12应用举例课件

西
B
A东
思考3：在上述条件下，若在A处还测得 山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求 出此山的高度？
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？ 在实际问题中如何选择？
北
东C
甲船的航行速度
B A
思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 20 3 n mile/h，那么甲船应沿什么方向 航行才能与乙船在C处相遇？
北 东C
B A
沿北偏东30°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°
方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南
处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还
要走多远才能到达A城？
北
A 15
东
D
C
B
问题提出
1.测量一个可到达点与一个不可到达点 之间的距离，应如何测量和计算？
B
A C
2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何 测量和计算？
A
B
D
C
3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如
何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，
飞机与山顶的海拔差
A
思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在 B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β， B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞 行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计 算公式n
H
a sin sin sin( )
探究（三）：借助方位角测量高度
思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西

高一数学必修五第一章 解三角形
1.2 应用举例
高度测量问题
问题探究
国旗杆高度？ 科学馆高度？ 操场外居民楼高度？
问题探究
国旗杆高度？
问题探究
科学馆高度？
测量方法： 1、几何法：线段，相似三角形 2、三角方法 3、物理方法：扔铅球计算时间
问题解决
不可达问题： 操场外居民楼高度？
问题探究
设在点C、D处测得A的仰角分别为α、
β，CD=a，测角仪器的高度为h，试
H
B
,..
行取前相今
百望表去有
二岛却千望
十峰行步海
七 步
,
与 表 末 参 合
。
,
一 百 二
十 三 步
,
令 后 表 与 前
表
,
,
岛
立 两 表 齐
高
从人相三
后目直丈
表 却
著 地
。 从
,
前 后
海 島 算 經
《海岛算经》是古代 汉族学者编撰的最早 一部测量数学著作， 亦为地图学提供了数 学基础。由刘徽于三 国魏景元四年（公元 263年）所撰，本为 《九章算术注》之第 十卷.全书共9题。 全是利用测量来计算 高深广远的问题，首 题测算海岛的高、远 故得名。

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

113.15 n mile
由正弦定理得
BC AC BC sin ABC sin BAC sin BAC sin ABC AC
54sin137 0.3255 BAC 19 113.15

例7. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确 到0.1cm2） (1)已知 a＝14.8cm, c＝23.5cm, B＝148.5o; (2)已知B＝62.7o, C＝65.8o, b＝3.16cm; (3)已知三边的长分别为a＝41.4cm, b＝27.3cm, c＝38.7cm.

A
75° 51° C 55m
AB AC sin C 55sin 75 65.7(m ) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
AB
A
AC 2 BC 2 2 AC BC cos
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm， ∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到 B 0.1m）
54°
解： B 180 (A C ) 54
AB AC ∴由正弦定理 得 sin C sin Bຫໍສະໝຸດ DC8° 25°
B
15°
5km
A
ACB 25 15 10 解：在△ABC中， 5sin15 BC AB 根据正弦定理 7.4524( km ). 得 BC sin15 sin10 sin10 DC tan CBD 在Rt△BCD中， DC BC tan CBD BC

解 根据余弦定理的推论，得 c ＋a －b 38.7 ＋41.4 －27.3 cos B＝ 2ca ＝ ≈0.769 7， 2×38.7×41.4
2 2 2 2 2 2
sin B＝ 1－cos B≈ 1－0.769 7 ≈0.638 4.
2 2
1 1 应用 S＝ casin B，得 S≈ ×38.7×41.4×0.638 4 2 2
≈511.4 (cm2).
反思与感悟
在不同已知条件下求三角形的面积的问题，
思考1 在认真审题的基础上，你能讲述解题思路吗？ 答 首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出
AC边和AB边的夹角∠CAB.
思考2 写出例题的解题过程. 解 在△ABC中，∠ABC＝180° －75° ＋32° ＝137° ， 根据余弦定理，
所以∠BCD＝30°.
6 则 BD＝BC＝ 6(海里)，即 10t＝ 6，得 t＝ 10 (小时).
6 即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船，最少用 10 小时.
探究点二
思考1
三角形的面积公式的拓展
△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb
，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
§
Contents Page
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题.
2. 能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角 形的计算问题. 3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
填要点·记疑点

什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
bcsinA或S= acsinB进行求解.
1
2
1
1
2
2
【拓展延伸】与圆有关的三角形面积公式
(1)S△ABC= 1(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径).
(2)S△ABC=
2 abc
(R为△ABC外接圆半径)
(3)S△ABC=2R42Rsi. nAsinBsinC.(R为△ABC外接圆半径)
(4)海伦公式：S△ABC=
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
由正弦定理得sinBcosA=3sinAcosB，
两边同除以cosAcosB得tanB=3tanA.
即tanB=3tanA成立.
(2)因cosC= 5 ，所以C为锐角，所以tanC=2， 由(1)tanB=35tanA，且A+B+C=π，
得tan[π-(A+C)]=3tanA，
即-tan(A+C)=3tanA⇒
所以3b=20acosA=20(b+b21)c2 a2

