9，∴它们的相似比是：3，∴它们的周长比是：3．故答案为：：3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A=　60　°．【分析】根据∠C=90°，tanA=，可求得∠A的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA=，∴∠A=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　3π　cm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积==3πcm2．故答案是：3π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 ．【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：白白红白（白，白）（白，白）（红，白）白（白，白）（白，白）（红，白）红（白，红）（白，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，则P（颜色不同）=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=　6　，A n B n=　n（n+1）　．（n为正整数）【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分）15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°．【分析】本题可根据特殊的三角函数值解出tan30°、cos45°、sin60°的值，再代入原式中即可．【解答】解：原式=，=，=．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可；（2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；（3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2）；（2）∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可；（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，∴===；（2）由∠AOC=130°，得∠BOC=50°，又∵∠D=∠BOC，∴∠D=×50°=25°．【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆周角定理，熟练记忆弧长公式是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A 的正弦值，即可求出AB的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=∴AB=6÷=15．【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．【分析】根据PA，PB分别是⊙O的切线得到PA⊥OA，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数．【解答】解：连接OB，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=140°；∵PA，PB分别是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，即∠PAO=∠PBO=90°，∵四边形AOBP的内角和为360°，∴∠P=360°﹣（90°+90°+140°）=40°．【点评】本题主要考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径．20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．【分析】（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小．【解答】解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y1＜y2；当x=1时，y1=y2；当x＞1时，y1＞y2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，求证：AB2=BG•BC．【分析】因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=BG•BC．【解答】解：连接AD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵AF⊥BD，∴∠D+∠DAF=90°，∴∠BAG=∠D，∵∠C=∠D，∴∠C=∠BAG，∵∠ABG=∠ABC，∴△ABG∽△CBA，∴AB：CB=BG：AB，∴AB2=BG•BC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与圆的性质．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，同学们应注意掌握．五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B 处．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA=90°﹣45°=45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°﹣60°=30°，∴PC=PA•cos30=100×=50，在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∴PB=PC=50≈122.5，∴B处距离P有122.5海里．（2）没有危险．理由如下：OB=OP﹣PB=190﹣50，（190﹣50）﹣50=140﹣50＞0即OB＞50，∴无危险【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）（2分）设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5（3分）把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5得a=﹣（5分）∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（6分）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分）∴4=﹣（x﹣5）2+5∴（x﹣5）2=1∴x1=，x2=（9分）∴两景观灯间的距离为﹣=5米．（10分）【点评】此题考查对抛物线等二次函数的应用，从图中可以看出的坐标是解题的关键．24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF 为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣3过点A（4，0），∴0=4k﹣3，解得k=．∴直线的解析式为y=x﹣3．（1分）由直线y=x﹣3与y轴交于点C，可知C（0，﹣3）．∵抛物线经过点A（4，0）和点C，∴，解得m=．∴抛物线解析式为．（2分）（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x1=1，x2=4．∴B（1，0）．∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3﹣t，AQ=5﹣2t．①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥OC（如图1），∴△AP1Q1∽△AOC．∴，∴，解得t=；（3分）②若∠P2Q2A=90°，∵∠P2AQ2=∠OAC，∴△AP2Q2∽△ACO．∴，∴解得t=；（4分）③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．（3）答：存在．过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．∴S△ADF=DF•AE，S△CDF=DF•OE．∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF•AE+DF•OE=DF×（AE+OE）=×（DE+EF）×4=×（）×4=．（6分）∴S△ACD=（0＜x＜4）．又∵0＜2＜4且二次项系数，∴当x=2时，S△ACD的面积最大．而当x=2时，y=．∴满足条件的D点坐标为D（2，）．（7分）【点评】此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法．25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：==．即==．设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得=，则==．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，又由FQ∥ED，易证得==，所以FM=FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE=FC，∴∠1=∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB=CB，∠4=∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF=∠2，FA=FC，∴FE=FA，∠1=∠BAF，∴∠5=∠6．∵∠1+∠BEF=180°，∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，∴∠AFE+∠ABE=180°．又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，∴∠5+∠6=∠3+∠4，∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；（2）FM=FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD．又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA，∴∠AGF=∠BAF．又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF．∵∠AGF=∠MBG+∠BMG，∴∠MBG=∠BMG，∴BG=MG．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF．又∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴==．∵AF=AD，∴==．设GF=2a（a＞0），AG=3a，∴GD=a，∴FD=a∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB，∴BE∥AD，∴=，∴==．设EG=2k（k＞0），∴BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，∴GQ=QE，∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k．∵FQ∥ED，∴==，∴FM=FN．第31页（共31页）【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．。

