安徽省合肥皖智高考复读学校2020届高三数学上学期第三次半月考试试题 理 新人教A版

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．66．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k，求证：+≥．2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}【解答】解：因为，所以∁R B＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁R B）＝{﹣1，0}．故选：D．2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：z+z•i＝3+i可化为z＝＝＝＝2﹣i∴z的共轭复数为＝2+i，故选：C．3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．【解答】解：输入x＝﹣1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3＝4，S6＝10，∴3a1+3d＝4，6a1+d＝10，联立解得：a1＝，d＝∴．故选：A．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．6【解答】解：由标准数据，计算＝×（14+16+18+20+22）＝18，＝×（12+10+7+a+3）＝；由点（，）在线性回归方程＝﹣1.15x+28.1上，∴＝﹣1.15×18+28.1，则32+a＝7.4×5，解得a＝5．故选：B．6．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y＝k（x+1）过定点A（﹣1，0），直线y＝k（x+1）经过不等式组表示的平面区域有公共点则k＞0，k AC＝＝2，∴k∈[0，2]．故选：B．7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【解答】解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y＝sin x的图象，故选：A．8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素共有种，要使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数，必须a，b都为奇数共有＝6 种，则函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为P＝＝．故选：B．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．【解答】解：由可得．在△MCN中，CM＝CN＝2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a＝4或8．故选：B．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），则MN＝y1﹣y2．∵S△MFN＝5，∴，即（y1﹣y2）p＝10，①∵，∴，即，∴y1＝﹣4y2，②∵AF＝AM＝，，∴，③联立①②③解得y1＝4，y2＝﹣1，p＝2．∴|AB|＝．故选：D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：x（1+lnx）＝xlny﹣ay可化为a＝，令，则t＞0，f（t）＝﹣t﹣tlnt，∵f′（t）＝﹣2﹣lnt，∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减．即＝＝则a∈．故选：C．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A﹣BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A﹣BCD的高为△AEC 过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AD＝DC＝1，AE＝，EC′＝，AC′＝|cos∠ADC′|＝||＝，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝8．【解答】解：+2＝（9，2+2k），3﹣＝（﹣1，6﹣k）；∵（+2）∥（3﹣），∴9（6﹣k）﹣（﹣1）（2+2k）＝0，解得k＝8．故答案为：8．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为﹣．【解答】解：通项公式T k+1＝（x3）8﹣k（﹣）k＝（﹣）k x24﹣4k，由题意可知24﹣4k＝4，解得k＝5则x4的系数为（﹣）5＝﹣，故答案为：﹣．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝﹣．【解答】解：∵＝2cos[+（x﹣）]cos（x﹣）+sin x＝cos2x+sin x＝﹣2sin2x+sin x+1，∵sin x∈[﹣1，1]，∴f（x）∈（﹣2，），对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则f（a1）＝﹣2，f（a2）＝，即sin a1＝﹣1，sin a2＝，cos a1＝0，∴cos（a1﹣a2）＝cos a1cos a2+sin a1sin a2＝0+＝﹣．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．【解答】解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1B⊥AB，O2A⊥AB，过O1作O1D⊥O2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt△O1O2D中，DO2＝3﹣1＝2，O1D＝＝2．