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dd05-春-07s-p03含绝对值的方程及不等式

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dd12-秋-07s-p03 找规律

dd12-秋-07s-p03 找规律
①② ③
【例8】右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 。请你按图中箭头所指方向(即 的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第 次出现时( 为正整数)，恰好数到的数是(用含 的代数式表示)。
【例9】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 ，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2012次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：
第一层：侧面个数 上面个数 ；
第二层：侧面个数 上面个数 ；
第三层：侧面个数 上面个数 ；
第四层：侧面个数 上面个数 ；
…………
根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：
①求第 层有多少个面被涂成了红色？
②求第 层有多少个面被涂成了红色？（用含 的式子表示）
【例5】假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：
……
那么请问第 个棋子是黑的还是白的？答：．
【例6】观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ，……．通过观察，用你所发现的规律确定 的个位数字是．
【例7】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.
③若第 层有 个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．
【例21】如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第 个“山”字中的棋子个数是．
【例22】电子跳蚤游戏盘是如图所示的 ， ．如果跳蚤开始时在 边的 处， ．跳蚤第一步从 跳到 边的 （第1次落点）处，且 ；第二步从 跳到 边的 （第2次落点）处，且 ；第三步从 跳到 边的 （第3次落点）处，且 …；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第 次落点为 （n为正整数），则点 与点 之间的距离为_________．

含有绝对值的不等式 第二课时 绝 对值不等式的解法【公开课教学PPT课件】

含有绝对值的不等式 第二课时 绝 对值不等式的解法【公开课教学PPT课件】
第二种类型：设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a
的解集是{ x | x a 或 x a }，它的几何意义就是数轴上到原点的
距离大于 a 的点的集合是两个开区间 (,a),(a,) 的并集。同 样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果 来解。
3、 ax b c 和 ax b c 型不等式的解法。
变式：（1）解不等式 3 2x 5 . (2) 解不等式 2x2 7 x 6 0 .
三、典例分析
例 2. 解不等式 x 1 x 2 5 .
变式：解不等式 x 1 2x 3 1 .
三、典例分析
例 3 已知不等式 x 2 - x 3 m ，
（1）若不等式有解； （2）若不等式解集为 R；
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型：设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a 的 解集是{x | a x a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距
离小于 a 的点的集合是开区间（－a，a）。如果给定的不等式符 合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
二、合作探究
五、课堂小结：
1.绝对值不等式的解法：分域讨论法、数形结 合法
六、课后作业：
课本第 9 页 A 组 5、B 组 1、2、3
四、当堂检测
3、解关于 x 的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
4、已知函数 f (x) 2x 1 2x a , g(x) x 3
（1）当a 2时，求不等式f (x) g(x)的解集;
（2）设a

1时，且当x


a 2
,
1 2
时，f
(x)

含有绝对值的一元一次不等式及其解法

含有绝对值的一元一次不等式及其解法
Sun wenjing
含绝对值的一元一次不等式及其解法
教师：李劲松
Tieling teachers’ college
含有绝对值的方程
︱x︱= a (a>0)
-a 0 a
X= a 或 -a
x
由此可见，此绝对值方程表示的是： 数轴上到0点的距离为a的点的集合。
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
sun wenjing
同学们再见！
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
解： 原不等式等价于： 解法2：原不等式可等价于： 含 有 -4<x-2<4 x-2>-4 绝 对 不等式两侧同时加上2得： x-2<4 值 -2<x<6 的 解得： x>-2 一 ∴原不等式的解集为： 元 x<6 ｛x︱ -2<x<6 ｝ 一 ∴原不等式的解集为： 次 不 ｛x︱ -2<x<6 ｝ 等 式 Sun wenjing Tieling teachers’ college
Sun wenjing
含有绝对值的不等式 小结：
︱x︱< a 的解集是：｛x︱-a<x<a｝ ︱x︱> a (a>0)的解集是： ｛x︱x< -a 或 x > a｝
含 有 绝 对 值 的 一 元 一 次 不 等 式
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
例1 ︱x－2︱< 4
课外练习 1.已知 A x 1 x 2
B x x a 1