2009-2010学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）若=，则的值是（ ）A．B．C．﹣D．2．（4分）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外其它均相同，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（ ）A．B．C．D．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，则cosA的值是（ ）A．B．C．D．44．（4分）将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A．y=2（x+1）2B．y=2（x﹣1）2C．y=2x2+1D．y=2x2﹣1 5．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）A．2B．3C．6D．546．（4分）若反比例函数y=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以为（ ）A．﹣1B．3C．0D．﹣37．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ）A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．D．OD=DE8．（4分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．（4分）如果反比例函数的图象过点（2，﹣3），那么k= ．10．（4分）若扇形的半径为6cm，圆心角的度数为90°，则扇形的面积为 cm2．11．（4分）如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE，BC不平行，若使△ADE∽△ABC，需要添加的条件是 （写出一个即可）．12．（4分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．三、解答题（共13小题，满分72分）13．（5分）计算：tan45°﹣2cos30°+sin60°14．（5分）已知：二次函数的表达式为y=﹣4x2+8x（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标；（3）若点A（﹣1，y1）、B（，y2）都在该函数图象上，试比较y1与y2的大小．15．（4分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由．16．（5分）已知：如图，在⊙O中，弦MN=16，半径OA⊥MN，垂足为点B，AB=4，求⊙O半径的长．17．（5分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．18．（5分）在学校田径运动会4×100米接力比赛时，用抽签的方法安排跑道，九年级（1）、（2）、（3）三个班恰好分在一组，求九年级（1）、（2）班恰好依次排在第一、第二道的概率．19．（5分）2008年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B 处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）20．（5分）如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．21．（6分）已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE=1，，求EF的长．22．（5分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y 与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？23．（7分）如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E 作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明．24．（8分）下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x…﹣101234…X2+bx+c…3﹣13…（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格中空白处的对应值；（2）代数式x2+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由；（3）设y=x2+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y 轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．25．（7分）在平面直角坐标系中，以点A（﹣3，0）为圆心，半径为5的圆与x 轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D，M（点D在点M的下方）．（1）求以直线x=﹣3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；（3）若E为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．2009-2010学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）若=，则的值是（ ）A．B．C．﹣D．【分析】若=，则可以设a=2k，则b=3k．将其代入分式求解．【解答】解：∵=，∴设a=2k，则b=3k．∴===﹣，故选：C．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．2．（4分）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外其它均相同，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【解答】解：3个红球、2个白球一共是5个，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是．故选：D．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，则cosA的值是（ ）A．B．C．D．4【分析】依据勾股定理求出AC的长，根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，由勾股定理可知AC=，则cosA==．故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．（4分）将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A．y=2（x+1）2B．y=2（x﹣1）2C．y=2x2+1D．y=2x2﹣1【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移1个单位抛物线变为y=2x2﹣1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）A．2B．3C．6D．54【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．（4分）若反比例函数y=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以为（ ）A．﹣1B．3C．0D．﹣3【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项．【解答】解：根据题意k﹣1＞0，则k＞1．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ）A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．D．OD=DE【分析】由垂径定理和圆周角定理可证，AD=BD，AD=BD，，而点D不一定是OE的中点，故D错误．【解答】解：∵OD⊥AB∴由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，，∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线，有∠AOE=∠AOB，由圆周角定理知，∠C=∠AOB，∴∠ACB=∠AOE，故A、B、C正确，D中点D不一定是OE的中点，故错误．故选：D．【点评】本题利用了垂径定理，等腰三角形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．（4分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）A．B．C．D．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．故选：C．【点评】本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．（4分）如果反比例函数的图象过点（2，﹣3），那么k=　﹣6　．【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：将点（2，﹣3）代入解析式可得k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．10．（4分）若扇形的半径为6cm，圆心角的度数为90°，则扇形的面积为　9π　cm2．【分析】根据扇形的面积S=，把相应值代入求值即可．【解答】解：扇形的面积==9πcm2，故答案为9π．【点评】本题主要考查扇形的面积公式．11．（4分）如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE，BC不平行，若使△ADE∽△ABC，需要添加的条件是　∠ADE=∠C　（写出一个即可）．【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【解答】解：由图可得，∠DAE=∠CAB，要使△ADE∽△ABC，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：∠ADE=∠C或∠AED=∠ABC；根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：AB：AC=AE：AD．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．12．（4分）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．【分析】在Rt△ABC中，易知∠ABC的正切值为；根据圆周角定理可得，∠AED=∠ABC，由此可求出∠AED的正切值．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=1，AB=2；∴tan∠ABC==；∵∠AED=∠ABC，∴tan∠AED=tan∠ABC=．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．三、解答题（共13小题，满分72分）13．（5分）计算：tan45°﹣2cos30°+sin60°【分析】根据特殊角的三角函数值，分别把30°、45°、60°角的三角函数值代入原式计算即可．【解答】解：tan45°﹣2cos30°+sin60°，=1﹣2×+，=．【点评】解答此题要熟悉三角函数的特殊值以及有理数的混合运算法则，难度不大．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．14．（5分）已知：二次函数的表达式为y=﹣4x2+8x（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标；（3）若点A（﹣1，y1）、B（，y2）都在该函数图象上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标及对称轴；（2）令y=0，求x的值，可确定抛物线与x轴的交点坐标；（3）抛物线的对称轴是x=1，抛物线开口向下，比较可知，已知两点都在对称轴左边，y随x的增大而增大，由此可比较大小．【解答】解：（1）∵y=﹣4（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4）；（2）令y=0，﹣4x2+8x=0，∴x1=0，x2=2、∴抛物线与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）；（3）∵a=﹣4＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x=1左侧，y随x增大而增大，∵，∴y2＞y1．【点评】抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y=0，y＜0．15．（4分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由．【分析】首先由DE∥BC，得，根据EF∥AB，得，根据等式的传递性即可证明结论．【解答】解：成立．理由如下：∵DE∥BC，∴．∵EF∥AB，∴．∴．【点评】此题主要是运用了平行线分线段成比例定理．16．（5分）已知：如图，在⊙O中，弦MN=16，半径OA⊥MN，垂足为点B，AB=4，求⊙O半径的长．【分析】根据垂径定理，易求得MB的长；连接OM，在Rt△OMB中，可用半径表示出OB的长，再根据勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解：∵半径OA⊥弦MN于点B，MN=16，∴MB=MN=8；（1分）连接OM，（2分）设半径为R，∵AB=4，∴OB=OA﹣AB=R﹣4；（3分）在Rt△OMB中，∠OBM=90°，∴OM2﹣OB2=MB2即R2﹣（R﹣4）2=82，（4分）∴R=10；（5分）∴⊙O的半径长为10．【点评】此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．17．（5分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．【分析】（1）根据已知条件求出c点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；（2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO=．∴CE=3．（1分）∴点C的坐标为C（﹣2，3）．（2分）设反比例函数的解析式为y=，（m≠0）将点C的坐标代入，得3=．（3分）∴m=﹣6．（4分）∴该反比例函数的解析式为y=﹣．（5分）（2）∵OB=4，∴B（4，0）．（6分）∵tan∠ABO=，∴OA=2，∴A（0，2）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、B的坐标分别代入，得．（8分）解得．（9分）∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（10分）．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．18．（5分）在学校田径运动会4×100米接力比赛时，用抽签的方法安排跑道，九年级（1）、（2）、（3）三个班恰好分在一组，求九年级（1）、（2）班恰好依次排在第一、第二道的概率．【分析】列举出所有情况，看（1）、（2）班恰好依次排在第一、第二道的情况占总情况的多少即可．【解答】解：列举所有可能发生的结果：∵所有可能出现的结果有6个，且每个结果发生的可能性相等，其中（1）、（2）班恰好依次排在第一、第二道的结果只有1个，∴P（1、2班恰好依次排在第一、二道）=．【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验．19．（5分）2008年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B 处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD=．∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．（3分）∵cos∠ABD=．∴BD=AB•cos∠ABD=15×cos21°≈14.00米．（5分）在Rt△BDC中，tan∠CBD=．∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．（8分）∵cos∠CBD=．∴BC=≈≈17.77米（10分）∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米（11分）答：折断前发射塔的高约为34.1米．（12分）注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分．①若到最后再进行近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；②若解题过程中所有三角函数值均先精确到0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（5分）如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．【分析】（1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．【解答】解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，0=a（1+2）2﹣5，∴．（2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）2+k，∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到，∴，∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5），∴点M的坐标为（2，5），∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5=﹣x2+x+．【点评】此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握．21．（6分）已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE=1，，求EF的长．【分析】Rt△ABE中，EF⊥AB，易得∠AEF=∠B，即cos∠B=，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC的比例关系，根据EC=BC﹣BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值，即可在Rt△AEF中，求出EF的长．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；∴∠B=∠AEF；（1分）∴∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°∴；（2分）设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC﹣BE=BA﹣BE=k；∵EC=1，∴k=1；（3分）∴BE=4，AB=5；∴AE=3；（4分）在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∵，（5分）∴．（6分）【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．22．（5分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y 与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．（3）利用x=﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，得y=（2400﹣2000﹣x）（8+4×），即y=﹣x2+24x+3200；（2）由题意，得﹣x2+24x+3200=4800．整理，得x2﹣300x+20000=0．解这个方程，得x1=100，x2=200．要使百姓得到实惠，取x=200元．∴每台冰箱应降价200元；（3）对于y=﹣x2+24x+3200=﹣（x﹣150）2+5000，当x=150时，y最大值=5000（元）．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．23．（7分）如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E 作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明．【分析】（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠F=∠ACH，又∠CAF=∠FAC，∴△ACH∽△AFC．（2）解：AH•AF=AE•AB．证明：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEH=90°，又∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴，∴AH•AF=AE•AB．（3）解：当时，S△AEC：S△BOD=1：4．理由：∵直径AB⊥CD，∴CE=ED，∵S△AEC=AE•EC，S△BOD=OB•ED，∴===，∵⊙O的半径为2，∴，∴8﹣4OE=2，∴OE=．即当点E距离点O 时S△AEC：S△BOD=1：4．【点评】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．24．（8分）下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x…﹣101234…X2+bx+c…3﹣13…（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格中空白处的对应值；（2）代数式x2+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由；（3）设y=x2+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y 轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．【分析】（1）根据图表中已知的三组数据，用待定系数法即可求出b、c的值；进而可由抛物线的解析式填齐空白处的对应值；（2）根据（1）所得函数的解析式，可用配方法或公式法求出其最小值；（3）由于△PEC的面积无法直接得出，所以要转化为其他图形面积的和差来解；可设出P点的坐标，过E作EM⊥x轴于M，易证得△BPE∽△BAC，那么它们的对应高等于相似比，由此可求出EM的表达式；那么△PEC的面积可由△ABC、△BPE、△APC的面积差求得，也就得到了关于△PEC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的P 点坐标．【解答】解：（1）由题意知：解得b=﹣4（1分）x…﹣101234…X2+bx+c…830﹣103…（2）∵x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1∴x2﹣4x+3有最小值，最小值为﹣1；（3分）（3）由（1）可知，点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0）、设点P的坐标为（x，0），过点E作EM⊥x轴于点M，∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB∵EM、CO分别为△EPB与△CAB边上的高，∴（4分）∵CO=3，AB=2，PB=3﹣x，∴（5分）∴S△PEC=S△PBC﹣S△PBE=PB•CO﹣PB•EM（6分）==（7分）∴当x=2时，S有最大值；∴当点P的坐标为（2，0）时，△PEC的面积最大．（8分）【点评】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法及二次函数的应用等，综合性较强，难度偏大．25．（7分）在平面直角坐标系中，以点A（﹣3，0）为圆心，半径为5的圆与x 轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D，M（点D在点M的下方）．（1）求以直线x=﹣3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；（3）若E为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据圆的对称性，圆心的坐标和圆的半径可得出B点的坐标为（﹣8，0），C点的坐标为（2，0），M点的坐标为（0，4），D点的坐标为（0，﹣4）．已知抛物线过C，D两点，且对称轴为x=﹣3，可用顶点式二次函数通式来设出抛物线的解析式，然后将C、D两点的坐标代入抛物线中即可得出过C、D两点的二次函数的解析式．（2）由于P是动点，因此PC+PD的最大值可以视作为无穷大；那么求PC+PD 最小值时，关键是找出P点的位置，由于B、C关于抛物线的对称轴对称，因此连接BC，直线BC与抛物线对称轴的交点就是PC+PD最小时P点的位置．那么此时PC+PD=BD，可在直角三角形BOD中用勾股定理求出BD的长，即可得出PC+PD的取值范围．（3）本题要分两种情况进行讨论：①当平行四边形以BC为边时，可在x轴上方找出两个符合条件的点，由于EF平行且相等于BC，那么可根据BC的长和抛物线的对称轴得出此时F点的横坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．②平行四边形以BC为对角线，可在x轴下方找出一个符合条件的点且此时F点正好是抛物线的顶点．【解答】解：（1）设以直线x=﹣3为对称轴的抛物线的解析式为y=a（x+3）2+k，由已知得点C、D的坐标分别为C（2，0）、D（0，﹣4），分别代入解析式中，得，解得，∴y=（x+3）2﹣为所求；（2）（图1）∴点C（2，0）关于直线x=﹣3的对称点为B（﹣8，0），∴使PC+PD值最小的P点是BD与直线x=﹣3的交点．∴PC+PD的最小值即线段BD的长．在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=4，∴PC+PD的最小值是4∵点P是对称轴上的动点，∴PC+PD无最大值．∴PC+PD的取值范围是PC+PD≥4．（3）存在．①（图2）当BC为所求平行四边形的一边时．点F在抛物线上，且使四边形BCFE或四边形BCEF为平行四边形，则有BC∥EF 且BC=EF，设点E（﹣3，t），过点E作直线EF∥BC与抛物线交于点F（m，t）．由BC=EF，得EF=1O．∴F1（7，t），F2（﹣13，t）．又当m=7时，t=∴F1（7，），F2（﹣13，）；②（图3）当BC为所求平行四边形的对角线时．由平行四边形的性质可知，点F即为抛物线的顶点（﹣3，）∴存在三个符合条件得F点，分别为F1（7，），F2（﹣13，），F3（﹣3，）．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．。

