湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题
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华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级文科数学试题 时限:120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“0R x ∃∈,20010x x ++<”的否定为A .“0R x ∃∈,20010x x ++≥ ”B .“0R x ∃∈,20010x x ++≤”C .“R x ∀∈,210x x ++≥”D .“R x ∀∈,210x x ++<”2. 在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.“01m ≤≤”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.函数()f x 的定义域为开区间(a , b ),其导函数'()f x 在(a , b )内的图象如图所示,则函数()f x 在开区间(a , b )内极大值点的个数为A .1个B .2个C .3个D .4个5.i 是虚数单位,232019i i i i ++++=A .iB .i -C .1D .1-6.已知命题p :方程e 10x -=有实数根,命题:q x ∃∈R ,210x x -+≤,则p q ∧,p q ∨,()p q ⌝∨,()p q ∧⌝这四个命题中,真命题的个数为A .1B .2C .3D .47.已知函数32()'(1)f x x x f =+,'()f x 为()f x 的导函数,则'(1)f = A .1B .1-C .0D .3-8.已知函数2()f x x bx =+的图像在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3,设数列1{}()f n 的前n 项和为S n ,则S 2019的值为 A .20172018B .20182019 C .20192020 D .201020219.设点P 是曲线36y x =+上的任意一点,P 点处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是A .2[,)3ππB .5[0,)[,)26πππC .5(,]26ππD .2[0,)[,)23πππ10.下列命题正确的是(1)命题“x ∀∈R ,20x >”的否定是“0x ∃∈R ,020x ≤”;(2)l 为直线,α,β为两个不同的平面,若l β⊥,αβ⊥,则//l α; (3)给定命题p ,q ,若“p q ∧为真命题”,则p ⌝是假命题; (4)“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件. A .(1)(4)B .(2)(3)C .(3)(4)D .(1)(3)11.定义在(0,)2π上的函数()f x ,已知'()f x 是它的导函数,且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅-⋅<成立,则有A .()()64f ππ>B .()()64f ππC ()()63f ππ>D .()()63f ππ12.已知直线:l y m =,若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ,B 两点,则||AB 的最小值为A .1B .2C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.函数2()3f x x =在[2, 6]内的平均变化率为 . 14.复数112i z =-,2||3z =,则21||z z -的最大值是__________. 15.古埃及发现如下有趣等式:211326=+,2115315=+,2117428=+,2119545=+,…,按此规律,221n =+______*()n ∈N 16.已知函数()ln 1f x x a x =--与x 轴有唯一公共点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)已知复数11(59i)22i 4z =--+. (1)求复数z 的模;(2)若复数z 是方程220x mx n ++=的一个根,求实数m ,n 的值.18.(本小题12分)已知命题:p 函数2()24f x x mx =-+在[2,)+∞上单调递增;命题:q 关于x的不等式24(2)40mx m x +-+>的解集为R .若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,求实数m 的取值范围.19.(本小题12分)已知函数32()f x x ax bx c =+++,若()f x 在1x =-处取极大值,且极大值为7,在3x =处取极小值. (1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数()f x 在[0, 4]上的最小值.20.(本小题12分)在即将进入休渔期时,某小微企业决定囤积一些冰鲜产品,销售所囤积产品的净利润()f x 万元与投入x 万元之间近似满足函数关系:222(2ln 2),02()19ln ,21542x x x f x a x x x x ⎧-<<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩,若投入2万元,可得到净利润5.2万元. (1)试求实数a 的值,并求该小微企业投入多少万元时,获得的净利润最大; (2)请判断该小微企业是否会亏本,若亏本,求出投入资金的范围;若不亏本,请说明理由.(参考数据:ln20.7≈,ln15 2.7≈,此题运算过程及结果都用此参考数据计算.)21.(本小题12分)已知函数3()f x x ax =+. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若函数()()ln g x f x x x =-在1[,2]2上有零点,求实数a 的取值范围.22.(本小题12分)设函数()ln 1n f x x m x =+-,其中n +∈N ,2n ≥,且m ∈R . (1)当2n =时,函数()f x 在1x =处的切线与直线30x y -=平行,试求m 的值; (2)当2n =时,令()()22g x f x x =-+,若函数()g x 有两个极值点x 1,x 2,且12x x <,求2()g x 的取值范围;(3)当1m =-时,试讨论函数()f x 的零点个数,并证明你的结论.华中师大一附中2018—2019学年度第二学期期中检测高二年级数学(文科)试题参考答案一、选择题二、填空题 13.24 14.15.16.三、解答题17.解:(1),∴…………………………………………………4分(2)∵复数是方程的一个根∴由复数相等的定义,得:解得:………………………………………………………………………………………10分18.解:若命题为真,因为函数的对称轴为,则若命题为真,当时原不等式为,显然不成立当时,则有 (6)分由题意知,命题、一真一假 故或解得或……………………………………………………………………………………12分19.解:(1)∴f(x)=x3+ax2+bx+c∵f′(x)=3x2+2ax+b而x=-1和x=3是极值点所以,解之得:a=-3,b=-9又f(-1)=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7,故得c=2∴a=-3,b=-9,c=2………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)可知f(x)=x3-3x2-9x+2∴f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)令f′(x)>0,解得:x>3或x<-1令f′(x)<0,解得:-1<x<3∴函数f(x)在[0,3]递减,在[3,4]递增,∴f(x)最小值=f(3)=-25……………………………………………………………………………12分20.解:(1)由题意可知,当x=2时,f(2)=5.2,即有aln2-×22+×2=5.2 解得a≈-4……………………………………………………………………………………………………1分则f(x)=当2≤x≤15时,f′(x)=--x+=-当2<x<8时,f′(x)>0,f(x)单调递增当8<x<15时,f′(x)<0,f(x)单调递减故当2≤x≤15时,f(x)max=f(8)=-4ln8-16+36≈11.6当0<x<2时,f′(x)=4x-2ln2≈4x-1.4,令f′(x)=0,得x=0.35 当x∈(0,0.35)时,f′(x)<0,当x∈(0.35,2)时,f′(x)>0所以易知f(x)<2×4-(2ln2)×2≈5.2故该小微企业投入8万元时,获得的净利润最大……………………………………………………………7分(2)当0<x<2时,2x2-(2ln2)x<0,解得0<x<ln2,即当0<x<ln2时,该企业亏本;当2≤x≤15时,f(2)≈5.2,f(15)=-4ln15-×152+×15≈0.45>0,则f(x)min=f(15)≈0.45>0.综上可得,当0<x<0.7,即0<x<0.7时,该企业亏本………………………………………………12分21.解:(1)因为,所以①当时,因为,所以在上单调递增②当时,令,解得或令,解得则在,上单调递增在上单调递减…………………………………………………………………………………4分(2)因为,所以在上有零点,等价于关于的方程在上有解即在上有解因为,所以令,则令,,解得;令,,解得则上单调递减,在上单调递增因为,所以则,故的取值范围为………………………………………………………………………12分22.解:(1)依题意得,,∴由题意知,∴m=1……………………………………………………………………………………………………………2分(2)由题意知:则令,得故方程有两个不相等的正数根,()则解得由方程得,且由,得,,即函数是上的增函,所以,故的取值范围是………………………………………………8分(3)依题意得,,∴令,得,∴,∵∴函数在上单调递减,在上单调递增∴令(),则∴∴,即∵,∴又∵∴根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点……………………………………12分。