河北省衡水市安平中学2019-2020学年高一上学期第四次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(),0-∞ B.(],0-∞ C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A = 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|lnB x y x a x a ==-⇒>A B A A B⋂=⇒⊆所以0a <故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是()A.2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧 BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.5C.306D.6【答案】D 【解析】【分析】取BC 的中点H ，连接,, EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD 所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中cos6EAD ∠==故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（）A.3π-B.3π C.6π-D.6π【答案】C 【解析】【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以7cos 7α=，57sin 14β=，由()212177491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-=-，且α、β都为锐角，所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）.A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3sin[(3)]sin(3333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（）A.32 B.52C.72D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯= ，故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（）A.3 B.6C.9D.12【答案】C 【解析】【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uuv uuu v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uuu r ，则λμ+的最小值为（）A.212+ B.312+ C.32D.52【答案】B 【解析】【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，再由AM AB λ= ，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+uuu r uuur uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uur uuu rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，1344AP AB AC ∴=+uuu r uuu r uuu r ，AM AB λ=uuur uuu r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uuu r ，1AB AM λ∴=uuu r uuur ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uuu r uuur uuu r ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133331114444442λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//A C AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为．故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC 的面积为6，则较大部分的体积为()A.22B.23C.26D.27【答案】B 【解析】【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积．【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P，连接PE 与11C B 的交点为N，延长PE 交1B B 为M，与面ABC 交于点Q，得到截面为DNMA，111A C 3DC = ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭ 下．故选B．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()A.B.C.1+ D.1+【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =++，表示两点(,)x C x e 与点(,A a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D 1+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】-4【解析】【分析】先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________.【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==，故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）【答案】23π【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =，∴A 'F ===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+-()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减，∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C = ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-，BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+ ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅ 1119(49223424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18.如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D 在平面PAB 内的正投影为点E，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-．【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =.结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-.详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，∴sin 3ADE ∠=，∴3AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，sin 6AH ABH AB ∠==，∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.【答案】；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -，设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°，||||PA PF ；（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k +=+-=，由两直线垂直的条件，可将k 换为1k -，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++ ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k=+++=-+，可得222211(23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a .已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e 在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a ，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)a -∞(,4)a a -(4,)a -+∞()f x '+-+()f x∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())x g x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e⎧'=⎪⎨=⎪⎩，∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0；（ⅱ）∵()x g x e ，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x .又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a ，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a = 在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e 在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a - .令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =.∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a值为( ) A. 1或-1 B. -1 C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52的【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=， 所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】A 【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.4.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程22916x y λ-=，将点(3,-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2=， 故选B .【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A. 1b =B. a b ⊥C. 1a b ⋅=D. ()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. B. 2+ C. 4 D. 4【答案】C 【解析】双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F =，可得2a c ==，122PF PF a -==，① ()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+())1212122a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得12PF PF ==12PF F ∴∆的周长为12124PF PF F F ++=+ C.8.函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==， 12A x x ∴-的最小值为22019π， 故选C ．【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11.已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 02⎛ ⎝⎭， B. 102⎛⎫⎪⎝⎭，C. 02⎛ ⎝⎭，D. 05⎛ ⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】分别求出线段FA 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出． 【详解】如图所示，线段FC 的垂直平分线为：12x =，线段BC 的中点122b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，把x m ==代入上述方程可得：y n ==．∵0m n +>，0．化为：b 01b <<，解得12b <．∴02c e c a ⎛ ⎝⎭==，． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )B.11【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 距离，而点A 在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =+，(,)x C x e 与点(,A a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，的即Q 为切点，设(,)m m e ， 由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=， 设()2m g m m e =+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，的则数列{}n a 构成等差数列，设公差d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A B A B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>， 点D 到直线l的距离为()2212154t t t d -+--==，当4t =时，d， 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=. 故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）π【答案】23【解析】【分析】解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R=∴A'F===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=，R =2sin sin sin a b c R A B C∴===a A ∴=，c C =)233sin sin sin sin sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 203A π<< 5666A πππ∴<+< 36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ 可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦ 1sin 1x -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令24()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出．（2）变形()22441111211n n b a n n n ===--++-，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,∵37a =,5726a a +=,∴1127{21026a d a d +=+=,解得13a =,2d =,∴()32121n a n n =+-=+;()213222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）()22441111211n n b a n n n ===--++-, ∴11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=(1)cos A C -的值;(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求2212S S +的最大值,【答案】（1）12；(2)232. 