必修1 第二章 方程与不等式 2.1 第2课时
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第2课时 等式性质与不等式性质学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一 等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .知识点二 不等式的性质性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆 3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆4 可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 5 同向可加性⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6 同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd 同向 7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正1．若a >b ，则a －c >b －c .( √ ) 2.ab>1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4.⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )一、利用不等式的性质判断或证明 例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．答案 ①③解析 对于①，若ab >0，则1ab>0， 又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1b (b ＋m )>0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3ad<3b c. 证明 因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c， 两边同乘－1，得3a d<3b c. 反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练1 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2. 二、利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定答案 C解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)， Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)， 所以P 2>Q 2，所以P >Q . 反思感悟 比较大小的两种方法跟踪训练2 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 答案 A解析 对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3， 故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错． 三、利用不等式的性质求范围例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b <4.延伸探究已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围． 解 令a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，解得⎩⎨⎧a ＝μ＋ν2，b ＝μ－ν2，∴4a －2b ＝4·μ＋ν2－2·μ－ν2＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10， ∴5≤4a －2b ≤10.反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．跟踪训练3 已知0<a ＋b <2，－1<b －a <1，则2a －b 的取值范围是____________． 答案 －32<2a －b <52解析 因为0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1， 且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得， －32<2a －b <52.1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0知，a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab <b ab ，即1a >1b ，C成立．同理可证D 不成立．3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >bc B.ad <b c C.a c >b d D.a c <b d答案 B解析 因为c <d <0，所以－c >－d >0，即1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b－c ，从而有a d <b c.4．若a >b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －c C ．ac >bc D ．ac <bc答案 B解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c ， 故选B.5．若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围是________．答案 －1<α－β<0 解析 ∵－12<α<12，－12<－β<12， ∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.1．知识清单： (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2 D ．|a |>|b |答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0答案 D解析 ∵a >b ，∴a －b >0，∴(a －b )c 2≥0，故选D. 3．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 答案 A 解析1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a )， ∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0， ∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．x －y >1－y B ．x －1>y －1 C ．x －1>1－y D ．1－x >y －x答案 C解析 利用性质可得A ，B ，D 均正确，故选C. 5．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a 答案 D解析 ∵a <0，b <－1，∴ab >0，b 2>1，∴0<1b 2<1，∴0>a b 2>a 1，∴a b >a b2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________．答案 a >0>b解析 若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b .7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z >y >x 解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc ＝2c (a －b )>0， ∴y 2>x 2，即y >x . 同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ；(2)a c 3<bc3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb，∴是假命题．(2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a <b ，∴是假命题． (3)假命题．当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立， ∴是假命题．(4)假命题．当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，所以－92<2a ＋3b <132.11．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b答案 D解析 对于A ，若c <0，其不成立；对于B ，若a ，b 均小于0或a <0，其不成立；对于C ，若a >0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a <b . 12．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0， 所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0， 所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( ) A ．d >b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b答案 A解析 ∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d . 又a ＋c <b ，∴a <b . 综上可得，d >b >a >c .15．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N 答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y ＝N ，即M <N .16．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， 则(a －c )2>(b －d )2>0， 即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.。