∴cosα＝＝＝．∵O1O2＝8，CO2＝8﹣O1C，∵△EO2C∽△FO1C，∴＝，解得O1C＝2．∴CF＝＝＝．即cosβ＝＝．则椭圆的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n＝1时，a1＝1，故b1＝6．当n≥2时，a n＝2a n﹣1+2n﹣1，则b n＝a n+2n+3＝2（a n﹣1+2n﹣1+2n+3＝2[a n﹣1+2（n﹣1）+3]，∴b n＝2b n﹣1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝3×2n，∴a n＝b n﹣2n﹣3＝3×2n﹣2n﹣3，∴S n＝3×（2+22+……+2n）﹣[5+7+……+（2n+3）]＝3×﹣＝3×2n+1﹣n2﹣4n﹣6．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124不经常阅读50 26 76合计150 50 200则K2＝＝≈5.546＞5.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且x～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3 4P∴E（X）＝＝．19．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC，∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD．PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO，∴GH⊥CD．又∵GH∩AC＝H，AC，GH⊂平面GAC，∴CD⊥平面GAC；（Ⅱ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AD＝4，则P（0，0，2），A（0，﹣2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，）．＝（0，2，2），＝（，，）．设平面PAG的一法向量＝（x，y，z）．由，得，即．令z＝1，则＝（1，，1）．由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量．∴二面角P﹣AG﹣C的平面角θ的余弦值cosθ＝．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，∴，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在．令l：y＝k（x﹣1），（k≠0），m：y＝﹣k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），N（x N，y N）．将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2﹣3）＝0，∴x M+x N ＝﹣，x M x N ＝，|MN|2＝（1+k2）．同理|AB|＝＝．由|MN|2＝4|AB|得t＝0，此时，△＝64k4t2﹣16（3+4k2）（k2t2﹣3）＞0，∴直线m：y＝﹣kx，∴，即点P的定直线x ＝上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．g（x）＝f'（x）＝2x﹣alnx﹣a，g'（x）＝2﹣当a≤0时，g'（x）＞0，函数y＝g（x）在（0，+∞）单调递增，函数y＝g（x）没有极值．当a＞0时，由g'（x）＝0，得x ＝，函数y＝g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．函数y＝g（x ）的极小值为，没有极大值．（Ⅱ）对∀x∈[1，e]，f（x）＞0恒成立，即对∀x∈[1，e]，x2﹣axlnx+a+1＞0，∴对∀x∈[1，e]，x﹣alnx +＞0．令h（x）＝x﹣alnx +，则h'（x）＝1﹣＝．①当a+1≤1，即a≤0时，对∀x∈[1，e]，h'（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝1﹣0+＞0，解得a＞﹣2，∴﹣2＜a≤0满足题意．②当a+1≥qe时，即a≥qe﹣1，对∀x∈[1，e]，h'（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调第21页（共23页）递减，h（x）min＝h（e）＝e﹣a +＞0，解得a ＜∴e﹣1满足题意．③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，对于x∈[1，a+1]，h'（x）＜0；对于x∈[a+1，e]，h'（x）＞0．∴h（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∴．即1+﹣ln（a+1）＞0设H（a）＝1+﹣ln（a+1），由于H（a）在（0，e﹣1）单调递减，∴H（a）＞1﹣＞0，即h（x）min＝aH（a）＞0，∴0＜a＜e﹣1满足题意．综上①②③可得，a 的取值范围为：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．【解答】解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2＝4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）＝4，可得ρ2+3（ρsinθ）2＝4，则x2+y2+3y2＝4，则曲线E 的直角坐标方程为；（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B（2cosα，±sinα）．