人教版 必修五
第一章
解三角形
1.2 应用举例（第一课时）
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要 测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 55m，∠ABC=510,∠ACB=750.求A、B两点的距 离(精确到0.1m)
B
A
C
例2、如图，A、B两点都在河的 对岸（不可到达），设计一种测量A、 B两点间距离的方法。
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑 物，A为建筑物的最高点，设计一种测量 建筑物高度AB的方法。
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地 0 ' 面上一点A的角 54 40 ,在塔底C处测得A 5001' 已知铁塔BC部分的高为 处的俯角 27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西 偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶 在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.
作 业
某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点 C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400 。开始 时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
.
A
.
B

.
D


基线.C思考如何测量地球与月亮之间的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测 量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同 一子午线的柏林与好望角,测量计算出 α,β的大小和两地之间的距离,从而算出 了地球与月球之间的距离约为385400km.
A

c
B

1 a2c2 4

1 4
a
2c
2


a2
c2 b2 2ac
2


1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1

a2
c2 2ac
b2
2

C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．

运行结果正确，训练结束，整理好实训台（箱）及仪器设备。
（四）分析与思考
在Y-△减压起动控制电路中，如果将热继电器过载保护作为PLC的硬件条件， 其I/O接线图及梯形图应如何绘制？ 在Y-△减压起动控制电路中，如果控制Y联结的KM3和控制△联结的KM2同 时得电会出现什么问题？本任务在硬件和程序上采取了那些措施？
（3）三相异步电动机单向连续运行主电路表达不
程序设计 （2）根据控制要求， 正确或画法不规范，每处扣5分
正确编制梯形图程序
（4）梯形图表达不正确或画法不规范，每处扣5
分
2
安装与连线
根据I/O地址分配，正 确连接电路
（1）连线错一处，扣5分 （2）损坏元器件，每只扣5～10分 （3）损坏连接线，每根扣5～10分
项目一 任务四 Y-△减压起停单按钮实现的PLC控制
任务四
三相异步电动机Y-△减压起停 单按钮实现的PLC控制
2021年9月4日星期六
1
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项目一 任务四 Y-△减压起停单按钮实现的PLC控制
一、任务导入
在任务一和任务三中，我们学习了用两个按钮控制三相异步电动机起动 和停止，本任务要求设计只用一个按钮控制三相异步电动机Y-△减压起停的 控制程序，即第一次按下按钮，电动机实现从Y联结起动到△联结的正常运行， 第二次按下按钮，电动机停止。
助记符
功能
LDP
上升沿检测运 算开始
ANDP
上升沿检测串 联连接
ORP
上升沿检测并 联连接
梯形图表示
目标元件
程序步
X，Y，M， D□.b，T，C
S
，T，X，C：Y，2步M，；S， D□.b：3步

例 2 如图，在四边形 ABCD 中，BC＝a， DC＝2a，四个内角 A、B、C、D 的度数之 比为 3∶7∶4∶10，求 AB 的长．
解
1.2（二）
本 课 栏 目 开 关
设四个内角 A、B、C、D 的大小为 3x、7x、4x、10x(x＞
0)，由四边形内角和为 360° 可得，
3x＋7x＋4x＋10x＝360° ，∴x＝15° ，
＝AB2＋AD2－ 2AB· AD.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.2（二）
同理，在△ABC 中有 AC2＝AB2＋BC2－2AB· BC· cos ∠ABC ＝AB2＋BC2－2AB· BC· cos 135° ＝AB2＋AD2＋ 2AB· AD
AC2· BD2＝(AB2＋AD2＋ 2AB· AD)· (AB2＋AD2－ 2AB· AD) ＝(AB2＋AD2)2－2AB2· AD2 ＝AB4＋AD4.
在△CBD 中， 利用正弦定理， BC sin∠BDC ＝ .② CD sin∠DBC
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2（二）
∵BD 是角 B 的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠ADB＋∠CDB＝180° ，
本 课 栏 目 开 关
∴sin∠ADB＝sin∠CDB， AB BC BA AD 所以①＝②，得 ＝ .即 ＝ 成立. AD CD BC DC
∴20－16cos A＝52－48cos C.
本 课 栏 目 开 关
又 cos C＝－cos A， 1 ∴cos A＝－2.∴A＝120° . ∴S＝16sin A＝8 3.
小结 本题将四边形面积转化为三角形面积问题，将实际问
题转化为数学问题，是转化与化归思想的应用．

C
320
750
A
B
例2、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9 海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方 向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻 艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追 去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要:
一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮 的北偏东150相距20km处,随后货轮按北偏 西300的方向航行,半小时后,又测得灯塔在 货轮的北偏东450的方向上,求货轮的速度.
人教版 必修五
第一章
解三角形
1.2 应用举例（第三课时）
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的 方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发, 沿北偏东320的方向航行54.0 n mile后达到海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样 的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.10, 距离精确到0.01n mile)
S
450
N
30
0
150
M
作 业
教材Ｐ22
4,5,6,8