主成分分析在S 中的实现以及理论介绍

主成分分析在SPSS中的实现和案例
主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，可以将多个相关变量转化为少数几个无关的主成分。

在SPSS中实现PCA的步骤如下：
1. 打开SPSS软件，并打开需要进行PCA分析的数据集。

2. 选择“分析”菜单下的“降维”选项，再选择“因子”。

3. 在弹出的窗口中，选择需要进行PCA分析的变量，添加至“因子”列表中。

4. 点击“提取”按钮，选择提取主成分的方式，可以选择保留的主成分个数或者保留的方差比例。

5. 点击“确定”按钮，返回因子分析结果窗口，可以查看提取的主成分特征根、方差贡献率以及旋转后的载荷矩阵等信息。

下面介绍一个PCA的案例：假设研究人员要对顾客满意度进行研究，数据集包括顾客的年龄、性别、消费金额、服务态度、产品质量等变量。

为了降低变量维度，可以进行PCA分析。

在SPSS 中进行该分析的步骤如上述操作。

结果表明，经过PCA分析，可以选择保留3个主成分，解释总方差达到了80%以上。

第一主成分代表消费水平，第二主成分代表服务品质，第三主成分代表年龄和性别。

这说明顾客的满意度受到这3个方面的影响较大。

总之，主成分分析在SPSS中的实现方法简单易行，可以有效地解决多变量相关性较强的问题，为研究提供更加深入的解释和认识。

一、主成分分析的思想主成分分析是数据处理中常用的降维方法。

我们需要处理的数据往往是高维数据，把它看成是由某个高维分布产生。

高维分布的不同维之间可能具有较强的相关性，这也就为数据降维提供了可能。

为了叙述清楚主成分分析的思想，我们通过二维数据进行叙述，即数据是由随机向量 (X_1,X_2) 产生，并假设X_1=X_2 。

通过该分布得到的样本点如图下所示：如果我们把每个数据点用 (x_1,x_2) 表示，那么，每个数据是二维的。

实际上，容易发现，我们只需要将坐标系进行旋转，旋转到红色坐标系位置，此时，每个数据点在新坐标系下的表示形式为为 (x_1^{'},0) ，由于每个数据点的第二维坐标都是 0 ，所以每个数据点只需要用一个数表示就行了，这样就把数据的维数从二维降到了一维。

接下来考虑不是完全线性关系，但是具有强相关性的情况，如下图所示：在这种情况下，我们不可能通过坐标系的平移与旋转，使所有点都落在一根轴上，即不可能精确地把数据用一维表示。

但是注意到 (X_1,X_2) 仍然有强相关性，我们仍然将坐标轴旋转到红色位置，可以看出，将数据在 x_1^{'} 上的投影近似代表原数据，几乎可以完全反映出原数据的分布。

直观看，如果要将数据投影到某根轴，并用投影来表示原数据，将数据压缩成一维，那么投影到 x_1^{'} 是最好的选择。

因为投影到这跟轴，相比于投影到其他轴，对原数据保留的信息量最多，损失最小。

如何衡量保留的信息量呢？在主成分分析中，我们用数据在该轴的投影的方差大小来衡量，即投影后方差越大（即投影点越分散），我们认为投影到该轴信息保留量最多。

从这种观点看，投影到 x_1^{'} 确实是最好的选择，因为投影到这根轴，可使得投影点最分散。

我们将数据的中心平移到原点（即新坐标轴的原点在数据的中心位置），为了消除单位的影响，我们将数据的方差归一化。

进一步考虑如下数据分布：根据上述，如果要将数据压缩为一维的，那么应该选择 F_1 轴进行投影，如果用该投影表示原数据的损失过大，我们可以再选择第二根轴进行投影，第二根轴应该与 F_1 垂直（保证在两根轴上的投影是不相关的）并且使得数据在该轴上投影方差最大，即图中的 F_2 轴（如果是二维情况，第一根轴确定后，第二根轴就确定了。

spss主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量分析方法，被广泛应用于数据降维和特征提取等领域。

