2010年高考数学必备――易错点精析终极大盘

2010年高考数学知识点总结第一篇：2010年高考数学知识点总结2010年高考数学知识点总结1.平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.2.集合、简易逻辑考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.3.函数考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.4.不等式不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.5.三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+)的简图，理解A,ω, 的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.6.数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.7.直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程.考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.8.圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.9(A).①直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.9(B).直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积.直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影.平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理.(3)理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.(4)了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.(5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.(6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.(8)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(11)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.(考生可在9(A)和9(B)中任选其一)10.排列、组合、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.11.概率考试内容：随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验.考试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.12.统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.考试要求：(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.(2)会用样本频率分布估计总体分布.(3)会用样本估计总体期望值和方差.13.导数考试内容：导数的背景.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(4)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.第二篇：2021年高考数学知识点归纳总结2021年高考数学知识点归纳总结你知道吗?高中数学在学习的过程中，有很多知识点常考点。

2010年高考数学易错专题点睛：平面解析几何【原题】设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值X 围，若不存在说明理由。

【错误分析】：“OA ⊥OB ⇔x 1x 2+y 1y 2=0”(其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2))是我们经常用到的一个结论.【答案】（1）22184x y +=（2）2283x y +=，||AB ∈ 【解析】（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++ 42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++, ①当0k ≠时22321||[1]1344AB k k =+++因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++,所以2232321[1]1213344k k<+≤++,所以46||233AB ≤当且仅当22k =±时取”=”.② 当0k =时,46||3AB =. ③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±,所以此时46||3AB =, 综上,|AB |的取值X 围为46||233AB ≤≤即:4||[6,23]3AB ∈ .【易错点点睛】本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【原题】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.【错误分析】：.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法 【答案】x 2+y 2=56【解析】设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 【易错点点睛】对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.【原题】直线L ：)5(-=x k y 与圆O ：1622=+y x 相交于A 、B 两点，当k 变动时，弦AB 的中点M 的轨迹方程.【原题】双曲线x 29 - y 216 =1上有一点P 到左准线的距离为165,则P 到右焦点的距离为。

<∆∆0=>∆0关于直线对称。

x y =⑦证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

<-20n a b使得取最大值使得取最小值。

，=，=)ααcos -)2(α-ctg αtg =-)3(απtg tg -、三角函数的图象：的最大值是B x ++)sin(ϕω），（其中00>>ωA A +，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴ωπ2πω2=f ϕω+x ϕ，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心)(2Z k ∈+πB y =）。

k π=三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是⎤⎡+-22ππππk k ，)(Z k ∈⎡2πk1.平面向量知识结构表2.向量的概念①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：a+b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a-b =(x 1-x 2,y 1-y 2)。

其中a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2)。

运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a 。

②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)(1)︱︱=︱︱·︱︱;λa λa λa+λb。

=,OA a )=λ（·），（b a b 2121y y x x +分有向线段AB 所成的比为+=+=222121y y x x ，但不一定有斜率。

（斜率=tgα，α=90 时，无斜率），这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为求此弦所在直线的方程。

该题就要注意，不要漏掉准线方程：，1ex 1122)(ex a x ca e PF -=-=通径，过焦点与长轴垂直的直线与椭圆相交所得弦，其长为22b a中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、1PF轨迹是双曲线。

12222=-b y )0,0(>>b a 122=)0,0(>>b a ； y∈R； 实轴长，虚轴长=2b}a x a x x ≤≥、2c 准线方程：ca x 2±=）图中线段的几何特征：=1AF BF 22.图形：性质：方程：（焦点到准线的距离）；、、、-->=p p px y ),0(,22(p）的焦点F 的弦为AB +p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用。

2010届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（四）三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-） （2）α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Z k k ∈+,32ππ）(3) 各种角的集合表示判断一个角的终边在哪个象限？是第几象限角？是解决后面一系列问题的基础。

那么我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角α化成2,k k απθ=+∈Z ，[)0,2θπ∈或者是化成)360,,0,360k k Z αθθ⎡=⋅+∈∈⎣，这样只要判定θ是第几象限角就可以了。