北京市丰台区2012-2013学年度第一学期初三年级期末考试物理试卷满分100分。

考试时间120分钟。

一、下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。

（共24分。

每小题2分）1. 在图1所示的四位科学家中，以其名字命名电功单位的是2. 下列物品中，通常情况下属于绝缘体的是A. 铅笔芯B. 塑料尺C. 铁钉D. 金属勺3. 下列用电器中，利用电流热效应工作的是A. 电话机B. 电冰箱C. 洗衣机D. 电暖器4. 下列说法中正确的是A. 正、负电荷定向移动都会形成电流B. 电路中的电流是形成电压的原因C. 自由电荷定向移动的方向为电流方向D. 电路两端有电压，电路中就一定有电流5. 下列做法中，符合安全用电要求的是A. 用湿布擦带电的插座B. 更换灯泡时，先断开开关C. 发现有人触电，立即用手把人拉开D. 靠近落在地上的高压线6. 如图2所示的四个电路中，闭合开关S，三盏灯属于串联的是7. 关于电流、电压和电阻的关系，下列说法中正确的是A. 导体的电阻与电压成正比，与电流成反比B. 导体的电阻越大，这段导体两端的电压就越高C. 导体两端的电压越高，通过这段导体的电流就越大D. 通过导体的电流越大，这段导体的电阻就越小8. 下列家用电器中，正常工作时的功率最接近1000W的是A. 数码相机B. 电视机C. 笔记本电脑D. 家用微波炉9. 如图3所示的四个电路中，总电阻最小的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 如图4所示，电源两端电压不变，灯丝电阻不变。

将滑动变阻器的滑片P 置于中点，闭合开关S后，各电表的示数和灯泡的发光情况均正常。

现将滑动变阻器的滑片P由中点向右移动，则A. 灯泡L变亮B. 电压表V示数变大C. 电流表A1示数变大D. 电流表A2示数变小11. 某电烤箱的内部简化电路如图5所示，R1和R2均为电热丝。

电烤箱说明书中的铭牌如下表所示，根据表格中的参数可知A. 电烤箱在低温档正常工作时，电路中的总电阻为44ΩB. 电烤箱在低温档正常工作时，R2消耗的电功率为264WC. 电烤箱在高温档正常工作时，只有R1接入电路，其阻值为66ΩD. 电烤箱在高温档正常工作5min所消耗的电能为5500J12. 如图6所示，电源两端的电压U保持不变，R为定值电阻，滑动变阻器的最大阻值为4R1。

