中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在等边ABC 中， 点E 是AC 上一点， 点D 是BC 上一点， BE 与AD 交于点F ，且60AFE ∠=︒．(1)如图1， 若 323BC CE ==， 求 AD 的长度； (2)如图2， 延长BE 至点 G ，使得 60BGC ∠=︒，连接CG ，点H 为AC 中点， 连接GH ，FC ， 求证: 2FC GH =；(3)如图3， 23BC =，点 D 为BC 中点， 将ABC 沿AC 折叠得到四边形ABCQ ，动点P 在线段CQ 上运动(包括端点)，连接AP 、BP ，将AP 绕点 P 顺时针旋转60︒得到PA '，将BP 绕点 P 逆时针旋转 120︒得到 PB '，连接． AB ''，点 M 为AB''的中点，求MF 的取值范围． 2．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．(1)求证：DE AG ⊥；(2)如图2，正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0360α︒<<︒），得到正方形OE F G '''；①在旋转过程中，当OAG '∠是直角时，求α的度数；①若正方形ABCD 的边长为2，在旋转过程中，AF '长的最大值为______．3．在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，90,210,2C AC BC AD ∠=︒===过点D 作DE AC ⊥交AB 于点E ，将ADE绕点A 逆时针方向旋转()0360αα≤<︒．(1)将ADE 旋转至如图2的位置时，连接,BE CD ，求证：AE ADBE CD=． (2)若将ADE 旋转至,,B D E 三点在同一条直线上时，求线段CD 的长．4．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180α︒-，得到线段BE ，连接,DE F 为DE 的中点，连接,AF BF ．(1)如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出AFB ∠的度数；(2)如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF BF =成立，并证明． 5．如图，在ABC 中45ACB ∠=︒，,AD BE 分别为ABC 的高．(1)如图1，若3BD ，56AC =DE ，求DE 的长；(2)如图2，连接DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90︒到EF ，连接DF ，G 为线段DF 上一点，连接CG ．若ECG ADE ∠=∠，求证：2AB CG =；(3)如图3，若22CB CA ==P 是线段AD 上一动点，将线段CP 绕着点C 逆时针旋转60︒至线段CQ ，连接,,PB PE DQ ．当DQ 取得最小值时，请直接写出．．．．BEP △的面积． 6．已知:如图ABC 和DEC 都是等边角形．D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ．AC 、BE 相交于点M ，AD 、CE 相交于点N ．(1)在图①中，求证:AD BE =；(2)当CDE 绕点C 沿逆时针方向旋转到图①时，APB ∠=________．7．将一副直角三角板ABC 和DEF 如图（1）放置 此时,,,F B E C 四点在同一条直线上 点A 在边DF 上 其中90ABC DEF ∠=∠=︒ 30EDF ∠=︒ 45BAC ∠=︒．(1)求CAD ∠的度数；(2)将图（1）中的三角板DEF 绕点A 以每秒10︒的速度 按顺时针方向旋转一定的角度()0360a a ︒︒<︒<︒后 记为三角板D E F ''' 设旋转的时间为t 秒．①当旋转至图（2）时 此时D E AC ''⊥ 求a 的值；①若在旋转过程中 三角板D E F '''的某一边恰好与BC 所在的直线平行 直接写出t 的值． 8．如图 在ABC 中 30ACB ∠=︒ 将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 连接AE ．(1)求证：AB AE =；(2)若A ABC CB =∠∠ 证明：直线AE 与BC 互相垂直．9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形 AB AC AD AE EAD BAC ==∠=∠，， 且90EAC ∠=︒ 连接EC 且30AEC ∠=︒ 直线BC 交直线DE 于点F ．