如： 291033πππ-=-+，因为3π是第一象限角，所以293π-的终边也在第一象限； 790236070=⨯+ ，因为70 是第一象限角，所以790 的终边也在第一象限。

4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ .如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y｜y=x2 ,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2 ,x∈R},N={(x,y)｜y=x2+1,x∈R}求M∩N的区别。

3．集合 A、B，时，你是否注意到“极端”情况：或；求集合的子集时是否忘记. 例如：对一切恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？4．对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足条件的集合M共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6．两集合之间的关系。

7．(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p、q形式的复合命题的真值表:p q P且q P或q真真真真真假假真假真假真假假假假9、命题的四种形式及其相互关系互逆互互互为互否逆逆否否否否否否互逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11、函数的几个重要性质：①如果函数对于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称.③若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数．④若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数．⑤函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=的定义域是；复合函数的定义域弄清了吗？函数的定义域是[0,1],求的定义域. 函数的定义域是[],求函数的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

2010年高考数学冲刺复习——归纳总结高考题型解题策略（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用―五点法‖画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的―双重身份‖，即可以象数一样满足―运算性质‖进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以―角‖为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在―角‖之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题. 6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ） A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式⎩⎪⎨⎪⎧x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【解析2】 由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin2B ＋cos C －3B 2的最大值.【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，则A ＝π3. （Ⅱ）y ＝2sin2B ＋cos C －3B2＝2sin2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，ymax ＝2.【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 故→a ·→b ＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π2，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π4，π）．由t anα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到―弦化切‖的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现―切函数与弦函数‖关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35.(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的―数量关系‖，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ， 由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的―数量关系‖，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值． （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】 （Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12，∴－cos2A 2＋sin2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos 2π3＝b2＋c2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.【专题训练】 一、选择题1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（ ） A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →＜0，则△ABC 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．已知→a ＝(sinθ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sinπ12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52B ．32C ．－52D ．－327．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是（ ） A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3 9．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为（ ） A ． 2B ．1C ．22D ．1211．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来表示它的方向，称α,β为非零向量→a 的方向角，称cos α,cos β为向量→a 的方向余弦，则cos2α＋cos2β＝（ ） A ．1 B ．32 C ．12D ．0二、填空题13．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．14．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA ＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→O B ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.15．将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a ＝____________.16．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m·→n ＝－1.则向量→n ＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R).（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．18．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin2B ＋sin(2B ＋6)取最大值时，求角B 的大小.22．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2（x ＋π2）－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝a →·b→|a →|·|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ．6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sinπ12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52. 7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单位，所以m ＝π3，故选B. 8．C 【解析】|P1P2→|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a ＋→b )·(→a －→b )＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )．10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22.11．C 【解析】设BC 的中点为D ，则→AB ＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心．12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量知识得cos α＝→i ·→a|→i |·|→a |＝x x2＋y2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝yx2＋y2，则cos2α＋cos2β＝1.二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝2tan θtan2θ＋1＝－8349．14．532 【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532． 15．（π6，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单位，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单位．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1) (k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m ·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m|·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1 ∴即→n ＝(－1，0)或→n ＝(0，－1) ．三、解答题17．【解】（Ⅰ）∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ，又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ，∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b2＋c2－a22bc ＝c22，∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12，由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f(x)有最大值32．