【解析】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,cos A C - 的值;(2)利用(1)的结果,得到2212s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出2212s s +的最大值.试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ ;A在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=-所以88cos A C =-1cos 2A C -=； 由题意22211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 22221sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以：2222128sin 4sin s s A C +=+ ()()22=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C - 221=12-8cos 42A A ⎫--⎪⎭2=-16cos 11A A ++223=-16cos 82A ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭224,216BD BD <<∴<<，21216A ∴<-<，解之得：-cos 4A <<所以当cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()2212max 232s s +=. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得·4EM EN AB =恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 24y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】【分析】（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p =，从而可得结果；（2）设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合OM ON ⊥，可得直线()124:4MN y x y y =-+，直线()1AB y k x =-：，与C联立，利用弦长公式求得2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB =时，20041616y y k-+=，从而可得结果. 【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，（2）由题意，0MN k ≠， 设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭整理可得()1244y x y y =-+，直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01·EM EN y y =-()()2120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭20241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ·4EM EN AB=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4,?4?416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞的离心率是3P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ) 22194x y +=；(Ⅱ)见解析．【解析】 【分析】2249b a =，于是椭圆方程为2222149x y a a +=．有根据题意得到椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为3，所以3c a ==，整理得2249b a =．故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22927144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++， 所以12029249x x k x k +-==+， ∴0024149y kx k =+=+，∴点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k⎛⎫=-++⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++．若0k >，则554129kk≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299kk kk=-≥-+--，∴5012m <≤． ②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值；（2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）32p =；（2；（3）23y x =-.【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x =可得y =，可得6=，解得32p =； （2）A 是点(2p F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2pA -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得 23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①， 1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性； (2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增. （2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin 1504a a π-->， 设()8sin154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >，因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增，因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e . 【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。

河北省衡水市2019-2020学年中考数学四模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件2．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．120°D．150°3．△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A．12B．22C．32D．334．已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（）A．﹣2 B．23C．2 D．45．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx＋c时，x的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④6．估算18的值是在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．下列现象，能说明“线动成面”的是（）A．天空划过一道流星B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹8．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°9．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼10．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米11．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°12．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A ．12B ．1C ．33D ．3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图所示是一副七巧板，若已知S △BIC =1，据七巧板制作过程的认识，求出平行四边形EFGH_____．14．如图，已知圆锥的底面⊙O 的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 ．15．在矩形ABCD 中，AB=4，BC=9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE 的长为_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒lcm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P′，设Q 点运动的时间为t 秒，若四边形QP′CP 为菱形，则t 的值为_____．17．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．18．甲、乙两人5次射击命中的环数分别为，甲：7，9，8，6，10；乙：7，8，9，8，8；x x 甲乙 =8，则这两人5次射击命中的环数的方差S 甲2_____S 乙2（填“＞”“＜”或“=”）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）反比例函数y=kx（k≠0）与一次函数y=mx+b （m≠0）交于点A （1，2k ﹣1）．求反比例函数的解析式；若一次函数与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的解析式． 20．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°画出旋转之后的△AB′C′；求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．21．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC 绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.22．（8分）一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21，…，称为“三角形数”；把1,4,9,16,25，…，称为“正方形数”.将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：三角形数 1 3 6 10 15 21 a …正方形数 1 4 9 16 25 b 49 …五边形数 1 5 12 22 C 51 70 …（1）按照规律，表格中a=___，b=___，c=___．（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是________；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是___________．23．（8分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．24．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0<a<20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？25．（10分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.26．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝10°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；（1）如图1，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝1．求CG的长．27．（12分）某食品厂生产一种半成品食材，产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式1=+，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满p x82足一次函数关系，如下表：销售价格x(元/千克) 2 4 ⋯10市场需求量q/(百千克)12 10 ⋯ 4已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克()1求q与x的函数关系式；()2当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；()3当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能.若该半成品食材的成本是2元/千克．废弃①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式；②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围.(利润=售价-成本)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．C【解析】如图：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故选C.点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.3．B【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：在Rt△ADC中，BD=AD，则2BD．cos∠ACB=222ADAB==，故选B．4．C【解析】分析：将x=－2代入方程即可求出a的值．详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0，解得：a=2，故选C．点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键．5．B【解析】【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．6．C【解析】【分析】，推出45，即可得出答案．【详解】，∴45，4和5之间．故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，，题目比较好，难度不大．7．B【解析】【分析】本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；【详解】解：∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”，∴故本选项错误.∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，∴故本选项正确.∵C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，∴故本选项错误.∵D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，∴故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体. 8．C【分析】易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC 【详解】∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．故选C.【点睛】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.9．B【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选B．考点：随机事件.10．D【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=ACAB，即可解决问题.【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=AC AB，∴AB=800 tan tanACαα=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.11．B【解析】【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【详解】∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选B．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．12．B【解析】【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】根据七巧板的性质可得BI=IC=CH=HE ，因为S △BIC =1，∠BIC=90°，可求得，BC=1，在求得点G 到EF sin45°，根据平行四边形的面积即可求解. 