人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．13,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5B ．6C ．3D ．93．下列向量与向量()1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ）A．11,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D．1122⎛⎫⎪⎪⎝⎭4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3-B ．1C ．3或1D ．3-或16．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,222⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,,144⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,2,87．已知2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定9．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，1A P λ=11A B ，113C C C M =，若PN BM ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==11．己知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A ．657B ．9C ．357D ．012．在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z ) ，(x ，y ，z ∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ） A ．2x +y +z =1B ．x +y +z =0C ．x -y +z =-4D ．x +y -z =013．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭14．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒15．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知11,AB AA ==E 为线段AB 上一个动点，则1D E CE +的最小值为（ ）A ．BC 1D ．2+16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5⎫⎪⎪⎣⎭B ．5⎣C ．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题17．已知{,,}i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=--，则向量2a b -的坐标是_________.18．已知空间向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(,5,5,)c λ=，若,,a b c 共面，则实数λ=______．19．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.20．已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________.21．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．三、解答题22．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.23．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.四、多选题24．（多选）已知(1,2,3),(2,3,4),(1,2,3)M N P --，若3PQ MN =且//PQ MN ，则Q 点的坐标可以为（ ） A ．(2,5,0) B ．(4,1,6)---C ．(3,4,1)D ．(3,2,5)---参考答案1．B 【分析】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则由已知可得23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，从而可求出,,x y z 的值 【详解】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，所以1,2,3,x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量基本定理的应用，属于基础题 2．D 【分析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得,x y 的值，进而求得x y -的值. 【详解】由于a 与b 共线，所以6212x y ==-，解得6,3x y ==-，所以9x y -=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题. 3．C 【分析】根据一个向量共线的单位向量计算公式a a±，可得结果【详解】由||122a =++=， ∴与向量a 共线的单位向量为11,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题. 4．C 【分析】C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 【详解】∵C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，∴13AC AB =， ∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，．故选C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 6．A 【分析】根据三点共线，可得OP OC λ=，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得,PA PB ，最后计算PA PB ⋅，经过化简观察，可得结果. 【详解】设(,,4)OP OC λλλλ==，则(1,2,24)PA λλλ=---- (2,1,44)PB λλλ=----则2211812818103PA PB λλλ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭ ∴当13λ=时，PA PB ⋅取最小值为-10， 此时点P 的坐标为114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题. 7．A 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b <，再根据坐标关系建立不等式即可求解. 【详解】∵()2(,2,0)3,2,x x x λ≠-，∴a 与b 不共线， ∵a 与b 的夹角为钝角，∴0a b <，即3 2(2)0x x +-<，解得4x <-， 故选A. 【点睛】本题考查向量的夹角.注意向量数量积的坐标关系与向量平行的坐标关系的区别. 8．B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【分析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM 坐标，由=0PN BM ⋅，即可求解. 【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅，即23λ=. 故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题. 10．B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.11．A 【分析】由条件可得,,a b c 共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论. 