速度位移图像

1．匀变速直线运动的速度与位移的关系

(1)速度与位移的关系为：v2－v20＝2ax，若v0＝0则v2＝2ax。

(2)公式的推导

1．加速度公式a＝v2－v202x和a＝v－v0t，既适用于匀变速直线运动，又适用于非匀变速直线运动(×)

2．计算位移的关系式x＝v0t＋12at2、x＝v＋v02t和x＝v2－v202a都是只适用于匀变速直线运动(√)

解析：加速度的定义式为a＝v－v0t，适用于任何运动，公式a＝v2－v202x，是由匀变速直线运动的规律v2－v20＝2ax推出，只适用于匀变速直线运动，1错误；x＝v0t＋12at2、x＝v＋v02t和x＝v2－v202a都是在物体做匀变速直线运动时推导得出的，所以都只适用于匀变速直线运动，2正确。

答案：1.× 2.√

考点一 对速度位移公式的理解及应用

1．关系表达式

v2－v20＝2ax

2．公式的矢量性

一般先规定初速度v0的方向为正方向：

(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。

(2)位移x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反。

3．适用范围

匀变速直线运动。

4．特例

(1)当v0＝0时，v2＝2ax(初速度为零的匀加速直线运动)。

(2)当v＝0时，－v20＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动，如刹车问题)。

[典例1] 汽车以10 m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为3 m/s2，求它向前滑行12.5

m后的瞬时速度。

[思路探究]

本题中只有初速度、加速度、位移几个已知量和待求量，可以考虑直接应用速度—位移关系求解。

[解析] 选取汽车初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－3 m/s2，x＝12.5 m。由公式v2－v20＝2ax得

v2＝v20＋2ax＝102＋2×(－3)×12.5

解得v1＝5 m/s，v2＝－5 m/s(负号说明汽车刹车后又反向运动，与实际不符，故舍去)

[答案] 5 m/s

[总结提能]

公式v2－v20＝2ax的应用

(1)当物体做匀变速直线运动时，如果不涉及时间一般用速度位移公式较方便。

(2)刹车问题由于末速度为零，应用此公式往往较方便。

1．(广东高考)某航母跑道长200 m。飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s。那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )

A．5 m/s B．10 m/s

C．15 m/s D．20 m/s

解析：选B 设滑行前需要获得的最小初速度为v0，根据v2－v20＝2ax，代入数据，解得v0＝10 m/s，B正确。

1．匀变速直线运动常用公式的比较

2．应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤及注意事项

(1)认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要时要画出物体运动的过程示意图。

(2)明确研究过程的已知量和待求量，搞清题目的条件，要注意各量单位的统一。

(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，从而确定已知量和未知量的正负。对于无法确定方向的未知量，可以先假设为正方向，待求解后，再根据正负确定所求物理量的方向。

(4)根据物理量特点及求解需要选择适当的公式列方程。

(5)计算结果并判断其是否符合题意和实际情况。

[典例2] 一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

[思路探究]

明确已知量→选取公式→求解

[解析] 法一：利用速度公式和位移公式求解

由v＝v0＋at得5 m/s＝1.8 m/s＋at 由x＝v0t＋12at2得85 m＝1.8 m/s×t＋12×at2

联立解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s

法二：利用速度与位移的关系公式和速度公式求解

由v2－v20＝2ax得a＝v2－v202x＝0.128 m/s2

由v＝v0＋at得t＝v－v0a＝25 s

法三：利用由平均速度求位移的公式求解

由x＝v0＋v2t得t＝2xv0＋v＝2×851.8＋5 s＝25 s

[答案] 25 s

[总结提能]

解题时巧选公式的基本方法

(1)如果题目中无位移x，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at。

(2)如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋12at2。

(3)如果题目中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v20＝2ax。

(4)如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用v＝xt＝v0＋v2计算比较方便。

2．一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动，由于在正前方出现了险情，司机采取紧急刹车，加速度的大小是4 m/s2，求：刹车后10 s内汽车前进的距离。

解析：由题意知，v0＝20 m/s，a＝－4 m/s2，刹车后速度减为零时所用时间为t0，速度公式v＝v0＋at得

t0＝0－v0a＝0－20－4 s＝5 s

由于t＝10 s>t0，汽车前进的距离可由以下四种方法求解：

方法一：位移公式法

x＝v0t0＋12at20＝20×5 m＋12×(－4)×52 m＝50 m

方法二：平均速度公式法 x＝v

t0＝v0＋v2t0＝20＋02×5 m＝50 m

方法三：位移速度关系法

x＝v2－v202a＝0－2022×－4 m＝50 m

方法四：逆向思维法

将整个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则a′＝4 m/s2，x＝12a′t20＝12×4×52 m＝50 m