【详解】由七巧板性质可知，BI=IC=CH=HE ． 又∵S △BIC =1，∠BIC=90°， ∴12BI•IC=1，∴，∴，∵EF=BC=1，，∴点G 到EF 2，∴平行四边形EFGH 的面积． 故答案为1 【点睛】本题考查了七巧板的性质、等腰直角三角形的性质及平行四边形的面积公式，熟知七巧板的性质是解决问题的关键. 14．15π． 【解析】 试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．15【解析】 【分析】由BA G A EF ∠='∠',BGA EFA ∠=∠'',得EA F A BG ∆~'∆',所以EF A F A G BG =''.再以①13A F A G =''和②13A G A F =''两种情况分类讨论即可得出答案. 【详解】因为翻折,所以4A B AB '==，90BA E ︒∠=',过A '作A F AD '⊥,交AD 于F,交BC 于G ,根据题意，BC AD ∥,A F BC ∴'⊥.若A '点在矩形ABCD 的内部时，如图则GF=AB=4,由90EA B ︒∠='可知90EA F BA G ︒'∠+∠='. 又90EA F A EF ︒''∠+∠=.BA G A EF ∴∠='∠'.又BGA EFA ∠=∠''.∴EA F A BG ∆~'∆'. ∴EA F A BG ∆~'∆'.∴EF A FA G BG =''. 若13A F A G ='' 则3A G '=,1A F '=.2222437BG A B A G '--'==则37EF =377EF ∴=. 37477AE AF EF BG EF ∴=-=-==.若13A G A F ='' 则1A G '=,3A F '=.BG ===则1EF = .5EF ∴=.AE AF EF BG EF ∴=-=-==. 【点睛】本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于点A′A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，需要分A′M:A′N=1:3，A′M:A′N=1:3和A′M:A′N=3:1，A′M:A′N=3:1这两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长. 16．1 【解析】作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，如图，t ，BQ=tcm ，（0≤t ＜6） ∵∠C=90°，AC=BC=6cm ， ∴△ABC 为直角三角形， ∴∠A=∠B=45°，∴△APE 和△PBD 为等腰直角三角形，∴AP=tcm ，BD=PD ， ∴CE=AC ﹣AE=（6﹣t ）cm ， ∵四边形PECD 为矩形， ∴PD=EC=（6﹣t ）cm ， ∴BD=（6﹣t ）cm ，∴QD=BD ﹣BQ=（6﹣1t ）cm ，在Rt △PCE 中，PC 1=PE 1+CE 1=t 1+（6﹣t ）1，在Rt △PDQ 中，PQ 1=PD 1+DQ 1=（6﹣t ）1+（6﹣1t ）1，∵四边形QPCP′为菱形， ∴PQ=PC ，∴t 1+（6﹣t ）1=（6﹣t ）1+（6﹣1t ）1， ∴t 1=1，t 1=6（舍去）， ∴t 的值为1． 故答案为1．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关键是要熟记定理的内容并会应用 . 17．x （x-1）2. 【解析】由题意得，x 3﹣2x 2+x= x （x ﹣1）2 18．＞ 【解析】 【分析】分别根据方差公式计算出甲、乙两人的方差，再比较大小． 【详解】∵x x =甲乙=8，∴2S 甲=15[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=15（1+1+0+4+4）=2，2S 乙=15[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=15（1+0+1+0+0）=0.4，∴2S 甲＞2S 乙．故答案为：＞． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）y=1x；（2）y=﹣1655x +或y=1677x +【解析】试题分析：（1）把A （1，2k-1）代入y=kx即可求得结果； （2）根据三角形的面积等于3，求得点B 的坐标，代入一次函数y=mx+b 即可得到结果．（1）把A （1，2k ﹣1）代入y=kx得， 2k ﹣1=k ， ∴k=1，∴反比例函数的解析式为：y=1x； （2）由（1）得k=1， ∴A （1，1）， 设B （a ，0）， ∴S △AOB =12•|a|×1=3， ∴a=±6，∴B （﹣6，0）或（6，0），把A （1，1），B （﹣6，0）代入y=mx+b 得：106m bm b=+⎧⎨=-+⎩ ， ∴1767m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴一次函数的解析式为：y=17x+67， 把A （1，1），B （6，0）代入y=mx+b 得：106m bm b =+⎧⎨=+⎩， ∴1565m b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴一次函数的解析式为：y=﹣1655x +．所以符合条件的一次函数解析式为：y=﹣1655x +或y=17x+67．20．.（1）见解析（2）π 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点B 、C 旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可. （2）先求出AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.解：（1）△AB′C′如图所示：（2）由图可知，AC=2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360ππ⋅⋅==.21．（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长． 试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：2，则9032321801802n r l ππ⨯===． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式． 22．1 2 3 n 2 n 2 +x-n 【解析】分析：(1)、首先根据题意得出前6个“三角形数”分别是多少，从而得出a 的值；前5个“正方形数”分别是多少，从而得出b 的值；前4个“正方形数”分别是多少，从而得出c 的值；(2)、根据前面得出的一般性得出答案．详解：（1）∵前6个“三角形数”分别是：1=122⨯、3=232⨯、6=342⨯、10=452⨯、15=562⨯、21=672⨯，∴第n 个“三角形数”是()12n n +， ∴a=7×82=17×82=1． ∵前5个“正方形数”分别是： 1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，∴第n个“正方形数”是n2，∴b=62=2．∵前4个“正方形数”分别是：1=()13112⨯⨯-，5=()23212⨯⨯-，12=()33312⨯⨯-，22=()43412⨯⨯-，∴第n个“五边形数”是n（3n−1）2n（3n−1）2，∴c=() 53512⨯⨯-=3．（2）第n个“正方形数”是n2；1+1-1=1，3+4-5=2，6+9-12=3，10+16-22=4，…，∴第n个“五边形数”是n2+x-n．点睛：此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．23．（1）（1）如图所示见解析；（3）4π+1．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；（3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可．【详解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由题可得，△ABC扫过的面积=29041413602π⨯⨯+⨯⨯=4π+1．【点睛】考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．24．（1）甲种服装最多购进75件,（2）见解析.【解析】【分析】（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【详解】（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100-x）≤7500，解得x≤75答：甲种服装最多购进75件,（2）设总利润为W元，W=（120-80-a）x+（90-60）（100-x）即w=（10-a）x+1．①当0＜a＜10时，10-a＞0，W随x增大而增大，∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，10-a＜0，W随x增大而减小．当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键．25．(1)14；(2)13.【解析】【分析】（1）一共4个小球，则任取一个球，共有4种不同结果，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为14；（2）列表或画出树状图，根据一共出现的等可能的情况及恰能组成“美丽”或“光明”的情况进行解答即可. 【详解】(1) ∵“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率P=1 4(2)列表如下：根据表格可得：共有12中等可能的结果，其中恰能组成“美丽”或“光明”共有4种，故取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率13 P .【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．26．（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（1）CG=2．【解析】【分析】(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE；(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE 全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO 全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．【详解】(1)∵△CDE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠EDB=60°﹣∠B=10°，∴∠EDB=∠B，∴DE=EB；(2) ED=EB，理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，∵∠ACB=90°，∠ABC=10°，∴∠A=60°，OC=OA，∴△ACO为等边三角形，∴CA=CO，∵△CDE是等边三角形，∴∠ACD=∠OCE，∴△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，∴△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB ；(1)、取AB 的中点O ，连接CO 、EO 、EB ， 由（2）得△ACD ≌△OCE ， ∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，△COE ≌△BOE ， ∴EC=EB ， ∴ED=EB ， ∵EH ⊥AB ， ∴DH=BH=1， ∵GE ∥AB ，∴∠G=180°﹣∠A=120°， ∴△CEG ≌△DCO ， ∴CG=OD ，设CG=a ，则AG=5a ，OD=a ， ∴AC=OC=4a ， ∵OC=OB ， ∴4a=a+1+1， 解得，a=2， 即CG=2．27．（1） q x 14=-+；（2）2x 4≤≤；（3）213105y (x )24=--+①；②当134x 2<≤时，厂家获得的利润y 随销售价格x 的上涨而增加． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）由题意可得：p≤q ，进而得出x 的取值范围； （3）①利用顶点式求出函数最值得出答案； ②利用二次函数的增减性得出答案即可． 【详解】（1）设q=kx+b （k ，b 为常数且k≠0），当x=2时，q=12，当x=4时，q=10，代入解析式得：212410k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：114kb=-⎧⎨=⎩，∴q与x的函数关系式为：q=﹣x+14；（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p≤q，∴12x+8≤﹣x+14，解得：x≤4，又2≤x≤10，∴2≤x≤4；（3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x≤10，由题意得：厂家获得的利润是：y=qx﹣2p=﹣x2+13x﹣16=﹣（x132-）21054+；②∵当x132≤时，y随x的增加而增加．又∵产量大于市场需求量时，有4＜x≤10，∴当4＜x132≤时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键．。

2019-2020学年河北省衡水市安平中学高一（上）第四次月考数学试卷一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．tan（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知sin（π+α）＝，则cos（﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．已知角α终边过点P（3，﹣4），则sin（π+α）的值为（）A．B．C．D．5．＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的为（）A．B．y＝﹣x2C．y＝﹣|x|D．y＝|x|+17．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．D．2sin18．已知角α是第二象限角，且|cos|＝﹣cos，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角9．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．10．将函数的图像上各点向右平移个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．当x∈（2，3]时，函数f（x）的值域是（）A．[﹣，0]B．[﹣，0]C．[﹣1，0]D．（﹣∞，0] 12．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点（0，），（，0），（）在图象上，若x1，x2∈（），x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．3B．C．0D．﹣二.填空题（每题5分，共4题）13．点P（tan20°，cos20°）位于第象限．14．已知f（sin x）＝x且x∈[0，]，则f（）＝．15．函数的值域为．16．设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．三.解答题（共6题，70分）17．（1）已知α∈[0，]，且sinαcosα＝，求sinα+cosα的值；（2）如果sinα+3cosα＝0，求sin2α+2sinαcosα的值．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示，（1）求函数f（x）的周期T及最大值、最小值；（2）求函数f（x）的表达式、单调递增区间．19．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的最小值及f（x）取到最小值时自变量x的集合；（2）当x∈[0，m]时，函数y＝f（x）的值域为[﹣，2]，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+2x tanθ﹣1，x∈[﹣1，]，其中θ∈（﹣，）．（1）当θ＝﹣时，求函数的最大值和最小值；（2）求θ的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣1，]上是单调函数（在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数）．22．已知函数是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}解：M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝{x|﹣3＜x＜1}∩{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}＝{﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．