本文将介绍主成分分析的基本原理、步骤及应用，并对其优缺点进行探讨。

首先，我们来了解一下主成分分析的基本原理。

主成分分析是通过线性变换将原始变量转化为一组无关的新变量，这些新变量被称为主成分。

通过选择主成分，可以尽量保留原始数据的大部分方差信息。

主成分分析的目标是使得新变量之间相关性最小，即第一主成分包含的方差最大，在此基础上，第二主成分包含的方差次之，以此类推。

主成分分析的步骤如下：1. 数据标准化：首先对原始数据做标准化处理，将各个变量的均值调整为0，方差调整为1。

这是因为原始数据可能存在量纲不同或者变量之间的尺度差异，标准化可以消除这些差异，使得各个变量的影响程度一致。

2. 计算协方差矩阵：将标准化后的数据计算协方差矩阵。

协方差矩阵描述了不同变量之间的线性关系，可以反映出变量之间的相关性。

3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征值和对应的特征向量。

特征值表示了每个主成分包含的方差大小，而特征向量则是主成分的方向。

4. 选择主成分：按照特征值的大小，选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。

这些主成分将原始数据映射到一个新的空间中。

5. 数据转换：将原始数据通过特征向量的变换，转化为新的主成分变量。

主成分分析在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在社会科学研究中，可以利用主成分分析对众多观测指标进行降维处理，从而提取出反映整体相关性的综合指标；在生物信息学中，可以利用主成分分析对基因表达数据进行降维，发现与特定生物过程相关的基因集合；在金融领域，可以利用主成分分析对不同股票的价格波动进行分析，提取出影响股票市场最主要的因素。

尽管主成分分析在实际应用中有许多优点，例如可以提供数据集的简化和特征提取等功能，但也存在一些缺点。

主成分分析和因子分析的区别一、二者在SPSS中的实现（一）、因子分析在SPSS中的实现进行因子分析主要步骤如下：1. 指标数据标准化（SPSS软件自动执行）；2. 指标之间的相关性判定；3. 确定因子个数；4. 综合得分表达式；5. 各因子Fi命名；例子：对沿海10个省市经济综合指标进行因子分析（一）指标选取原则本文所选取的数据来自《中国统计年鉴2003》中2002年的统计数据,在沿海10省市经济状况主要指标体系中选取了10个指标：X1——GDP X2——人均GDPX3——农业增加值X4——工业增加值X5——第三产业增加值X6——固定资产投资X7——基本建设投资X8——国内生产总值占全国比重（%）X9——海关出口总额X10——地方财政收入图1：沿海10个省市经济数据（二）因子分析在SPSS中的具体操作步骤运用SPSS统计分析软件Factor过程[2]对沿海10个省市经济综合指标进行因子分析。

具体操作步骤如下：1. Analyzeà Data Reductionà Factor Analysis，弹出Factor Analysis对话框2. 把X1～X10选入Variables框3. Descriptives: Correlation Matrix框组中选中Coefficients等选项，然后点击Continue，返回Factor Analysis对话框4. 点击“OK”图2：Factor Analyze对话框与Descriptives子对话框SPSS在调用Factor Analyze过程进行分析时，SPSS会自动对原始数据进行标准化处理，所以在得到计算结果后指的变量都是指经过标准化处理后的变量，但SPSS不会直接给出标准化后的数据，如需要得到标准化数据，则需调用Descriptives过程进行计算。

我们可以通过Analyze-Descriptive Statistics- Descriptives对话框来实现：弹出Descriptives对话框后，把X1～X10选入Variables框，在Save standardized values as variables前的方框打上钩，点击“OK”，经标准化的数据会自动填入数据窗口中，并以Z开头命名。

主成分分析的理论和应用主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，它通过线性变换将原始数据转化为一组新的互相无关的变量，称为主成分。

主成分分析在统计学、机器学习、模式识别等领域被广泛应用。

一、主成分分析的理论基础主成分分析的理论基础可以追溯到线性代数和统计学的相关理论。

其核心思想是通过对原始数据的协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征向量，这些特征向量即为主成分。

