关于丢番图方程x3-1=py2

第２５卷第６期　２０１３年１２月　沈阳大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｍａ１　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａ１　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖ０１．２５，Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２　０　１　３　

文章编号：２０９５—５４５６（２０１３）０６—０５１１—０３　

关于丢番图方程Ｘ３—１＝１　３　ｐｙ２的整数解　

管训贵　，杜先存。　

（１．泰州学院数理信息学院，江苏泰州　２２５３００；　２．红河学院教师教育学院，云南蒙自　６６１１９９）　

摘　要：￣Ｗ１（ｍｏｄ１２），（景）一一１．关于丢番图方程Ｘ３－１＝１３ｐｙ２的初等解法至今仍未解决．主　

要利用递归序列、同余式、平方剩余、Ｐｅｌｌ方程的解的性质，证明了丢番图方程　一１—１３ｐｙ２仅有整数解（ｚ，　）　一（１，Ｏ）．　关键词：丢番图方程；整数解；同余式；平方剩余；递归序列　中图分类号：０　１５６　文献标志码：Ａ　

方程　±１一Ｄｙ。（Ｄ＞０，Ｄ无平方因子）（１）　

是一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研　

究过．柯召、孙琦［１　］证明了当Ｄ＞２，Ｄ无平方因子　

且不含６　＋１型的素因子时，方程（１）无非平凡解；　但当Ｄ含６志＋１型的素因子时，方程（１）的非平凡　

解的求解较为困难．罗明［３　给出了方程ｚ。±１—　

１４ｙ。的所有解，罗明、黄勇庆［４］给出了方程　。一１—　２６　的所有解，韩云娜［５］给出了方程　。－－Ｉ＝３ｓＪ　

的所有解．　

引理１［６］　。设Ｐ是一个奇素数，则丢番图方　

程４Ｘ４一Ｐｙ　一１除开Ｐ一３，ｚ：：＝Ｙ一１和Ｐ一７，　

ｘ＝２，　一３外，无其他的正整数解．　引理２Ｌ６ｊ２。。设Ｐ是一个奇素数，则丢番图方　

程　一　一１除开　一５，ｚ一３，ｙ＝４和ｐ＝２９，ｚ　

＝９９，ｙ＝ｌ　８２０外，无其他的正整数解．　引理３［　］　。　丢番图方程　。－－３：ｙ４＝＝＝１仅有正　

整数解ｘ＝２，　一１和ｘ＝７，ｙ＝２．　

本文利用递归序列、同余式、平方剩余、Ｐｅｌｌ方　程的解的性质证明了如下定理：　

DOI:

10.3969/

j.issn.1001-5337.2018.1.025

*

收稿日期:2017-04-10

基金项目:云南省教育厅科研基金项目(2014Y462);红河学院校级课题(

XJ15Y22);红河学院中青年学术骨干培养资助(

2015GG0207)

.

作者简介:李玉龙,男,1973-,硕士,副教授;研究方向:初等数论及数学教育.E-mail:

759601477@.丢番图方程x3

-1=3P

y2

的整数解*

李玉龙,

万

飞

(红河学院教师教育学院,

661199,云南省蒙自市)

摘要:

设P=∏

i=1s

p

i(

s≥2),

p

i≡1(

mod6)(

1≤i≤s)为奇素数

.

主要利用同余式、平方剩余、Pell

方

程的解的性质、递归序列证明了P=pq,

p≡13(

mod24)为奇素数,

q=12s2+1(

s∈Z+,2s)为奇素数,

pq()

=-1

时,丢番图方程x3-1=3Py2

仅有平凡解(x,

y)

=(

1,

0)

.

关键词:

丢番图方程;整数解;奇素数

中图分类号:O156

文献标识码:A

文章编号:1001-5337(

2018)

01-0025-04

1

引

言

设Z

表示全体整数的集合.

方程

x3-1=3Py2(

P>0,

P

无平方因子,x,

y∈Z)(

1)

是一类重要的丢番图方程,其整数解已有不少人研究过,目前就P>2

的情形已有一些结果,主要是:

(

Ⅰ)

P

不含6k+1

形的素因子时,文献[1]证明了方程(

1)无非平凡解;

(

Ⅱ)

P

含一个6k+1

形的素因子时,文献[2,

3]分别给出了

P

取特殊值时方程(1)的解的情况,文献[

4-

9]分别给出了方程(

1)无非平凡解的一个充分条件;

(

Ⅲ)

P

含两个互异的6k+1

形的素因子时,方程(1)的求解较为困难,目前只有文献[

10]给出了方程

(

1)无非平凡解的一个充分条件

.