tan（﹣1560°）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：tan（﹣1560°）＝﹣tan（1560°）＝﹣tan（9×180°﹣60°）＝tan60°＝．故选：D．3．已知sin（π+α）＝，则cos（﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：已知sin（π+α）＝，即sinα＝，则cos（﹣α）＝﹣sinα＝．故选：C．4．已知角α终边过点P（3，﹣4），则sin（π+α）的值为（）A．B．C．D．解：∵角α终边过点P（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝﹣，∴sin（π+α）＝﹣sinα＝，故选：C．5．＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：＝＝＝sin30°＝．故选：C．6．下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的为（）A．B．y＝﹣x2C．y＝﹣|x|D．y＝|x|+1解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝，是反比例函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝﹣x2，是二次函数，是偶函数，在区间（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；对于C，y＝﹣|x|＝，为偶函数，在区间（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1＝，为偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．7．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．D．2sin1解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为这个圆心角所对的弧长为2×＝故选：C．8．已知角α是第二象限角，且|cos|＝﹣cos，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos|＝﹣cos，∴cos＜0，∴是第三象限角．故选：C．9．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．10．将函数的图像上各点向右平移个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．解：将函数的图像上各点向右平移个单位得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x的图象，再把函数图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到y＝sin4x的图象，令4x＝kπ+，k∈Z，可得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x＝．故选：D．11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．当x∈（2，3]时，函数f（x）的值域是（）A．[﹣，0]B．[﹣，0]C．[﹣1，0]D．（﹣∞，0]解：∵当x∈（2，3]时，∴x﹣2∈（0，1]，又∵当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1），∴f（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣3），∵f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝，∴f（x﹣2）＝f（x﹣1）＝＝，∴，∴f（x）＝4（x﹣2）（x﹣3），（x∈（2，3]）∴f（x）的值域为[﹣1，0]．故选：C．12．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点（0，），（，0），（）在图象上，若x1，x2∈（），x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．3B．C．0D．﹣解：由条件知函数的周期满足T＝2×（﹣）＝2×2π＝4π，即＝4π，则ω＝，由五点对应法得ω+φ＝0，即×+φ＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝A sin（x﹣），则f（0）＝A sin（﹣）＝﹣A＝，得A＝3，即f（x）＝3sin（x﹣），在（）内的对称轴为x＝＝，若x1，x2∈（），x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1，x2关于x＝对称，则x1+x2＝2×＝，则f（x1+x2）＝f（）＝3sin（×﹣）＝3sin＝﹣3sin＝﹣，故选：D．二.填空题（每题5分，共4题）13．点P（tan20°，cos20°）位于第一象限．解：因为20°为第一象限角，所以tan20°＞0，cos20°＞0，故点P（tan20°，cos20°）位于第一象限．故答案为：一．14．已知f（sin x）＝x且x∈[0，]，则f（）＝．解：因为x∈[0，]，所以sin x＝时，x＝，所以f．故答案为：．15．函数的值域为{﹣2，0，2}．解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．16．设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．解：函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．三.解答题（共6题，70分）17．（1）已知α∈[0，]，且sinαcosα＝，求sinα+cosα的值；（2）如果sinα+3cosα＝0，求sin2α+2sinαcosα的值．【解答】解析：（1）因为，所以sinα+cosα＞0，，（2）因为sinα+3cosα＝0，所以tanα＝﹣3，．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示，（1）求函数f（x）的周期T及最大值、最小值；（2）求函数f（x）的表达式、单调递增区间．解：（1）从图知，函数f（x）的周期为T＝，函数的最大值为1，最小值为﹣1．（2）由于＝π，则ω＝2，又时，y＝0，∴，而﹣＜φ＜，则，∴函数f（x）的表达式为（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．19．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．解：（1）∵，∴＝＝＝．（2）＝＝＝＝tan（β﹣α）＝＝＝．20．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的最小值及f（x）取到最小值时自变量x的集合；（2）当x∈[0，m]时，函数y＝f（x）的值域为[﹣，2]，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）＝2sin（2x﹣），故f（x）min＝﹣2此时2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z，所以f（x）取最小值时自变量x的集合是{x|x＝kπ﹣，k∈Z}．（2）如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f（x）取到最大值2，且f（0）＝﹣，所以2m﹣≥⇒m≥．又y＝f（x）在上单调递减，故m的最大值为内使函数值为的值，令2sin（2x﹣）＝，所以，∴，所以m的取值范围为．21．已知函数f（x）＝x2+2x tanθ﹣1，x∈[﹣1，]，其中θ∈（﹣，）．（1）当θ＝﹣时，求函数的最大值和最小值；（2）求θ的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣1，]上是单调函数（在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数）．解：（1）当θ＝﹣时，f（x）＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣．∵x∈[﹣1，]，∴当x＝时，f（x）的最小值为﹣，当x＝﹣1时，f（x）的最大值为．（2）f（x）＝（x+tanθ）2﹣1﹣tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝﹣tanθ，∵y＝f（x）在区间[﹣1，]上是单调函数，∴﹣tanθ≤﹣1，或﹣tanθ≥，即tanθ≥1，或tanθ≤﹣．∵θ∈（﹣，），∴θ的取值范围是[，）∪（﹣，﹣]．22．已知函数是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即，即2m﹣2＝0，即m＝1．（2），任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝，因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在R上是增函数．因为，且f（x）是奇函数．所以，因为f（x）在R上单调递增，所以，即对任意x∈R都成立，由于﹣cos2x﹣4sin x+7＝（sin x﹣2）2+2，其中﹣1≤sin x≤1，所以（sin x﹣2）2+2≥3，即最小值为3．所以，即，解得，由，得．故实数a的取值范围．。

2019-2020学年河北省衡水市安平中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）A.()}2{3M =，，()2,3{ } N = B.}2{3M =，，}3{2N =， C.(){,|1}y M x x y =+=，1{|}N y x y =+= D.}2{1M =，，()2{}N =1， 【答案】B【解析】根据集合的定义，依次分析每个选项得到答案. 【详解】根据集合的定义，依次分析选项可得：对于选项A ：M 、N 都是点集，(2,3)与(3,2)是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故不符合；对于选项B ：M 、N 都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求； 对于选项C ：M 是点集，表示直线1x y +=上所有的点，而N 是数集，表示函数1t x =+的值域，则M 、N 是不同的集合，故不符合；对于选项D ：M 是数集，表示1，2两个数，N 是点集，则M 、N 是不同的集合，故不符合； 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的相等，仔细辨认元素是解题的关键. 2．已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A.()31f x x =- B.()31f x x =+C.()32f x x =+D.()34f x x =+【答案】A【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-.3．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A.[2a ，a ＋b ]B.[0，b －a ]C.[a ，b ]D.[－a ，a ＋b ]【答案】C【解析】令x a t =＋，∵x R ∈，则()t R y f t ∈∴=，，∴函数()y f t =与()y f x =是同一个函数；∴()y f t =的值域为[],.a b 故选C.4．函数()f x 的图象如图，则该函数可能是（ ）A.()221f x x x=-B.()1f x x x=+C.()331f x x x=-D.()1f x x x=-【答案】D【解析】分析：由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项. 详解：由图象可知，函数是奇函数，排除A ；0x >时，()1f x x x=+的函数值是大于0的，故排除B ； C 、D 由函数的增长趋势判断，当2x =时， 331638x x -=， 132x x -=，由图观察可得，应选D .点睛：本题主要考查由函数图象确定解析式等知识，根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案.本题中A 、B 比较同意排除，在C 、D 中，根据增长的趋势进行进一步选择.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．设α，β是方程22310x x ++=的两根，则14αβ+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.8B.18C.-8D.18-【答案】A【解析】利用韦达定理得到32a β+=-，代入计算得到答案.【详解】由题意可知32a β+=-，得3322114844αβ+-⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了指数运算，意在考查学生的计算能力. 6．已知01a <<，log log a a x =+1log 52a y =，log log a a z =则下列关系正确的是( ) A.x y z >> B.z y x >>C.y x z >>D.z x y >>【答案】C 【解析】【详解】依题意，log log log aa a x y z ===，由于01a <<，函数log a y x =为减函数，故y x z >>.故选C.7．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8．若方程0x m x m --=(0m >，1m ≠)有两个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.(1,)+∞ B.()0,1C.(0,)+∞D.(2,)+∞【答案】A【解析】将方程的根转化为函数xy m =与y x m =+的图象有两个不同的交点，画出图像计算得到答案. 【详解】方程0x m x m --=有两个不同的实数根即函数x y m =与y x m =+的图象有两个不同的交点.显然，当1m >时，两图象有两个不同交点；当01m <<时，两图象只有1个交点， 故m 的取值范围是(1,)+∞. 故选：A【点睛】本题考查了方程的解，转化为函数图像的交点是解题的关键.9．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约（） A ．1.7万年 B ．2.3万年 C ．2.9万年 D ．3.5万年【答案】C【解析】根据实际问题，可抽象出()150% 3.1%n-=，按对数运算求解. 【详解】设该生物生存的年代距今是第n 个5730年， 到今天需满足()150% 3.1%n-=， 解得：0.5log 3.1%5n =≈，5573028650⨯= 2.9≈万年.故选C. 【点睛】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.10．函数()22()2f x log ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)1-+∞， B.()0,1C.[11]-，D.[0]1，【答案】D【解析】令2()2g x ax x a =++，即()g x 的值域包含(0,)+∞，讨论0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】令2()2g x ax x a =++，因为函数()22()log 2f x ax x a =++的值域为R ，所以()g x 的值域包含(0,)+∞．①当0a =时，()2g x x =，值域(0,)R ⊇+∞，成立． ②当0a ≠时，要使()g x 的值域包含(0,)+∞，则2440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得01a <≤ 综上所述：[0,1]a ∈． 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数函数的值域问题，忽略掉0a =的情况是容易发生的错误.11．已知函数()ln(1)f x x =++()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：因为，所以函数为偶函数，当时，，为增函数，使得()(21)f x f x >-成立即，解得：，选A ．【考点】1.偶函数；2.不等式．【方法点晴】本题主要考查的是函数，属于中档题．本题首先要确定函数的奇偶性，再利用复合函数的单调性确定函数在上的单调性，得出不等式，两边平方解出即可．同样当函数为奇函数的时候，也可以根据奇函数的单调性在对称区间上单调性相同，得出不等式．12．若11lg lglg lg 2552x y y x++…，则（ ）A.x y ≥B.x y ≤C.1xy ≥D.1xy ≤【答案】C【解析】将不等式变形为lg lg lg lg 112552xyx y ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭判断为增函数，根据单调性性质计算得到答案. 