切线长定理(1)

切线长定理一知识讲解(基础)责编：康红梅【学习目标】1. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称•切线是直线，而非线段•2 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等3 •圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等•要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆•这个三角形叫作圆的外切三角形•2 •三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心•三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点•要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即；:- 1 I'：(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2内心(三角形三角形三条角平分线X(1)到三角形三边距离相等;内切圆的圆的交点(2)OA、OB OC分别平分心)M BAG M ABG M ACB⑶内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. (2015秋?湛江校级月考)已知PA PB分别切OO于A B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA=6,求厶PCD的周长.(2)若/ P=50°求/ DOC解：(1)连接OE••• PA PB与圆O相切，••• PA=PB=6同理可得：AC=CE BD=DE△ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)T PA PB与圆O相切，•••/ OAP M OBP=90 / P=50°,•••/ AOB=360 - 90°- 90°- 50° =130°,在Rt △ AOC和Rt △ EOC 中，r OA=OEOC=OC，L• Rt△AO Q Rt△EOC( HL),•••/ AOC H COE同理：/ DOE M BOD•••/ COD= M AOB=65 .2【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.2 . (2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是O O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5 ,AC=3，贝U BD的长为 _________【解析】解: •/ AC 、AP 为O O 的切线, 举一反三： 【变式】已知：如图，OO过点A 作AD _ BF 于点D .求证：DA 为OOAC 、BD 是O O 的切线，贝U AC=AP , BP=BD ，求出BP 的长即可求出 BD 的长.••• AC=AP ,•/ BP 、BD 为O O 的切线,• BP=BD , • BD=PB=AB - AP=5 - 3=2.故答案为：2.【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键. 为.：ABC 的外接圆，BC 为OO 的直径，作射线 BF ，使得BA 平分三CBF , 的切线.AO = BO2 = . 3 .BA 平分.CBF ,• • 1 =. 2. • Z 3 Z 1 .DB // AO .AD _DB , • £BDA =90 . /.Z DAO =90 .AO 是O O半径，• DA 为O O 的切线. 3.如图，正方形 ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ ADE 的面积（ ）【答案】2.【答案】 连接AO .A.12B.24C.8D.6【答案】D;【解析】••• AE与圆0切于点F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm , EF=EC ,设EF=EC=xcm ,则DE= (4 - x) cm, AE= (4+x) cm ,在三角形ADE中由勾股定理得：2 2 2(4 - x) +4 = (4+x),x=1cm,/• CE=1cm ,.DE=4 -仁3cm ,2--S^\DE=AD ?DE -=2=3 ^4^2=6cm -【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF , EF=EC .类型二、三角形的内切圆4. (2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.(1)求证：AB=AC(2)若BC=16 00的半径是5，求AI的长.【解题思路】(1)延长AI交BC于D,连结OI,如图，根据内心的性质得/ OBI=Z DBI,则可证明OI// BD 再根据切线的性质得OI 丄AI，贝U BDLAD加上AI平分/ BAC所以△ ABC为等腰三角形，得到AB=AC (2)由OI// BC得到△ AOI sA ABD 得到比例式，再根据勾股定理求得A D JA B2— BD2=贸，于是就可得. 【答案与解析】解：(1)延长AI交BC于D,连结OI，如图,• AI= ?AD= 'XBD 8二11 ~=~••T是厶ABC的内心，••• BI 平分/ ABC 即/ OBI=Z DBI, •/ OB=O|•••/ OBI=Z OIB,•••/ DBI=Z OIB,•01 // BD•/AI为OO的切线，•01 丄AI,•BDLAD•/ AI 平分/ BAC•△ ABC为等腰三角形，•AB=AC(2)T OI // BC•△AOI sA ABD•-y•l i. H i ii，•订:•/.=:,AB』• Ai2"32,【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.举一反三：【变式】已知如图，△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3求厶ABC的内切圆O O的半径r.【答案】连结OA OB OC•/△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3 • AB=5.1111贝U S\AO+S A CO+S^AO(=S^ABC即卩5r+ 4r+ 3r= 3 4 r=12 2 2 2，。

（5）图中所有的等腰三角形: △ABP △AOB
初中数学课件-切线长定理课件模板北 师大版 1（精 品课件 ）
例题讲解
例 已知：如图,四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和
⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证： AB + CD = DA + BC.
证明：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， E，F，G，H是切点，
切线长定理:
A
过圆外一点所画的圆的两条切线
的切线长相等，圆心和这一点的连
O.
线平分两条切线的夹角.
P
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
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4. 如图,过☉O外一点P作圆的切线PA,PB,F是劣弧AB上任意一点,
过点F作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E,如果PA=10,∠P=42°. 求:(1)△PED的周长; (2)∠DOE的度数.
(2)∵DA,DF分别切☉O于点A,F,
∴∠DAO=∠DFO=90°.
在Rt△AOD与Rt△FOD中,
∵AO=FO,OD=OD,
∴Rt△AOD≌Rt△FOD,
∴∠AOD=∠FOD = 1 ∠AOF,
2
同理∠EOF=∠BOE= 1 ∠BOF,
2
∴∠DOE=∠FOD+∠EOF=12∠AOF+12∠BOF
2. 如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB. 下列结论不一定正确的是( D ) A．PA＝PB B．OP垂直平分AB C．∠OPA＝∠OPB D．PA＝AB

*3.7 切线长定理1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、情境导入如图①，P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条半径，PB 是⊙O 的一条切线．图中P A 与PB 、∠APO 与∠BPO 有什么关系？二、合作探究探究点：切线长定理【类型一】 利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线P A 、PB ，切点分别是点A 和点B ，如果∠APB ＝60°，线段P A ＝10，那么弦AB 的长是()A ．10B ．12C ．5 3D ．10 3解析：∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△P AB 是等边三角形，∴AB ＝P A ＝10.故选A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 利用切线长定理求角的度数如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠P AO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA ≌△POB ，∴∠OP A ＝12∠APB ＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】利用切线长定理求三角形的周长如图，P A、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥P A.根据勾股定理，得P A＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．解：连接OA，则OA⊥P A.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵P A、PB、DE是⊙O的切线，∴P A＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝P A＋PB＝2P A＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．解析：直接利用切线长定理解答即可．解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE ＝CE；(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝2 2.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半径是2－2 .方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．【类型六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E.(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?(2)求四边形CDPF的周长；(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝P A；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．解：(1)FB＝FE，PE＝P A；(2)四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋P A＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋P A＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；(3)假设存在点P，使BF·FG＝CF·OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF·tan∠GFC＝CF·tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG·tan∠PGD＝DG·tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．三、板书设计切线长定理1．切线长的概念2．切线长定理3．切线长定理的应用在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.。

初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。

下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。

1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。

2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。

如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。

-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。

切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。

然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。

希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。