答案：50 m

考点三 匀变速直线运动中某段位移的vx2

1．在匀变速直线运动中，某段位移内中间位置的瞬时速度vx2与这段位移的初、末速度v0和vt的关系为vx2＝ v20＋v22

理论推导：

2．中间时刻的瞬时速度(vt2)与位移中点的瞬时速度(vx2)的比较

在v -t图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知vx2>vt2；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知vx2>vt2。

[典例3] 光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是( )

A．物体运动全过程中的平均速度是Lt

B．物体在t2时的瞬时速度为是2Lt C．物体运动到斜面中点时瞬时速度为是2Lt

D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是2t2

[思路探究]

(1)匀变速直线运动中，中间时刻速度与初、末速度的关系是？

提示：vt2＝v0＋v2

(2)匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末速度的关系式是？

提示：vx2＝ v20＋v22

[解析] 全程的平均速度v＝xt＝Lt，A正确；t2时，物体的速度等于全程的平均速度Lt，B错误；若末速度为v，则v2＝Lt，v＝2Lt，中间位置的速度vL2＝02＋v22＝2Lt22＝2Lt，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝12at2，L2＝12at′2，所以t′＝22t，D正确，B错误。

[答案] B

[总结提能]

中间时刻速度vt2与中间位置速度vx2

1．在匀速直线运动中，速度时刻不变，vt2＝vx2。

2．在匀变速直线运动中，vt2＝v＝v0＋v2，vx2＝ v20＋v22，vt2≠vx2。无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，vt2

3．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过x位移时的速度是v，那么经过位移为2x时的速度是( )

A．v B.2v C．2 D．4v

解析：选B 由v2－v20＝2ax得v2＝2ax，v′2＝2a·2x，故v′2＝2v2，v′＝2 v，B正确。

审题破题

刹车类问题的解决技巧

车辆刹车问题是实际问题，刹车后的车辆可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就停止不动了。解答这类问题的基本思路是：

1．先确定刹车时间。若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则由公式v＝v0－aT(其中v ＝0)可计算出刹车时间T＝v0a。

2．将题中所给出的已知时间t与T比较。若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。

[典例] 一辆卡车，它急刹车时的加速度大小是5 m/s2，如果要求它在急刹车后22.5 m内必须停下，假设卡车刹车过程做的是匀减速直线运动。求：

(1)它的行驶速度不能超过多少？

(2)此刹车过程所用的时间是多少？

(3)在此过程中卡车的平均速度是多少？

[审题破题]

[解析] (1)由题意知卡车刹车前进22.5 m时的速度v＝0，根据运动学公式v2－v20＝2ax得

v0＝－2ax＝－2×－5×22.5 m/s＝15 m/s

(2)根据速度公式v＝v0＋at得刹车所用时间

t＝－v0a＝－15－5 s＝ 3 s

(3)卡车在刹车过程中的平均速度

v＝xt＝22.53 m/s＝7.5 m/s

或v＝v0＋v2＝15＋02 m/s＝7.5 m/s [答案] (1)15 m/s (2)3 s (3)7.5 m/s

[点评] 解决刹车类问题时易出现的两种错误

(1)没有注意运动学公式的矢量性，易取初速度为正值时，加速度为负值。

(2)没有计算刹车的时间，汽车速度减为零后就静止不动了，不会反向运动。

[变式训练]

卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使卡车匀减速前进，当车速减到2 m/s时，交通灯转为绿灯，司机当即停止刹车开始加速，并且只用了减速过程的一半时间就加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原速共用了12 s。求：

(1)减速与加速过程中的加速度大小；

(2)10 s末及开始刹车后2 s的瞬时速度。

解析：(1)卡车先做匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，其运动简图如图所示，设卡车从A点开始减速，则vA＝10 m/s，用了t1时间到达B点，从B点又开始加速，用时t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s，且t2＝12t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s，由v＝v0＋at得，在AB段，vB＝vA＋a1t1①

在BC段，vC＝vB＋a2t2②

联立①②两式，并代入数据解得

a1＝－1 m/s2，a2＝2 m/s2

(2)10 s末的速度为

v2＝vB＋a2t′＝2 m/s＋2×(10－8)m/s＝6 m/s

2 s末的速度为

v1＝vA＋a1t＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s

答案：(1)1 m/s2 2 m/s2 (2)6 m/s 8 m/s