当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin2A －1－cosA ＝0，即2cos2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA ＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3.(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32，∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32，∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32． 20．【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. （Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得 sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716.而2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2αcosα＋2sinαcos2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716．21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3.(Ⅱ)y ＝2sin2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos2x ＋sinxcosx ＋sin2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3，∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x －sin2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． 2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7．熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f'(x)的图象有密切的关系：1．导函数f'(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（1）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数f'(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f'(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f'(x)的图象可能是（）【分析】根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x 轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f'(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】设f'(x)是函数f(x)的导函数，y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）【分析】先观察所给出的导函数y＝f'(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f'(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由y＝f'(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f'(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f'(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为―正增、负减‖，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f'(x)＞0(f'(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f'(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f'(x0)≥0(≤0)，且f'(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数f '(x)，由于含有参数a ，根据判别式确定对a 的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a 的不等式组，由此可确定a 的范围.【解】 (Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，求导得f '(x)＝3x2＋2ax ＋1， 当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f '(x)≥0，f(x)在R 上递增， 当a2＞3，f '(x)＝求得两根为x ＝－a±a2－33，则函数f(x)在区间(－∞，－a －a2－33)上递增，在区间(－a －a2－33，－a ＋a2－33)上递减，在区间(－a －a2－33，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得⎩⎪⎨⎪⎧ －a －a2－33≤－23－a ＋a2－33≥－13，且a2＞3，解得a≥2.【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a ，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式⎩⎨⎧ f '(－23)≤0f '(－13)≤0来求解.题型三 求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】 (08·四川)设x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx ＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值；(Ⅱ)略. 【分析】 先求导函数f '(x)，然后由x ＝1和x ＝2是f '(x)＝0的两个根建立关于a 、b 的方程组求解. 【解】 因为f '(x)＝5x4＋3ax2＋b ，由x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx ＋1的两个极值点，所以f '(1)＝0，且f '(2)＝0， 即⎩⎨⎧ 5×14＋3a×12＋b ＝05×24＋3a×22＋b ＝0，解得a ＝253，b ＝20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a 和b 的值.【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x)＝kx ＋1x2＋c (c ＞0，且c≠1，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．【分析】 先求导函数f '(x)，然后令f '(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k 与c 进行分类讨论进行解答.【解】 (Ⅰ)f '(x)＝k(x2＋c)－2x(kx ＋1)(x2＋c)2＝－kx2－2x ＋ck(x2＋c)2，由题意知f '(－c)＝0，即得c2k －2c －ck ＝0，即c ＝1＋2k（*）∵c≠0，∴k≠0．由f '(0)＝0，得－kx2－2x ＋ck ＝0， 由韦达定理知另一个极值点为x ＝1．(Ⅱ)由（*）式得c ＝1＋2k，当c ＞1时，k ＞0；当0＜c ＜1时，k ＜－2．(ⅰ)当k ＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c ，1)内是增函数． f(1)＝k ＋1c ＋1＝k 2＞0，m ＝f(－c)＝－kc ＋1c2＋c ＝－k22(k ＋2)＜0，由M －m ＝k 2＋k22(k ＋2)≥1及k ＞0，解得k≥ 2.(ⅱ)当k ＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c ，1)内是减函数． ∴M ＝f(1)＝－k22(k ＋2)＞0，m ＝k ＋1c ＋1＝k 2＜0，而M －m ＝－k22(k ＋2)－k2＝1－(k ＋1)2＋1k ＋2≥1恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四 求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a ，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】 (08浙江高考)已知a 是实数，函数f(x)＝x2(x －a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值. 【分析】 首先求函数f '(x)，再解方程f '(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】 (Ⅱ)f '(x)＝3x2－2ax ．令f '(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3．当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a ．。

2010届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（五）平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||A B A B ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b = 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABC D 是平行四边形。

（4）若ABC D 是平行四边形，则AB DC = 。

（5）若,a bb c == ，则a c = 。

（6）若/,/a bb c ，则//a c。

其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

高考数学总复习易错易混知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2010年高考数学易错点专题点睛：函数与导数【原题21】不等式 ).23(log )423(log 2)2(2)2(22+->--++x x x x x x【错误分析】：,122>+x Θ,2342322+->--∴x x x x.223,0622-<>∴>-+∴x x x x 或当2=x 时，真数0232=+-x x 且2=x 在所求的范围内（因 232>），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性.【答案】：2 2.x x ><-或【解析】：122>+x Θ ⎪⎩⎪⎨⎧+->-->+->--∴2342302304232222x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<><>-<+>∴2231231313131x x x x x x 或或或.22-<>∴x x 或 【易错点点睛】1.o 要注意x 的取值范围（保证对数有意义）；2.o 解题思路是将对数方程转化为二次方程，再利用二次方程根的分布求解。

