九年级教学资料
6.5相似三角形的性质
第1课时
学习目标：
1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题．
2．发展学生合情推理和有条理的表达能力．
学习重点：
理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．
学习难点：
能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理．
学习过程：
复习回顾：
如图，△ABC∽△A′B′C′，你能得到什么？
合作探究：
想一想：
1．如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，
（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）这两个三角形的相似比是多少？
（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？
A′
B′ C′ B C A
C A
B F
D E 九年级教学资料
2．继续取△DEF的各边中点M、N、P，得到右图．
（1）△MNP与△ABC相似吗？为什么？
（2）这两个三角形的相似比是多少？
（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？
根据刚才的探究，你有什么猜想？
1．相似三角形周长的比等于_______________．
2．相似三角形面积的比等于_______________．
怎样验证我们的猜想？
思考验证:
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 那么，
于是''___BAAB，，''____ACCA， 所以，
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．
∵
△ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠____，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠______＝90°，∴△ABD∽△_______，∴ ＝____，
C A
B E
D F M
N P
C C′ B′ B
_____ABBCCAABBCCA，A′
D C B A
12____12ABCABCBCADBCADBCADBCADSS________．D’ A′
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苏教版九年级下册《第6章 图形的相似》知识点整理
重点、难点分析：
1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．
2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型 斜三角形 直角三角形
全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL
相似三角形
的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性 cdab
第六章《图形的相似》
知识点一：比例线段
1.比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即acbd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质：
(1)基本性质：acbd⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：acbd⇔abb＝cdd；（b、d≠0）
(3)等比性质：acbd＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......acmbdn＝k.（b+d…+n≠0）
3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则ABDEBCEF.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则OAOBODOC.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4. 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例1：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5. 相似三角形的判定：
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，ACABDFDE，则△ABC∽△DEF. FEDCBA 学校 班级 姓名 考试号
[6.3 相似图形]
一、选择题
1．下列图形中不一定是相似图形的是( )
链接听课例1归纳总结
A．两个等边三角形
B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形
D．两个正方形
2．如图K－14－1所示，△ABC∽△DBE，且BD＝13AB，则△ABC与△DBE的相似比为(
)
图K－14－1
A．2∶3 B．1∶3
C．3∶2 D．3∶1
3．2017·河北若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比链接听课例2归纳总结( )
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
4．如图K－14－2，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE＝1，AB＝4，则AD等于(
)
图K－14－2
A．2 B．2.4
C．2.5 D．3
5．已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边的长度为20，最短边的长度为4，另一个五边形的最短边的长度为3，则它的最长边的长度为( )
A．15 B．12 C．9 D．6
二、填空题
6．若△ABC∽△A′B′C′，且ABA′B′＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________，△A′B′C′与△ABC的相似比是________．
7．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1＝________°.链接听课例2归纳总结
8．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝6，BC＝8，A′C′＝4.5，B′C′＝4，若△ABC∽△A′B′C′，则必有A′B′＝________．
9．图K－14－3中的两个四边形相似，则xy＝________，α＝________°.
图K－14－3
10．如果一个直角三角形的两条直角边长分别是5 cm，12 cm，另一个与它相似的直角三角形的斜边长是26 cm，那么第二个直角三角形的面积是________cm2.