要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，﹣sinα）．∴＝＝．第22页（共23页）∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[﹣1，1]．当，即时，△AOB 的面积取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k ，求证：+≥．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1＝，当x＝1时，f（x）取得最小值，即k＝f（1）＝2；（2）证明：依题意，m2+4n2＝2，则m2+4（n2+1）＝6．所以＝＝，当且仅当，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．所以．第23页（共23页）。

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23B.5C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b < 8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k <9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.16210.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0)D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.(14)已知()23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r，，当OC uuu r 最小时，t =. (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b =.(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12AC ，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.EDCBA(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市高三第三次教学质量检测数学试题 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C C P X P X C C ======，， ∴X 的分布列是：X 0 1 23 P84220108220 272201220∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 0A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220220x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2||14DE n d n a⋅==+u u u r rr . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--， ∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACDCBCBDACA、填空题：本大题共4小题, 每小题5分，共20分.13.480 14.-960 15.4 16.①②④⑤、解答题：本大题共6小题, 满分70分.17.（本小题满分12分）解：（1）f x cos x sinx .3cos x1 sin2 x31 cos2 x i 2丘sin 2 x2232由1 sin 2 x —1得，f x 的值域是—1 , 3 1.…… ......................... 5分322⑵ T 0 x ，•——2 x —23333由正弦函数的图像可知，fx —在区间0, 上恰有两个实数解，必须2 2- 32 3解得54. .......................................... 12分6318.（本小题满分12分）解：（1） •••四边形AACG 是菱形，• AC AG ,又••• AC .3AG ,••• ACC , =600 , • ACC 是等边三角形. •••点M 为线段AC 的中点，• GM AC . 又T AC // AG , • GM AC 1. •••在等边 ABC 中，BM AC , 由 AC // AG 可得，BM AG . 又 T BM I C 1M M , • AC 1 平面 BMC 1 ,••• A 1C 1 平面ABG ,•平面BMG 丄平面ABG ................................................ 5分 （2） T BM AC ,平面ABCL 平面AACG ,且交线为AC •- BM 平面ACC 1A 1 , •直线MB , MC , MG 两两垂直. 以点M 为坐标原点，分别以MB , MC , MG 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系，如图，则 B 3 , 0, 0 , G 0, 0, 3 , A 0, uuuir uuu - -•- AC 1 0, 2 0 , BG 3 , 0, 3 , 2, 3 uuuuCC 1 ,C 0, 1, 0 , 1, 3 .0, 设平面ABG 的一个法向量为nuuuur r A C 1 n …uuun rx , y, z1，得nBG n 019.