含绝对值的不等式解法(总结归纳)

含绝对值的不等式解法(总结归纳)

含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|<a (a>0)的解集是{x|-a<x<a}；不等式|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。

把不等式|x|<a与|x|>a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|<c与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。

而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。

求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或或-4<x<1或。

原不等式解集为{x|-4<x<1}。

x2+3x-4<0 (x+)2< |x+|< -<x+< -4<x<1。

原不等式解集为{x|-4<x<1}。

[例题分析与解答]例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|<c(c>0)型。

∴-4<ax-2<4, 不等号各端加2，得-2<ax<6。

当a>0时，-<x<，当a<0时，->x>,当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

《含绝对值的不等式》课件

《含绝对值的不等式》课件
当含绝对值的不等式中出 现等号时，需要特殊讨论 等式的解集。
2 异常情况的处理
在解绝对值的不等式时， 可能遇到一些异常情况， 需要注意如何处理。
3 细节问题的注意
解绝对值的不等式时，需 要注意一些细节问题，以 确保求解的准确性。
练习题推荐
1 练习题1：求解|3x + 2| > 5
这个练习题可以帮助你巩固对含绝对值的不等式的解法的理解。
示例讲解
1
解法演示1：|2x - 3| < 4
通过分类讨论，我们可以解出该不等式
解法演示2：|3x + 5| ≥ 1
2
的解集。
同样通过分类讨论，可以求解得到该不
等式的解集。
3
解法演示3：|x - 2| ≤ |2x + 3|
这个示例中，我们将使用图像法来解决 含绝对值的不等式。
注意事项
1 等式的情况
图像法解绝对值不等式
我们可以将含绝对值的不等式转化为图像， 通过观察图像来求解。
常见类型
1 1. |ax + b| < c
这种类型是求解绝对值小 于某个常数的不等式，可 以通过分类讨论来解决。
2 2. |ax + b| > c
3 3. |ax + b| ≤ c
这种类型是求解绝对值大 于某个常数的不等式，也 可以通过分类讨论来解决。
2 练习题2：求解|2x - 1| ≤ 3
通过解决这个练习题，你可以进一步掌握对含绝对值的不等式的求解技巧。
3 练习题3：求解|5x + 1| = 6
这个练习题可以帮助你加深对含绝对值的等式的解法的理解和应用。
结束语
总结重点
通过本课件，你已经了解了含绝对值的不等式的概念、解法和常见类型。

含绝对值不等式的解法 ppt课件

含绝对值不等式的解法 ppt课件

x<1或x>3，

即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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误区警示
例 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1. ∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解． 【错因】 “|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错． 上述解法是无解的情况．
ppt课件
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29
【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用．
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
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30
变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
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6
(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．

含有绝对值的一元一次不等式及其解法

含有绝对值的一元一次不等式及其解法
Sun wenjing
含绝对值的一元一次不等式及其解法
教师：李劲松
Tieling teachers’ college
含有绝对值的一元一次不等式
含有绝对值的方程
︱x︱= a (a>0)
X= a 或 -a
-a 0 a
x
由此可见，此绝对值方程表示的是： 数轴上到0点的距离为a的点的集合。
Tieling teachers’ college
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 620.12. 1601:4 9:5601: 49:56D ecembe r 16, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月16 日星期 三上午 1时49 分56秒0 1:49:56 20.12.1 6
︱x︱< a 的解集是：｛x︱-a<x<a｝
︱x︱> a (a>0)的解集是： ｛x︱x< -a 或 x > a｝
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Sun wenjing
例1 ︱x－2︱< 4
含有绝对值的一元一次不等式
解： 原不等式等价于： 解法2：原不等式可等价于：
-4<xபைடு நூலகம்2<4 不等式两侧同时加上2得：
︱x︱> a (a>0)
由绝对值的几何意义可知，该不等式表示的是： 数轴上到0点的距离大于a的点的集合。
-a
0
a
x
所以满足该不等式的x取值集合为：
｛x︱x<-a 或 x>a｝
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含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