【详解】,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，,,a b c 共面，()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，存在唯一的实数对(,)x y ，使得c xa yb =+，274532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 故选:A. 【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题. 12．A 【解析】(0,1,1)AB =-，(2,2,2)AC =-，(1,1,2)AD x y z =--+，因为,,,A B C D 四点共面，所以,,AB AC AD 共面，即存在,λμ使得AD AB AC λμ=+，即12{1222x y z μλμλμ-=--=++=-+，消去,λμ得21x y z ++=，故选A ．13．C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．C 【解析】由题意可得14a =，56b =，且2b a =-，所以7a c -⋅=，cos ,a ca c a c ⋅==71142-=-，所以0,120a c =，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现2b a =-的平行关系，就可以简化运算，否则要设c 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 15．B 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，(,0,0)(01)E t t ，则1D E CE +=的最小值问题转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，由图可知当M ，P ，N 三点共线时，(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(1,1,0)A D C . ∵E 为线段AB 上一个动点， ∴设(,0,0)(01)E t t ，则1D E ==，CE =故问题转化为求1D E CE +=+的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M ，P ，N 三点共线时，()1min min ||D E CE MN +====故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 16．A 【分析】由已知建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由GD EF ⊥可得21x y +=，从而可得1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，进而可求出结果 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,1,0,1,22G E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵GD EF ⊥，∴0GD EF ⋅=，即11022x y --+=，即21x y +=， 又∵01x <<，∴0121y <-<， ∴102y <<.又1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，∴当25y =时，min 5DF ==； 当0y =时，||1DF =；当12y =时，1||2DF =，故线段DF 的长度的取值范围为5⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】此题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题 17．(5,7,7)- 【分析】由3,232a i j k b i j k =-++=--直接计算2a b -，化简后可得其坐标 【详解】解：由3,232a i j k b i j k =-++=--，得2(3)2(232)a b i j k i j k -=-++---(3)(464)(4)(6)(34)577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++，则2(5,7,7)a b -=-. 故答案为：(5,7,7)- 【点睛】此题考查空间向量的坐标运算，属于基础题 18．4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数x ，y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出λ的值即可． 【详解】 解：向量a 、b 、c 共面，∴存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即)(2,1,(,5,5)(1,4,23)y x λ=-+--，∴245325x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩；解得324x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：4. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 19．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20．2π【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角. 【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 21．257【分析】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，∴401525777x y +=-=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得,,x y z 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）10-；（2）52k =-或2k =.【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a ba b θ⋅===∣；（2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.23．（123）证明见解析 【分析】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -,依题意得()0,1,0B ,()1,0,1M ,根据空间两点间距离公式: d =即可求得BM 的长.（2）求出1BA 和1CB ,根据111111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅,即可求得11cos ,BA CB 的值.（3）求出1A B 和1C N ,11A B C N ⋅的值,根据向量垂直与数量积的关系a b ⊥时,=0a b ⋅,即可求证11A B C N ⊥. 【详解】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -.如图:依题意得()0,1,0B ，()1,0,1M ，根据空间两点间距离公式: d =∴ (1BM ==（2）依题意得:()11,0,2A ,()0,1,0B ,()0,0,0C ,()10,1,2B . ∴()11,1,2BA =-,()10,1,2CB =,113BA CB ⋅=,16BA =15CB =，∴11111130cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅. （3）依题意得()10,0,2C ,11,,222N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()11,1,2A B =--,111,,022C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴11110022A B C N ⋅=-++=∴11A B C N ⊥【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 24．