在此基础上本文给出了P

含两个互异的6k+1

形的素因子时方程(1)只有

平凡解的另一个充分条件.

2

若干引理

引理1[11]

设p

是一个奇素数,则丢番图方程4x

２００８年１月　第３２卷第ｌ期　安徽大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｊａｎｕａｒｙ　２００８　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．１　

关于丢番图方程　３±１＝ｐ　２　

牟善志　，戴习民　

（１．江苏技术师范学院基础部，江苏常州２１３００１；２．合肥工业大学理学院，安徽合肥２３ｏｏｏ９）　

摘要：应用因子分解法、简单同余法以及前人的已知结果证明了：（１）设Ｐ是１个奇素数，则丢番　图方程组　＋１＝３ｐｙ　，　一　＋１＝３ｙ；，（Ｙ１，Ｙ２）＝ｌ，Ｙ１＞０，Ｙ２＞０，无正整数解　，Ｐ，Ｙｌ，Ｙ２；（２）丢番图　

方程　＋ｌ＝ｐｙ２（其中Ｐ；一ｌ（ｒｏｏｄ　３）为素数）仅有整数解（　，Ｙ）＝（一１，０）；（３）丢番图方程　一１＝　

（其中Ｐ　一１（ｍｏｄ　３）为素数）仅有整数解（　，Ｙ）＝（１，０）．　关键词：丢番图方程；同余；整数解　中图分类号：Ｏ１５６．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—２１６２（２００８】０１—００１８—０３　

对于丢番图方程Ｘ３±１：Ｄｙ　与Ｘ３±８＝Ｄｙ　（Ｄ＞０且无平方因子），曾有多人进行过研究　卜。　，　

例如，数学家柯召曾多次研究这类方程　，Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ　也证明了方程　一１＝２３ｙ２仅有整数解（　，），）＝　

（１，０）及方程Ｘ３—１：７），　仅有正整数解（　，），）＝（２，１）、（４，３）、（２２，３９）；Ｒｏｂｅｒｔ　证明了方程　

一１＝２ｙ２仅有整数解（　，ｙ）＝（１，０）及方程　＋１＝２ｙ　仅有正整数解（　，），）＝（１，１）、（２３，７８）等．　

作者应用因子分解法求解了一类三次丢番图方程　。±１＝ＰＹ　（其中Ｐ三一１（ｒｏｏｄ　３）为素数）．　

１定理、推论及证明　

定理丢番　方程　±１＝Ｐｆ（其中Ｐ一一１（ｍｏｄ　３）为素数）　（１）　仅有整数解（　，），）＝（Ｔ－１，０）　‘　

证明　（１）式显然有整数解（　，），）＝（－Ｔ－１，０），除此之外，假设它有正整数解ｘ，ｙ．由于　±１与　Ｔ－　

西北大学学报（自然科学版）　２０１３年２月，第４３卷第１期，Ｆｅｂ．，２０１３，Ｖｏ１．４３，Ｎｏ．１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　

关于三次Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程Ｘ３＋１＝３ｐｙ２　

吴华明　

（湛江师范学院数学与计算科学学院，广东湛江５２４０４８）　

摘要：目的研究丢番图方程　。＋１＝３ｐｙ　的正整数解问题。方法　运用Ｐｅｌｌ方程的基本性质。　

结果设Ｐ是适合Ｐ　１（ｒｏｏｄ　６）的奇素数，如果Ｐ＝３ｋ　一２或者３ｐ＝ｋ　＋２，其中ｋ是正整数，则方　程　＋ｌ＝３ｐｙ　无正整数解。结论部分解决了该方程的可解性问题。即对某些Ｐ，该方程无正整　

数解。　关键词：三次Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程；Ｐｅｌｌ方程；正整数解　

中图分类号：０１５６．７　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－２７４Ｘ（２０１３）０１４３０１５－０３　

Ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｕｂｉｃ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｘ　＋１＝３ｐｙ　

ＷＵ　Ｈｕａ—ｍｉｎｇ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ　５２４０４８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ　Ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　＋１＝３ｐｙ　．Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｂｙ　

ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆＰｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓ　Ｌｅｔ　Ｐ　ｂｅ　ａｎ　ｏｄｄ　ｐｒｉｍｅ　ｗｉｔｈＰ　１（ｍｏｄ　６）．ＦｏｒＰ　３ｋ　一２　ｏｒ　３ｐ　＋２，ｗｈｅｒｅ　ｋ　ｉｓ　ａ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ，ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　＋１＝３ｐｙ２　ｈａｓ　ｎｏ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