(1)如图1 猜想BF 与DE 的位置关系 并说明理由；(2)如图2 依次取CE AC 、的中点M 、N 连接FM MN 、 求证：3MN FM =(3)如图3 在（2）的条件下 连接FN 若1AC = 在将AEC △绕点A 旋转的过程中 请直接写出线段FN 的最大值．10．如图（1） 在Rt ABC △中 90tan 3ACB BAC ∠=︒∠=，点D 是BC 边上任意一点（不与B C 重合） 连接AD 过点D 作DE AB ⊥于点E 连接CE 点F 为AD 中点 连接CF EF ，．(1)当2BD CD =时 判断四边形CDEF 的形状 并证明．(2)点D 在线段BC 上的什么位置时 DEF 的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的BDE 绕点B 旋转到如图（2）所示位置 得到BD E ''△ 使得点A 在直线D E ''上 连接CE ' 点F '为AD '中点 AD '与BC 交于点G 其他条件不变．求证：2AE D E CF ''''-=．11．如图 ABC 中 2,90,AB AC BAC DE ==︒∠=经过点A 且DE BC ⊥ 垂足为E60DCE ∠=︒．(1)以点E 为中心 逆时针旋转CDE 使旋转后的C D E '''的边C D ''恰好经过点A 求此时旋转角的大小；(2)在（1）的情况下 将C D E '''沿BC 向右平移()01t t <<．设平移后的图形与ABC 重叠部分的面积为S 求S 与t 的函数关系式 并直接写出t 的取值范围． 12．如图1ABC 中 AB AC = BAC α∠= 点D 、E 分别在AB AC 、上 AD AE =．将ADE 绕点A 逆时针旋转β度()0360β<< 使得B 、D 、E 三点共线．(1)直接写出：ADB =∠_________________（用α表示）；(2)若60α=︒ 当180360β<<时 作AF DE ⊥于F 在图2中画出符合要求的图形 并探究BE CE AF 、、之间的数量关系 并证明你的结论；(3)如图3 若90α=︒ 82AC = 当0180β<<时 直接写出S ABCE 四边形的最大值_________．13．如图1 点O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 使120BOC ∠=︒ 将一直角三角板的直角顶点放在点O 处 一边OM 在射线OB 上 另一边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2 使一边OM 在BOC ∠的内部 且恰好平分BOC ∠ 问：直线ON 是否平分AOC ∠？请直接写出结论：直线ON （平分或不平分）AOC ∠．(2)将图1中的三角板绕点O 按每秒6︒的速度沿逆时针方向旋转一周 在旋转的过程中 第t 秒时 直线ON 恰好平分锐角AOC ∠ 则t 的值为 ．（直接写出结果）(3)将图1中的三角板绕点O O 顺时针旋转 请探究 当ON 始终在AOC ∠的内部时（如图3）AOM ∠与NOC ∠的差是否发生变化？若不变 请求出这个差值；若变化 请举例说明．14．在①ABC 与①EDC 中 ①ACB =①ECD =60° ①ABC =①EDC ①EDC 可以绕点 C 旋转 连接 AE BD(1)如图 1①若 BC =3DC 直接写出线段 BD 与线段 AE 的数量关系； ①求直线 BD 与直线 AE 所夹锐角的度数；(2)如图 2 BC =AC =3 当四边形 ADCE 是平行四边形时 直接写出线段 DE 的长 15．已知①ABC =90° BA =BC 在同一平面内将等腰直角①ABC 绕顶点A 逆时针旋转（旋转角小于180°）得①ADE ．(1)若AE //BD 如图（1） 求旋转角①BAD 度数；(2)当旋转角为60°时 延长ED 与BC 交于点F 如图（2）．求证：AC 平分①DAF(3)点P 是边BC 上动点 将AP 绕点A 逆时针旋转15°到AG 如图（3）示例 设AB =BC =α 求CG 长度最小值（用含α式子表示）参考答案1．