杨氏弹性模量的测定

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实验七杨氏弹性模量的测定

测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一。但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。另外，此法还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于新颖的动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。该方法可弥补其不足，同时还可扩大学生在物体机械振动方面的知识面，不失为一种非常有用和很有特点的测量方法。

【实验目的】

1．了解振动法测量材料杨氏模量的原理；

2．学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率和杨氏模量；

3. 测量试件机械振动的本征值

4．观察铝平板的振型；

5．通过实验,逐步提高综合运用各种测量仪器的能力。

【实验仪器】

DY-D99型多用途动态杨氏模量测量仪、YXY-3D型音频信号源、示波器（Y轴灵敏度5-10m

V)、毫米刻度钢皮尺(250mm长)、0.02mm精度游标卡尺、物理天平（精度0.05克）。

DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪简介

该仪器如图3所示。它由棒材试件杨氏模量定量测量装置和板材试件振型演示观察装置两部分组成。两部分用接线箱连接和转换。前一装置包含两个换能器（电动式换能器）、导轨标尺及其支架。其中一个电动式换能器用作激振器，在音频信号发生器输出的音频正弦信号电压的作用下，作机械振动，进而激励试件作机械振动。另一个电动式换能器当作拾振器，将由试件传递过来的机械振动信号转变为电信号，并输到示波器观察波形。当音频信号发生器的信号频率调到与试件的固有频率相同时，试件产生共振，示波器显示的波形幅度达到最大。两个换能器的作用可互换。它们各自设有一个刀口，可搁置棒材试件。标尺用于指示换能器或刀口在试件上的位置。矩形金属板试件和带有声整流罩的声激振器是振动体振型演示观察装置的基本组成部

图3 DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪

1电动式激振器、6电动式拾振器、2试件（圆棒）、17试件（金属铝板）、

3、5刀口、26导轨标尺、9标尺支架、25试件压板、24压板固定螺钉、

10接线箱、11试件选择旋钮、12输入接口、13输出接口、22声整流罩、

19发声元件、18小导轨、20声激振器固定螺钉、14-16水平调节螺钉、

4刻度指示板、8备用试件安放支架、7试件限位装置、23底板分。声激振器在音频信号电压的作用下，通过声压，激励板材试件振动。当音频信号发生器的信号电压频率达到板材试件的某一阶谐振频率时，则均匀撒在板表面的沙粒形成一个相应的振型图案。

【实验原理】

一、振动法测杨氏模量的物理基础

振动法测杨氏模量是以自由梁的振动分析理论为基础的。两端自由梁振动规律的描述要解决两个基本问题：即固有频率和固有振型函数。本实验只讨论前一个问题，然后以此为基础，导出杨氏模量的计算公式。

当图1所示的均质等截面两端自由梁作横向振动时，其振动方程为

022044tymxyEI (1)

其中E为杨氏模量，I为惯性矩，m0为单位长度质量。

图1 两端自由梁的基频振动

方程（1）可用分离变量法求解。令

)()(),(tTxYtxy (2)

代入方程（1），并经整理得

22442d)(d)(1d)(d)(ttTtTxxYxYa （3）

由于上式中的44/)(dxxYd、)(xY和22/)(dttTd、)(tT既非x的函数，亦非t的函数，而是等于一个常数（称为分离常数），即

222442d)(d)(1d)(d)(ttTtTxxYxYa （4）

于是由上式可得到两个独立的常微分方程：

0)()(222tTdttTd （5） 0)(d)(d2244XYaxxY (6)

这两个线性常微分方程的解分别为

)cos()(tAtT （7）

xaCxaCxaCxaCxYcossinchsh)(4321 （8）

两端自由梁弯曲振动方程的通解为

)cos(cossinchsh),(4321tAxaCxaCxaCxaCtxy (9)

对于两端自由梁，如果搁置试件的两个刀口处在试件的节点附近，则边界条件为：两自由端的横向作用力F-0)/(/33xyEIxM,两自由端的弯矩0)/(22xyEIM,即：