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(2)解法一：|x＋1|>|x－3|， 两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8，∴x>1. ∴原不等式的解集为{x|x>1}． 解法二：分段讨论 当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅； 当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，此时1<x≤3； 当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3. ∴原不等式解集为∅∪{x|1<x≤3}∪{x|x>3}＝ {x|x>1}．
x 1 快解：由题中两端形式联想到函数 f(x)＝ ＝1－ 1＋x 1＋x (x≥0)，不等式的左端＝f(|a|＋|b|)，右端＝f(|a＋b|)．f(x)在(－1， ＋∞)上单调递增，由|a|＋|b|≥|a＋b|≥0 知原不等式成立．
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5．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是______． 解析：|x2＋2x－1|≥2⇔ x2＋2x－1≤－2或x2＋2x－1≥2， 由x2＋2x－1≤－2得(x＋1)2≤0，故x＝－1； 由x2＋2x－1≥2得x≤－3或x≥1. 综上知，原不等式解集为{x|x≤－3或x＝－1或 x≥1}． • 答案：{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}
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考点陪练 1.设ab>0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|； ④|a＋b|>|a|－|b|. A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④ 解析：∵ab>0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋ |b|， • ∴①和④正确． • 答案：C
(2)因为|a|－|b|≤|a－b|， |a|－|b| 所以 ≤1，即 m≤1， |a－b| 又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， |a|＋|b| 所以 ≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. |a＋b|

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

2.4含绝对值的不等式班级 姓名 时间教学目标：1. 理解绝对值的几何意义2. 会简单的含有绝对值的不等式的解法，3. 明白含有绝对值的不等式的等价形式．教学重点：简单的含绝对值的不等式解法教学难点：含绝对值的不等式的等价形式预习案：1. 不等式的基本性质有哪些？2. | a |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＞0) (a ＝0) (a ＜0)合作探究1、结合数轴，理解|a |的几何意义．2、|x |＞a 与|x |＜a 的几何意义|x |＞a 的几何意义是到原点的距离大于a 的点，其解集是＿＿＿＿ |x |＜a 的几何意义是到原点的距离小于a 的点，其解集是＿＿＿＿ 问题1（1）解方程|x |=3，并说明|x |=3的几何意义是什么？（2）试叙述|x |＞3，|x |＜3的几何意义，你能写出其解集吗？3、 解下列不等式（1）|x |＜5； （2）|x |－3＞0； （3）3|x |＞12．4、 解不等式|2 x －3|≥55、含有绝对值的不等式的解法总结|a x ＋b |＜c (c ＞0) 的解法是：先化不等式组 -c ＜a x ＋b ＜c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． |a x ＋b |＞c （c ＞0）的解法是：先化不等式组a x ＋b ＞c 或a x ＋b ＜－c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．6、2312x x ->+ 1223x <-.当堂训练;解下列不等式（1）|x ＋5|≤7 ； （2）|5 x －3|＞2（3）3|x ＋2|≤6； （4）| x －3|+2＞2(5) 2325x <-<; (6) 3|1|1>-x课堂总结：（1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对值符号的不等式；(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的．课后反思：。

含绝对值的不等式解法PPT教学课件

含绝对值的不等式解法PPT教学课件
一、复习回顾
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，
| x | a a x a; | x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
证明： | a | a | a |
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
证明：a b 1 ab
1
ab 1 ab
2
1
a b 1. 1 ab
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
1 a2 1 b2 0.
由 a 1, b 1,可得 1 a 2 1 b2 0成立，所以
在设置情境上绞尽脑汁的原因。从教育现象学视角审视“情境教学”“情境学习”与“情境教育”，或许会更深入。
ab 1 ab
1.
注 这道题的证明过程中，用了
这一结论．
定理：| a | | b || a b || a | | b |
四. 练习：
2．求证：
(1)|(A＋B)－(
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号；
2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义；
如果我们能够从现象学的视角去思考与把握，那么任何一个平常的经验就可以转化为教学资源。试想，学生有了亲身经验，而且是当下或者最近的经验，他们会无话可说、无文可写吗？马克 斯·范梅南说：“从某种意义上说，所有现象学都是指向实践的——生活的实践。”②我以为，这个论断对杜威的“教育即生活”做了很好的诠释，同时也为我们正确地理解情境与教学提供了一种思
＝|x|＋2|y|＋3|z|．