15(2)见解析1331FM 【详解】（1）解：如图所示 过点A 作AT BC ⊥于点T①等边ABC 中 ①AB BC = 60ABC ∠=︒①60AFE BFD BAF ABF ∠=∠=∠+∠=︒ 又①60ABF EBC ABC ∠+∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ 在,ABD BCE 中 BAD CAE AB BCABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ABD BCE ≌ ①3BD CE ==在Rt ABT △中 132BT TC BC === 223AT AB BT -= ①333DT BT BD =- 在Rt ADT △中 222231532AD AT DT ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭（2）解：如图所示延长AF 至M 使得FM BF = 连接BM ①60BFM AFE ∠=∠=︒ ①BMF 是等边三角形 ①BF FM BM == 设BAD α∠=由（1）可得GBC BAM α∠=∠= ①18060120ABM αα∠=︒--︒=︒- 又①60BGC ∠=︒ ①120BCG α∠=︒- ①ABM BCG ∠=∠ 在,ABM BCG 中 BAM CAGAB BCABM BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ABM BCG ≌ ①AM BG = 又①BF FM =①AF FG = ①60AFG =︒∠ ①AFG 是等边三角形 ①AG FG = 60AGF ∠=︒ 延长CG 至N 使得GN CG = ①180606060AGN ∠=︒-︒-︒=︒ ①AGN FGC ∠=∠ 在AGN FGC ，中 AG FG AGN FGC GN GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS AGN FGC ≌ ①AN FC =①,AH HC GN GC == ①12HG AN = ①12HG FC =； （3）解：如图所示 连接PM 将PB 绕点P 逆时针旋转60︒得到PB '' 连接B B '''则PB B '''是等边三角形①将ABC 沿AC 折叠得到四边形ABCQ ①四边形ABCQ 是菱形依题意 ,,B P B '''三点共线 且PB PB '''= 又,PA PA PB PB ''== 60A PB APB '''∠=∠=︒ ①A PB APB '''≌①23A B AB '''==①M 为AB''的中点 ①132PM A B '''== PM A B '''∥ ①A B P ABP '''∠=∠①60A B P PBC ABP PBC '''∠+∠=∠+∠=︒①606060180A B B B BC A B P PBC PB B PBB ''''''''''''∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒ ①A B BC '''∥ ①AQ BC ∥ ①A B AQ '''∥ ①PM BC ∥①M 的轨迹为平行于BC 的一条线段 且3PM①23BC =，点 D 为BC 中点 则AD BC ⊥由（1）可得CE BD = 则E 为AC 的中点,则FB FC AF == 在Rt ABD △中 3,23BD AB ==①3AD =①160302DAC ∠=⨯︒=︒①1122EF AF FC == ①1,2DF AF ==如图所示 当,P Q 重合时 FM 取得最大值 此时如图所示①AA AB '= 120,60BAQ QAA ∠=︒∠=︒则,,B A A '共线 ①23333AM AQ QM =+=在Rt AFM △中 ()222223331FM AF AM =++如图所示 当,C P 重合时 FM 最小在Rt FDM 中 1,23FD DM DC CM ==+=①()222212313FM FD DM =+=+1331FM2．(1)见解析(2)①当90OAG '∠=︒时 30α=︒或150︒；①42【详解】（1）如图 延长ED 交AG 于H 点O 是正方形ABCD 两对角线的交点OA OD ∴= OA OD ⊥ 四边形OEFG 是正方形OG OE ∴=在AOG 和DOE 中OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOG DOE ∴≌AGO DEO ∴∠=∠90AGO GAO ∠+∠=︒90GAO DEO ∴∠+∠=︒180()1809090AHE GAO DEO ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒即DE AG ⊥；（2）①在旋转过程中 OAG '∠成为直角有两种情况：如图2 α由0︒增大到90︒过程中当90OAG '∠=︒时1122OA OD OG OG '=== ∴在Rt OAG '△中12OA OG '= 30AG O '∴∠=︒OA OD ⊥ OA AG '⊥OD AG '∴∥30DOG AG O ∴'=∠='∠︒ 即30α=︒；α由90︒增大到180︒过程中 