2012-2013 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共36 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若sinA=，则∠A 的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．无法确定2．（4 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC 等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：53．（4 分）如果⊙O1 和⊙O2 的半径分别为3cm 和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2 的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切4．（4分）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）5．（4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°6．（4 分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3 的概率是（）A．B．C．D．7．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB 的长是（）A．10m B．m C．15m D．m 8．（4 分）如图，P 为反比例函数的图象上一点，PA⊥x 轴于点A，△PAO 的面积为6，下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，6）C．（2，6）D．（﹣2，3）9．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共24 分，每小题4 分）10．（4 分）已知，则=．11．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则tanB=．12．（4 分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，若△DEF 的面积为4，则△ABC 的面积为．13．（4 分）如图，⊙O 的弦AB=8，OD⊥AB 于点D，OD=3，则⊙O 的半径等于．14．（4 分）袋子中装有2 个红球和4 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出 1 个球，则这个球是红球的概率是．15．（4 分）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD 的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径长为；经过18 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为；经过3n（n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为．（结果都保留π）三、解答题（本题共20 分，每小题5 分）16．（5 分）计算：2sin60°﹣tan45°+4cos30°．17．（5 分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．18．（5 分）已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，连接BD，且∠ABD=∠ ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC 的长．19．（5 分）已知反比例函数的图象经过点P（2，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）是上述反比例函数图象上的点，且x1＜x2＜0，试比较y1 与y2 的大小．四、解答题（本题共24 分，每小题6 分）20．（6 分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E 处测得∠AFG=60°，CE=8 米，仪器高度CD=1.5 米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．21．（6 分）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB=AC，点D 在⊙O 上，AD⊥AB 于点A，AD 与BC 交于点E，F 在DA 的延长线上，且AF=AE．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，，求BC 的长．22．（6 分）小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20 元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000 元，那么销售单价应该定为多少元？23．（6 分）如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE 丄CD，垂足为E．试说明E 是△ABC 的自相似点；（2）在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．五、解答题（本题共16 分，每小题8 分）24．（8 分）已知抛物线上有不同的两点E（k+3，﹣k2+1）和F （﹣k﹣1，﹣k2+1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP 交y 轴于点C，MQ 交x 轴于点D．设AD 的长为m（m＞0），BC 的长为n，求n 和m 之间的函数关系式；（3）当m，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F？25．（8 分）以AB 为直径作半圆O，AB=10，点C 是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC 至点D，使DC=BC，过点D 作DE⊥AB 于点E、交AC 于点F，连接OF．（1）如图①，当点E 与点O 重合时，求∠BAC 的度数；（2）如图②，当DE=8 时，求线段EF 的长；（3）在点C 运动过程中，若点E 始终在线段AB 上，是否存在以点E、O、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请直接写出此时线段OE 的长；若不存在，请说明理由．2012-2013 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若sinA=，则∠A 的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．无法确定【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，∴∠A=30°．故选：C．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．2．（4 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC 等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC 的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴AE：EC=3：2，∴AE：AC=3：5．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE 与EC 的关系是解题关键．3．（4 分）如果⊙O1 和⊙O2 的半径分别为3cm 和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2 的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较，得出结论．【解答】解：∵R﹣r=3﹣1=2=d，∴两圆内切，故选D．【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r 或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．4．（4 分）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k 是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a 的符号确定，当a＞0 时开口向上，当a＜0 时开口向下．【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选：A．【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．5．（4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°【分析】由OB=OC，∠OBC=30°，易求得∠BOC 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BAC 的度数．【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=30°，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=120°，∴∠BAC= ∠BOC=60°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．（4 分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3 的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式知，骰子共有六个面，其中向上一面的数字小于3 的面有1，2，故掷该骰子一次，则向上一面的数字小于3 的概率是=．【解答】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，其中向上一面的数字小于3 的面有1，2，∴6 个结果中有2 个结果小于3，故概率为=，∴向上一面的数字小于3 的概率是，故选：C．【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）=，难度适中．7．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB 的长是（）A．10m B．m C．15m D．m【分析】由河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．【解答】解：河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：，即tan∠BAC===，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10m，故选：A．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．8．（4 分）如图，P 为反比例函数的图象上一点，PA⊥x 轴于点A，△PAO 的面积为6，下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，6）C．（2，6）D．（﹣2，3）【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义及△PAO 的面积先求出k 的值，再根据第二象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：由于P 为反比例函数的图象上一点，所以S=|k|=6，又因为函数位于第二象限，所以k=﹣12．再把各选项中的坐标代入进行判断：A、2×3=6≠﹣12，故不在函数图象上；B、﹣2×6=﹣12，故在函数图象上；C、2×6=12≠﹣12，故不在函数图象上；D、（﹣2）×3=﹣6≠﹣12，故不在函数图象上．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点．9．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°= = ，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S△ABP= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，故此函数为二次函数，∵a=＞0，∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有D 符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．二、填空题（本题共24 分，每小题4 分）10．（4 分）已知，则= ．【分析】根据比例的性质变形即可求解．【解答】解：∵，∴=．故答案为：．【点评】考查了比例的性质，是基础题型．11．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则tanB= ．【分析】在直角三角形中，∠C=90°，AC=2，BC=3，直接根据正切的概念求解．【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，根据正切的定义知：tanB= =，故答案为．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．12．（4 分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，若△DEF 的面积为4，则△ABC 的面积为 16 ．【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．【解答】解：∵△DEF 与△ABC 的相似，且相似比为1：2，∴△DEF 与△ABC 的面积比为1：4，∴△DEF 的面积为4，∴则△ABC 的面积为16，故答案为：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键．13．（4 分）如图，⊙O 的弦AB=8，OD⊥AB 于点D，OD=3，则⊙O 的半径等于5 ．【分析】连接OA，由OD 垂直于AB，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，由AB 的长求出AD 的长，在直角三角形AOD 中，由AD 与OD 的长，利用勾股定理求出OA 的长，即为圆O 的半径．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D 为AB 的中点，即AD=BD=AB=4，在Rt△AOD 中，OD=3，AD=4，根据勾股定理得：OA= =5，则圆O 的半径为5．故答案为：5【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．14．（4 分）袋子中装有2 个红球和4 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出 1 个球，则这个球是红球的概率是．【分析】由袋子中装有2 个红球和4 个白球，随机从袋子中摸出1 个球，这个球是红球的情况有2 种，根据概率公式即可求得答案．【解答】解：∵袋子中装有2 个红球和4 个白球共6 种等可能的结果，∴这个球是红球的概率是=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4 分）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD 的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径长为；经过18 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为；经过3n（n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为．（结果都保留π）【分析】从图中可以看出，第一次旋转是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA 的长，圆心角是60 度．第二次还是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60 度．第三次就是以点B 为旋转中心，OB 为半径，旋转的圆心角为60 度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18 次，就是这样的6 个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长．【解答】解：∵菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，∴△ABD 是等边三角形，BO=DO=1，AO= =，第一次旋转的弧长= = π，∵第一、二次旋转的弧长和= +=π+ π=π，第三次旋转的弧长为：=∵18÷3=6，故中心O 所经过的路径总长=6（π+ ）=（4 +2）π，故经过3n（n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为：n ×（π+ ）=nπ．故答案为：π，（4+2）π，nπ．【点评】本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3 次一循环进而得出经过路径是解题的关键．三、解答题（本题共20 分，每小题5 分）16．（5 分）计算：2sin60°﹣tan45°+4cos30°．【分析】将sin60°=，tan45°=1，cos30°= 代入，然后化简合并即可得出答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=﹣1+2=3﹣1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．17．（5 分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．【分析】（1）将A 与B 的坐标代入二次函数解析式中得到关于a 与b 的方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）对于二次函数，令x=0 及y=0 即可求出与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）由题意，将A 与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x 轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y 轴交点坐标为（0，﹣3）．【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，以及抛物线与x 轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．（5 分）已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，连接BD，且∠ABD=∠ ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC 的长．【分析】（1）由∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ABD∽△ACB；（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC 的长．【解答】证明：（1）∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，∴△ABD∽△ACB；（2）解：∵△ABD∽△ACB，∴，∴．∴AC= ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想的应用．19．（5 分）已知反比例函数的图象经过点P（2，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）是上述反比例函数图象上的点，且x1＜x2＜0，试比较y1 与y2 的大小．【分析】（1）将P 坐标代入反比例解析中求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）由k 的值大于0，得到在每一个象限，y 随x 的增大而减小，利用增减性即可判断．【解答】解：（1）∵点P（2，1）在反比例函数y=图象上，∴将x=2，y=1 代入反比例解析式得：k=xy=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵k=2＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2．【点评】此题考查了待定系数法确定反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．四、解答题（本题共24 分，每小题6 分）20．（6 分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E 处测得∠AFG=60°，CE=8 米，仪器高度CD=1.5 米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．【分析】首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5 米，DF=CE=8 米，然后设AG=x 米，GF=y 米，则在Rt△AFG 与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x 与y 的关系，解方程组即可求得答案．【解答】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG 是矩形，∴GB=EF=CD=1.5 米，DF=CE=8 米，设AG=x 米，GF=y 米，在Rt△AFG 中，tan∠AFG=tan60°=== ，在Rt△ADG 中，tan∠ADG=tan30°===，∴x=4 ，y=4，∴AG=4 米，FG=4 米，∴AB=AG+GB=4+1.5≈8.4（米）．∴这棵树AB 的高度约为8.4 米．【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．21．（6 分）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB=AC，点D 在⊙O 上，AD⊥AB 于点A，AD 与BC 交于点E，F 在DA 的延长线上，且AF=AE．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，，求BC 的长．【分析】（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD 是直径．证明BF⊥DB 即可．（2）作AG⊥BC 于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据，求相关线段的长．【解答】证明：（1）如图，连接BD．∵AD⊥AB，D 在圆O 上，∴∠DAB=90°，∴DB 是⊙O 的直径．∴∠1+∠2+∠D=90°．又∵AE=AF，∴BE=BF，∠2=∠3．∵AB=AC，∴∠D=∠C=∠2=∠3．∴∠1+∠2+∠3=90°．即OB⊥BF 于B．∴直线BF 是⊙O 的切线．（4 分）（2）作AG⊥BC 于点G．∵∠D=∠2=∠3，∴．在Rt△ABD 中，∠DAB=90°，AD=4，，∴，．在Rt△ABG 中，∠AGB=90°，AB=3，，∴．∵AB=AC，∴．（8 分）【点评】此题考查了切线的判定方法，运用了三角函数求线段的长，综合性较强，难度偏上．22．（6 分）小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20 元”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000 元，那么销售单价应该定为多少元？【分析】（1）根据题意可得利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）根据（1）式列出的方程式，运用配方法即可求最大利润；（3）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．【解答】解：（1）根据题意可得：w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，当x=35 时，每月利润最大；（3）当w=2000 时，﹣10x2+700x﹣10000=2000，化简得：x2﹣70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40．答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000 元，那么销售单价应该定为30 元或40 元．【点评】此题考查二次函数的应用以及抛物线的基本性质，注意仔细审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．23．（6 分）如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE 丄CD，垂足为E．试说明E 是△ABC 的自相似点；（2）在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE ∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC 的自相似点；②根据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 上的中线，∴CD= AB，∴CD=BD，∴∠BCE=∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E 是△ABC 的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC 内，作∠CBD=∠A，②在∠ACB 内，作∠BCE=∠ABC，BD 交CE 于点P，则P 为△ABC 的自相似点；②∵P 是△ABC 的内心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB= ∠ACB，∵△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A= ，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．五、解答题（本题共16 分，每小题8 分）24．（8 分）已知抛物线上有不同的两点E（k+3，﹣k2+1）和F （﹣k﹣1，﹣k2+1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP 交y 轴于点C，MQ 交x 轴于点D．设AD 的长为m（m＞0），BC 的长为n，求n 和m 之间的函数关系式；（3）当m，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F？【分析】（1）求抛物线的解析式关键是求出b 的值，根据E、F 的坐标可发现，E、F 关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b 的值及抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式可求出A、B 的坐标，可得到∠OAB=∠OBA=∠ PMQ=45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n 的函数关系式；（3）将点F 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F 点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF 的解析式，然后根据直线MF 与坐标轴的交点坐标求出m、n 的值．（需注意的是此题要分MP、MQ 过F 的两种不同情况分类讨论）【解答】解：（1）抛物线的对称轴为；∵抛物线上不同两个点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣k2+1）的纵坐标相同，∴点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则，且k≠﹣2；∴抛物线的解析式为；（2）抛物线与x 轴的交点为A（4，0），与y 轴的交点为B（0，4），∴AB= ，AM=BM= ；在∠PMQ 绕点M 在AB 同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，在△BCM 中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，在直线AB 上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；∴∠BCM=∠AMD，∴△BCM∽△AMD；∴，即，；故n 和m 之间的函数关系式为（m＞0）；（3）∵F（﹣k﹣1，﹣k2+1）在上，∴将F 代入函数解析式得：，化简得，k2﹣4k+3=0，∴k1=1，k2=3；即F1（﹣2，0）或F2（﹣4，﹣8）；①MF 过M（2，2）和F1（﹣2，0），设MF 为y=kx+b，则，解得；∴直线MF 的解析式为；直线MF 与x 轴交点为（﹣2，0），与y 轴交点为（0，1）；若MP 过点F（﹣2，0），则n1=4﹣1=3，m1=；若MQ 过点F（﹣2，0），则m2=4﹣（﹣2）=6，n2=；②MF 过M（2，2）和F2（﹣4，﹣8），设MF 为y=kx+b，则，解得；∴直线MF 的解析式为；直线MF 与x 轴交点为（，0），与y 轴交点为（0，）；若MP 过点F（﹣4，﹣8），则n3=4﹣（）= ，m3= ；若MQ 过点F（﹣4，﹣8），则m4=4﹣=，n4=；故当，，或时，∠PMQ 的边过点F．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象与坐标轴交点坐标的求法等知识，需注意的是（3）题中，MP、MQ 都有可能经过F 点，要分类讨论，以免漏解．25．（8 分）以AB 为直径作半圆O，AB=10，点C 是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC 至点D，使DC=BC，过点D 作DE⊥AB 于点E、交AC 于点F，连接OF．（1）如图①，当点E 与点O 重合时，求∠BAC 的度数；（2）如图②，当DE=8 时，求线段EF 的长；（3）在点C 运动过程中，若点E 始终在线段AB 上，是否存在以点E、O、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请直接写出此时线段OE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC 是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC 的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE 和BE 的长，通过AA 证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF 的长；（3）分两种情况：①当交点E 在O、A 之间时；②当交点E 在O、B 之间时；讨论即可求得线段OE 的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C 为DB 中点，∴OC=BC=OB，∴△OBC 是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°；（2）连接DA．∵AC 垂直平分BD，∴AB=AD=10，∵DE=8，DE⊥AB，∴AE=6，∴BE=4，∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠EAF，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴=，∴EF=3；（3）①当交点E 在O、A 之间时，若∠EOF=∠BAC，此时，∵，∴，∴OE=AE，则OE= ；若∠EOF=∠ABC，此时，∴，则OE=；②当交点E 在O、B 之间时，OE=．综上所述，OE= 或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．。