AB 【分析】首先设(),,Q x y z ，根据题意得到3PQ MN =或3PQ MN =-，从而得到132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，再解方程组即可得到答案. 【详解】设(),,Q x y z ，∴(1,2,3)PQ x y z =+-+. 因为(1,2,3),(2,3,4)M N ，所以(1,1,1)MN =. 因为||3||PQ MN =且//PQ MN ， 所以3PQ MN =或3PQ MN =-，所以(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=或(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=-，132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩ 解得250x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或416x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故Q 点的坐标为(2,5,0)或(4,1,6)---. 故选：AB 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于简单题.。
页眉内容《解析几何》教案第一章向量与坐标本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。
（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.本章教学内容：§1.1 向量的基本概念一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量.三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.四、向量间的几种特殊关系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然，，零向量的反向量还是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.注意：应把向量与数量严格区别开来：①向量不能比较大小，如没有意义；②向量没有运算，如类似的式子没有意义.§1.2 向量的加法一向量的加法：定义1设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作（图1-1）这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：定义2作，以的终点为起点作，联接（图1-2）得（1-2）该方法称作向量加法的三角形法则.（图1-2）向量加法的三角形法则的实质是：将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：定理1 向量的加法满足下面的运算律：1、交换律, （1.2-2）2、结合律. （1.2-3）证交换律的证明从向量的加法定义即可得证.下证结合律 .自空间任一点O开始依次作则有，所以.由定理1知，对三向量相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作.二向量的减法定义3 若，则我们把叫做与的差，记为显然，,特别地，.由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设、，以与为邻边作一平行四边形，则对角线向量.例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.证必要性设三向量、、可以构成三角形（图1-3），（图1-3），那么,即.充分性设，作那么，所以，从而，所以、、可以构成三角形.例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证设四边形的对角线、交于点且互相平分（图1-4）因此从图可看出：，所以，∥，且，即四边形为平行四边形.（图1-4）§1.3 数量乘向量定义1.3.1设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向相同；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反.特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知：.据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：定理1.3.1. 数量与向量的乘法满足下面的运算律：1) 1·=2)结合律, (1.3-1)3)分配律, (1.3-2)4) . ( 1.3-3)证 1)据定义显然成立.2)显然，向量、、的方向是一致，且= == .3）分配律如果或中至少有一个为0，等式显然成立；反之ⅰ)若,显然同向，且所以ⅱ）若不妨设若则有由ⅰ)可得，所以对的情形可类似证明.一个常用的结论：定理3. 若( 为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行且，则( 是数量).设是非零向量，用表示与同方向的单位向量.由于与同方向，从而与亦同方向，而且,即.我们规定：若，. 于是.这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式.十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.例1 设AM是三角形ABC的中线，求证.（图1-5）证如图1-5，因为，所以但因而，即.例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设△ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则所以，且.§1.4 向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合.定理1.4.1如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得， (1.4-1)并且系数被，唯一确定.证若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定存在实数使得（见1.3节中1.3.5的证明）.再证的唯一性：如果，那么，而，所以，.定理1.4.2如果向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即， (1.4-2)并且系数被，唯一确定.证：（图1-6）因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么由定理1.4.1有，其中中有一个为零；如果与都不共线，把它们归结共同的始点，并设，，，那么经过的终点分别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理 1.4.1，可设，所以由平行四边形法则得，即.反之，设，如果中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.如果，那么，从向量加法的平行四边形法则知与都共面，因此与共面.最后证的唯一性.因为=，那么，如果，那么，将有，这与假设矛盾，所以.同理，这就证明了唯一性.定理1.4.3 如果向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得，(1.4-3)并且系数x,y,z被，唯一确定.证明方法与定理1.4.2类似.定义1.4.2对于个向量，若存在不全为零的实数，使得， (1.4-4)则称向量线性相关.不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：.定理1.4.4在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.证设向量线性相关，则存在不全为零的实数使得，且中至少有一个不等于0，不妨设，则；反过来，设向量中有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即，即.因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.定理1.4.5 如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.