当90OAG '∠=︒时 如图同理可求30BOG '∠=︒180********DOG BOG α''∴=∠=︒-∠=︒-︒=︒综上所述 当90OAG '∠=︒时 30α=︒或150︒；①如图 连接OF四边形OEFG 是正方形45FOE ∴∠=︒ OG GF = 90OGF ∠=︒正方形ABCD 的边长为22222111222222OA AC AB BC ∴==++222222OG OD OA === 则2222(22)(22)4OF OG GF =+=+∴当36036045315FOE α=︒-∠=︒-︒=︒时A 、O 、F '在一条直线上 此时AF '的长最大 最大值为42AO OF +=故答案为：423．(1)详见解析 24545【详解】（1）证明：90,C DE AC ∠=︒⊥DE BC ∴∥ADE ACB ∴∽AD AE AC AB∴= 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2位置EAD DAB BAC DAB ∴∠+∠=∠+∠DAC EAB ∴∠=∠ADC AEB ∴△∽△AE AD BE CD∴= （2）90,210ABC AC BC ∠=︒==5BC ∴=222210555AB AC BC ∴+=+=DE BC ∥2,AD AC AE AB DE BC AD AC∴=== 2AD =1DE =∴由（1）知AE AD BE CD= BE AE CD AD ∴= 555BE AB CD AC ∴===25CD BE ∴=如图 当点D 在BE 上时90ADE ∠=︒90ADB ∴∠=︒在Rt ADB 中 552AB AD ==，由勾股定理得 ()222255211DB AB AD =-=-=11112BE BD DE ∴=+=+= 2524512CD ∴==如图 当点D 在BE 的延长线上时在Rt ADB 中 2,55AD AB ==由勾股定理得 ()222255211BD AB AD =-=-=11110BE BD DE ∴=-=-= 251045CD ∴==综上所述：线段CD 245或45 4．(1)90︒(2)60︒ 理由见解析 【详解】（1）解：补全图1 如图 连接,,CD CE CF,180BAD ABE αα∠=∠=︒-180BAD ABE ∴∠+∠=︒ 即180FAB DAF FBE FBA ∠+∠+∠+∠=︒ AD BE ∴∥180D E ∴∠+∠=︒,AD AC BC BE ==()()111118090,1801802222ADC ACD BCE BEC αααα⎡⎤∴∠=∠=︒-=︒-∠=∠=︒-︒-=⎣⎦ 11180909022CDE CED αα⎛⎫∴∠+∠=︒-︒--=︒ ⎪⎝⎭ 90DCE ∴∠=︒F 为DE 的中点CF DF EF ∴==AD AC = AF AF =()SSS ACF ADF ∴≌同理()SSS BCF BEF ≌,FAB DAF FBA FBE ∴∠=∠∠=∠∴22180FAB FBA ∠+∠=︒90FAB FBA ∴∠+∠=︒()18090AFB FAB FBA ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）60α=︒证明：延长AF 到点G 使得GF AF = 连接BG 连接GE 并延长 与AB 的延长线相交于点H ．F 是DE 的中点DF FE ∴=．DFA GFE ∠=∠ GF AF =()SAS DFA GFE ∴≌．,AD GE DAF FGE ∴=∠=∠．∴AD EG ∥．180DAB H ∴︒∠+∠=．在ACB △中180ACB CAB CBA ∠=︒-∠-∠()()180DAB DAC EBA EBC =︒-∠-∠-∠-∠180180DAB EBA αα=︒-∠+-+︒∠-H EBH =∠+∠BEG =∠．,BE CE AD AC GE === ACB BEG ∠=∠()SAS ABC BEG ∴≌．,AB BG ABC GBE ∴=∠=∠．,2,AF BF ABG ABF ABG EBC ∴⊥∠=∠∠=∠．60α=︒180120EBC α︒∴∠=︒-=．60ABF ∴∠=︒．30FAB ︒∴∠=．3AF BF ∴．5．