2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期末语文试卷一、基础•运用（共14分）第一部分活动背景1．（4分）学校拟开展“寻找北京的红色印记”主题实践活动。

你所在的小组完成了活动方案的相关设计，现依据师生的意见修改完善。

爱国，是人世间最深层、最持久的情感。

回顾百年前，风雨如晦．．的土地．．．．，一批批有志青年在中国广袤上勇毅前行，前仆后继．．．．，于苦难中铸就辉煌。

不忘初心，艰苦奋斗，实干担当，为国为民，这是中国共产党历经百年而永葆蓬勃朝气的秘诀．．所在。

分布在北京各处的红色文化印记，见证着中国共产党波澜壮阔的世纪征程，启示我们回望来路、淬炼信仰。

（1）依据“书体一致，和谐美观”的原则，你认为书写活动标题时，“薪火相传”的书体选择最恰当的一项是A. B.C. D.（2）同学们对文段中加点词语的读音、字形做出了判断，下列说法正确的一项是A.“风雨如晦”的意思是“局势动荡，社会黑暗”，“晦”应该读“huǐ”。

B.因为表达的是“广阔无边，望不到边际”的意思，所以“广袤”一词中没有错别字。

C.“前仆后继”的意思是“形容英勇奋斗，不怕牺牲”，“仆”应该读“pú”。

D.因为表达的是“能解决问题的不公开的巧妙办法”的意思，所以“秘诀”一词中有错别字。

第二部分活动内容2．（8分）阅读回答问题。

无论是红色建筑、纪念馆，还是有代表性的展览，都蕴含丰富的红色文化内涵。

我们可以走进楼馆，实地参观；也可以网上浏览，在线学习。

（一）红色小楼播火种“小红楼”是一幢由灰砖和红砖建造的法式小楼，因形似北大红楼而得名【甲】一百多年前，一群“90后”“00后”因共同的理想汇聚于此。

这就是长辛店留法勤工俭学预备班，中国马克思主义者早期开展革命活动的实践基地之一。

京汉铁路工人运动与先进知识分子的结合，正是从这里开始的。

在这里，半工半读的学生们打破“工学界限”，以劳动为荣，以游手好闲．．．．为耻。

他们脱下长衫，换上工服，拜工人为师，虚心求教，吹毛求疵．．．．。

北京市丰台区近五年（2016-2020届）九年级第一学期期末英语试卷汇编-书面表达2019-2020学年北京市丰台区九年级（上）期末英语试卷五、书面表达（本大题共2小题，共30.0分）题目①假如你是李华，你们班将要以"好读书，读好书"为主题举办一次读书分享活动．请写一封邮件邀请你们班的英国交换生Peter 参加，在邮件中告诉他活动举办的时间和地点，举办此活动的目的和意义，并提醒他需要做何准备．提示词语：share，encourage，book提示问题：• When and where will this activity be held？• Why does your class hold the activity• What should he prepare for the activity题目②旅行让人开阔眼界，增长知识．假如你是李华，你们学校的英语报刊以"Man Who Travels Far Knows More"为题进行征稿．请用英语写一份稿件投稿，介绍一次令你印象深刻的旅行经历以及这次旅行带给你的收获或感悟．提示词语：visit，take photos，culture，memory提示问题：• When and where did you travel？• What did you do during your travel？•What have you got from this travel experience？【题目一答案】Dear Peter，I'm writing this email to invite you to take part in our book sharing activity． Would it be possible for you to join us？If you can come，here is some information．（点题）It will be held at 7：30 this Saturday evening in the students' center in our school．（时间和地点）We will have many activities．At the beginning，each student will introduce a book and then we may have a discussion，We can share our ideas about it．The most interesting part is that some members will give us a role-play performance．（活动）When you come，we expect you to talk about your favourite book and you can also prepare a presentation if you like．【高分句型一】It will be a wonderful night，interesting and meaningful．（做哪些准备）We hope this campaign will encourage more people to read．【高分句型二】Looking forward to your early reply．（期待）Yous，Li Hua【题目二答案】Man Who Travels Far Knows MoreI have traveled to some places．But the trip to Dalian is one of the most unforgettable experiences．I went there by plane last summer．（时间和地点）We paid a visit to the ocean park，where we watched the wonderful performance of dolphins．【高分句型一】We also took a lot of photos．After that，we went swimming in the sea，which made us excited．Besides，we went to see some famous scenic spots，whose beautiful scenery left a deep impression on us．【高分句型二】 We also donated money to the local environmental organization．By the way，we tasted the famous food there and learned a lot about food culture．（旅行期间的活动）Both my family and I enjoyed the trip．We learned about the beauty of our country and felt the pleasure of doing charity activities．（从这次旅行中得到了什么）2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末英语试卷书面表达五、文段表达39. 从下面两个题目中任选一题，根据中文和英文提示，完成一篇不少于50词的文段写作。