【原题22】在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v （单位：km /h ）的平方和车身长l （单位：m ）的乘积与车距d 成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l （单位：m ）且当车速为50（km /h ）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q 最大？(车流量=车身长车距车速+) 【错误分析】：l kv d 2=，将50=v ，l d =代入得25001=k ，∴l v d 225001=，又将l d 21=代入得225=v ，由题意得l v d 225001=（225≥v ）将Q=ld v +1000=)25001(10002v l v+（225≥v ）∵l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+∴当且仅当50=v 时，lQ 25000max = 综上所知，50=v （km /h ）时，车流量Q 取得最大值.【答案】：50=v【解析】：（1）依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=)225(21)225(250012v l v l v d 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>+=+=)225(231000)225()25001(100010002v l v v v l v l d v Q 显然当225≤v 时，Q 是关于v 的增函数，∴当225=v 时，ll v Q 3250000231000max = 当225>v 时，Q=l d v +1000=l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+ 当且仅当50=v 时，上式等号成立.综上所述，当且仅当50=v 时，车流量Q 取得最大值.【易错点点睛】在行驶过程中车速有可能低于252（km /h ），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.【原题23】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .【错误分析】： 根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.【答案】：见解析【解析】：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->. 为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=.∵ 0x >时，()01f x <<，∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-. 又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >.∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦.∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=. 由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -=与圆面221x y +<无公共点.所以，1≥.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【易错点点睛】有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决【原题24】已知2)2cos 1(x y +=,则='y .【错误分析】：)2cos 1(2sin 2x x y +-='.【答案】：)2cos 1(2sin 4x x y +-='【解析】：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.【易错点点睛】复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了.【原题25】已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 【错误分析】：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f xx x Θ。

高考数学易错易混易忘题知识分类汇总及全面解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。

解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ= 求r 的取值范围。

第一章 集合、简易逻辑、充要条件研究集合要搞清集合的代表元素是数集（常涉及函数的定义域、值域、方程的解、不等式的解集）、点集（常涉及函数的图像、直线与圆锥曲线位置关系）；注意集合的互异性、空集的讨论；遇到集合问题应化到最简形式，再进行运算；集合多与函数、方程、不等式、解析几何、数列联系，常用的数学思想有：①数形结合（数轴、函数的图象、解几知识、文氏图） ②分类讨论（空集、参数） ③函数方程思想。

复合命题的真值表：p 或q （p ∨q ）是有一真则真，与集合的并集联系；p 且q （p ∧q ）是有一假则假，与集合的交集联系；非P(┓P) 与p 的真假相反，是命题的否定形式，与集合的补集联系，注意它只否定结论，而否命题是既否定条件又否定结论。

原命题（若p 则q )⇔逆否命题（若┓q 则┓p ），因此判断命题的真假经常通过它的等价命题来判断。

注意原命题为真，其逆命题、否命题都不一定为真。

判断充要条件时要分清条件与结论，注意将命题进行等价变形（如用其逆否命题），同时应注意与集合联系：若A ⊆B 时，则A 是B 的充分条件，若A B 时，A 是B 的充分不必要条件，若A ＝B 时，A 是B 的充要条件。