(本小题满分12分)解：(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90, 110］的天数为2天，所以估计空气质量指数在 (90, 100］的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28无 ................3分 (2)①在这30天中， …P X 0?C 30• X 的分布列为⑵ 由⑴知，当a 2时，fx e x e x 2x 在R 上单调递增,• gx f ln x x 1x 2ln x 在 0, 当n Z 且n 2时, n 1 2l n n 1n.••n Z 且 .n 2 时，1 22n In n n 1n1 1 1 1 1 L 1 i2 i l n i 13 24 n 1 上单调递增. 1 n 21 2ln1 0 ,即卩 2ln n , 1 n 1 1 n 1 n 1 1 1113 n2 n 212分n 1 2 n n 1 2n n 1备孚即点C 到平面ABC 的距离为孚12分1 29，1 22 -29 5②甲不宜进行户外体育运动的概率为—，乙不宜进行户外体育运动的概率为—，10EX 0 -92 14548 145221 9』 …P C 3C 2 10 103 710 1010 567 5000012分20.(本小题满分12分) 解：(1) f x e x e 当ax 2 时，f x e a , a 1 24 2 ,a a 2 4 aa 2 4,InU In 2 22时，由f x在R 上单调递增;a . a 2 4 ln .2时，f x 0 ,••• fx在'『「P 和时，f0.上单调递增,在 lndJ^2,ln122 2上单调递减.…d乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天,92145_ 1 _ 1C 6 C 24 48C 6 P X 1 6 £ , P X 26. C 30145C 30解：设点 P X o , y , A X i , y i , B x 2, y 2 . (1) T 直线|经过坐标原点，x 2 x 1, y 2 y 1 .2..X0222X0— y 。

【2019-2020】安徽省高三数学上学期第三次月考试题理一、单选题（每题5分，共60分）1．下列说法错误的是（）A．对于命题，则B．“”是“”的充分不必要条件C．若命题为假命题，则都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．4．设，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数且的最大值为,则的取值范围是（）A． B． C． D．8．若在上是减函数，则的取值范围是( )A． B． C． D．9．已知定义在R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为( )A ． (－∞，－1)B ． (1，＋∞)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞)D ． (－1,1) 10．若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．若曲线21:C y x =与曲线2:xe C y a=（0a >）存在公共切线，则a的取值范围为（ ）A ． ()01，B ． 214e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ． 2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，共20分）13．5．函数的部分图象如图所示,则__________． 14．已知：；：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________.15．己知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 16．已知函数()212x f x x e =+-（0x <）与()()2ln g x x x a =++，若函数()f x 图像上存在点P 与函数()g x 图像上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 三、解答题17．（10分）已知函数.（Ⅰ）求的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像.当x 时，求的值域.18．（12分）已知函数()()()12log 124,x x f x a bx a b R +=+++∈.（Ⅰ）若1a =，且()f x 是偶函数，求b 的值；（Ⅱ）若4a =，且()()(){}11A x f x b x ==++=∅，求实数b 的取值范围.19．设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．20．已知函数， （1）求函数的单调区间；（2）证明：对一切，都有成立.21．已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．22．已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.参考答案1．C【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A正确；由于可得，而由得或，所以“”是“”的充分不必要条件正确；命题为假命题，则不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.2．C【解析】【分析】先根据指数函数的性质求出集合，再求解分式不等式化简集合，然后由交集运算性质得答案．【详解】，，∴，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，指数函数的值域问题，解题的关键是认清集合，是基础题．3．B【解析】【分析】判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数单调递增，∴f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=3＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】，，，，b，c的大小关系是．故选：C．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．D【解析】【分析】利用积分的运算公式和定积分的几何意义即可求得结果【详解】为奇函数又表示半圆的面积故选【点睛】本题主要考查了积分的基本运算，以及定积分的几何意义，只要根据计算法则即可求出结果，注意几何意义。