2012-2013学年北京丰台九年级上期末数学一、选择题（共9小题；共45分）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若sin A=12，则∠A的度数是______A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，则AE∶AC等于______A. 3∶2B. 3∶1C. 2∶3D. 3∶53. ⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和5 cm，若O1O2=8 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是______A. 外切B. 相交C. 内切D. 内含4. 已知抛物线y=−13x−52+3，下列说法正确的是______A. 开口向下，顶点坐标5,3B. 开口向上，顶点坐标5,3C. 开口向下，顶点坐标−5,3D. 开口向上，顶点坐标−5,35. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120∘，则∠BAC的度数是______A. 120∘B. 80∘C. 60∘D. 30∘6. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于4的概率是______A. 16B. 12C. 13D. 237. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:2，堤高BC=5 m，则坡面AB的长度是______A. 10 mB. 10C. 5D. 58. 如图，点P在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6．则下面各点也在这个反比例函数图象上的是______A. 3,2B. −2,6C. 6,2D. 3,−29. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的切线交于点B，且∠APB=60∘，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是______A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）10. 已知4x =7y，则xy= ______．11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=2，则tan B的值是______．12. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为______．13. 如图，⊙O的弦AB=8，OE⊥AB于点E，且OE=3，则⊙O的半径是______．14. 一个袋子中装有2个红球和1个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中摸出2个球的颜色相同的概率是______．15. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60∘，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60∘叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）三、解答题（共10小题；共130分）16. 计算：2sin60∘−tan45∘+4cos30∘．17. 已知二次函数y=ax2+bx−3的图象经过点A2,−3，B1,−4．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．18. 已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长．的图象经过点P2,1．19. 已知反比例函数y=kx（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）若点P x1,y1，Q x2,y2是上述反比例函数图象上的点，且x1<x2<0，试比较y1与y2的大小．20. 如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30∘，在E处测得∠AFG=45∘，仪器高度CD=1.2米，CE=4米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1米，2≈1.41，3≈1.73）21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点A作AD⊥AB交⊙O于点D，交BC于点E，点F在DA的延长线上，且∠ABF=∠C．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AD=4，cos∠ABF=4，求BC的长．522. 小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=−10x+500．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少?我就能帮你预测好多信息呢!”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元．”聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润?（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元?23. 如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC>∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，请证明E是△ABC的自相似点．（2）如图③，在△ABC中，∠A<∠B<∠C．若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，则∠A:∠B:∠C= ______．x2+bx+4上有不同的两点E6,−k2+1和F−4,−k2+1．24. 已知抛物线y=−12（1）求此抛物线的解析式．x2+bx+4与x轴的正半轴和y轴分别交于点A和点B，M为AB （2）如图，抛物线y=−12的中点，∠PMQ=45∘，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．∠PMQ在AB的左侧以M 为中心旋转，设AD的长为m m>0，BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．25. 以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A2. D3. A4. A5. C6. B7. D 8. B 9. D 第二部分10. 4711. 23 12. 1613. 514. 13 15.33π；2 3+13nπ 第三部分16. 原式=2× 32−1+4× 32= 3−1+2 3=3 3−1.17. （1） 由题意得 4a +2b −3=−3,a +b −3=−4.解得 a =1,b =−2.∴ 二次函数的解析式为 y =x 2−2x −3．（2） 令 y =0，则 x 2−2x −3=0．解得 x 1=−1，x 2=3． ∴ 与 x 轴交点坐标为 −1,0 ， 3,0 ． 令 x =0，则 y =−3，∴ 与 y 轴交点坐标为 0,−3 ．18. （1） ∵∠A =∠A ，∠ABD =∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB ．（2） ∵△ABD ∽△ACB ，∴AB AC =AD AB ．∵AD =5，AB =7，∴AC =495．19. （1） ∵ 点 P 2,1 在反比例函数 y =k x 图象上，∴k =xy =2，∴ 反比例函数解析式为 y =2x ．（2） ∵k >0，∴ 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小． ∵x 1<x 2<0，∴y1>y2．20. ∵∠AGF=90∘，∠AFG=45∘，∴∠AFG=∠FAG=45∘，∴AG=FG．设AG=FG=x，则DG=4+x．∵∠ADG=30∘，∴DG=3AG，∴4+x=3x，=23+1≈5.5，解得x=3−1∴AB=AG+BG≈6.7（米）．答：这棵树AB的高度约是6.7米．21. （1）如图，连接BD．∵AD⊥AB，∴DB是⊙O的直径，∠DBC+∠CBA+∠D=90∘．∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，∴∠D=∠ABF，∴∠DBC+∠CBA+∠ABF=90∘即OB⊥BF．∴BF是⊙O的切线．（2）连接OA交BC于点G．∵AC=AB，∴AC=AB，∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，4∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=在Rt△ABD中，∠DAB=90∘，∴BD=AD=5，cos D∴AB= BD2−AD2=3．在Rt△ABG中，∠AGB=90∘，∴BG=AB⋅cos∠2=12，5∴BC=2BG=24．522. （1）w=x−20−10x+500=−10x2+700x−10000．（2）w=−10x−352+2250．∴x=35时，每月获得利润最大．（3）当w=2000时，−102+700x−10000=2000，∴x2−70x+1200=0，解得x1=30，x2=40．答：每月销售单价应定为30元或40元．23. （1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90∘，CD是AB上的中线，∴CD=12AB=BD，∴∠BCE=∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90∘∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点．（2）1:2:424. （1）点E和F关于抛物线对称轴对称，∴对称轴x=6+−42=1．∵x=−b2⋅ −1，∴b=1，∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4．（2）抛物线y=−12x2+x+4与x轴的交点为A4,0，与y轴的交点为B0,4，∴AB=42，AM=BM=22，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45∘．∵∠BMC+∠BCM+∠MBC=180∘，∴∠BMC+∠BCM=135∘．∵∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180∘，∴∠BMC+∠AMD=135∘，∴∠BCM=∠AMD，∴△BCM∽△AMD，∴BCAM =BMAD，即22=22m，∴n与m之间的函数关系式为n=8mm>0．（3）∵点F−4,−k2+1在y=−12x2+x+4上，∴k2=9，∴F−4,−8．MF过M2,2和F−4,−8，∴直线MF的解析式为y=53x−43，∴直线MF与x轴交点为45,0，与y轴交点为0,−43．若MP过点F−4,−8，则n=4− −43=163，m=32．若MQ过点F−4,−8，则m=4−45=165，n=52．∴当m=32,n=163.或m=165,n=52.时，∠PMQ的边过点F．25. （1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC=BC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B=60∘．∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠BAC=30∘．（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB=AD=10．∵DE=8，DE⊥AB，∴AE=6，∴BE=4．∵∠FAE+∠AFE=90∘，∠CFD+∠CDF=90∘，∴∠CDF=∠EAF．∵∠AEF=∠DEB=90∘，∴△AEF∽△DEB，∴EFEB =AEDE，∴EF=3．（3）OE=52或53或−15+5174．。