绝对值方程和不等式 Microsoft Word 文档

绝对值方程和不等式 Microsoft Word 文档
含绝对值的方程或不等式
一、含绝对值的方程：
(一)解绝对值方程的思路是：去掉绝对值，把绝对值方程化为一般方程处理。常用的方法：
1、零点分段法
步骤：
（1）求出使绝对值内代数式值为零的方程的解。
（2）将所有解由小到大依次排好。
(3)将未知数分类讨论。
(4)解出每种情况的解。
(5)验根，得解。
2、平方法：
步骤：等式两边平方，去绝对值。
二、典型例题：
例1、解方程：｜2x+3｜=5
例2、解方程：
例3、解方程:|x+2|=|x-1|.
例4、解方程:|x+1|+|x+2|=4.
三绝对值定值探讨:
例5、若2a+｜4-5a｜+｜1-3a｜的值是一个定值，求a的取值范围。
四、绝对值最值探讨：
例6、求y=｜x-1｜-｜x+5｜的最大值与最小值
（3） ．
总结：当代数式中含有两个或多个绝对值时，常用零点分段法。
六、巩固练习：
1、解方程：｜x-5｜+2x=-5
2、解方程:｜x-2｜+｜x+1｜=6
3、解方程:｜x-2005｜+｜2005-x｜=2006
4、如果y=｜x+1｜-2｜x｜+｜x-2｜,且-1 x 2,求y的最大值和最小值。
5、不等式｜x-5｜-｜2x+3｜ 1
例7、已知x 2，求｜x-3｜-｜x+2｜的最大值与最小值。
五、绝对值不等式：
解绝对值不等式的思路同方程类似，关键是去掉绝对值。
例8、解下列不等式：
（1）｜ x︱＞5(2)| 3x︱＜2
(3)| 2x–1 |≤3

含有绝对值的 不等式

含有绝对值的 不等式

必做题： 必做题： 教材P50，练习 A 组第 2 题； 教材 ， 选做题： 选做题： 教材P50，练习 B 组第 1 题． ， 教材
想一想
a = 0或a < 0时上 或 时上 述结果还成立吗? 述结果还成立吗 {x|x < −a 或 x > a} 为什么 为什么?
-a
解下列不等式 ：
0
a
x
（1）|x| < 5； （2）|x|－3 > 0； （3）3|x| > 12． ） ； ） － ； ） ．
例1 解不等式 |2x−3|<5 ． −
问题 的几何意义， （2）试叙述 ＜3，|x|＞3的几何意义，你能 ）试叙述|x|＜ ， ＞ 的几何意义 写出其解集吗？ 写出其解集吗？
0 1 2 3 4 5 x －4 －3 －2 －1 的点的集合． 不等式|x|＜ 的解集 就是表示数轴上到原点的距离小于3的点的集合 不等式 ＜3的解集 就是表示数轴上到原点的距离小于 的点的集合． 即 {x|−3<x<3}=(−3，3)． − − ， ．
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
x
|－3|＝3 － ＝
|3|＝3 ＝
2. |x|＞a与|x|＜a的几何意义 ＞ 与 ＜ 的几何意义
问题 的几何意义是什么？ （1）解方程 ）解方程|x|=3，并说明 ，并说明|x|=3的几何意义是什么？ 的几何意－1
0
1
2
3
4
5
x
|x|=3的几何意义是：在数轴上对应实数3的点到原点 的几何意义是：在数轴上对应实数 的点到原点 的几何意义是 的距离等于3，这样的点有二个： 对应实数3和 的点 的距离等于 ，这样的点有二个： 对应实数 和−3的点．

