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6
二、空间曲线的切线与法平面 1.空间曲线的切线与法平面的定义 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 空间光滑曲线在点 M 处的法平面为过点M且与切线垂直
M
N
T
x
o
y
7
2.空间曲线的切线与法平面的求法
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
Δr lim f ( t0 ) t 0 Δt 设 f ( t0 ) 0 , 则
O
r r y
x
f (t0 ) ( f1(t0 ), f 2(t0 ), f 3(t0 )) 表示终端曲线在t0处的切向量,
其指向与t 的增长方向一致. r r t 0时 的方向为M N；t 0时 的方向为N M . t t
12
1 y 16 x 2 例2. 求曲线 上对应于 x 的点处的切线 2 z 12 x 2
与法平面方程.
x t 1 2 1 解: : y 16t ， x t M ( ,4,3). 2 2 z 12t 2 切向量为：T x(t ), y(t ), z(t ) 1 1,16,12 ( ,4,3)
向量值函数(简称向量值函数), 记为
因变量
r f ( t ), t D
自变量
定义域
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关,因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 进行讨论. 严格定义见P91
设 f (t ) ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )), t D, 则 极限：t f (t ) (lim f1 (t ), lim f 2 (t ), lim f 3 (t )) lim t 0 t t0 t t0 t t0 f ( t0 t ) f ( t0 ) lim 连续：t t f ( t ) f ( t0 ) f ( t0 ) lim 0 t 0 Δt 导数： (t ) ( f1(t ), f 2(t ), f 3(t )) f
o
x
z
y
n ( A, B, C )
[2] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0
x
M0 ( x0 , y0 , z0 )
o
y
3
一、一元向量值函数及其导数(简介) 引例: 已知空间曲线 的参数方程: x (t ) t [ , ] y (t ) z (t ) x 记 r ( x , y, z ), f ( t ) ( ( t ), ( t ), ( t )) 的向量方程 r f ( t ), t [ , ]
x 1 y 1 z 1 因此所求切线方程为 1 3 2
法平面方程为 ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 即 x 2 y 3z 6
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且该切线 如果 ( x0 ), ( x0 )存在,则曲线在M处有切线, 的一个切向量为：T 1, ( x0 ), ( x0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
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x t , y t 2 , z t 3在点 M (1, 1, 1) 处的切线 例1. 求曲线
方程与法平面方程. 解： x 1, y 2t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 T x( t ), y( t ), z( t ) (1,1,1) (1, 2, 3)
就是该点的切向量, 其指向与t 的增长方向一致.
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定理1 设空间曲线 的参数方程为 ：x (t ), y (t ), z (t ), t [ , ]
M ( x0 , y0 , z0 ) . M 对应的参数为 t t0 , 如果 (t0 ), (t0 ),
z
r
O
M
y
3 此方程确定映射 f :[ , ] R,称此映射为一元向量值函数
. 即 对 上的动点M , 显然 r OM， 是
r 的终点M
4
的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
f : D R 3 为一元 1.定义: 给定数集 D R , 称映射
t t0 t 对应 N ( x0 x, y0 y, z0 z )
割线 MN 的方程:
z
t
N
t
t
切线方程
(x , y , z ) M
0 0 0
T
x
o
y
x x0 y y0 z z0 ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
M
Fy Fz Fx Fy Fx Fz Fx ( M ) Fy ( M ) Fz ( M ) , , G y Gz G x Gz Gx G y M Gx ( M ) G y ( M ) Gz ( M )
14
i
j
k
F ( x, y, z ) 0 证明： : ， G( x, y, z ) 0
所求切线方程为：
x1
2
2 y4 z3 1 16 12
1 法平面为：x 16( y 4) 12( z 3) 0. 2
13
F ( x, y, z ) 0 推论2. 设光滑曲线 : ，M ( x0 , y0 , z0 ) . G( x, y, z ) 0 若F，G的各偏导数在M处存在且连续(在M的邻域内),
,
Fx Gx
Fx ( M ) Fy ( M ) Fz ( M ) Gx ( M ) G y ( M ) Gz ( M )
结论：由已知的曲线方程和切点坐标就可以 写出切向量的坐标，进而就可以写出曲线的 切线与法平面方程.
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例3. 求曲线 x 2 y 2 z 2 6, x y z 0 在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令
(F , G ) (F , G ) (F , G ) 在 M 处都存在 ， , 且二阶行列式 ( y, z ) ( z , x ) ( x , y )
且不全为零
曲线在M处有切线,且该切线
(F , G ) , ( x, y) M
的一个切向量为： (F ,G) (F ,G ) T , ( y, z ) M ( z , x )
(t0 )存在且不全零
曲线在M处有切线,且该切线
的一个切向量为：
T ( (t0 ), ( t0 ), ( t0 ))
x x0 y y0 z z0 则 曲线在M处的切线方程: ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
曲线在M处的法平面方程 ：
xt 证明：只需把x看成参数,则 : y ( t ) z (t )
y ( x) , M ( x0 , y0 , z0 ) . 推论1.空间曲线 方程为 z ( x)
M t0 x0
用定理1即得结论：T 1, ( x0 ), ( x0 )
5
2.向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设 r f (t ), t D 的终端曲线为 , f ( t0 ) z OM f (t0 ), ON f (t0 Δ t ) Δr M N r Δ Δt Δ r f (t0 Δ t ) f (t0 ) r
i j k i j
则
k
切向量 T Fx ( M ) Fy ( M ) Fz ( M ) 2 4 2 (6,0,6) Gx ( M ) G y ( M ) Gz ( M ) 1 1 1
切线方程
x z 2 0 即 y20
法平面方程 6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 即 xz 0
N
(x , y , z ) M
0 0 0
T
T也是法平面的法向量, 因此得法平面方程:
x
o
y
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
说明: 若引进向量函数 f ( t ) ( ( t ), ( t ), ( t )), 则在 t0处的导向量 f (t0 ) ( (t0 ), (t0 ), (t0 ))
M
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(F ,G) T ( y, z )
Fy Gy
i
M
(F ,G ) , ( x, z)
Fx Gx Fz Gz
k
M
(F , G ) , ( x, y)
Fy Gy M
M
Fz Gz
,
j
复习：隐函数的求导公式：
z z( x , y )
Fx z , x Fz
F ( x, y, z ) 0 （） 2 G( x, y, z ) 0
Fx Gx dy Fy dx Gy Fz Gz Fz Gz
Fy z y Fz
y y ( x) z z ( x)
( F , G ) F , G ) ( F , G ( F , G ) ( , G ) F 1 ( 1 ) , , , 1 , J z( , Jz , M ( y , )( xM z ) M ( x , ) x M y ) (x , y )