北京市丰台区2011-2012九年级上学期期末考试数学试卷及答案-修订------------------------------------------作者------------------------------------------日期丰台区2011-2012学年度第一学期期末练习2012.1一、选择题（共 个小题，每小题 分，共 分） ．已知23(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是 ✌．32x y= ．32x y= ．23x y =．23=x y ．二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是✌． ．－ ．．－． 和 的半径分别为 ♍❍和 ♍❍，若 ♍❍，则 和 的位置关系是 ✌．外切 ．相交 ．内切 ．内含．若ABC DEF △∽△，相似比为 ，且 ✌的面积为 ，则 ☜☞的面积为 ✌．  ． ．．．将 ↑放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则♦♋⏹↑的值是✌．21．．25．552．如图， 的半径为 ，✌为弦，半径  ✌，垂足为点☜，若☜ ，则✌的长是✌． ． ． ． ． 如图，若点 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，过点 作， ☠⊥⍓轴于点☠，若矩形 ☠的面积为 ，则k 的值是✌．  ． ． ．如图，在矩形✌中，✌ ♍❍，✌ ♍❍，动点自点✌出发沿✌→ 的方向，以每秒 ♍❍的速度运动，同时动点☠αN D自点✌出发沿✌→ → 的方向以每秒 ♍❍的速度运动，当点☠到达点 时，两点同时停止运动，设运动时间为⌧（秒）， ✌☠的面积为⍓（♍❍ ），则下列图象中能反映⍓与⌧之间的函数关系的是二、填空题（共 个小题，每小题 分，共 分）．在 ♦✌中， ，若♦♓⏹✌ ✌＝♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．如图，在 ✌中，点 、☜分别在✌、✌边上，且 ☜ ，若✌  ，✌☜ ，则☜的长等于 ．．若扇形的圆心角为 ，它的半径为 ♍❍，则这个扇形的弧长是♍❍ ．．如图， ✌内接于 ，✌是 的直径，✌ ，点 是弧 ✌ 上一点，若✌ ，则 的度数是♉♉♉♉♉♉．．已知二次函数⍓♋⌧ ♌⌧♍，若⌧与⍓的部分对应值如下表：则当⌧ 时，⍓ ．．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．已知：在 ♦✌中， ，✌ ，  ．（ ）如图 ，四边形 ☜☞是 ✌的内接正方形，则正方形 ☜☞的边长♋ 是 ；GI HFABC DEFABC DEAEDCB（ ）如图 ，四边形 ☝☟✋是（ ）中 ☜✌的内接正方形，则第 个正方形 ☝☟✋的边长♋ ；继续在图 中的 ☟☝✌中按上述方法作第 个内接正方形；⑤以此类推，则第⏹个内接正方形的边长♋⏹ ．（⏹为正整数）三、解答题（本题共 分，每小题 分）．计算： ♍☐♦＋♦♓⏹－♦♋⏹． ．已知二次函数322--=x x y ．（ ）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （ ）求出这个函数图象与x 轴、⍓轴的交点坐标．．如图，在直角梯形✌中，✌ ， ✌ °，联结 ，过点 作 ☜ 于交✌于点☜，垂足为点☟，若✌ ，✌ ，求♦♓⏹ ☜．．已知：在平面直角坐标系⌧⍓中，将直线x y =绕点 顺时针旋转 得到直线●，反比例函数x ky =的图象与直线●的一个交点为✌☎♋，四、解答题（本题共 分，第 、 题每小题 分，第 、 题每小题 分） ．如图，天空中有一个静止的热气球✌，从地面点 测得✌的仰角为 ，从地面点 测得✌的仰角为 ．已知  ❍，点✌和直线 在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．H A EB C D60°A．如图，在 ♦✌中， ，✌是 ✌的平分线，以✌上一点 为圆心，✌为弦作 ．（ ）求证： 为 的切线；☎）若✌ ，♦♋⏹ 43，求 的半径．（ ）若日销售量y（件）是售价x （元件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；（ ）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为 （元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O 处，两条直角边与抛物线2(0)y ax a =<交于A 、B 两点．（ ）如左图，当2OA OB ==时，则a ；（ ）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转到如右图所示的位置时，过点B 作BC x⊥轴于点C ，测得1OC =，求出此时点A 的坐标；（ ）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段A B 总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标．B五、解答题（本题共 分，第 题 分，第 题 分，第 题 分）．在平面直角坐标系⌧⍓中，抛物线22y mx nx =+-与直线⍓ ⌧－ 交于✌（－ ，♋）、 （♌，０）两点，与⍓轴交于点 ． （ ）求抛物线的解析式；（ ）求 ✌的面积；（ ）点(t,0)P 是⌧轴上的一个动点．过点 作⌧轴的垂线交直线✌于点 ，交抛物线于点☠．当点 位于点☠的上方时，直接写出♦的取值范围．．在 ♦✌中， ✌ ，✌ ，  ✌于点 ，点☜为✌边上一点，联结 ☜交 于点☞，过点☜作☜☝ ☜交✌于点☝， （ ） 如图 ，当点☜为✌中点时，线段☜☞与☜☝的数量关系是 ；（ ） 如图 ，当12CE AE =，探究线段☜☞与☜☝的数量关系并且证明；（ ） 如图 ，当nAE CE 1=，线段☜☞与☜☝的数量关系是 ．图 图图y x123–1–2–3–4123–1–2–3–4–5O．在平面直角坐标系⌧⍓中，已知抛物线 ：212.y x x =-+（ ）将抛物线 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到抛物线 ，求抛物线 的顶点 的坐标及它的解析式．（ ）如果x 轴上有一动点 ，那么在两条抛物线 、 上是否存在点☠，使得以点 、 、、☠为顶点的四边形是平行四边形（ 为一边）？若存在，求出点☠的坐标；若不存在，请说明理由．丰台区 学年度第一学期期末练习初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共 个小题，每小题 分，共 分）二、填空题（本题共 个小题，每小题 分，共 分）三、解答题（共 分，每小题 分）．解：原式 322232-+⨯ 分22=分．解：（ ） 4)1(3222--=--=x x x y ，对称轴是1=x ，顶点坐标是（ ，4-）． 分 （ ）令⍓ ，则0322=--x x ，解得11-=x ，32=x ；令⌧ ，则3-=y ．图象与x 轴交点坐标是☎， ✆、☎， ✆，与⍓轴的交点坐标是)3,0(-． 分．解： ☜ ，  ． ✌ ，  ，  ． 分✌ ， ✌ ， ✌ ． 在 ♦✌中，✌ ，✌ ，由勾股定理得，  52． 分 ♦♓⏹ 55522==BDAD ． 分♦♓⏹ ☜55=． 分．解：根据题意，直线●的解析式为x y -=． 分反比例函数xky =的图象与直线●交点为✌☎♋， ✆， 2=-a 2-=a 分✌☎， ✆． 分22-=k 4-=k 分反比例函数的解析式为xy 4-=． 分．解：过点✌作✌于点 ， ✌ ． 分A EBA， ✌ ， ． 分  ，  ✌  ． 分在 ♦✌中，♦♓⏹ ✌ ACAD ， 分523AD =，325=AD ．答 热气球离地面的高度是325米 分．（ ）证明：联结 ， ✌是 ✌的平分线，  ． ✌ ，  ．  ． 分 ， 即  ．又点 在 上， 为 的切线． 分（ ）解： ，♦♋⏹ 43， 43=BC AC ． ✌ ， ． 分在 ♦✌中，根据勾股定理，✌ ． 设 的半径为❒，则 ✌ ❒，  ❒ ✌，    ✌． 分AB OBAC OD =，即10106r r -=，解得415=r ． 所以， 的半径为415． 分．解：（ ）设⍓ ⌧ ♌☎ ♊✆． ⎩⎨⎧=+=+.40040,50030b k b k 分解得⎩⎨⎧=-=.800,10b k 分⍓ 80010+-x ． 分☎✆ )80010)(20()20(+--=-=x x x y W 分9000)50(102+--=x ． 分当售价定为 元时，工艺厂每天获得的利润 最大，最大利润是 元． 分．解：（ ）22-=a ． 分 （ ）由（ ）可知抛物线的解析式为222x y -=   ⍓ 22-  （ ，22-）． 分过点✌作✌ ⌧轴于点 ， 又  ⌧轴于点✌  °． ✌ ，   °．  ．  ✌  ． OCAD BC OD =． 设点✌坐标为（222,x x -），则  ⌧，✌ 122222xx =-  解得⌧  ⍓✌ 22-故点✌的坐标为☎ 22-✆． 分（ ）定点坐标是（ ，2-）． 分．解：（ ） 抛物线与直线交于点✌、 两点， a =--11，01=-b ． 2-=a ，1=b ．✌（ ， ）， （ ， ）． 分 ⎩⎨⎧=-+-=--.02,22n m n m 解得⎩⎨⎧==.1,1n m 抛物线的解析式为22-+=x x y ． 分（ ）点✌（ ， ），点 （ ，2-）， ✌ ⌧轴，✌ ． 分过点 作✌的垂线，垂足为点 ，则  ．  ✌1212121=⨯⨯=⋅BD AC ．  分（ ） 1- ♦ 1． 分．解：（ ） ☜☞ ☜☝ 分☎✆ 21=EG EF 分 证明：过点☜作☜ 于点 ，作☜☠ ✌于点☠ ☜☠✌ ☜ ☜☞ ．  ✌于点 ， ✌ °． ☜ ✌． ✌ ☜．☜ ✌☠☜ ANEM AE CE = 分 ☜ ✌， ☠☜ ．即 ＋ °． ☜☝ ☜ ， ＋ ， ＝ ．☜☞ ☜☝☠． ENEM EG EF = 分  ✌ ，✌  ， ✌ ，♦♋⏹ ✌ ANEN  ✌☠ ☜☠ AN EM EG EF = 21=AE CE 21=EG EF ． 分 ☎✆ nEG EF 1= 分．解：☎✆ 1)1(2221+--=+-=x x x y ， 分抛物线 的顶点坐标是（ ），平移后的抛物线 顶点 （ ， ）． 分2)3(22+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ） 分 ☎✆ 存在点☠（⌧ ⍓）满足条件．  分以点 、 、 、☠为顶点的四边形是平行四边形， N P y y -=， 2-=N y ．当点☠在 上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ； ☠ （2,31-+） ☠ （2,31--）当点☠在 上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，；C B☠ （2,5-） ☠ （2,1-）．满足条件的点☠有 个，分别是☠ （2,31-+）、☠ （2,31--）、☠ （2,5-）、☠ （2,1-）．  分☎说明每求出一个点☠的坐标得 分✆。