证设中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.则有，因为不全为零，所以线性相关.推论如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关类似地可证明下面的定理：定理1.4.6 两向量与共线线性相关.定理1.4.7 三向量与共面线性相关.定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.例1 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，，使得，且，其中是任意取定的一点.证（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，所以，.任取一点所以，所以，.取，，则，，.（充分性）若对任一点有非负实数，，使得，且则，所以与共线，即在直线上.又，所以在线段上.例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是.证共线,线性相关，即存在不全为0的实数，使，(1.4-5)即.又因为不共线即线性无关，故方程有非零解.§1.5 标架与坐标一空间点的直角坐标:平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.1、空间直角坐标系过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：(图1-7)右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向.三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点叫做坐标原点.注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右.当然，它们的实际夹角还是.2、坐标面与卦限三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与面.三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.(图1-8)3、空间点的直角坐标取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标.依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为.反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点.这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系.定义1 我们把上面有序数组叫点在此坐标系下的坐标，记为.二空间两点间的距离公式定理1设、为空间的两点，则两点间的距离为(1.5-1)证过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图所示(图1-9)是直角三角形，故，因为是直角三角形，故，从而；而，，，故.特别地，点与坐标原点的距离为.三空间向量的坐标定义2 设是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，使得，那么我们把这组有序的实数，叫做向量在此坐标系下的坐标，记为或.定理2设向量的始终点坐标分别为、，那么向量的坐标为. (1.5-2)证由点及向量坐标的定义知，所以=.由定义知.定理3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.证设，，那么=+=，所以. (1.5-3)类似地可证下面的两定理：定理4设，则.定理5 设，，则共线的充要条件是.(1.5-4)定理6三非零向量，，共面的充要条件是. (1.5-5)证因为不共面，所以存在不全为0的实数使得，由此可得因为不全为0，所以.§1.6 向量在轴上的射影一、空间点在轴上的投影：设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影.(图1-10)二、向量在轴上的投影：定义1设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.(图1-11)这里，的值是这样的一个数：(1)即，数的绝对值等于向量的模.(2)当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，.三、空间两向量的夹角：设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作.(图1-12)若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.类似地，可规定向量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角.四投影定理：定理1.6.1向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦.即, (1.6-1)(图1-13)证过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有故由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量.当非零向量与投影轴成锐角时，向量的投影为正.定理1.6.2对于任何向量都有. (1.6-2)证取，那么，设分别是在轴上的投影，那么显然有，因为所以，即.类似地可证下面的定理：定理1.6.3对于任何向量与任何实数有. (1.6-3)§1.7 两向量的数性积定义1.7.1 对于两个向量a和b 把它们的模|a|,|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量和的数量积 记作ab,即ab=|a||b|cos .由此定义和投影的关系可得 ab|b|Prj b a=|a|Prj a b .数量积的性质(1) a·a=|a| 2,记a·a a 2，则a2|a| 2.(2) 对于两个非零向量a、b 如果a· b=0 则a b反之 如果a b 则a· b 0.定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a· b 0.定理1.7.2 数量积满足下面运算律：(1)交换律 a· b= b·a(2)分配律( a b)c a c b c( (3)a)· b a·(b )(a·b)(a)·(b )(a·b) 、为数证（1）由定义知显然.(2)的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c（3）可类似地证明.例1试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中 ∠BCA||=a ||=b ||=c要证c 2a 2+b 2 2 a b cos记a b =c 则有 c a b从而 |c|2c c(a b)(a b)a2-2ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2+b 2 2 a b cos数量积的坐标表示 :定理1.7.3设a{a x a y a z } b{b x b y b z }则a·b a x b x a y b y a z b z证a· b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z定理1.7.4设a={},则向量a的模|a|=.证由定理1.7.2知|a|2=a2=，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 设a={}，则a的方向余弦为cos=,cos,cos；且，其中分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角.证因为ai=|a|cos且ai=，所以 |a|cos=，从而 cos=.同理可证 coscos且显然两向量夹角的余弦的坐标表示定理1.7.6设(a ^ b)则当a0、b0时 有.证 因为a·b|a||b|cos，所以.例2 已知三点M (11 1) 、A (22 1) 和B (21 2) 求AMB解从M到A的向量记为a从M到B的向量记为b则AMB就是向量a与b的夹角 .a{11 0} b{10 1}因为a b1110011所以从而.