一、选择题1、含有三个实数的集合可表示为{}{}的值为，则，，也可表示为，，2005200520,1b a b a a a ab ++（ ）A 、0B 、1C 、－1D 、 12、已知集合{}的真子集个数为，3|1| 0 |N x x x A ∈-= A 、7 B 、8 C 、15 D 、16 ( )3、已知集合=⋂∈+-==∈+-==Q P R x x y y Q R x x y y P 则｝，，， ,2|{ } 2|{2（ ）A 、(0,2) , (1, 1)B 、｛（0，2），（1，1）｝C 、｛1，2｝D 、｛y |y ≤2｝4、集合M={x ｜x =2k,k ∈Z} , N={x ｜x =2k ＋1,k ∈Z}, Q={x ｜x =4k ＋1,k ∈Z}.又a ∈M, b ∈N, 则一定有A 、a ＋b ∈MB 、a ＋b ∈NC 、a ＋b ∈QD 、a ＋b ∉M,N,Q 中任一个 （ ）5、若B A ⌝⇔⌝，B C ⌝⇒⌝，则A 为C 的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6、设集合M ＝(){}),0(,sin |,π∈=x x y y x ，N ＝(){}R a a y y x ∈=,|,，则集合N M ⋂的子集最多有 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、8个 ( )7、若“┓p 或┓q ”是真命题，则 ( )A 、“p 或q ”是真命题B 、“┓p 且┓q ”是真命题C 、“p 或q ”是假命题D 、“p 且q ”是假命题8、已知a x f R x x x f ＜若|4)(|),(13)(-∈+=成立的充分条件是均为正实数）、＜b a b x (|1|-，则a 、b 间的关系为 A 、3ba ＞B 、3b a ≤C 、 3a b ＜D 、 3a b ≤9、A 、B 为第一象限角，则A ＞B 是sinA ＞sinB 成立的 （若改为△ABC 中又如何？）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 10、集合S ＝｛0，1，2，3，4，5｝，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A 且A x ∉+1，则称x 为A的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4元子集的个数是 ( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个11、若集合A 1、A 2满足),(,2121A A A A A 则称=⋃为集合A 的一种分拆，规定当且仅当A 1＝A 2时，),()(1221A A A A 与，为集合A 的同一分拆，则集合A ＝｛a ，b ，c ｝的不同分拆数为A 、9B 、18C 、27D 、36 二、填空题12、对于M 、P 两个非空集合，定义{} P x M x |x P -M ，且∉∈=若}|,cos |5|{,3|1||{R x x P x x M ∈==≤-=αα )(P M M --则＝ ；13、已知的取值范围为实数的必要不充分条件，则是若；命题a q p a a x a x q x p ⌝⌝≤+++-≤-,0)1()12(:1|34:|214、设{}{}的范围则实数若，a B B A a x a x x B x x x A ,01)1(2|,04|222=⋂=-+++==+= 15、已知x m x f q R m x x p )37()(:|1|||:--=-+，的解集为＞不等式是减函数，如果两个命题有且只有一个正确，则实数m 的取值范围为 ； 16、调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数范围是 ；17、若含有集合A ＝｛1，2，4，8，16｝中三个元素的所有子集依次记为)(,,,,321*∈N n B B B B n 其中 ,又将集合),,3,2,1(n i B i =的元素的和记为=++++n i a a a a a 321,则 186 ； 三、解答题18、设命题)lg()(:1612a x ax x f p +-=函数的定义域为R ，命题axx q ++112:＜不等式对一切正实数均成立，如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，试求实数a 的取值范围。

2010 年龙港高中数学易考易误点特别提醒（理科）
2010 年数学高考易错题及考查要点提醒
高三数学组整理
编者：在高考备考的过程中，要掌握章节的知识网络及典型问题，同时防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。

请同学们每次考试前不妨一试，成绩可以提高5--20 分哦！
一、集合部分：1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清以及数集中元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？... ；看清描述法表示的集合中的元素是数集还是点集。

区别：
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3．在集合运算及集合关系是要注意可能出现空集的情况
在高考中一般有一个小题。

针对训练：
已知R 为实数集，，则= （ A ）A．B．C．D．
二、函数部分：
1、理解函数与映射的概念：哪个集合中的元素有任意性，唯一性？哪几种对应是映射？
2、函数的定义域：研究函数问题时一定要注意函数的定义域，特别要留意含有分式、对数底数、真数等，求方程或不等式的解集,或者求定义域,值域时,要按要求写成集合的形式.
3、函数的值域、最值问题：掌握求函数最值或值域的方法：配方法（二次函数型）、配凑法、单调性、换元法等，求最值时要注意说明何时取最值及定。