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23B.5C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b < 8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k <9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.16210.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0)D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.(14)已知()23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r，，当OC uuu r 最小时，t =. (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b =.(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12AC ，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.EDCBA(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市高三第三次教学质量检测数学试题 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C C P X P X C C ======，， ∴X 的分布列是：X 0 1 23 P84220108220 272201220∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 0A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220220x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2||14DE n d n a⋅==+u u u r rr . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--， ∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

合肥皖智高复学校2020届高三上学期第三次半月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}(){}0,1,2,,210x-2y-1MN x y x y ==-+≥≤∈且0，x,y M ，则N 中的元素个数为（ ）A.9B.6C.4D.2 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x= D ．||y x x = 3.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a --- 4．若ab c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A. (),b c 和(),c +∞内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),a b 和(),b c 内 D.(),a -∞和(),c +∞内5．如图是导函数y=f′（x ）的图象，则下列命题错误的是（ ）A ． 导函数y=f′（x ）在x=x 1处有极小值B ． 导函数y=f′（x ）在x=x 2处有极大值C ． 函数y=f （x ）在x=x 3处有极小值D ． 函数y=f （x ）在x=x 4处有极小值6．若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线， 则a b += ( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 7．将函数x x y sin cos 3+=的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12π B.6π C.3π D.65π 8．已知函数00,4,4)(22<≥⎩⎨⎧---=x x x x x x x f ，若()2()0f a f a -+>，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <-- 或13a >-+B ．1>aC ．33a <- 或 33a >+D ．1<a9. 函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈且12x x ≤，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A.34 B. 12 C. 1 D.2310．已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x ）﹣f （x ）≥0，对任意正数a ，b ，若a ＞b ，则必有（ ） A ． a f （a ）≤bf（b ） B ． b f （b ）≤af（a ） C ． a f （b ）≤bf（a ） D ． b f （a ）≤af（b ）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