00002202233033lxxlxxdxYddxYddxYddxYd （10）

将通解代入上式表示的边界条件，则得：

0:0/,00:0/,031334222CCdxYdxCCdxYdx （11a）

0sincos,0,0cossin:0,432133432122laClaClashClachCdxYdlxlaClaClachClashCdxYdlx（11b）

由前两式可得,,4232CCCC代入后两式得：

0sincos0cossin2121lalashClalachClalachClalashC （12）

21,CC的非零解的条件是判别行列式等于零： 0sincoscossinlalashlalachlalachlalash （13）

由上式可解得两端自由梁的频率方程为

1chcoslala （14）

用数值解法可求得上式的第一阶振型的根为：

506.1la （15）

由此可得两端自由梁的一阶固有圆频率(又称基频频率)为

020238.22mEIlmEIl （16）

式中=22.38称为自由梁的第一阶振型系数。对于不同阶的振型，有不同的值。第一阶振型图如图1所示。由图可见，在这一状态下，试件有两个节点，它们分别在离试件端面的0。224l和0。776l处。

根据上式,可得杨氏模量的计算公式：

2240IlmE (17)

对于等圆截面试件，应有

2)4/(dSI 4/2dS

以及

f2 lmm/0,

考虑到上述诸因数后，(17)式变为

2436067.1fdmlE (18)

这就是振动法测杨氏模量的计算公式。式中的l,d和m分别圆截截面试件的长度、直径和质量，f为试件的振动频率。

【测量方法】

振动法测量杨氏模量的实验装置如图2所示。圆截面试件搁在两个距离可调的刀口上。刀口之间的距离大致为试件两个节点之间的距离。

将低频信号发生器输出的等幅电信号加到与试件相接触的压电晶体激振器上，使电信号变为压电晶体激振器的机械振动，通过激振器刀口传到试件上，激励试件作受迫振动。在两端自由梁的另一位置设置了一个压电晶体拾振器，它可把试件的机械振动转变为电信号。该信号经放大后，传输到示波器和数字电压表，用以显示振动波形和振动信号的大小。压电晶

图2 振动法测杨氏模量的实验装置体激振器1输入电信号的频率可在低频信号发生器的数字频率表上读出。

试件的共振状态是通过调节压电晶体激振器输入电压信号的频率来实现的。当低频信号发生器的输出信号频率尚无调到试件的固有频率时，试件不发生共振，示波器上几乎看不到电信号波形或波形幅度很小，数字电压表上几乎没有电压显示或显示数值很小。当低频信号发生器的输出信号频率调到等于试件的固有频率时，试件发生共振。在这种状态下，示波器显示的振动波形幅度骤然增大，数字电压表显示值也突然上升到极值状态，这时低频信号发生器频率计上显示的频率就是试件在该条件下的共振频率fr。

实际上，物体的固有频率f I和物体的共振频率fr并不相同。两者之间的关系为

24/11QffrI （19）

式中Q为试件的机械品质因数。在本实验中,50Q故

rIff （20）

在测出试件的相关尺寸m,l,d和固有频率fI后，便可用公式（18）计算出试件的杨氏模量E。

【实验内容与步骤】

（一）练习测量试件的固有频率

1．按图2连接电路。经教师检查无误后，再进行实验。

2．测量前的准备工作

（a）将动态杨氏模量测量仪上的“试件选择旋钮”拨到“棒”；

（b）将示波器各相关旋钮置于显示波形所需要的的位置上；

（c）音频信号发生器‘频率范围’置于200-2KHz档,输出信号置于‘电压挡’，‘衰减

旋钮’置于零；

（d）将黄铜棒置于电动式激振器和电动式拾振器的刀口上，两个刀口之间的距离大致

调到试件作基频谐振动时两个节点之间的距离上。两刀口应调到等高。

3．测量试件的固有频率fI

（1）调节音频信号发生器的输出电压调到较大水平。

（2）用“频率粗调旋钮”，仔细调节音频信号发生器输出信号的频率,使示波器显示的振动波形幅度突然增大。这时信号频率接近试件的固有频率。

（3）减小音频信号发生器的输出电压，使示波器显示较好的正弦波形。利用音频信号发生器的频率微调旋钮，细调音频信号发生器的输出信号频率，使示波器显示的波形继续增大，并达到最大状态。如此反复，直到示波器上显示幅度最大波形最好的正弦波形。

