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题型切片（两个）对应题目题型目标由动点产生的特殊图形例1，例2，例3，练习1，练习2，练习3；由动点产生的函数关系例4，例5，例6，例7，练习4，练习5．我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．题型切片知识互联网思路导航四边形中的动点问题题型一：由动点产生的特殊图形【例1】 已知如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，、(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．【例2】 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，分别从A 、C 两点以相同的速度1cm/s 向C 、A 运动． ⑴四边形DEBF 是平行四边形吗?请说明理由．⑵若BD =12cm ，AC =16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形?【例3】 如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC =14cm ，A 点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t s ()04t ≤≤．⑴ 求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形？ ⑵ 求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．典题精练ACO BP xQyP D xy BA C OQ PR M N图 1 图2 4 9y x O【例4】 ⑴如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于的函数图象如图2 所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处⑵如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀 速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例5】 正方形ABCD 的边长为2厘米，点E 从点A 开始沿AB 边移动到点B ，点F 从点B 开始沿BC 边移动到点C ，点G 从点C 开始沿CD 边移动到点D ，点H 从点D 开始沿DA 边移动到点A 、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t （秒） ⑴求证：△HAE ≌△EBF ；D C P BAO3 1 1 3 S x A ．O11 3 Sx O3 Sx 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2 典题精练题型二：由动点产生的函数关系HFD CA ⑵设四边形EFGH 的面积为S （平方厘米），求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变 量t 的取值范围；【例6】 如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH的边长分别是它们的中心12O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M，7ME =-方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．（1）在开始运动前，12O O = ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．x AB CDO y O F G H E C B Ay x【例7】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴上， 点C 在y 轴上，OA =10，OC =8．⑴ 如图1在OC 边上取一点D ，将△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在OA 边上，记 作E 点；① 求点E 的坐标及折痕DB 的长；② 在x 轴上取两点M 、N （点M 在点N 的左侧），且54.MN =，求使四边形BDMN 的周长最短的点M 、点N 的坐标．⑵ 如图2，在OC 、CB 边上选取适当的点F 、G ，将△FCG 沿FG 折叠，使点C 落在OA 上，记为H 点，设OH =x ，四边形OHGC 的面积为S ．求：S 与x 之间的函数关系式，并指出变量x 的取值范围．题型一 由动点产生的特殊图形 巩固练习【练习1】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为()()4,00,2A C 、，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．⑴ 试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；⑵ 当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标； ⑶ 已知E （1，－1），当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；真题赏析复习巩固y x P ODCBAx【练习2】 平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M ．N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连接MP ．已知动点运动了x 秒．请你探索：若P 点坐标为（3-x ，43x ）当x 为何值时，△MP A 是一个等腰三角形？有几种情况？写出研究成果并证明．【练习3】 如图，在直角梯形COAB 中，OC //AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A 、B 、C三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． ⑴求直线BC 的解析式；⑵若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面 积的27．题型二 由动点产生的函数关系 巩固练习【练习4】 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E ．运动过程中△PEF 的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）A ．。
动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。
【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
3、四边形中的动点问题例1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？ 分析：（1）四边形PQCD 为平行四边形时PD=CQ ． （2）四边形PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE ． （3）四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC ．所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD 平行为四边形∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD 平行为四边形．（2）过D 作DE ⊥BC 于E则四边形ABED 为矩形∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm ∵四边形PQCD 为等腰梯形∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t ）=4 解得：t=7（s ）即当t=7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC 时，四边形PQCD 为直角梯形即3t-（24-t ）=2 解得：t=6.5（s ）即当t=6.5（s ）时，四边形PQCD 为直角梯形．例2.如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ······················ 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒==················ 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ············· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥∴3BG AD ==∴1037GC =-= ·············· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CN CM CD CG = ······················ 5分 即10257t t -=解得，5017t = ················· 6分 （3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t = ······· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M NA DC B M N （图③） （图④） AD CB M NH E由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t-==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =···· 8分 解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC=即553t t -=∴258t =···················· 8分 ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC △∽△∴FC MC HC DC = 即1102235tt -=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 · 9分练习1、如图，正方形ABCD 的边长是１cm ，E 为CD 的中点．P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A →B→C→E 运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程为x cm ．（1）当x ＝1cm 时，求△APE 的面积；（2）若△APE 的面积为31，求x 的值．A D C BE备用图AD CBEP x A D CBE备用图（图⑤） A D C B H N MF2、如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是AB的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，设Q点运动的时间为x(秒)．（1）求AP的长．（2）若△APQ的面积为S(平方单位)，用含x的代数式表示S（0<x<8）．（3）如果点M与点Q同时从点A出发，点M以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；当M、Q两点相遇时，它们同时停止运动.在整个运动过程中,△AQM按角来分类可以是什么三角形，请写出相应x的取值范围．3.如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M NA DC B M N （图③） （图④） AD C B M NH E。