三数学上学期第三次月考试题理一．选择题（共12 小题）1．已知会合＝{ | 2 ﹣ 3 ﹣4＜0} ，＝{ | } ，则M N 等于（）M x x x N xA．{ x| x＜ 4} B．{ x| ﹣ 1＜x＜ 3} C． { x|3 ＜x＜ 4} D． { x|1 ＜x＜ 3}2．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A．B．C．D．3．已知函数，若f（0）＜0，则此函数的单一减区间是（）A．（﹣∞，﹣ 1]B．[ ﹣ 1， +∞）C． [ ﹣ 1， 1）D．（﹣ 3，﹣ 1]4．已知正实数a， b， c 知足：，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．设在α ∈ R，则“ cos α＝”是“ α ＝“的（）条件A．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要6．已知命题p：? x0∈R，使得 lg cos x0＞0；命题 q：? x＜0，3x＞0，则以下命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q） D ．p∨q7．已知函数 f （ x）＝，若对于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不一样的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞， 2）∪（ 2，+∞）B．（ 1﹣，+∞）C．（ 1﹣，1）D．（ 1，e）8．已知 y ＝ （ +2）是奇函数，若函数（ ）＝ f（ ）﹣有 k 个不一样的零点，记为x 1，f xg xxx 2， ， x k ，则 x 1+x 2+ +x k ＝（）A ．0B ．kC ． 2kD ． 4k9．已知函数 f （ x ）＝ sin cos ω x ﹣ （ ω ＞0）在 [0 ， ] 上有且仅有三个零点，则 ω 的取值范围是（ ）A ．（，） B ．[，] C ．[4 ，]D ．[4 ， ）10．以下命题中正确的选项是（）A ．函数 y ＝a x ﹣3+1（a ＞ 0 且 a ≠ 1）的图象恒过定点（ 3， 1）B ．“ a ＞ 0， b ＞ 0”是“”的充足必需条件C ．命题“若 x 2﹣3x +2＝ 0，则 x ＝ 1 或 x ＝ 2”的逆否命题为“若 x ≠ 1 或 x ≠ 2，则 x 2﹣ 3x +2≠ 0”D ．若 ，则 M ＞ N11．已知函数 ，若对随意两个不相等的正数x 1，x 2，都有恒成立，则 a 的取值范围为（ ）A ．[4 ， +∞）B ．（ 4， +∞）C ．（﹣∞， 4]D ．（﹣∞， 4）2x，若方程 f （ x ）＝ a 有 3 个不一样的实根 x ， x ， x （x ＜12．已知函数 f （x ）＝（ x﹣2x ） e1231x 2＜ x 3），则的取值范围是（ ）A ．（ ， 0）B ．（， 0）C ．（ ， ）D ．（0， ）二．填空题（共 4 小题）13．已知 x0, ,则 ysin x cosx 2sin x cosx 的值域是．212 sin x214． （ 1 xx ）dx．15．已知函数 f （x）＝2x﹣ a， g（ x）＝1+x3，若存在 x1， x2∈[0，1]，使得 f （ x1）＝ g（ x2）成立，则实数 a 的取值范围是．16．设x＝ 1 是函数的极值点，数列{ a n} 知足a1＝1， a2＝2， b n＝log2a n+1，若[ x]表示不超过x的最大整数，则] ＝．三．解答题（共 6 小题）17．已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，面积为 S，且．（Ⅰ）若 c2＝5a2+ab，求；（Ⅱ）若，，求a+b的值．18 ．已知数列 { a n} ， { b n} ，其中a1＝5， b1＝﹣1，且满足，，n∈N*， n≥2．（1）求证：数列 { a n﹣b n} 为等比数列；（ 2）求数列的前n项和为S n．19．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥底面 ABCD，AB∥ CD， AD⊥ DC， AB＝ AD＝2DC＝2， E 为PB中点．（Ⅰ）求证： CE∥平面 PAD；（Ⅱ）若 PA＝4，求平面 CDE与平面 ABCD所成锐二面角的大小．20．过抛物线y2＝2px（ p＞0）的焦点 F 的直线与抛物线订交于M、 N两点，自M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为M1、N1．（1）求?；（ 2）记△ FMM 1、△ FM 1N 1、△ FNN 1的面积分别为S 1、S 2、 S 3，求 ．21．已知函数 f （x ）＝．（Ⅰ）若曲线y ＝ f （ x ）在点（ m ， 2）（ m ＞ 0）处的切线方程为 y ＝﹣ x +3，求 f （ x ）的单调区间．（Ⅱ）若方程 f （ x ）﹣ 1＝ 0 在 x ∈（ ， e ] 上有两个实数根，务实数 a 的取值范围．222．已知函数 f （x ）＝ 2lnx +ax ， g （ x ）＝ x +1﹣ 2f （x ）（ 2）若 ＞0，当 x ∈（ 1， +∞）时， g （ ）≥ 0，且 g （ ）有独一零点，证明：＜ 1．a x x a参照答案与试题分析一． 选择题ADDBB DCCDD AA二．填空题（共 4 小题）13． 1，,1 214．22 315[ ﹣ 1， 1]16.2017 ．