【详解】 ∵11lglglg lg 2552x y yx+≥+，∴11lglglg lg 2525x yyx-≥-即lg lg lg lg 112552xyx y ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11lg lg lg lg 1112552yy f y γγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，且1()f x f y ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴1x y ≥，∴1xy ≥ 故选：C ． 【点睛】本题考查了解不等式，构造函数lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解题的关键.二、填空题 13．函数y =R ，则a 的取值范围是________．【答案】1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】题目等价于2(12)10ax a x a +-++≥恒成立，讨论0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数y =R ，等价为2(12)10ax a x a +-++≥恒成立若0a =，则不等式等价为1x ≥-，此时不满足条件．若0a ≠，要满足条件，则20(12)4(1)0a a a a >⎧⎨∆=--+≤⎩，即018a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩解得18a ≥， 故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0a =的情况是容易发生的错误. 14．若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】根据题意，由函数的单调性的性质可得1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【详解】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩.1a ≤< ∴实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭．故答案为2⎫⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致. 15．已知不等式222411()22x mx m x x-+++＞对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜m ＜5【解析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论． 【详解】 不等式等价为22241122x xx mx m +-++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，即x 2+x ＜2x 2﹣mx+m+4恒成立，∴x 2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0， 即m 2﹣2m ﹣15＜0，解得﹣3＜m ＜5， 故答案为：﹣3＜m ＜5． 【点睛】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．16．已知函数2()log x f x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则mn =____． 【答案】14【解析】画出函数图像，判断01m n <<<，根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log 2f m m == 又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以14m n =. 故答案为：14【点睛】本题考查了函数的值域，画出函数图像可以直观简洁得到答案.三、解答题17．已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)【解析】解：(1)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{12215m m m m -≥++≥--≤，解得2≤m≤3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B ＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{212m m m -≥+-≤-， 或211{15m m m -≥++>，解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． 18．计算下列各题： （1）22log 3321272log 8-⨯+； （2）2235(lg5)lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯．【答案】（1）19；（2）10【解析】（1）直接利用指数对数运算法则计算得到答案. （2）直接利用对数计算法则计算得到答案. 【详解】（1）22log 3321272log 8-⨯+()23323233log 2-=-⨯+99lg10=++19=．（2）2235(lg5)lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯222235lg5(lg5lg 2)lg 20log 5log 2log 3=+++⨯⨯lg5lg 2lg3lg5lg 208lg 2lg3lg5=++⨯⨯⨯ 2810=+=．【点睛】本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.19．已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =．（1）求(0)f 的值． （2）求()f x 的解析式．（3）已知z R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当2][2x ∈-，时，()()g x f x ax =-是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求C R A B ⋂（R 为全集）．【答案】（1）(0)2f =-；（2）2()2f x x x =+-；（3）C {|15}R A B a a ⋂=<…【解析】（1）令1x =-，1y =带入化简得到答案. （2）令0y =，代入计算得到答案.（3）根据恒成立问题计算得到{|1}A a a =≥，根据单调性计算得到{|3,5}B a a a =≤-≥或，再计算C R A B ⋂得到答案.【详解】（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，∴(0)2f =-（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-∴2()2f x x x =+-（3）不等式()32f x x a +<+即2232x x x a +-+<+，21x x a -+<．由于当102x <<时，23114x x <-+<，又2213124x x x a ⎛⎫-+=-+< ⎪⎝⎭恒成立，故{|1}A a a =≥，22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--对称轴12a x -=， 又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a -≤-或122a -≥， ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或，C {|35}R B a a =-<< ∴C {|15}R A B a a ⋂=≤<． 【点睛】本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力. 20．已知指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠），()g x 为()f x 的反函数． （1）写出函数()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()log (23)log 1a a g x x --≤ 【答案】（1）()log (0a x g x a =>且1)a ≠；（2）见解析【解析】（1）直接利用对数函数和对应的指数函数互为反函数得到答案.（2）化简得到log log (23)a a x x ≤-，讨论1a >和01a <<两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）因为指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，所以()log (0a x g x a =>且1)a ≠．（2）由()log (23)log 1a a g x x --≤，得log log (23)a a x x ≤-当1a >时，因为函数log ay x =在(0,)+∞上单调递增，所以23,0,x x x ≤-⎧⎨>⎩解得102x <≤； 当01a <<时，因为函数log (0,)a y x =+∞上单调递减，所以23,230,x x x ≥-⎧⎨->⎩解得1223x ≤<． 综上所述，当1a >时，原不等式的解集为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；当01a <<时，原不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，忽略掉a 的取值范围是容易发生的错误.21．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞-【解析】（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案.（2）化简得到11()221x f x =++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离212x k x -<，求函数212()xg x x -=的最小值得到答案. 【详解】（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，即102b a-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221x x xf x +-==+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210x x ++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递减.（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x-<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅， 令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.22．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-. （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域； （2）若函数()()2(2)g x f x k x =+-在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；（3）若关于x 的方程()20xf m -=有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）21()log (11)1xf x x x-=-<<+，()()22log 1(11)g x x x =--<<；（2）(,0][4,)-∞⋃+∞；（3）(,0)-∞【解析】（1）根据奇偶性得到方程组2()()2log (1)f x g x x +=-和2()()2]og (1)f x g x x -+=+，计算得到答案.（2）化简得到()2(2)1f x x k x =-+-+，根据开口方向和对称轴计算得到答案.（3）化简得到()2122log 12x xx f -=+，设1212x xt -=+计算得到01t <<，得到2log 0t <，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=． 因为2()()2log (1)f x g x x +=-，①所以用-x 取代x 代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，即2()()2]og (1)f x g x x -+=+，②联立①②可得，2221()log (1)log (1)log (11)1xf x x x x x-=--+=-<<+， ()()2222log (1)log (1)log 1(11)g x x x x x =-++=--<<．（2）因为()()22log 1g x x=-，所以()2(2)1f x xk x =-+-+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上为单调函数，所以212k -≤-或212k -≥， 所以所求实数k 的取值范围为(,0][4,)-∞⋃+∞．（3）因为21()log 1x f x x -=+，所以()2122log 12x xx f -=+．设1212x xt -=+， 则12211212x x xt -==-+++．因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >， 所以021x <<，1122x <+<，111212x <<+，201112x <-+<+，即0t 1<<，则2log 0t <．因为关于x 的方程()20xf m -=有解，则m 0<，故m 的取值范围为(,0)-∞． 【点睛】本题考查了函数的解析式，定义域，单调性，方程解的问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

河北省衡水市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，平面直角坐标中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点B恰好落在双曲线y=（x>0）上，则k的值为( )A．2 B．3 C．4 D．62．下列计算中，正确的是（）A．a•3a=4a2B．2a+3a=5a2C．（ab）3=a3b3D．7a3÷14a2=2a3．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是( )A．a＋b>0 B．ab >0 C．D．4．16的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±25．若等式（-5）□5=–1成立，则□内的运算符号为（）A．+ B．–C．×D．÷6．下列图形中一定是相似形的是( )A．两个菱形B．两个等边三角形C．两个矩形D．两个直角三角形7．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．105°B．110°C．115°D．120°8．若a+b=3，，则ab 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣19．下列长度的三条线段能组成三角形的是A ．2，3，5B ．7，4，2C ．3，4，8D ．3，3，410．如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 411．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长，分别交对角线BD 于点F ，交BC 边延长线于点E ．若FG ＝2，则AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知点A （a ，b ），0是原点，OA=OA 1，OA ⊥OA 1，则点A 1的坐标是 ．14．因式分解：y 3﹣16y ＝_____．15．正五边形的内角和等于______度．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．17．如图，点A （m ，2），B （5，n ）在函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 ．18．地球上的海洋面积约为361000000km 1，则科学记数法可表示为_______km 1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△OAB 的顶点A 、B 的坐标分别是A （0，5），B （3，1），过点B 画BC ⊥AB 交直线于点C ，连结AC ，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交x 轴负半轴于点D ，连结AD 、CD ．（1）求证：△ABC ≌△AOD ．（2）设△ACD 的面积为，求关于的函数关系式．（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求的值．20．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP记作l.(1)若l的解析式为y＝2x＋4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；(2)当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．