39(2)见解析 622 【详解】（1）解：如图 过点E 作EH BC ⊥交BC 于点H 45ACB ∠=︒ ,AD BE 分别为ABC 的高 3BD =56AC =∴ADC △是等腰直角三角形∴AD CD =22AD CD AC +22150AD ∴=53AD CD ∴==63BC BD CD ∴=+=1122ABC S BC AD AC BE =⋅=⋅△ 即113535622BE ⨯=⨯∴36BE =在Rt ABD △中 222AB AD BD =+ 即2278AB AD BD +同理在Rt ABE △中 2226AE AB AD -=∴36CE AC AE =-=CE BE ∴=∴BCE 是等腰三角形EH BC ⊥∴1332BH CH BC ===∴23DH BH BD =-=在Rt CEH △中45ACB ∠=︒ 90EHC ∠=︒∴33EH CH ==在Rt DHE △中 2239DE DH EH +（2）证明：连接CF 设AD 与BE 交点为点P 45ACB ∠=︒ ,AD BE 分别为ABC 的高∴45DAC ∠=︒∴45BPD APE ∠=∠=︒ AD CD =∴45CBE ∠=︒∴BCE 是等腰三角形∴BE CE =将DE 绕点E 逆时针旋转90︒到EF90DEC CEF DEC BED ∴∠+∠=∠+∠=︒ =DE EF∴BED CEF ∠=∠BE CE = =DE EF∴()SAS BDE CFE ≌∴BD CF = 45ECF CBE ∠=∠=︒90BCF ACB ECF ∴∠=∠+∠=︒AD CD = 90BCF ADB ∠=∠=︒ BD CF =∴()SAS ABD DCF ≌∴AB DF =45EDF EFD ∠=∠=︒ 90ADC ∠=︒9045ADE GDC EDF ∴∠+∠=︒-∠=︒∴45ECG GCD ADE GDC ∠+∠=∠+∠=︒ECG ADE ∠=∠∴GDC GCD ∠=∠①DG CG = DCF 是直角三角形90DFC GDC ∴∠=︒-∠ 90GCF GCD ∠=︒-∠DFC GCF ∴∠=∠GF CG ∴=∴2DF CG =DF AB2AB CG ∴=；（3）解：将CAD 绕点C 逆时针旋转60︒得到CA D '' 连接DD ' 过点E 作EH AD ⊥交AD 于点H 设BE 与AD 交于点O 此时点Q 在A D ''上运动由旋转的性质得到A D C ADC ''≌ QD C PDC '≌ CDD '△是等边三角形 ∴906030DD A CD A CD D '''''∠=∠-∠=︒-︒=︒22CB CA ==222AD CD AC ∴+=∴2AD CD CD DD A D ''''=====当DQ A D ''⊥时 DQ 有最小值 ∴112DQ DD '== ①223D Q DD DQ ''=-1122ABCS BC AD AC BE=⋅=⋅△①2AD BE==∴222BD AE==45CBE∠=︒∴222BD AE DO===∴422AO AD DO=-=-∴23AP A Q A D D Q''''==-=2322PO AO AP∴=-=EH AD⊥45CAD∠=︒∴222EH AH AE+=∴22EH=∴() 111222BEPS PO BD PO EH PO BD EH =⋅+⋅=⋅+(()1232222222=⨯⨯+622=．6．(1)见详解．(2)60°．【详解】（1）证明：ABC∆和CDE∆为等边三角形60AC BC CD CE BCA DCE∴==∠=∠=︒，，ACD BCE∠∠∴=在ACD∆和BCE∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS∴≌AD BE∴=；（2）解：ABC∆和CDE∆都是等边三角形60AC BC CD CE ACB DCE∴==∠=∠=︒，，ACB BCD DCE BCD∴∠+∠=∠+∠即ACD BCE ∠=∠在ACD ∆和BCE ∆中 AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ΔΔACD BCE SAS ∴≌DAC EBC =∠∴∠AMP BMC ∠=∠60APB ACB ∴∠=∠=︒．故答案为：60︒．7．(1)105CAD ∠=︒(2)①1245,225a a =︒=︒；①6,9,18,24,27t t t t t =====【详解】（1）解：45BAC ∠=∠=︒ 90903060F EDF ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 4560105CAD F C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）解：①如图D E AC ''⊥90CAD D ''∴∠+∠=︒由（1）知 105CAD ∠=︒ 30D D '∠=∠=︒a CAD CAD '=∠-∠ 90903060CAD D ''∠=︒-∠=︒-︒=︒ 1056045a CAD CAD '∴=∠-∠=︒-︒=︒如图 D E ''与AC 延长线交于点G D E AC ''⊥由第一种情况知 这种情况是在第一种情况的基础上再旋转180︒ 三角板DEF 绕点A 以每秒10︒的速度按顺时针方向旋转 ∴18045225a =︒+︒=︒1245,225a a ∴=︒=︒；解：①如图 当D F BC ''∥时 D F BC ''∥AB D F ''∴⊥30FAB ∠=︒903060F AB a FAB '∴∠-∠=︒-︒==︒∴a 为60︒或a 为240︒160106t ∴=︒÷︒=（秒） 22401024t =︒÷︒=（秒）． 