三．解答题（共 6 小题）17．解：（Ⅰ）∵，∴ 2ab cos C + × ab sin C ＝ 0，可得 cos C + sin C ＝ 0，∴ tan C ＝﹣，∵ C ∈（ 0， π），∴C ＝，∴由余弦定理可得： c 2＝ a 2+b 2+ab ，又∵ c 2＝5 2+，可得：b 2＝4 2 ，即 b ＝2 ，a ab a a∴由正弦定理可得：＝ ＝ 2． （ II ）∵ C ＝，，∴由余弦定理可得21＝a 2+b 2+ab ，又∵＝ ab sin C ＝ ab ，∴解得 ab ＝4，2 2 22∴ 21＝ a +b +ab ＝（ a +b ） ﹣ab ＝（ a +b ） ﹣ 4，∴ a +b ＝ 5．18．解：（ 1）证明： a n ﹣ b n ＝ （ 3a n ﹣1﹣ b n ﹣1）﹣（） （ a n ﹣1﹣ 3b n ﹣ 1）＝ 2（a n ﹣ 1﹣b n ﹣ 1），（ 2）由（ 1）知， a n ﹣ b n ＝ 3?2n ．①由于n +n＝（ 3 n ﹣ 1﹣n ﹣ 1） +（ ） （n ﹣ 1﹣3n ﹣ 1）＝ an ﹣1 + n ﹣ 1， 1+ 1 ＝5+（﹣ 1）＝ 4，a b a babbab所以 { a +b } 为常数列且 a +b ＝ 4．②nnnnn ﹣ 1联立①②得 a n ＝3?2 +2，故．所以 S n ＝＝．19．解：（Ⅰ）取 PA 中点 M ，连接 EM 、 DM ，．（Ⅱ） 以 A 为原点， 以 AD 方面为 x 轴，以 AB 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴，成立坐标系．可得 D （ 2，0，0），C （2，1，0），P （ 0，0，4），B （ 0，2，0），E （ 0，1，2），，，设平面 CDE 的法向量为；，可得，令 z ＝1，则 x ＝1，∴平面 CDE 的法向量为；平面 ABCD 的法向量为；所以．即平面 CDE 与平面 ABCD 所成的锐二面角为．20．解：（ 1）依题意，焦点为（ ， 0），准线l 的方程为 x ＝﹣ ．F设点 M ， N 的坐标分别为 M （ x ，y ）， N （ x ， y ），直线 MN 的方程为 x ＝my +，1122则有 M 1（﹣ ， y 1）， N 1（﹣ ， y 2），＝（﹣ p ， y 1）， ＝（﹣ p ， y 2）．联立方程组，消去x 得 y 2﹣ 2﹣ 2 ＝0，mpy p于是， y 1+y 2＝ 2mp ， y 1y 2＝﹣ p 2．∴?＝ p 2+y 1y 2＝ p 2﹣ p 2＝0．（ 2）设抛物线准线与 x 轴交点为 F 1， M （ x 1， y 1）， N （ x 2，y 2），| 1|＝|| ＝ x 1+，| 1| ＝| | ＝ 2+ ，于是：MMMFNNNF x1＝ ?| 1|?| 1 1|＝ （ x 1+ ） | y 1| ，S MM F MS ＝ ?| MN | ?| FF | ＝ p | y ﹣ y | ，21 1112S 3＝ ?| NN 1| ?| F 1N 1| ＝ （x 2+ ） | y 2| ．∴ ＝ ＝ ，由得1 2＝2 1y 2+ （ 1+ 2） + ＝﹣22+22+＝，x xmy y ymp mp2x 1+x 2＝m （ y 1+y 2） +p ＝ 2mp +p ，∴＝＝＝4，故＝4．21．解：（Ⅰ）f’（x）＝﹣+．由题意可得2＝﹣m+3，解得m＝1，∴，解得 a＝2．∴ f （ x）＝+lnx，f’（x）＝﹣+＝．当 x＞2时、 f '（ x）＞0，当0＜ x＜2时、 f '（ x）＜0，∴f （ x）的单一递加区间为（2，+∞），单一递减区间为（0，2）．（Ⅱ）方程 f （ x）﹣1＝0在 x 上有俩个实数根即方程 a＝ x（1﹣ Inx ）在 x 上有两个实数根，令 h（ x）＝ x（1﹣ lnx ），则 h'（ x）＝1﹣ lnx ﹣1＝﹣Inx ，当≤ x＜1时， h'（x）＞0， h（ x）单一递加；当 1＜x≤e时，h’（x）＜ 0，h（x）单一递减∴ h（ x）max＝ h（1）＝1．又（）＝，（）＝0，∴．h h e即实数 a 的取值范围是（，1）22．解：（ 1）依题意，f′（x）＝+a＝若 a＝0，则 f ′（ x）＝＞0，故函数f（x）在 [4 ， +∞）上单一递加；若 a≠0，令 f ′（ x）＝0，解得 x＝﹣，①若＞ 0，则﹣＜ 0，则f ′（x）＞ 0，函数f（）在 [4 ， +∞）上单一递加；a x②若 a≤﹣，则﹣≤ 4，则f′（x）≤ 0，则函数f（x）在 [4 ， +∞）上单一递减；③﹣＜ a＜0，则﹣＞ 4，则函数f（x）在 [4 ，﹣] 单一递加，在（﹣，+∞）上单一递减；综上所述， ≥ 0 时，函数 f （ ）在 [4 ，+∞）上单一递加， a ≤﹣ 时，函数 f（ ）在[4 ，axx+∞）单一递减，﹣ ＜ ＜0 时，函数f （ x ）在 [4 ，﹣ ] 单一递加，在（﹣， +∞）上单一递减．a（ 2）证明：依题意， x 2+1﹣ 4lnx ﹣ 2ax ≥ 0，而 g ′（ x ）＝ 2x ﹣ ﹣2a ＝，令 ′（ x ）＝ 0，解得 x ＝＞ 1，g由于 a ＞ 0，故＞ 1，故 g ′（ x ）在（ 1， +∞）上有独一零点 x 0＝，又 g ′（ x ）＝ 2（﹣ +x ﹣ a ）故﹣+x 0﹣ a ＝ 0①要使 g （ x ）≥ 0 在（ 1， +∞）上恒成立，且 g （ x ）＝ 0 有独一解，只要 g （ x 0）＝ 0，2即﹣ 2lnx 0+ （ x 0+1）﹣ ax 0＝ 0②由①②可知，﹣ 2lnx 0+ （ x 2+1）﹣ x 0（﹣+x 0）＝ 0，2故﹣ 2lnx 0﹣ x 0+ ＝ 0，令 h （ x 0）＝﹣ 2lnx 0﹣ 2，明显 h （ x 0）在（ 1， +∞）上单一递减， x 0+ 由于 （ 1）＝ 2＞0， （ 2）＝﹣ 2 2+ ＜0，hh ln故 1＜ x 0＜ 2，又 a ＝﹣ +x 0 在（ 1， +∞）单一递加，故必有 a ＜ 1．。