绝对值三角不等式课件

绝对值三角不等式课件

答案 A
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 利用绝对值的三角不等式证明变量不 等式
【例 1】 已知|x|<1，|y|<1，求证： 1－|1x－2x1y－ | y2≤1.
[思维启迪] 本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为 普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.
证明 |x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0， |y|<1⇔1－y2>0， x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy ⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2 ⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2 ⇔ 1－x21－y2≤|1－xy| 由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即 1－xy≠0. 所以 1－|1x－2x1y|－y2≤1.
<|x2－1|＋|x1－0|. 而|x2－1|＋|x1|＝1－x2＋x1＝1－(x2－x1)<1－12＝12. 综上所述，对任意不同的 x1，x2∈[0,1]都有 |f(x2)－f(x1)|<12.
规律方法 对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性 质变形，是证明绝对值不等式的典型方法．
解析 (1)∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m， 又∵|(x－a)－(y－a) ≤|x－a|＋|y－a|， ∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立， 如取 x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5， 但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5， ∴|x－y|＜2m 不一定有|x－a|＜m 且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m 且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必 要条件．
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含绝对值的方程及不等式
例题讲解
例1、解方程2217x x -++=。

例2、若关于x 的方程21x a
--=有三个整数解，则a 的值是多少？
例3、已知方程1x ax =+有一负根，且无正根，求a 的取值范围。

例4、设25320
2
3
2
2
x y x y y +-
-
+
+=，求x y
+。

例5、解方程组
123
x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
例6、解方程组
22x y x y x y x ⎧-=+-⎪⎨
+=+⎪⎩
（1）
（2）
例7、解不等式5231x x --+<。

例8、解不等式333
x x
+-->。

课堂练习
1、求方程213
x x
-+=的不同的解的个数。

2、解下列方程：
（1）311
x x x
+--=+；
（2）113
x x
+-=。

3、解下列方程：
（1）3212
x x x
--+=+；
（2）3253
y x
-=--。

4、解方程组：
（1）
115
144
x y
x y
⎧++-=⎪
⎨
+=-
⎪⎩
（2）
1
2 x y
x y
⎧+=
⎪
⎨
+=⎪⎩
5、解下列不等式： （1）3513
4
x --
>；
（2）146x x ++-<。

6、解下列不等式： （1）55310x ≤-≤； （2）121x x --+>。

7、当a 取哪些值时，方程21x x a ++-=有解？
同步测试 1、当0,0a b ><，则使x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是（ ）
A 、b x a
≤≤ B 、x b
≥ C 、x a
≤
D 、任意有理数
2、方程231x x -+-=的解的个数有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个
3、适合关系式34326x x -++=的整数x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、大小2的自然数
4、方程19921992x x x +++++=的解的个数是（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
5、解方程：2121x x x -+-=+。

6、求关于x 的方程21(01)
x a a --=<<，所有解的和。

7、设n 个有理数，12,,,n x x x 满足1(1,2,,)i x i n <= 且123119n n x x x x x x ++++=+++ ，求n 的最小值。

8、设,a b 为有理数，且0a >，方程3
x a b --=有三个不相等的解，求b 的值。

9、已知21951x x y y ++-=---+，求x y
+的最大值与最小值。

10、若方程组111x x b
x a
⎧++-=⎪⎨
+=⎪⎩有解，求a b 与应满足的条件。

11、解方程组： （1）215,24(1);
x y x y ⎧-++=⎪⎨
-=+⎪⎩
（2）3,1;
y x x y x ⎧=+-⎪⎨
-=⎪⎩
（3）1,
23;x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
（4）1,23;
x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
（5）2,2.
x y x y x y x ⎧-=+-⎪⎨+=+⎪⎩
12、解下列不等式： （1）55310x ≤-≤； （2）121x x --+>；
（3）23229
x x --+<。

13、试求下面表达式的最大值：1232002x x x x ---- ，其中122002,,,x x x 是1到2002的不同的数。

14、已知有理数,,x y z 满足
()2
23673340x z x y y z --+--++-=。

求证：
31
31
31
0n n n x
y
z
x ++--=。

15、讨论关于x 的方程25x x a -+-=的解的情况。