21．（6分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下列问题：（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．22．（8分）如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为63BC的坡度i=13F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．（1）求坡角∠BCD；（2）求旗杆AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）23．（8分）已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H 作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是；（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．24．（10分）已知：如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）(1)求抛物线的表达式；(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标．25．（10分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）证明：四边形AHBG 是菱形；若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）26．（12分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且DE=23BC ．如果AC=6，求AE 的长；设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，求向量DE u u u r （用向量a r 、b r 表示）．27．（12分）计算：（1）2162)12(8)3- （2）221cos60cos 45tan 603+-o o o参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】作AC ⊥y 轴于C ，ADx 轴，BD ⊥y 轴，它们相交于D ，有A 点坐标得到AC=1，OC=1，由于AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点，所以相当是把△AOC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ABD ，根据旋转的性质得AD=AC=1，BD=OC=1，原式可得到B 点坐标为（2，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k 的值．【详解】作AC ⊥y 轴于C ，AD ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，它们相交于D ，如图，∵A 点坐标为（1，1），∴AC=1，OC=1．∵AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，即把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，∴AD=AC=1，BD=OC=1，∴B点坐标为（2，1），∴k=2×1=2．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了坐标与图形变化﹣旋转．2．C【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则进行判断即可.【详解】解：A、a•3a=3a2，故原选项计算错误；B、2a+3a=5a，故原选项计算错误；C、（ab）3=a3b3，故原选项计算正确；D、7a3÷14a2=12a，故原选项计算错误；故选C．【点睛】本题考点：同底数幂的混合运算.3．C【解析】【分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜-1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．【详解】A、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以|b|＞|a|，所以a+b＜0，故选项A错误；B、因为b＜0＜a，所以ab＜0，故选项B错误；C、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以+＞0，故选项C正确；D、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以-＞0，故选项D错误．故选C．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数．4．C【解析】【分析】16【详解】164，4的算术平方根是2，162，故选C．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5．D【解析】【分析】根据有理数的除法可以解答本题．【详解】解：∵（﹣5）÷5=﹣1，∴等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为÷，故选D．【点睛】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．6．B【解析】【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．7．C【解析】【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2，然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°；借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．【详解】如图，对图形进行点标注.∵直线a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，∴∠ANM=55°，∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8．B【解析】【详解】∵a+b=3，∴（a+b）2=9∴a2+2ab+b2=9∵a2+b2=7∴7+2ab=9，7+2ab=9∴ab=1．故选B．考点：完全平方公式；整体代入．9．D【解析】试题解析：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；故选D．10．A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B 来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．11．D【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF AB=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出GF GDAE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ， ∴△ABF ∽△GDF ， ∴AF ABGF GD==2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=2．∵AD ∥BC ，DG=CG ， ∴AG DGGE CG==1， ∴AG=GE ∴AE=2AG=1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键． 12．D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误；④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

安平中学2017-2018年度第一学期第四次月考高一数学(理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 已知全集U ＝Z ，A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2＝x }，则A ∩(∁U B )为( ) A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}2. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．12 B ．23 C ．1 D ．23. 函数xx x f 2)(2-=的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4. 已知()22xxf x -=+，若()3f a =，则(2)f a 等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．115. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°6. 若()f x 是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，()1f x x =-，则(1)0f x -<的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0, 2)7. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 8. 下列说法正确的是( )A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 平行于α内的无数条直线9. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 310. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 211. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）12. 定义一种运算,,,,a ab a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩令()f x 2(32)||x x x t =+-⊗-（t 为常数），且[]3,3x ∈-，则使函数()f x 的最大值为3的t 的集合是（ ） A ．{}3,3-B ．{}1,5-C ．{}3,1-D ．{}3,1,3,5--二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 已知函数1()log (23)x a f x -=-恒过定点，则此定点为 ．14. 一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如右图所示)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于____cm 3.15. 如下图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．16. 若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意，恒有()()0=-+x f x f ; ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．46．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．128．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．211．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．2712．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＞a}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选：D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵、，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∵sinα＜sinβ且α，β均为锐角，∴0＜α＜β＜，∴﹣＜α﹣β＜0，又sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣＝﹣，∴α﹣β＝﹣．故选：C．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴或，k∈Z，∴a＝3，b＝或a＝﹣3，b＝，k∈Z．∵a∈R，b∈[0，2π]，∴当k＝﹣1时，b＝或k＝0时，b＝，满足条件，∴满足条件的有序实数对（a，b）为（3，）和（﹣3，），共2对．故选：B．6．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为零，S3，S9，S27成等比数列，可得S92＝S3S27，即有（9a1+36d）2＝（3a1+3d）（27a1+351d），化为d＝2a1，则＝＝＝9，故选：C．8．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．2【解答】解：根据三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）坐标，设圆心的坐标为P（a，﹣2），利用r2＝（1﹣a）2+（3+2）2＝（4﹣a）2+（2+2）2，解得a＝1，所以P（1，﹣2，）由于直线x+ay+2＝0经过定点Q（﹣2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，所以l ＝2，所以最小弦长为4．故选：B．11．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．27【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，∵A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E，∴M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下＝V P﹣AQC﹣V﹣V M﹣ABQ＝﹣＝23．故选：B．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝﹣4．【解答】解：∵，∴f（）＝＝﹣3∴．故答案为：﹣4．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．【解答】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴＝3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|＝＝，故答案为：．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）＝，f（x0）＝（x＞0），即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）＝（）（x﹣x0），则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）＝﹣（）＝＝＝当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝e，＝＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故，即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）＝＝，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．【解答】解：（1）由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C＝，故C＝60°．（2）由，＝，所以CE＝18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V＝×DE×S△PEF＝×2××2×2＝．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．由＞0．可得k，故k＝﹣，20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．。

