金属丝杨氏弹性模量的测定

实验八 金属丝杨氏弹性模量的测定

杨氏模量是表征固体的力学性质的重要物理量，它是工程技术中机械构件选材时的重要参数。本实验

不仅介绍了如何测定此参数，更重要的是通过实验可以领会仪器的配置原则，了解为什么对不同的长度测

量应选用不同的测量仪器，以及在测量中由于测量对象及方法的改变如何估算其系统误差。在实验方法上，

通过本实验可以看到，以对称测量法消除系统误差的思路在其它类似的测量中极具普遍意义。在实验装置

上的光杠杆镜放大法，由于它的性能稳定、精度高，而且是线性放大，所以在设计各类测试仪器中得到广

泛的应用。

一 实 验 目 的

（1）掌握“光杠杆镜”测量微小长度变化的原理，图2。

（2）学会用“对称测量”消除系统误差。 （3）学习如何依实际情况对各个测量值进行误差估算。

（4）练习用逐差法、作图法处理数据。

三 实 验 原 理

物体在外力作用下或多或少都要发生形变，当形变不超过某一限度时，

撤走外力之后形变能随之消失，这种形变叫弹性形变，发生弹性形变时物

体内部将产生恢复原状的内应力。

设有一截面为S，长度为L0的均匀棒状（或线状）材料，受拉力F拉伸时，

伸长了，其单位面积截面所受到的拉力LΔSF称为胁强，而单位长度的伸长量LLΔ称为胁变。根据胡克定律，在弹性形变范围内，棒状（或线状）固

体胁变与它所受的胁强成正比：图1 光杠杆镜

0Δ

LLYSF=

其比例系数Y取决于固体材料的性质，反应了材料形变和内应力之间的关系，称为杨氏弹性模量。

LSFLYΔ0= （1）

本实验是测定某一种型号钢丝的杨氏弹性模量，其

中F可以由所挂的砝码的重量求出，截面积可以通过

螺旋测微计测量金属丝的直径计算得出，L可用米尺等

常规的测量器具测量，但Δ由于其值非常微小，用常

规的测量方法很难精确测量。本实验将用放大法——“光

杠杆镜”来测定这一微小的长度改变量LΔ，1是光

杠杆镜的实物示意图。 S

0L

图

1n

2n图2光杠杆原理

DbMΔ

n=n-n

O

图2是光杠杆镜测微小长度变化量的原理图。左侧

曲尺状物为光杠杆镜，M是反射镜，b即所谓光杠杆镜短

臂的杆长，O端为b边的固定端，b边的另一端则随被测钢丝的伸长、缩短而下降、上升，从而改变了M镜法

线的方向，使得钢丝原长为L0时，从一个调节好的位于图右侧的望远镜看M镜中标尺像的读数为；而钢

丝受力伸长后，光杠杆镜的位置变为虚线所示，此时从望远镜上看到的标尺像的读数变为。这样，钢丝

的微小伸长量Δ，对应光杠杆镜的角度变化量Lθ，而对应的光杠杆镜中标尺读数变化则为Δ。

由光路可逆可以得知，对光杠杆镜的张角应为21nnn−=nΔθ2。从图2中用几何方法可以得出：

b=≈θθtgLΔ (2)

Dn

DnnΔ=−=≈1222tgθθ (3)

将（2）式和(3)式联列后得：

nDbLΔ=Δ2 (4)