丰台区2016-2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果AD ∶AB =2∶3，那么DE ∶BC 等于 A. 3∶2B. 2∶5C. 2∶3D. 3∶52. 如果⊙O 的半径为7cm ，圆心O 到直线l 的距离为d ，且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. 如果两个相似多边形的面积比为4∶9，那么它们的周长比为A. 4∶9B. 2∶3C.2∶3D. 16∶814. 把二次函数422+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，下列变形正确的是 A. ()312++=x y B. ()322+-=x y C. ()512+-=x yD. ()312+-=x y5. 如果某个斜坡的坡度是1：3，那么这个斜坡的坡角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上， 如果∠C =40°，那么∠ABD 的度数为 A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°7. 如果A （2，1y ），B （3，2y ）两点都在反比例函数xy 1=的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是 A. 21y y <B. 21y y >C. 21y y =D. 21y y ≥8. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，如果CD = 3，AB = 4， 那么S △PDC ∶S △PBA 等于 A. 16∶9B. 3∶4C. 4∶3D. 9∶169. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为 A. 105米 B.（105+1.5）米 C. 11.5米D. 10米10. 如图，在菱形ABCD 中，AB =3，∠BAD =120°，点E从点B 出发，沿BC 和CD 边移动，作EF ⊥直线AB 于点F ，设点E 移动的路程为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 二次函数()5122--=x y 的最小值是__________．12. 已知34=y x ，则=-y y x __________．13. 已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是 ．14. 请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式： ．①图象位于第二、四象限；GFABCD E BADEC②如果过图象上任意一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，那么得到的矩形ABOC 的面积小于6．15. 如图，将半径为3cm 的圆形纸片折叠后，劣弧中点C 恰好与圆心O 距离1cm ，则折痕AB 的长为 cm ．16. 太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，支撑角钢EF 长为33290cm ，AB 的倾斜角为30°，BE =CA =50 cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE ⊥AB 于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为 30 cm ，点A 到地面的垂直距离为50 cm ，则支撑角钢CD 的长度是 cm ，AB 的长度是 cm ．三、解答题（本题共35分，每小题5分） 17. 计算：6tan 30°+cos 245°-sin 60°．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，43=A tan ，BC =12， 求AB 的长．19. 已知二次函数c x x y ++-=2的图象与x 轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．20. 如图，已知AE 平分∠BAC ，ACADAE AB =． （1）求证：∠E =∠C ；（2）若AB =9，AD =5，DC =3，求BE 的长．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky =的图象与一次函数1+-=x y 的图象的一个交点为A （-1，m ）． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数1+-=x y 的图象与x 点B （n ，0），请确定当x ＜n 比例函数xky =的值的范围．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，P A ，PC 是⊙O 的切线，A ，C 为切点，∠BAC =30°．（1）求∠P 的度数； （2）若AB =6，求P A 的长．23. 已知：△ABC ．（1）求作：△ABC 的外接圆，请保留作图痕迹； （2）至少写出两条作图的依据．四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分，第26至27题，每小题6分） 24. 青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y （本）与销售单价x （元）满足一次函数关系：1083+-=x y ()3620<<x ．如果销售这种图书每天的利润为p （元），那么销售AA B C ABC单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25. 如图，将一个Rt △BPE 与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P 落在线段CD 上（不与C ，D 两点重合），斜边的一部分与线段AB 重合．（1）图中与Rt △BCP 相似的三角形共有________个，分别是______________； （2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP 相似的证明．26. 有这样一个问题：探究函数xx y 2+=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数xx y 2+=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整： （1）函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是___________；（2）下表是y 与x 的几组对应值．求m 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．27. 如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC 交于点D ，点E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若32=B sin ，BD=5，求BF 的长．D E FA CB P ⌒ O y x -1-2-4-3-5-1-2-4-5-31243512435五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分）28. 已知抛物线G 1：()22+-=h x a y 的对称轴为x = -1，且经过原点．（1）求抛物线G 1的表达式；（2）将抛物线G 1先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位后，与x 轴分别交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，求A 点的坐标； （3）记抛物线在点A ，C 之间的部分为图象G 2（包含A ，C 两点），如果直线m ：2-=kx y 与图象G 2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m 与抛物线G 2的对称轴交点的纵坐标t 的值或范围．29. 如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325 , ，F （0，32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．丰台区2016-2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学 参 考 答 案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. -5； 12.31； 13. 12； 14. 答案不唯一，如：xy 5-=； 15.52； 16. 45,300. 三、解答题（本题共35分，每小题5分） 17．解：原式=23223362-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-----3分 =232132-+ =2133+ -----5分18．解： ∵∠C =90°，BC =12，43==AC BC A tan ，∴AC =16. -----3分 ∵AB 2= AC 2 +BC 2，∴AB 2= 162 +122=400， AB =20. -----5分 19．解：（1）由题意得△=1+4c =0，∴41-=c . ∴412-+-=x x y . -----2分∵当212=-=a b x 时，0=y ，∴顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,21. -----3分（2）∵01<-=a ，开口向下， ∴当21>x 时，y 随x 的增大而减小． -----5分20．（1）证明：∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE =∠EAC . -----1分又∵AC AD AE AB =， 得到ACAEAD AB = ∴△ABE ∽△ADC . -----2分 ∴∠E =∠C . -----3分（2）解：∵△ABE ∽△ADC , ∴DCBEAD AB =. -----4分 设BE =x , ∵359x=, ∴527=x ，即BE =527. -----5分21.解：（1）∵点A 在一次函数1+-=x y 的图象上，∴m =2. ∴A （-1，2）.∵点A 在反比例函数xky =的图象上，∴k = -2.∴x y 2-=. (2) 令y = -x +1=0，x =1，∴B （1，0）. ∴当x = 1时，xy 2-== -2. 由图象可知，当x <1时，y >0或y <-2. -----5分22. 解：（1）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA =PC ，∠PAB =90°. -----2分∵∠BAC =30°, ∴∠PAC =60°.∴△ACP 为等边三角形. ∴∠P =60°. -----3分 （2）连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. -----4分∵∠BAC =30°, AB =6，23==∠AB AC CAB cos . ∴AC =33.∴PA = AC =33. -----5分23.解：作图正确 -----3分作图依据：（1（2）两点确定一条直线；（3）垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等；（4）在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分， 第26至27题，每小题6分）24. 解：p =(x －20)(－3x +108)= －3x 2+168x －2160 -----2分 ∵20<x <36，且a =－3<0，∴当x = 28时， y 最大= 192. -----4分答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元. -----5分 25. 解：（1）3；Rt △EPB ，Rt △PDF ，Rt △EAF . -----2分 （2）答案不唯一，如：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABP +∠PBC =∠C =90°. ∵∠PBC +∠BPC =90°, ∴∠ABP =∠BPC .又∵∠BPE =∠C = 90°，∴Rt △BCP ∽Rt △EPB . -----5分26. 解：（1）x ≥－2且x ≠0. -----2分 （2）当x =2时，122=+=m . -----3分 （3-----5分 （4）当－2≤x <0或x >0时，y 随x 增大而减小. -----6分27.（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ，∴∠BAD =2∠BAE ．∵2ACB BAE ∠=∠，∴∠ACB=∠BAD . -----1分 ∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ADB =90°,∴∠DAC +∠ACB =90°.∴∠BAC =∠DAC +∠BAD =90°. -----2分 ∴AC 是⊙O 的切线. -----3分 （2）解：过点F 作FG ⊥AB 于点G .∵∠BAE =∠DAE ，∠ADB =90°，∴GF =DF . -----4分在Rt △BGF 中，∠BGF =90°，32==BF GF sinB ， 设BF =x ，则GF =5-x ，∴325=x x -,x =3,即BF =3. -----6分五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分） 28. 解：（1）∵抛物线G 1：()22+-=h x a y 的对称轴为x = -1，∴y =a (x +1)2+2．∵抛物线y =a (x +1)2+2经过原点， ∴a (0+1)2+2=0．解得 a =-2．∴抛物线G 1的表达式为y = -2(x +1)2+2= -2x 2-4x ． -----2分（2）由题意得，抛物线G 2的表达式为y =2(x +1+1)2﹣2=2x 2+8x +6．∴当y=0时，x= -1或-3.∴A(﹣3，0)（3）由题意得，直线m:2-=kxy交y轴于点D（0由抛物线G2的解析式y=2x2+8x+6，得到顶点E当直线2-=kxy过E（-2，-2）时与图象G2当直线2-=kxy过A（-3，0）时，把x= -3代入2-=kxy, k =32-,∴232--=xy.把x= -2代入232--=xy,∴y =32-,即t =32-.∴结合图象可知2-=t或32->t. -----7分29. 解：（1）○1D、F；-----2分○2以AB为一边，在x分别以点O1，点O2为圆心，线段AB∵线段AB关于y轴对称，∴点O1，点O2都在y∵AB=AO1=2，AO=1，∴OO1∴O1（0同理O2（0，.∵F(2,0)+,∴O1F=22AB-==.∴点F在⊙1O上.设直线AF交⊙2O于点C，∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点.连接O2C，作CG⊥y轴于点G，∵等边△O1AB和等边△O2AB，且y轴垂直AB，∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB= 60°，∠AO1O=∠AO2O=30°.∵O1A=O1F，∴∠AFO1=∠FAO1=15°.∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°.∵O2A=O2C，∴∠CAO2=∠ACO2=45°.∴∠O2CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO2=30°.∴CG=O2C·cos30°=3232=⨯.m≤≤且1m≠-.-----6分（2）22≥a. -----8分。