河北省衡水市安平中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（每题5分，共60分）1.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）A. ()}2{3M =，，()2,3{ } N =B. }2{3M =，，}3{2N =， C. (){,|1}y M x x y =+=，1{|}N y x y =+= D. }2{1M =，，()2{}N =1， 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的定义，依次分析每个选项得到答案. 【详解】根据集合的定义，依次分析选项可得：对于选项A ：M 、N 都是点集，(2,3)与(3,2)是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故不符合； 对于选项B ：M 、N 都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于选项C ：M 是点集，表示直线1x y +=上所有的点，而N 是数集，表示函数1t x =+的值域，则M 、N 是不同的集合，故不符合；对于选项D ：M 是数集，表示1，2两个数，N 是点集，则M 、N 是不同的集合，故不符合； 故选：B ．【点睛】本题考查了集合的相等，仔细辨认元素是解题的关键. 2.已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()31f x x =-B. ()31f x x =+C. ()32f x x =+D.()34f x x =+【答案】A 【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-.3.定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A. [2a ，a ＋b ] B. [0，b －a ]C. [a ，b ]D. [－a ，a＋b ] 【答案】C 【解析】令x a t =＋，∵x R ∈，则()t R y f t ∈∴=，，∴函数()y f t =与()y f x =是同一个函数；∴()y f t =的值域为[],.a b 故选C.4.函数()f x 的图象如图，则该函数可能是（ ）A. ()221f x x x=-B. ()1f x x x=+C. ()331f x x x=-D.()1f x x x=-【答案】D 【解析】分析：由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项. 详解：由图象可知，函数是奇函数，排除A ；0x >时，()1f x x x=+的函数值是大于0的，故排除B ； C 、D 由函数的增长趋势判断，当2x =时， 331638x x -=， 132x x -=，由图观察可得，应选D .点睛：本题主要考查由函数图象确定解析式等知识，根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案.本题中A 、B 比较同意排除，在C 、D 中，根据增长的趋势进行进一步选择.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设α，β是方程22310x x ++=的两根，则14αβ+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 8B.18C. -8D. 18-【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到32a β+=-，代入计算得到答案. 【详解】由题意可知32a β+=-，得332321144844αβ+-⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题考查了指数运算，意在考查学生的计算能力. 6.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则下列关系正确的是( ) A. x y z >>B. z y x >>C. y x z >>D.z x y >>【答案】C 【解析】【详解】依题意，log 6,log 5,log 7aa a x y z ===，由于01a <<，函数log a y x=为减函数，故y x z >>.故选C. 7.若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a ≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A. (－∞，2] B. [2，＋∞) C. [－2，＋∞) D. (－∞，－2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=- (舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8.若方程0x m x m --=(0m >，1m ≠)有两个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. (1,)+∞B. ()0,1C. (0,)+∞D.(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】将方程的根转化为函数xy m =与y x m =+的图象有两个不同的交点，画出图像计算得到答案.【详解】方程0x m x m --=有两个不同的实数根 即函数xy m =与y x m =+的图象有两个不同的交点.显然，当1m >时，两图象有两个不同交点；当01m <<时，两图象只有1个交点， 故m 的取值范围是(1,)+∞. 故选：A【点睛】本题考查了方程的解，转化为函数图像的交点是解题的关键.9.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约（） A. 1.7万年 B. 2.3万年 C. 2.9万年D. 3.5万年 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题，可抽象出()150% 3.1%n-=，按对数运算求解. 【详解】设该生物生存的年代距今是第n 个5730年， 到今天需满足()150% 3.1%n-=， 解得：0.5log 3.1%5n =≈，5573028650⨯= 2.9≈万年.故选C.【点睛】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力. 10.函数()22()2f x log ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)1-+∞， B. ()0,1C. [11]-，D. [0]1，【答案】D 【解析】 【分析】令2()2g x ax x a =++，即()g x 的值域包含(0,)+∞，讨论0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】令2()2g x ax x a =++，因为函数()22()log 2f x ax x a =++的值域为R ，所以()g x 的值域包含(0,)+∞．①当0a =时，()2g x x =，值域(0,)R ⊇+∞，成立． ②当0a ≠时，要使()g x 的值域包含(0,)+∞，则2440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得01a <≤ 综上所述：[0,1]a ∈． 故选：D ．【点睛】本题考查了对数函数的值域问题，忽略掉0a =的情况是容易发生的错误.11.已知函数()ln(1)f x x =+()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ()1,+∞D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以函数为偶函数，当时，，为增函数，使得()(21)f x f x >-成立即，解得：，选A ．考点：1.偶函数；2.不等式．【方法点晴】本题主要考查的是函数，属于中档题．本题首先要确定函数的奇偶性，再利用复合函数的单调性确定函数在上的单调性，得出不等式，两边平方解出即可．同样当函数为奇函数的时候，也可以根据奇函数的单调性在对称区间上单调性相同，得出不等式． 12.若11lglg lg lg 2552x y yx++…，则（ ）A. x y ≥B. x y ≤C. 1xy ≥D. 1xy ≤【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形为lg lg lg lg 112552xyx y ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭判断为增函数，根据单调性性质计算得到答案. 【详解】∵11lglglg lg 2552x y yx+≥+，∴11lglglg lg 2525x y yx-≥-即lg lg lg lg 112552xyx y ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11lg lg lg lg 1112552yy f y γγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，且1()f x f y ⎛⎫≥⎪⎝⎭，∴1x y ≥，∴1xy ≥故选：C ．【点睛】本题考查了解不等式，构造函数lg lg 12()5xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解题的关键.二、填空题（每题5分，共20分） 13.函数y =R ，则a 的取值范围是________．【答案】1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】题目等价于2(12)10ax a x a +-++≥恒成立，讨论0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】函数y =的定义域为R ，等价为2(12)10ax a x a +-++≥恒成立若0a =，则不等式等价为1x ≥-，此时不满足条件．若0a ≠，要满足条件，则20(12)4(1)0a a a a >⎧⎨∆=--+≤⎩，即018a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩解得18a ≥， 故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0a =的情况是容易发生的错误. 14.若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】,12⎫⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性的性质可得1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001log 22(1)2aa a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤--⎩.∴12a ≤< ∴实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭．故答案为⎫⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.15.已知不等式222411()22x mx m x x -+++＞对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜m ＜5 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论． 【详解】不等式等价为22241122x xx mx m +-++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，即x 2+x ＜2x 2﹣mx+m+4恒成立， ∴x 2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0， 即m 2﹣2m ﹣15＜0， 解得﹣3＜m ＜5， 故答案为：﹣3＜m ＜5．【点睛】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．16.已知函数2()log x f x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n=____． 【答案】14【解析】 【分析】画出函数图像，判断01m n <<<，根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log 2f m m == 又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以14m n =. 故答案为：14【点睛】本题考查了函数的值域，画出函数图像可以直观简洁得到答案. 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17. 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞) 【解析】解：(1)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{12215m m m m -≥++≥--≤，解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{x|－2≤x ≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B ＝∅时，由(1)知m<2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{212m m m -≥+-≤-， 或211{15m m m -≥++>，解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． 18.计算下列各题： （1）22log 3321272log 2lg(3535)8-⨯++-； （2）2235(lg5)lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯．【答案】（1）19；（2）10 【解析】 【分析】（1）直接利用指数对数运算法则计算得到答案. （2）直接利用对数计算法则计算得到答案. 【详解】（1）22log 3321272log 8-⨯+ ()23323233log 2-=-⨯++99lg10=++19=．（2）2235(lg5)lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯222235lg5(lg5lg 2)lg 20log 5log 2log 3=+++⨯⨯lg5lg 2lg3lg5lg 208lg 2lg3lg5=++⨯⨯⨯ 2810=+=．【点睛】本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.19.已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =． （1）求(0)f 的值．（2）求()f x 的解析式． （3）已知z R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当2][2x ∈-，时，()()g x f x ax =-是单调函数．如果满足P 成立a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求C R A B ⋂（R 为全集）．【答案】（1）(0)2f =-；（2）2()2f x x x =+-；（3）C {|15}R A B a a ⋂=<…【解析】 【分析】（1）令1x =-，1y =带入化简得到答案. （2）令0y =，代入计算得到答案.（3）根据恒成立问题计算得到{|1}A a a =≥，根据单调性计算得到{|3,5}B a a a =≤-≥或，再计算C R A B ⋂得到答案.【详解】（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，∴(0)2f =-（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-∴2()2f x x x =+-（3）不等式()32f x x a +<+即2232x x x a +-+<+，21x x a -+<．由于当102x <<时，23114x x <-+<，又2213124x x x a ⎛⎫-+=-+< ⎪⎝⎭恒成立，故{|1}A a a =≥，22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--对称轴12a x -=， 又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a -≤-或122a -≥， ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或，C {|35}R B a a =-<< ∴C {|15}R A B a a ⋂=≤<．【点睛】本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力.20.已知指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠），()g x 为()f x 的反函数．（1）写出函数()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()log (23)log 1a a g x x --≤ 【答案】（1）()log (0a x g x a =>且1)a ≠；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用对数函数和对应的指数函数互为反函数得到答案.（2）化简得到log log (23)a a x x ≤-，讨论1a >和01a <<两种情况，计算得到答案.【详解】（1）因为指数函数()(0x f x a a =>且1)a ≠，所以()log (0a x g x a =>且1)a ≠．