动静转换：领悟运动的观点
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分 析 由于 圆心 在 曲线 Ｙ 一三（ ＞０ ）
策略 ， 以帮助大家领 悟运动变 化 的观 点．
的坐 标 ， 使 点 Ｃ到直 线 ２ ｚ ＋ ＋１ —０的距 离 最小． 我们 不 妨 将 直 线 ２ ｚ＋Ｙ＋ １ —０平 移 ，
☆ 一、 化静为动
根据 问 题 特 点 ， 设 法 使 图形 “ 动” 起来 ， 从 而 寻求 解决 问题 的突破 Ｉ ： １ ．
ｌ新高考 数 学
动静 转换 ： 领 悟 运 动 的 观 点
江 苏 省 无 锡 市 青 山高 级 中 学 张启 兆 李 簧
高 中数学 中有很 多问题 涉 及“ 动” 与“ 静” 关 系 的把握 ， 利 用动 静 转换 的思想 ， 有 利于 抓
所 以要求 与直 线 ２ ｘ ＋Ｙ ＋１ — ０相 切 住 题 目 的本 质 ， 深层 次理解题 意 ， Ｊ ｌ ￣ ｆ ］ 解题 ． 下 上 运 动 ， 关键 是确定圆心 Ｃ 面举 例说 明高 中数学 中常用 的四种 动静 转 换 的 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 ，
问题 的研究 中增 添无 限 的威 力．
（ 一 ２） 一 ５．
≥Ｐ Ｏ 一寺 ， 则求 Ｐ Ｎ—ＰＭ 的最 大 值 ， 即求
说 明 抓住 题 目中 的特 殊点 （ 圆心 、 切
点） 、 特殊 位 置 （ 相 切） ， “ 动” 但限制动 （ 平 行
移动 ） ， 在 纷 杂变化 中寻找规 律 ．
运用 几何 性 质 将 到 动 点 的距 离 转 化 为 到 定
点 的距 离 ， 并 且 采 用 局 部 固定 的思 想 ． 例如 ，
变换 的 数 学 思 想 方 法 ， 在 题 设 条 件 所 暗 示
对 每 一个 固定 的 Ｐ， 当 Ｎ在圆０ 上 运 动 到 过 Ｐ０ ２的延 长 线 与 圆 ０。的 交 点 处 时 ， Ｐ Ｎ
即“ 化 静 为动 ” ， 使 它 和 曲线 Ｙ一 （ ｚ ＞０ ） 相 切， 那么 切点 就是 我们 要 找 的圆心 Ｃ ． 解 设 直线 ２ ＋ ＋ 一０与 曲线 一
９ ０
例 １ 圆 心 在 曲 线 一 詈 （ ＞ ｏ ） 上 ， 且
的 方 程 为 ’．
（ Ｐ （ ） ２ ＋ 专 ） 一（ Ｐ Ｏ 一 １ ） 的 最 大 值 ， 即 求
Ｐ０ ２ 一Ｐ Ｏ ＋Ｉ的最 大值 ． 而 Ｐ ０ ２ 一Ｐｏ 的最
大值 是 ０ 关 于直 线 —ｚ的对 称 点 （ １ ， ０ ） 到
二 、以 动 求 静
有些 问题 的条 件 蕴 含 着 变 化 ， 具 有 一 些
．
２ ｘ ＋ ｙ － ４ ０ 、
ｙ ＝ 等 ＞ ｏ ）
时 ｚ ｌ ：ｚ ２ —１ ， 所 以直线 ２ ｚ＋ ＋ 一０即 ２ ｚ ＋ｙ －４ —０与 曲线 一 （ ｚ ＞０ ） 的切 点 坐标
ｙ ＋ １ ＝ ０ ／３
． 。
为（ １ ， ２ ） ， 由于 点 （ １ ， ２ ） 到直线 ２ ＋ Ｙ ＋１ —０
例 ２ 已 知 Ｐ（ ｔ ， ） ， ∈ Ｒ， 点 Ｍ 是圆
１
Ｏ ： ｚ ＋（ ｙ －１ ） 一 ÷ 上 的 动 点 ， 点 Ｎ 是圆
的距离 一
√ｂ
一 ， 故 圆心 在 曲线 Ｙ
一
．
］■ ２ ＼ ３ ｊ
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＼
一 （ ｚ ＞Ｏ ） 上， 且 与直 线 ２ ｚ ＋ ＋ ｌ 一０相 切
的面 积 最 小 的 圆 的方 程 为 （ ｚ 一１ ） ＋
图 １
ｂ ＋Ｃ ） ， ＡＣ ＋ ＢＤ 一２ （ 口 ＋ｂ ＋ｃ ） ， 即 ＡＢ ＋ ＣＤ ＋ ＡＤ ＋ ＢＣ。一 ＡＣ。
＋ ＢＤ ．
（ １ ）建 立 适 当 的 坐 标 系 ， 用 坐标 和 方 程 表 示 问题 中 的几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题 转 化 为 代数 问题 ；
（ ２ ）通过 代数 计 算解 决代 数 问题 ； （ ３ ）把 代 数 运 算 结 果 “ 翻译 ” 成 几 何
不确 定 因素 （ 位 置或 数 量 ） ， 但 结 论 却 是 不 变
的， 可谓 变 化 中 的不 变 量． 我 们 可 利 用 运 动
０２ （ ２ ， Ｏ ） 的距 离 ， 所 以 Ｐ（ ） ２ 一Ｐ ０ ＋ １的最 大
值是 ２ ． 说 明 解 决 本 题 的 关 键 是 分 析 图 形 ，
Ｙቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三（ ＞ ０ ） 相 切， 则方 程 ２ ＋ ＋ ＝ ０ ， 即
ｘ ＋ 与 直线 ２ ＋ Ｙ＋ １— ０相 切 的 面 积 最 小 的 圆 ２
＋２ ｉ Ｉ ＿ ０有 两 个 相 等 的正 实 根 ， 因
此， △一 一 １ ６ — ０且 一 ＞ Ｏ， 得 ｍ 一 一 ４， 此
取得 最大 值 ； 而当 Ｍ 在圆 ０ 上 运 动 到 Ｐ Ｏ
的， 并且 允 许 的 运 动 范 围 内 ， 寻 找 运 动 的 特
殊（ 甚 至是极 限） 位置， 求 得 问题 的答案 ．
１ ．运 动 到 特 殊 位 置
与圆 ０ 的交点 处 时 ， Ｐ Ｍ 取得 最 小值 ．
２ ．运 动 到 极 限 位 置
６ Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
利用 这样 的坐 标 法 ， 相 信 你 一 定 能 够 解
决许 多原 来所 不 能解 决 的问题 ．
以数 驭 形 ， 借助 坐标法 ， 将 为 你 在 几 何
关系．
因此 ， 平行 四边 形 四条 边 的 平 方 和 等 于 两条 对 角线 的平方 和 ．
着添加 令 人头疼 的辅助 线． ）
一
（ 画外 音 ： 瞧 ！现 在 算 算 就 出来 了， 用 不 可 以看 出 ， 以 上 的证 明 的思 考 过 程 遵 循
了如下 步骤 ：