12nnn−=Δ，相当于光杠杆镜的长臂端D的位移。 式中其中的bD2叫做光杠杆镜的放大倍数，由于D >> b，所以Δn >> ΔL，从而获得对微小量的线性放大，

提高了的测量精度。 LΔ

这种测量方法被称为放大法。由于该方法具有性能稳定、精度高，而且是线性放大等优点，所以在设

计各类测试仪器中有着广泛的应用。

考虑到金属丝受外力作用时存在着弹性滞后效应，也就是说钢丝受到拉伸力作用时，并不能立即伸长

到应有的长度 ()，而只能伸长到。同样,当钢丝受到的拉伸力一旦减小时，也不能

马上缩短到应有的长度LiLiiLLLΔ+=0iiLLδ−

i，仅缩短到Li+δLi。因此实验时测出的并不是金属丝应有的伸长或收缩的实际长

度。为了消除弹性滞后效应引起的系统误差，测量中应包括增加拉伸力以及对应地减少拉伸力这一对称测

量过程，实验中可以采用增加和减少砝码的办法实现。只要在增、减相应重量时，金属丝伸缩量取平均，

就可以消除滞后量的影响。即 iLδ []()()[]iiiiiiLLLLLLLLLLLΔ+=+Δ++−Δ+=+=00021

21δδ减增

三 实 验 仪 器

杨氏模量仪；螺旋测微器；游标尺；钢卷尺和米尺；望远镜（附标尺）。

四 实 验 内 容

（1）用2kg砝码挂在钢丝下端钢丝拉直，调节杨氏模量仪底盘下面的3个底脚螺丝，同时观察放在平

台上的水准尺，直至中间平台处于水平状态为止。

（2）调节光杠杆镜位置。将光杆镜放在平台上，两前脚放在平台横槽内，后脚放在固定钢丝下端圆柱

形套管上（注意一定要放在金属套管的边上，不能放在缺口的位置），并使光杠杆镜镜面基本垂直或稍有

俯角，如图1所示。

（3）望远镜调节。将望远镜置于距光杆镜2m左右处，松开望远镜固定螺钉，上下移动使得望远镜和

光杠杆镜的镜面基本等高。从望远镜筒上方沿镜筒轴线瞄准光杠杆镜面，移动望远镜固定架位置，直至可

以看到光杠杆镜中标尺的像。然后再从目镜观察，先调节目镜使十字叉丝清晰，最后缓缓旋转调焦手轮，

使物镜在镜筒内伸缩，直至从望远镜里可以看到清晰的标尺刻度为止。

（4）观测伸长变化。以钢丝下挂2kg砝码时的读数作为开始拉伸的基数n0，然后每加上1kg砝码，读取

一次数据, 这样依次可以得到, 这是钢丝拉伸过程中的读数变化。紧接着再每次

撤掉1kg砝码，读取一次数据，依次得到76543210n,n,n,n,n,n,n,n

01234567n,n,n,n,n,n,n,n′′′′′′′′，这是钢丝收缩过程中的读数变化。

注意：加、减砝码时，应轻放轻拿，避免钢丝产生较大幅度振动。加（或减）砝码后，钢丝会有一个

伸缩的微振动，要等钢丝渐趋平稳后再读数。

（5）测量光杠杆镜前后脚距离b。把光杠杆镜的三只脚在白纸上压出凹痕，用尺画出两前脚的连线，

再用游标卡尺量出后脚到该连线的垂直距离（用最小分度为1.0mm的小钢尺测量行否？有效位数够吗？）。

（6）测量钢丝直径。用螺旋测微计在钢丝的不同部位测3~5次，取其平均值。测量时每次都要注意记

下数据，螺旋测微计的零位误差。

（7）测量光杠杆镜镜面到望远镜附标尺的距离D。用钢卷尺量出光杠杆镜镜面到望远镜附标尺的距离，

作单次测量，并估计误差（卷尺从空中直接拉直测量，在2m长的范围内因中间下垂引起的误差。从镜面

到标尺，这两头各应从何算起？能对准吗？如何估算上述误差？）。

（8）用米尺测量钢丝原长L0，测单次（测量的起讫点各在哪里？能用米尺直接比较测量吗？若不能，

如何估算误差？你想到误差界这个概念了吗？）。

（9）实验中的注意事项：

①钢丝的两端一定要夹紧，一来减小系统误差，二来避免砝码加重后拉脱而砸坏实验装置。

②在测读伸长变化的整个过程中，不能碰动望远镜及其安放的桌子，否则重新开始测读。

③被测钢丝一定要保持平直，以免将钢丝拉直的过程误测为伸长量，导致测量结果谬误。

④增减砝码时要注意砝码的质量是否都是1kg，并且不能碰到光杠杆镜镜。

⑤望远镜有一定的调焦范围，不能过分用力拧动调焦旋钮。

五 数 据 与 结 果

（1） 长度的测量（表1）。 表1 数据表 金属丝的直径：螺旋测微计的零位误差__________(mm)；示值误差_________(mm)

测量次数 平均值

直径d 不确定度：22ddS＋仪Δ=Δ

结果：（mm） ddΔ±

光杠杆镜臂长：游标卡尺的零位误差_________(mm)，示值误差__________(mm)

结果： )mm(bbΔ±

（2）钢丝长度和标尺到镜面距离的测量。 L

)mm(LLΔ± )mm(DDΔ±

（3）增减重量时钢丝伸缩量的记录参考数据（表2）。 表2 钢丝伸缩量的记录表 标尺读数（cm） 拉伸

力

（N） 拉伸力

增加时 拉伸力

减小时 平均值

2iinnn′+= nmnnnnm−−=Δ

(cm) nΔ

的绝对

误差

0 0n 0n′ 0n 404nn−

9.8 1n 1n′ 1n 415nn−

19.6 2n 2n′ 2n 426nn−

29.4 3n 3n′ 3n 437nn−

39.2 4n 4n′ 4n

49.0 5n 5n′ 5n

58.8 6n 6n′ 6n

68.6 7n 7n′ 7n

（4）实验结果的计算： LSFLYΔ=0，其中 241 ; 2dSnDbLπ=Δ=Δ，故 nbdDFLYΔπ=208

其中力的单位用牛顿，长度单位用m。

相对误差

2222222⎟⎠⎞⎜⎝⎛

δΔ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ=δnbdDLFEnbdDLF

不确定度： YEY⋅=Δ

最后将结果记为：)N/m(2YYYΔ±=

六 思 考 题

（1）本实验应如何采用作图法来求得实验结果Y的值？

（2）在本实验中，你是如何考虑尽量减小系统误差的？

（3）本实验中使用了哪些长度测量仪器？ 选择它们的依据是什么？它们的仪器误差各为多少？

（4）本实验应用的“光杠杆镜”放大法与力学中杠杆原理有哪些异同点？