（4）记下此时音频信号发生器频率表上显示的频率，即为黄铜棒的固有频率fI。

（二）用作图外推求值法测杨氏模量E

(1) 计算试件黄铜棒的两个节点位置（0.224和0.776），把激振器和拾振器的刀口搁

到试件的两个节点处，将此时激振器和拾振器标尺指示板所指示的标尺位置（最好

调到整数）作为坐标原点O。并设两个坐标：左坐标（30，20，10，0。-10，-20，

-30）和右坐标（-30，-20，-10，0，10，20，30）

（2）将激振器和拾振器的刀口分别移到左右坐标的30、20、10、-10、-20、-30处，按

上述方法调出相应的谐振频率f。

（3）以刀口位置x为横坐标，共振频率f为纵坐标，作f---x图线。求出图线与x轴交点

杨氏模量

弹性模量是衡量材料受力后发生形变大小的重要参数之一，弹性模量越大，越不易发生形变。本实验采用拉伸法测量杨氏弹性模量。实验中，涉及到较多长度量的测量，根据不同测量对象，选用不同的测量仪器。

【实验目的】

1.掌握用光杠杆法测量微小长度的原理和方法。

2.用杨氏弹性模量仪，掌握拉伸法测定金属丝的杨氏弹性模量。

3.学会用逐差法处理实验数据。

【实验仪器】

杨氏弹性模量仪，钢卷尺，水准仪，螺旋测微器。

【实验原理】

一、拉伸法测定金属丝的杨氏弹性模量

设一粗细均匀的金属丝长为L，截面积为S，上端固定，下端悬挂砝码，金属丝在外力F的作用下发生形变，伸长LΔ。根据胡克定律，在弹性限度内，金属丝的胁强F/S和产生的胁变LL成正比。

即 FLESL （1）

或 FLESL （2）

式中比例系数E称为杨氏弹性模量。在国际单位制中，杨氏弹性模量的单位为牛每平方米，记为2mN。

实验证明，杨氏弹性模量与外力F、物体的长度L和截面积S的大小无关，它只决定于材料的性质。它是表征固体材料性质的一个物理量。在式（2）的右端，LF、和S可用一般的仪器和方法测得，唯有LΔ是一个微小变化量，需用光杠杆法测量。

二、光杠杆法测微小长度

将一平面镜固定在T形横架上，在支架的下部安置三个尖脚就构成一个光杠杆，如图1所示。

用光杠杆法测微小长度原理图如图2所示，假定开始时平面镜M的法线noO在水平位图1 图2 置，则标尺H上的标度线0n发出的光通过平面镜M反射后，进入望远镜，在望远镜中观察到0n的像。当金属丝受外力而伸长后，光杠杆的主杆尖脚随金属丝下降LΔ，平面镜转过一角度。根据光的反射定律，镜面旋转角，反射线将旋转2角，这时在望远镜中观察到2n的像。从图2可见

钢丝杨氏弹性模量测定实验结果误差分析及改进措施(图文).

