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随机变量及其分布

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随机变量及其分布

随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念

前一章建立了随机事件及其概率的概念。我们发现有些试验的结果，直接表现为数量。比如，在抽样检验产品中，出现废品的个数；在供电问题中，人们关心的是在某段事件内，同时工作的车床数目；射击时弹着点与目标的距离等。尽管有些试验的结果没有直接表现为数字，但我们仍然可以用数字来表示它。比如，一次试验中，试验成功记为1，试验失败记为0；产品检验中，优质品记为2，次品记为1，废品记为0等等。由此可见，对于任何一个试验的各种基本结果，都可以用数量与之对应。

尽管由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性，但是对于试验的每一个结果ω，都可以用一个实数x(ω)来表征:试验的结果不同,x(ω)可能取不同值,因而是一个变量,故x(ω)是试验结果的函数.我们称这种变量x(ω)为随机变量,简记为x.

随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点，一是变异性：对于不同的试验结果，它可能取不同的值，因此是变量而不是常量；二是随机性：由于试验中究竟出现哪种结果是随机的，因此该变量究竟取何值是在试验之前，事先无法确定的，直观上，随机变量就是取值具有随机性的变量。

根据取值情况随机变量可以分为两大类：离散型和非离散型。离2

散型随机变量的所有可能取值为有限个或至多无穷可列个；非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能够一一列举出来。其中的一种对于实际应用最重要，称为连续型随机变量，其值域为一个或若干个有限或无限区间。今后我们主要研究离散型和连续型两种随机变量。

二、离散型随机变量的概率分布

定义2.1：如果随机变量x只可能取有限个或至多可列个值，则称x为离散型随机变量。

定义2.2：设x为离散型随机变量，它的一切可能取值为x1，x2，……，xn，……，记

p=p｛x=xn｝,n=1,2……(2.1)

称(2.1)式为x的概率函数，又称为x的概率分布，简称分布。

离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：

(1)pn≥0n=1,2,…

(2)∑pn=1

对于集合｛xn,n=1,2,……｝中的任何一个子集a,事件“x在a中取值”即“x∈a”的概率为

p｛x∈a｝=∑pn

特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为

p｛x=x1｝=p(0 p 1)

p｛x=x2｝=1-p=q

这种分布称为两点分布。如果x1=1,x2=0,有 3

p｛x=1｝=p

p｛x=0｝=q

这时称x服从参数为p的0-1分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功”，另一种称为“失败”。

三、连续型随机变量的概率密度

定义2.3对于随机变量x，如果存在一个非负可积函数f(x),-∞ x

+∞，匀分布。

由定义可以看出服从均匀分布的随机变量，其概率密度函数在整个区间[a,b]上恒等于一个常数，并且这个常数就是该区间长度的倒数1/(b-a)。均匀分布是连续型随机变量中最简单的一种分布，也是常用的重要连续型分布之一。

四、随机变量的分布函数

离散型随机变量由其一切可能值和它取各个值的概率来描绘，连续型随机变量由概率密度函数来描绘。离散型和连续型，是实际中最重要的两类随机变量。但是除这两类随机变量外，还存在既不是离散型也不是连续型的随机变量。分布函数是概率论中重要的研究工具，它可以用于描绘包括离散型和连续型在内的一切类型的随机变量。

定义2.5设x是任意一个随机变量，称函数

f(x)=p｛x x｝,-∞ x +∞ 4

为随机变量x的分布函数。

f(x)包括下列性质：

1，0≤f(x)≤1(-∞ x +∞)；

2，f(x)是x的单调不减函数；

3，f(-∞)=lim(x→-∞)f(x)=0,f(+∞)=lim(x→+∞)f(x)=1；

4，f(x)至多有可列个间断点，并且在其间断点处也是右连续的，即对于任何实数x,

f(x+0)=f(x)

五、随机变量的概率分布密度函数和分布函数的联系

1，对于离散型随机变量，p｛x=xn｝=pn,n=1,2,……

有f(x)=∑pn(xn≤x)

2，对于连续型随机变量，p｛x=xn｝=pn,-∞ n +∞

有f’(x)=f(x)

注意要点：1，离散型分布和连续型分布的区别；

2，概率密度函数与分布函数的联系与区别。

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随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

2.1随机变量和分布函数

一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）

1、函数F(x)={sinx,0≤x≤∏0,其它，则其能作为某一个随机变量的分布函数.