主成分的选择是按照特征值的大小排序的，特征值越大，对应的主成分所解释的方差越大，因此选择前几个主成分即可解释大部分的方差。

二、主成分分析的应用1. 数据降维主成分分析可以将高维数据降低到低维空间，减少数据的维度。

这在处理大规模数据时尤为重要，可以提高计算效率，并且降低存储空间的需求。

例如，在图像处理中，可以将图像的像素点作为原始数据，利用主成分分析将其降维到较低的维度，从而实现图像的压缩和存储。

2. 数据可视化主成分分析可以将原始数据转化为一组新的主成分，这些主成分是互相无关的。

因此，可以选择其中的几个主成分来表示数据，实现数据的可视化。

通过将高维数据映射到二维或三维空间中，可以更直观地观察数据的分布和结构。

例如，在生物学研究中，可以利用主成分分析将基因表达数据降维到二维空间，从而观察不同样本之间的相似性和差异性。

3. 特征提取主成分分析可以通过选择前几个主成分来提取数据的重要特征。

这些主成分对应的特征向量可以解释原始数据中的大部分方差，因此可以用来表示数据的重要特征。

例如，在语音识别中，可以利用主成分分析提取语音信号的主要频谱特征，从而实现对语音的识别和分类。

4. 噪声去除主成分分析可以通过去除方差较小的主成分来降低数据中的噪声。

由于噪声通常对应的特征值较小，因此可以通过选择特征值较大的主成分来去除噪声。

例如，在信号处理中，可以利用主成分分析对信号进行降噪处理，提高信号的质量和准确性。

主成分分析报告1. 简介主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维技术，用于将高维数据集映射到低维子空间。

主成分分析主要通过计算数据集中的主成分，来捕捉数据中的主要变化方向和模式。

本报告将介绍主成分分析的原理、应用、算法实现以及使用注意事项。

2. 主成分分析原理主成分分析旨在将高维数据投影到低维空间，并保留尽可能多的有用信息。

其基本思想是通过线性变换，将原始数据映射到新的坐标系中，其中新坐标系的轴是原始数据的主成分方向。

主成分分析的步骤如下：1.计算原始数据的协方差矩阵；2.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值；3.选择最大的k个特征值对应的特征向量，构成变换矩阵；4.将原始数据通过变换矩阵进行映射，得到降维后的数据。

3. 主成分分析的应用主成分分析在数据处理和分析中有很多应用，其中包括：1.数据降维：主成分分析可以将高维数据集投影到低维空间，从而减少数据的维度。

这对于处理大规模数据、可视化和提高计算效率都非常有用。

2.数据可视化：通过将高维数据映射到二维或三维空间，可以更直观地展示数据的结构和模式。

3.噪声过滤：主成分分析可以过滤掉数据中的噪声，保留主要的信号。

4.特征提取：通过提取数据的主成分，可以捕捉到数据的主要变化模式，便于后续分析。

4. 主成分分析算法实现以下是使用Python进行主成分分析的示例代码：import numpy as npfrom sklearn.decomposition import PCA# 创建一个样本矩阵X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])# 创建PCA对象并指定主成分的数量pca = PCA(n_components=2)# 执行主成分分析X_pca = pca.fit_transform(X)# 输出降维后的数据print(X_pca)在上述代码中，首先创建了一个样本矩阵X，然后创建了一个PCA对象，并指定要保留的主成分数量为2。

主成分分析的理论和应用 1主成分分析及主成分回归的基本思想主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。

由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性。

人们自然希望通过线性组合的方式，从这些指标中尽可能快的提取信息。

当第一个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二个线性组合继续这个快速提取过程，直到所提取的信息与原指标相差不多时为止。

主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。

很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。

主成分回归是在主成分分析法的基础上，由1m +个自变量选出前q 个主成分，他们是互不相关的；在保持因变量不变，用这q 个主成分作为自变量作回归；最后把所得的结果作变量代换，转化成原来因变量与自变量的关系。

2数学模型与几何解释主成分分析的数学模型是，设p 个变量构成p 维随机向量为12,,...,p X X X 。

对X 作正交变换，令T Y T X =，其中T 为正交阵，要求Y 的各分量是不相关的，并且Y 的第一个方差是最大的，第二个分量的方差次之，……。

为了保持信息不丢失，Y 的各分量方差与X 的各分量方差和相等。

其数学推导为：设()12,,,Tp XX X X =为一个p 维随机向量，并假定存在二阶矩，其均值向量与协方差分别记为(),()E X D X μ=∑=考虑如下的线性变换11112121...p p Y t X t X t X =+++ 21212222...p p Y t X t X t X =+++ ……1122...p p p pp p Y t X t X t X =+++ 用矩阵表示为T Y T X =其中，()12,,,T P Y Y Y Y =；()12,,,P T T T T =。