钢丝杨氏弹性模量测定实验结果误差分析及改进措施(图文)

论文导读：将以上改进措施应用到实验教学中，学生测量的数据较为理想，误差较小，学生数据的测量精度明显提高，得到了较好的测量结果。关键词：杨氏弹性模量，误差，改进

杨氏弹性模量是描述金属材料抵抗形变能力的物理量，是生产、科研中选择合适材料的重要依据。根据胡克定律求出其表达式为：,由于很微小，约10-1mm数量级，难以测量，我们在实验中应用杨氏弹性模量测定仪和尺读望远镜两种仪器，并采用光杠杆放大法来测量这个微小的形变量（如下图）。由此得到杨氏弹性模量的测量式：式中， ----垂直悬挂的钢丝下端所加砝码的重力（即钢丝长度方向的拉力）； ----钢丝原长；

----光杠杆到尺读望远镜标尺的距离； ----钢丝直径； ----尺读望远镜标尺对应的钢丝下端悬挂砝码前后读数差； ----光杠杆前后脚间的距离。为了减少实验误差，我们在实验中对物理量进行了多次测量，比如钢丝直径多次测量不同的位置，从而得到多个直径值；在处理数据时，求多次测量得到的物理数据的平均值，并用逐差法处理数据，从而在一定程度上取得了较好的实验结果和教学效果。但这些方法不能使学生取得理想的实验数据，测量数据的误差仍然较大。致使最后计算结果还是存在一定的误差，个别情况甚至达到了10%以上。论文大全。为此作者仔细研究了实验过程和具体的实验方法，总结出如下几点改进措施，应用到实验中，使误差控制在了5%以内。

首先，保证钢丝原长、直径测量的准确度，以减小测量结果的随机误差。实验中钢丝原长是指杨氏弹性模量测定仪上固定钢丝的上、下两夹头之间的距离，但由于两夹头之间有一个较大的平台，使得测量时米尺无法紧贴夹头。学生让米尺紧贴平台来测量上、下夹头之间的距离，或者让米尺略弯，绕过平台进行测量，这两种方法测量钢丝原长的误差都比较大，为了解决这个问题，我们在测量时将两块塑料板固定在上、下夹头的测量面上，使塑料板伸出平台外缘，学生直接测量两块塑料板之间的距离即可得到较精确的测量数据。由于钢丝直径不可能均匀，学生进行不同部位多次测量时改进为测量包括上、中、下各部位，且每位置在相互垂直的方向各测量一次，从而减小了随机误差。其次，固定钢丝的下夹头要随时调整，经常润滑，保证每次测量下夹头能弹回原位，以减小实验仪器的系统误差。我们学校实验课时较多，实验仪器使用较频繁，杨氏弹性模量测定仪使用时间稍长，由于灰尘等与润滑油混合，使固定钢丝的下夹头与测定仪平台之间的摩擦力增大，导致卸掉砝码后钢丝的下夹头不能上弹至原位与测定仪平台平齐。测量时，光杠杆两前脚放在平台上，后脚放在夹头上，若夹头与平台平齐，则光杠杆前后脚在同一水平面上。当钢丝被拉长，平台随之下降，光杠杆后脚也下降，在垂直面上形成了一个直角三角形，这样杨氏弹性模量的测量式才能成立。若初始时夹头不与平台平齐，则无法形成测量原理中的直角三角形。为满足上述测量公式成立条件，要经常检查钢丝的下夹头，随时调整其与测定仪平台平齐。另外，摩擦力太大也会导致在钢丝下面悬挂砝码后钢丝没有表现出实际伸长量，致使尺读望远镜标尺读数差值较小，即使采用逐差法消除了一些误差，最终结果的误差还是很大。所以，经常清洁仪器、适量加入润滑油可以减小摩擦阻力，消除仪器系统误差。再次，调整光杠杆到尺读望远镜标尺的距离的测量顺序，避免测量误差。实验课上学生测量时常常先测，后调整尺读望远镜测量加砝码前后标尺的不同读数。但往往调整尺读望远镜的过程中，发生了一些变化。致使测量结果不准确，产生测量误差。论文大全。只有系统调整完毕后才固定，此时测量才能得到最准确的测量结果。为此，我们在课上强调将的测量调整到最后，保证了测量的准确性。论文大全。将以上改进措施应用到实验教学中，学生测量的数据较为理想，误差较小，学生数据的测量精度明显提高，得到了较好的测量结果。