如图 当D E BC ''∥时D E BC ''∥AB D E ''∴⊥∴D E BC ''⊥a 为90︒或a 为270︒390109t ∴=︒÷︒=（秒） 42701027t =︒÷︒=（秒）∴16,9,24,27t t t t ====．如图 当E F BC ''∥时此时a 为180︒①18t =综上所述 6,9,18,24,27t t t t t =====8．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 60BCE ∴∠=︒ BC EC =30ACB ∠=︒30ACE ACB ∴∠=︒=∠AC AC =()SAS ACB ACE ∴≌AB AE =∴；（2）解：ABC 绕点C 顺时针旋转得到DECAC DC ∴= AB DE =由（1）可知AB AE =AE DE ∴=若AB AC = 则AC AE =AC DC DE AE ∴===∴四边形ACDE 是菱形AE CD ∴∥；30ACB ∠=︒ 将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC 306090BCD ∴∠=︒+︒=︒ 即CD BC ⊥AE BC ∴⊥即直线AE 与BC 互相垂直．9．(1)BF DE ⊥ 见详解(2)见详解 31【详解】（1）解：BF DE ⊥①AB AC AD AE ==，①ADE AED ABC ACB ∠=∠∠=∠，①EAD BAC ∠=∠①ABC ADE ∠=∠又①AOB DOF ∠=∠①DAB BFD ∠=∠①90EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒①DAB BAC DAC ∠=∠+∠又①EAD BAC ∠=∠①90DAB ∠=︒①90BFD ∠=︒①.BF DE ⊥（2）解：①BF DE ⊥①90EFB ∠=︒又①M 是CE 的中点 ①12FM EC CM ==①CE AC 、的中点分别是M 、N①12MN AE =①3cos MN AE AEC FM EC ==∠= （3）解：由（2）得：12FM EC = 12MN AE = 1AC = 90EAC ∠=︒ 30AEC ∠=︒∴32AE EC =， ∴112FM EC == 132MN AE == 当,,F M N 三点共线时 FN 最长此时 31FN FM MN =+． 10．(1)四边形CDEF 是菱形 理由见解析(2)当2BD CD =时 DEF 的面积最大 理由见解析(3)见解析【详解】（1）解：四边形CDEF 是菱形 理由如下： ①在Rt ABC △中 90tan 3ACB BAC ∠=︒∠，①60BAC ∠=︒ 则30B ∠=︒①DE AB ⊥ 2BD CD =①22BD DE CD ==①AD 是BAC ∠的平分线 则30CAD EAD ∠=∠=︒ ①12CD DE AD == ①点F 为AD 中点 ①12CF FE AD == ①CF FE CD DE ===①四边形CDEF 是菱形；（2）解：当2BD CD =时 DEF 的面积最大 理由如下：设AC a = CD x = 则BC 3a = 2AB a = 3BD a x - )11322DE BD a x ==- 3332BE DE a == 312AE AB BE x a =-=+ ①点F 为AD 中点 ①)111311322422DEF S AE DE a a x ⎫=⨯⨯=+⨯-⎪⎪⎝⎭ )13316x a a x =+- 22338a x =+ ①30< ①当8332a x =-⨯ DEF S △有最大值 此时133CD BC == 即2BD CD = ①当2BD CD =时 DEF 的面积最大；（3）解：作点A 关于BC 的对称点A ' 点D 关于BE '的对称点Ｈ 连接A B AD BH ''，，则AB A B BD BH ''==， AC A C D E HE ''''==，①AE D E AH '''-=由题意得60CAB BD H '∠=∠=︒①A AB BD H ''，△△都是等边三角形 ①60ABH A BD A BH '''∠=∠=︒-∠①()SAS ABH A BD ''≌△△ ①AH A D ''=①点F '为AD '中点①CF '是AA D '的中位线①2A D CF '''=①2AE D E CF ''''-=．