§1.8 两向量的向量积定义1.8.1 两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做a b或,它的模|a b||a||b|sin,它的方向与a和b垂直并且按a,b,a b确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,a b｝.从定义知向量积有下列性质：(1) a a0(2) 对于两个非零向量a，b如果a b0则a//b；反之如果a//b则a b0.定理1.8.1 两不共线向量a与b的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a b0.证当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a b|=|a||b| sin(a、b)=0，从而a b0；反之，当a b0时，由定义知，a=0，或b=0，或a//b，因零向可看成与任向量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律(1) 反交换律a b b a，(2) 分配律(a b)c a c b c，(3) 数因子的结合律 (a)b a(b)(a b) (为数).证（略）.推论: c (a b) c a c b定理1.8.4 设a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k，则a b(a y b za zb y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k证由向量积的运算律可得a b(a x i a y j a z k)(b x i b y j b z k)a xb x i i a x b y i j a x b z i ka yb x j i a y b y j j a y b z j k a z b x k i a z b y k a z b z k k由于i i j j k k0i j k j k i k i j所以a b(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k.为了帮助记忆利用三阶行列式符号上式可写成a yb z i+a z b x j+a x b y k a y b x k a x b z j a z b y i(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j(a x b y a y b x)k例1设a(2 11)b(11 2)计算a b解=2i j2k k4j i i5j 3k例2已知三角形ABC的顶点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积由于(222)(124)因此4i6j2k于是例3 设刚体以等角速度绕l轴旋转计算刚体上一点M的线速度解刚体绕l轴旋转时我们可以用在l轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向设点M到旋转轴l的距离为a再在l轴上任取一点O作向量r并以表示n与r的夹角那么a|r| sin设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为|v||n|a|n||r| sinv的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有v n r§1.9 三向量的混合积定义1.9.1 给定空间的三个向量，我们把叫做三向量的混合积，记做或.定理1.9.1三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时.证由于向量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是.根据数性积的定义，其中是与的夹角.当构成右手系时，，，因而可得.当构成左手系时，，，因而可得.定理1.9.2三向量共面的充要条件是.证若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，从而.反过来，如果，即，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面.定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即.证当共面时，定理显然成立；当不共面时，混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，又因轮换的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.推论:.定理1.9.4设，，，那么.证由向量的向性积的计算知，再根据向量的数性积得===.推论: 三向量共面的充要条件是.例1设三向量满足，证明：共面。
向量坐标知识点总结一、向量的概念1.1 向量的定义向量是空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在数学中，向量通常用坐标表示，称为向量坐标。
1.2 向量的表示在二维空间中，向量可以用(x, y)表示，在三维空间中，向量可以用(x, y, z)表示。
通常向量用有向线段或箭头表示。
向量的方向由箭头的方向表示，长度由箭头的长度表示。
1.3 向量的性质向量有大小和方向，但没有固定的位置。
向量的大小是由模长表示，向量的方向是由箭头的指向表示。
向量的大小和方向唯一确定一个向量。
1.4 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模长相等，且方向相同。
即如果向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)相等，则必须满足x1=x2且y1=y2。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
具体表示为A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。
2.1.1 几何法几何法求两个向量的和，可以将它们首尾相接，用三角形法则或平行四边形法则求得。
2.1.2 分量法分量法是将两个向量的x分量和y分量分别相加得到最终的向量。
2.2 向量的数乘向量的数乘是指一个数与向量的每个分量相乘得到新的向量。
具体表示为kA=(kx, ky)。
2.3 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到新的向量。
具体表示为k1A+k2B=k3C，其中k1,k2为实数，A,B为向量，C为新的向量。
2.4 向量的点积向量的点积也称为内积，是指两个向量相应分量的乘积再相加得到一个数。
具体表示为A·B=x1x2+y1y2。
2.5 向量的叉积向量的叉积也称为外积，是指两个向量相乘再得到一个新的向量。
它是有向量的性质，叉积的结果是一个垂直于原来两个向量组成的平面的向量。
三、向量的坐标表示3.1 向量的坐标向量在坐标系中可以表示为(x, y)或(x, y, z)。
具体表示为A(x1, y1)或B(x1, y1, z1)。
12(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则12112(x ,y )a b x z +=++，12112(x ,y )a b x z -=--，111(,,)a x y z R λλλλ=，12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：21cos ||||x a ba b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理（1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ，，向量共面：a xb yc =+2典例解析考点一：概念的判断例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( )A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ）①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α.A.1B.2C.3D.4变式2 给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1考点二：空间向量的线性运算例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。