（ ）

2、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其是一个单调不降的函数. （ ）

3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则F(X)定义域为一般的样本空间.

（ ）

二 .下列函数中，哪个是随机变量X的分布函数，为什么？

（1） F1(x)={0,x<−21/2,−2≤x<02，x≥0 （2）F2(x)={0,x<0sinx,0≤x<∏1，x≥∏

(3) F3(x)={x+1/2,x<01/2,0≤x<1/21，x≥1/2 (4) F4(x)={1/3,x<02/3,0≤x<11，x≥1

三 、单项选择题

1、随机变量X的分布函数F(x)={1−(1+x)e−x,x≥00,其它，则P{X≤1｝=( )

A.−2e−1 B. 1−2e−1 C. e−1 D.−e−1

2、随机变量X的分布函数F(x),则下列概率中可表示为F(b)−F(b−0)的是（ ）

A. P{X≤b} B. P{X>𝑏} C. P{X=b} D. P{X≥b}

3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其值域为（ ）

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

2.2离散型随机变量

一 、单项选择题

1某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）

A. 12581 B. 12554 C. 12536 D. 12527 2．两台相互独立工作的机器，产生故障的概率分别为21、31，设X表示产生故障的机器台数，则P（X=1）等于（ ）

随机变量及其分布 2

随机变量及其分布 2

1 随机变量及其分布

1.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率]

（A）15 （B）25 （C）35 （D ） 45

2. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）

A.12 B.35 C.23 D.34

3．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

4．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

（A）136 （B）19 （C）536 （D）16

5.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则mn( )

（A）415 （B）13 （C）25 （D）23

二、填空题:

1.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若1(0)12P，则随机变量的数学期望E

2 2. 如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）AP ;（2）ABP .

随机变量及其分布教案

随机变量及其分布教案

随机变量及其分布教案

本教案以"随机变量及其分布"为主题，旨在帮助初学者理解随机变量的概念、特征和分布。本文将介绍随机变量的基本概念、离散与连续随机变量的特征以及常见的概率分布模型。通过教师引导和学生参与，帮助学生掌握随机变量及其分布的概念和基本性质。

一、引入

随机变量是概率论中的重要概念，它可以看作是试验结果的函数。为了更好地理解随机变量，我们可以先从试验和事件的概念入手。试验是指具有不确定性的过程或现象，而事件是试验的某一结果或一组结果组成的集合。随机变量则是将试验结果映射到数轴上的变量。

二、随机变量的定义

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。离散随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量，例如掷一个骰子的结果。连续随机变量则是可以取连续数值的随机变量，例如人们身高的测量值。

三、离散随机变量的特征

离散随机变量有其特征，主要包括概率质量函数、期望和方差等。概率质量函数描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况，期望则是对随机变量取值的加权平均值，方差则衡量了随机变量取值的分散程度。

四、连续随机变量的特征 连续随机变量的特征与离散随机变量类似，不同之处在于连续随机变量使用概率密度函数来描述其概率分布情况。期望和方差的计算方法也有所不同。

五、常见的概率分布模型

在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布模型可以用来描述随机变量的分布情况。例如，离散型随机变量的概率分布模型有伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续型随机变量的概率分布模型有均匀分布、正态分布和指数分布等。本教案将对其中部分常用的概率分布进行简要介绍，并通过实例演示如何应用这些分布模型进行概率计算。

六、总结与延伸

通过本节课的学习，我们了解到随机变量及其分布的基本概念和特征，以及常见的概率分布模型。随机变量在概率论和统计学中具有广泛的应用，对于我们理解和解决实际问题有着重要的作用。在以后的学习中，我们将进一步深入研究随机变量及其分布的性质和应用，为进一步理解概率论和统计学打下坚实基础。

常见随机变量的分布函数

常见随机变量的分布函数

常见随机变量的分布函数

在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。

下面是一些常见的随机变量及其分布函数：

1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。伯努利分布的分布函数可以表示为：

F(x)=1-p,x<0

F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1

F(x)=1,x>=1

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。成功和失败的概率分别为p和q=1-p。二项分布的分布函数可以表示为：

F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数

F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数

4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。正态分布的参数是均值μ和标准差σ。

5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。 F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b

6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。指数分布的分布函数可以表示为：

F(x)=1-e^(-λx),x>=0

7. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。对数正态分布的分布函数不具有一个简单的数学表达式。