11．(1)旋转角为30度或90度；(2)当旋转角为30°时 22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩当旋转角为90°时 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++⎪⎪=-<<． 【详解】（1）解：如图1 290AB AC BAC AE BC ==∠=︒⊥，，，145AE EC B C ∴==∠=∠=︒，．由旋转过程知60EC EC AE D C E '''==∠=︒，AEC '∴是等边三角形6090AEC C EC ''∴∠=︒=︒-∠．30C EC '∴∠=︒ 即旋转角为30︒；C '点与A 重合 即旋转角为90度；综上 旋转角为30°或90°；（2）解：当旋转角是为30°时：①当30<t ≤时．如图2 设D E C E ''''、与AB AC 、分别相交于点M N D E ''、，与AE 相交于点P ．作NN BC '⊥ 垂足为N '．设NN x '= 则N C x '=由平移过程知30NE C '∠=︒33E N NN x '''∴．由E N N C E C ''''+=知 31x x t +=- 即31x =+ 9045APM E PE PE E NE N PAM E CN '''''∠=∠=︒-∠=∠∠=∠=︒， AMP CNE '∴∽ ①222113AMP CNE S AP PE t S E C E C ∆'∆⎛⎫==⎛⎫--= ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2211131131111311222223131AEC AMP PEE CNE t S SS S S t t t t ''--∴=+--⨯⨯-+-⨯-=-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎝⎭⎦++⎣．①3<1t 时 如图3 设D E C E ''''、与AC 分别相交于点M N 、．作MM BC '⊥ 垂 足为M '．设MM y '= 则3M E y ''． ME E C M C M M ''''+== ()31y t y +-= 则3133t y -=-． ()()()22311111121223331ME C NE C t S S S t t t t t ''-∴=-=--=-=-+-+． 即22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩． 当旋转角为90︒时 如图4中 当031t ＜时 重叠部分是五边形MNKE B '()2216262111122222ABC AMN CKE S S S S t t t t t '+-=--=-⋅⋅--=-++ 如图5中 31<<1t 时 重叠部分是四边形MNE D ''()()2221311333131122242MCD CNE S S S t t t ''⎛⎫---=-⋅+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 所以 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++≤⎪⎪=⎨-⎪<<⎪． 综上所述 当旋转角不是为90︒时 22131130<2231321<1t t S t t t ⎧⎛--+≤⎪ +⎪⎝⎭=⎨⎫⎪-+⎪⎪⎪⎝⎭⎩当旋转角为90°时 ())2210<312333311t t t S t ⎧-++≤⎪⎪=-<<． 12．(1)902α︒+(2)23CE BE AF = 图见解析 (3)32322+【详解】（1）解：连接,BD CE①BAC DAE ∠=∠①BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠ 即BAD CAE ∠=∠ 在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS BAD CAE ≌△△ ①BAC DAE α∠=∠= ①()11809022ADE αα∠=︒-=︒- ①180902ADB ADE α=︒-∠=︒+∠ 故答案为：902α︒+．（2）解：如图：①60α=︒ AD AE =①ADE 为等边三角形①60DEA ∠=︒①AF DE ⊥ ①3tan 60AF EF AF ==︒ 则232ED EF AF == 由（1）可知 BAD CAE ≌△△①CE BD = ①23BD BE DE BE AF =+= ①23CE BE AF =． （3）如图 连接点E 和BC 中点 交AC 于点F ．