（2）由()log (23)log 1a a g x x --≤，得log log (23)a a x x ≤-当1a >时，因为函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，所以23,0,x x x ≤-⎧⎨>⎩解得102x <≤；当01a <<时，因函数log (0,)ay x =+∞上单调递减，所以23,230,x x x ≥-⎧⎨->⎩解得1223x ≤<． 综上所述，当1a >时，原不等式的解集为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；当01a <<时，原不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，忽略掉a 的取值范围是容易发生的错误.21.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞- 【解析】 【分析】（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案.（2）化简得到11()221x f x =++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离212x k x-<，求函数212()xg x x -=的最小值得到答案.【详解】（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，即102b a-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221x x xf x +-==+++，任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210xx++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递减.（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅， 令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.22.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-. （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域； （2）若函数()()2(2)g x f x k x =+-在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；（3）若关于x 的方程()20xf m -=有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）21()log (11)1xf x x x-=-<<+，()()22log 1(11)g x x x =--<<；（2）(,0][4,)-∞⋃+∞；（3）(,0)-∞【解析】 【分析】（1）根据奇偶性得到方程组2()()2log (1)f x g x x +=-和2()()2]og (1)f x g x x -+=+，计算得到答案.（2）化简得到()2(2)1f x x k x =-+-+，根据开口方向和对称轴计算得到答案.（3）化简得到()2122log 12x xx f -=+，设1212xxt -=+计算得到01t <<，得到2log 0t <，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=． 因为2()()2log (1)f x g x x +=-，①所以用-x 取代x 代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，即2()()2]og (1)f x g x x -+=+，②联立①②可得，2221()log (1)log (1)log (11)1xf x x x x x-=--+=-<<+， ()()2222log (1)log (1)log 1(11)g x x x x x =-++=--<<．（2）因为()()22log 1g x x=-，所以()2(2)1f x xk x =-+-+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上为单调函数，所以212k -≤-或212k -≥， 所以所求实数k 的取值范围为(,0][4,)-∞⋃+∞．（3）因为21()log 1x f x x -=+，所以()2122log 12x xx f -=+．设1212x xt -=+， 则12211212x x xt -==-+++．因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >， 所以021x <<，1122x <+<，111212x <<+，201112x<-+<+，即0t 1<<，则2log 0t <．因为关于x 的方程()20xf m -=有解，则m 0<，故m 的取值范围为(,0)-∞．【点睛】本题考查了函数的解析式，定义域，单调性，方程解的问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

安平中学2019--2020学年度上学期第四次月考高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.下面为函数x x x y cos sin +=的递增区间的是( )A.)23,2(ππ B ． )2,(ππ C.)25,23(ππD ．)3,2(ππ2.若函数f(x)＝x x 2＋a(a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.3＋1B. 3C.32D.3－1 3.设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P(|X －3|＝A.712 B.512 C.14 D.164.定义在R 上的可导函数)(x f ，已知)('x f e 的图象如图，)(x f y =的增区间是（ ）A 、(,1)-∞-B 、(,2)-∞C 、(0,1)D 、(1,2)5．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ）A 、5B 、25C 、35D 、06.设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝1()3i a g ，i ＝1，2，3，则a 的值为( )A 、1B 、913C 、1113D 、27137.设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019......C x C x C x C x ++++=（ ）A. iB. －i C. 1i -+ D.1i --8.设函数f(x)＝lnx ，g(x)＝ax ＋bx ，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x>1时，f(x)与g(x)的大小关系是( )A ．f(x)>g(x)B ．f(x)<g(x)C ．f(x)＝g(x)D ．f(x)与g(x)的大小关系不确定二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

河北省2019-2020中学高一上学期第四次月考数学试卷题及答案一选择题（每题4分）1、点P 从点()1,0出发，沿单位圆顺时针方向运动56π弧长到达Q 点，则Q 的坐标是（ ）A.1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2、函数()()sin 4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程是（ ） A. 0x = B. 4x π=- C. 4x π= D. 2x π=3、若将函数π3cos 2x 2y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A. π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭4、如果点P ()sin cos ,2cos θθθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5、如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A. |AB |=|EF |B. AB 与FH 共线C. BD 与EH 共线D. CD =FG6、函数()cos 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为（ ）A. ()23x k k Z =+∈B. ()13x k k Z =+∈C. ()16x k k Z =+∈D. ()13x k k Z =-∈7、函数1tan 733y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A. 5021π⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 021π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 042π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 30,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭8、已知3log 2a =， 0.12b =， sin789c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a << 9、设函数，则下列结论错误的是( ) A. 的一个周期为 B.的图像关于直线对称C.的一个零点为 D. 在上单调递增10、若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是 ( )A. B. C. D. 11、已知，则的值等于( )A. B. － C. D. ±12、函数lncos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ）A. 511+,k +1212k ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， k Z ∈ B. 52+,k +123k ππππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， k Z ∈ C. 2+,k +63k ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， k Z ∈ D. 5+,k +612k ππππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， k Z ∈ 13、设0ω>，函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A. 32B. 23C. 43D. 3414、将函数()cos2f x x =-的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ,则()g x 具有性质（ ）A. 图像关于直线2x π=对称 B. 在-44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数C. 最小正周期是2πD. 在-44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是偶函数15、函数的图象可由函数的图象（ ）A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位16、已知为非零不共线向量，向量与共线，则( ) A.B.C.D. 817、将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为( )A. B. C. D.18、已知，则的值为（ ）A. B. － C. D. － 19、下列命题中正确的个数是（ ）⑴若为单位向量，且//，b =1，则=； a ，则=0 ⑶若//a b =； ⑷若=k ，则必有)(0R k k ∈=； ⑸若R k ∈，则0=⋅kA ．0B ．1C ．2D ．320、函数()2sin f x x x x =-在区间[],ππ-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.21、函数()()cos f x A x ωϕ=+ (0,0,0)A ωπϕ>>-<<的部分图像如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图像，只需将函数()y f x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个的单位C. 向右平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度22、已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 （ ） A. B. C.D.23、知为锐角，且2，=1，则=（ ） A.B.C.D.24、在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（ ）A. B. C. D. 二填空题（每题4分）25、已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），,A B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，若22AB =，则()1f =__________． 26、已知ABC ∆中， D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接,AD E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=__________．27、已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， [],x a π∈-的值域为[]2,1-，则实数a 的取值范围为____． 28、若函数的图象两相邻对称轴之间的距离为3,则__________．三解答题（每题12分）29、已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l. （1）若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长l.（2）若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？（3）若α＝3π，R ＝2cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．30、函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式； (2)求的单调递增区间；(3)先将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，求在区间上的值域.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】B5、【答案】C6、【答案】C7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】A11、【答案】A12、【答案】D13、【答案】A14、【答案】B15、【答案】B16、【答案】B17、【答案】C18、【答案】A19、【答案】A20、【答案】C21、【答案】D 22、【答案】D 23、【答案】C 24、【答案】A 二、填空题 25、【答案】1226、【答案】12-27、【答案】,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦28、【答案】 三、解答题29、【答案】（1）103πcm （2）α＝2时，S 最大为25（3）233π2试题分析：（1）由弧长公式可求得弧长l.；（2）将扇形面积转化为关于半径R 的函数式，结合函数性质可求得面积的最值及对应的圆心角；（3）将扇形面积减去等腰三角形面积可得到弓形的面积试题解析：（1）α＝60°＝3π，l ＝10×3π＝103πcm.（2）由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12（20－2R ）R ＝10R －R 2＝－（R －5）2＋25.所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.（3）设弓形面积为S 弓．由题知l ＝23πcm.S弓＝S扇形－S三角形＝12×23π×2－12×22×sin3π＝（233π-）cm2.考点：扇形弧长与面积30、【答案】（1）；（2）；（3）试题分析：分析：(1)由最大值可得，由，可得，令，得，从而可得的解析式；(2)根据正弦函数的单调性，由，解不等式可得结果；(3)当时，，函数在区间上的值域为,进而可得结果.详解：(1)由图可知，正弦曲线的振幅为1，所以.，所以.令，得，所以.所以(2)由，知.所以函数的单调递增区间为.(3)由题意知.当时，，函数在区间上的值域为,所以函数在区间.点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象及最值，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.。