满足如下条件：每个主成分的系数平方和为1。

即||||1i T =。

第十二章 主成分分析主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。

主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。

转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。

Stata 对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。

p j ni b a y ij j i ij ,,2,1,,2,1,'主成分的模型表达式为：其中，a 称为得分，b 称为载荷。

主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。

Stata 中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO 值对主成分分析的恰当性进行分析。

负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。

非对角线元素则为负的偏相关系数。

如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。

因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。

这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。

Kaiser-Meyer-Olkin 抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。

KMO 介于0于1之间。

KMO 越高，表明变量的共性越强。

如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO 比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。

根据Kaiser （1974），一般的判断标准如下：不能接受（unacceptable ）;非常差（miserable ）；，勉强接受（mediocre ）；可以接受（middling ）；，比较好（meritorious ）；非常好（marvelous ）。

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。

（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。

设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。

对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X pZ 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p…… …… ……Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。

第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。

第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。

其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。

如何在SPSS数据分析报告中进行主成分分析？关键信息项1、数据准备要求2、主成分分析步骤3、结果解读方法4、报告撰写要点1、数据准备要求11 数据质量检查确保数据的完整性，不存在缺失值。

若有缺失值，需采取适当的方法进行处理，如均值插补、回归插补等。

检查数据的准确性，避免错误的数据录入。

评估数据的分布特征，判断是否符合正态分布。

若不符合，可能需要进行数据转换。

12 变量选择选择具有相关性且能反映研究问题的变量。

避免包含过多无关或冗余的变量，以免增加分析的复杂性。

13 数据标准化对数据进行标准化处理，使不同变量具有相同的量纲和可比性。

2、主成分分析步骤21 打开 SPSS 软件并导入数据启动 SPSS 程序，通过“文件”菜单中的“打开”选项导入准备好的数据文件。

22 选择主成分分析方法在“分析”菜单中，选择“降维”子菜单中的“因子分析”。

23 设置分析参数将需要分析的变量选入“变量”框。

选择提取主成分的方法，如基于特征值大于 1 或指定提取的主成分个数。

24 输出结果选项设置根据需求选择输出相关的统计量和图表，如成分矩阵、碎石图等。

25 执行分析点击“确定”按钮，执行主成分分析。

3、结果解读方法31 成分矩阵解读观察成分矩阵中各变量在主成分上的载荷值，判断变量与主成分的相关性。

载荷值的绝对值越大，表明变量与主成分的相关性越强。

32 特征值和方差贡献率关注特征值，通常选择特征值大于 1 的主成分。

方差贡献率表示主成分解释原始变量变异的比例，累计方差贡献率反映了所选主成分对原始变量信息的综合解释程度。

33 碎石图分析通过碎石图直观判断主成分的重要性和提取的合理性。

34 成分得分计算如有需要，可计算成分得分，用于后续的进一步分析或建模。

4、报告撰写要点41 研究背景和目的阐述简要介绍研究的背景、问题以及进行主成分分析的目的。

42 数据来源和预处理说明描述数据的来源、样本量以及所进行的数据预处理步骤和方法。

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正是这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合6210x 较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

一、主成分分析基本原理欧阳引擎（2021.01.01）概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。

从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。

变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。

原理：假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵，记原变量指标为x1，x2，…，xp，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z1，z2，z3，… ，zm(m≤p)，则系数lij的确定原则：①zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关；②z1是x1，x2，…，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，…，xP的所有线性组合中方差最大者；zm是与z1，z2，……，zm－1都不相关的x1，x2，…xP，的所有线性组合中方差最大者。

新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。

从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ，…，p）在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载 lij（ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。

从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。

二、主成分分析的计算步骤1、计算相关系数矩阵rij（i，j=1，2，…，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rji，其计算公式为2、计算特征值与特征向量解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列；分别求出对应于特征值的特征向量，要求 =1，即其中表示向量的第j个分量。

3、计算主成分贡献率及累计贡献率贡献率：累计贡献率：一般取累计贡献率达85%-95%的特征值，所对应的第1、第2、…、第m（m≤p）个主成分。