①BAD CAE ≌△△①ABD ACE ∠=∠①90ABD EBC ACB ∠+∠+∠=︒①90ACE EBC ACB ∠+∠+∠=︒ 则90BEC ∠=︒ ①90BAC ∠=︒①A 、B 、C 、E 四点共圆 BC 为直径 故点E 在以BC 为直径的圆上运动 ①0180β<<①点E 在AC 上运动当点E 为AC 的中点时 S ABCE 四边形最大 ①90α=︒ 82AC = AB AC = ①2216BC AC AB + ①182OE BC == ①点E 为AC 的中点时①OE AC ⊥且平分AC ①122CF AC ==①点O 为BC 点F 为AC 中点 ①122OF AB ==①842EF OE OF =-=-①1132222ABC ACE S ABCE S S AC AB AC EF =+=+=+四边形故答案为：32322+13．(1)平分(2)10或40(3)不变 差值是30︒【详解】（1）解：直线ON 平分AOC ∠． 理由如下：设ON 的反向延长线为OD ①OM 平分120BOC BOC ∠∠=︒， ①1602MOC MOB BOC ∠=∠=∠=︒ 又90MOD MON ∠=∠=︒①9030COD MOC ∠=︒-∠=︒①18060AOC BOC ∠=︒-∠=︒ ①12COD AOC ∠=∠ ①OD 平分AOC ∠ 即直线ON 平分AOC ∠ 故答案为：平分； （2）①120BOC ∠=︒ ①60AOC ∠=︒． ①30BON COD ∠=∠=︒．即旋转60︒或240︒时直线ON 平分①AOC ． 由题意得 660t =或6240t =．解得：10t =或40故答案为：10或40；（3）AOM NOC ∠-∠的差不变． ①9060MON AOC ∠=︒∠=︒，①9060AOM AON NOC AON ∠=︒-∠∠=︒-∠， ①()()906030AOM NOC AON AON ∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒． ①AOM ∠与NOC ∠的差不变 这个差值是30︒． 14．(1)①BD =3AE ①直线BD 与AE 所夹锐角为60° (2)3DE =【详解】（1）解：①BD =3AE①在①ABC 和①EDC 中ACB ECD ABC EDC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩①①ABC ①①EDC①①DCE =①BCA BCACDC EC =①①DCE -①BCE =①ACB -①BCE①BCD =①ACE . BCDCAC EC =在①AEC 和①BDC 中 BCD ACBCDC AC EC∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩①①AEC ①①BDC BCBDDC AE ∴=①BD =3AE①夹角为60°如图 延长AE 与BD 交于点F①①ACB =60°①①CBA +①CAB =120°由（1）中①AEC ①①BDC可得①EAC =①DBC①①DBC +①CBA +①BAE =120°①在①AFB 中①AFB =60°①直线BD 与AE 所夹锐角为60°（2） 解：如图 连接AD AE ①①ACB =60° BC =AC ①①ABC 是等边三角形由（1）可得①ABC ①①EDC①①DEC 为等边三角形①DC =EC①四边形ADCE 是平行四边形①平行四边形ADCE 是菱形①AC 为菱形ADCE 对角线 ①3DE AC = ① 3DE 15．(1)90︒(2)证明过程见详解 62a a - 【详解】（1）解：①①ABC =90° BA =BC ①45BAC ∠=︒由旋转可知AB =AD 45BAC DAE ∠=∠=︒ 又①AE //BD①45DAE ADB ∠=∠=︒①ABD △ 为等腰直角三角形①90BAD ∠=︒（2）证：由旋转可知60BAD ∠=︒ 又①45BAC ∠=︒①15CAD ∠=︒①90ADE ∠=︒①90ADF在Rt①ABF 和Rt①ADF 中AB AD AF AF =⎧⎨=⎩①①ABF ≌①ADF （HL ）①30BAF DAF ∠=∠=︒①15FAC ∠=︒①CAD ∠=FAC ∠①AC 平分①DAF（3）解：如图 将AC 绕点A 逆时针旋转15︒到AH 连接GH 过C 作GH 垂线 垂足为F由旋转 易证APC AGH ≌△△ ①45H ACB ∠=∠=︒①154560HKC ∠=︒+︒=︒过A 作HG 延长线垂线 垂足为M 可得三角形AMH 为等腰直角三角形 ①AB =a①AH =AC 2a①AM =a①AK 23 232KC a = ①62a a CF -=①CG 62a a -。
