专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案

函数及函数综合应用 一、函数的表示(分段函数)【典型例题】例1.1 设 f (x )={x +1，x ≤02x ， x >0 ，则满足f(x)+f (x －12)>1的x 的取值范围是 .【答案】(－14，+∞) 【解析】当x ≥12时：显然成立； 当12≥x >0时：f(x)+f (x －12)=2x +x －12+1>1，成立 当x <0时：f(x)+f (x －12)= x +1+x －12+1>1，解得x >－14【要点】分段函数处理方法一：分段解析例1.2 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<-2,8620,22x x x x x x，若两两不相等的正数a 、b 、c 满足f(a)=f(b)=f(c)，则:(1) a+b+c 的取值范围是 . (2) abc 的取值范围是 . 【答案】(1) (7，8) (2) (9，16)【解析】(1)作出y=f(x)的图像，不妨设a<b<c ，则显然0<a <2<b <3<c <4，由对称性b+c =6，由x =3的y max =1，此时x =1，a ∈(1，2)；，a+b+c ∈(7，8)(2)设y=t ，(0<t <1) 则，a =， b 、c 是方程－x 2+6x －8=t 的两根，由韦达定理bc =8+t ，abc ==∈(9，16) 【要点】(1)图像是研究分段函数重要的辅助工具(2)多变量目标函数求范围，要点是研究多个变量之间的关系，将目标函数化为一个变量的函数例1.3 已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，， 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ．【答案】[－2，0]【解法一】由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .a 的下界为抛物线y= x 2－2x 在(0，0) 处的切线斜率故由y’=2x －2知k 切线=－2，∴ a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．∴∴a t a =-212+t ∴1)8(2++t t 2114++t【解法二】x >0时，g(x)=|f (x )|－ax =ln(x +1)－ax ，当a >0时：x →+∞时g(x) →−∞，不符题意 当a ≤0时：g(x)为增函数，g(x)>g(0)=0，符合题意x ≤0时，g(x)=|f (x )|－ax =x 2－2x －ax =x (x －(a +2))≥0，即x －(a +2)≤0，故a ≥x －2，由x ≤0知a ≥－2例1.4 用min {a,b }表示a,b 两个数中的较小值，用max {a,b }表示a,b 两个数中的较大值，设f(x)=x 2－2(a +2)x +a 2，g(x)=－x 2+2(a －2)x －a 2+8. 令H 1(x )=max {f(x)，g(x)}，记H 1(x )的最小值为A ；令H 2(x )=min {f(x)，g(x)}，记H 2(x )的最大值为B ；则A －B=【答案】－16【解析】令f(x)=g(x)可解得x =a +2和x =a －2作出f(x)及g(x)的图像，由图像可知：A =(H 1(x ))min =f (a +2)；B =(H 2(x ))max =f (a －2) 所以A －B=－16【要点】分段函数处理方法二：图像法二、函数性质及应用【典型例题】例2.1 以下命题中，正确的有 (填出所有正确的命题的序号)① 函数f(x)=－|x －1|+1 的图象关于直线x =1对称，且当 x >1时为减函数 ② 函数f(x)=2x −12x +1为奇函数，且在R 上为增函数③ 函数f(x)=lg x －lg(2－x )+2的图象关于点(1，2)对称，且在(0，2)上为增函数 ④ 所有二次函数的图象都是轴对称图形；所有三次函数的图象都是中心对称图形⑤ 函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的图象关于点(0，1)对称 【答案】12345【解析】(1) 作图可知正确(2) 可验证f(x)+f(－x)=0，函数y =t−1t+1=1－2t+1(t >0) 和t =2x 都是增函数 (3) 可验证：f(x)+f(2－x)=4，函数y = lg x 和y =－lg(2－x )都是增函数 (4) 正确 (5) f(x)=1sin 212+++x xx (奇函数+1)【要点】对称性的验证和发现例2.2 若0<a <b <1，则以下命题中，正确的是 (填出所有正确的命题的序号) ① a b <a a ② a a <b a ③ ba a >ab a ④ a b <b a ⑤ a a <b b【答案】1234【解析】(1) 令f(x)=a x 为减函数，则f(a)>f(b)，即a b <a a (2) 令f(x)=x a 为增函数，则f(a)<f(b)，即a a <b a (3) 令f(x)=x a －1 为减函数，则f(a)>f(b)，化简得ba a >ab a(4) 令f(x)=lnx x，由f(x)导数可得f(x)在(0，e)为增函数，则f(a)<f(b)，即lna a<lnb b所以blna<alnb ，即a b <b a(5) 令f(x)=xlnx ， 由f(x)导数可得f(x)在(0，e －1)为减函数，(e －1，1)为增函数，故f(a)、f(b)的大小不定 即a a 、b b 大小不定【要点】构造函数，利用函数单调性比较大小例2.3设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,0,2)(22x bx ax x x x x f ，若f(x)是偶函数，则使得f (3x －2)>f (x 2)的x 的取值范围是【答案】(−3+√172，3)【解析】y=x 2－2x 在x <0时为减函数，而f(x)图像关于y 轴对称，故原不等式等价于： |3x －2|>|x 2|，解得答案【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.4 设函数f(x)=|)|1ln(112x x +-+，则使得f(x)>f (2x －1)的x 的取值范围是 . 【答案】(－∞，13) ∪ (3，+∞)【解析】注意到f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=)ln(1112x x +-+为减函数， 故原不等式等价于： |x |<|2x －1|，解得答案 【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.5设f(x)=x 2－2x +a (e x －1+e 1－x ) 恰有1个零点，则a = 【答案】12【解析】注意到f(x)=f (2－x )，即f(x)图像关于x =1对称，所以f (1)=0解得 【要点】主动发现f(x)的对称性注意函数g(x)=f(x －m)+f(m －x) 具有轴对称性 g(x)=f(x －m)－f(m －x )具有中心对称性 本题也有其他解法，但用对称性解决是最快捷的方法例2.6 已知函数f(x)满足f (－x )=2－f(x)，若函数xx y 1+=与y=f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)……(x m ，y m )，则=+∑=mi i iy x1)(A.0B. mC. 2mD. 4m 【答案】B【解析】f (－x )=2－f(x)表明f(x )图像关于(1，0)中心对称，而xx y 1+=图像也关于(1，0)中心对称， 所以两个函数的图像的公共点也关于(1，0)中心对称 【要点】对称性的应用例2.7 设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＞bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＜bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＞bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】令f(x)= e x ＋2x 为增函数，则f(a)=f(b)+b>f(b)，所以a>b C 、D 可通过g (x)= e x －2x 的单调性判定 【要点】构造函数，通过单调性研究方程与不等式三、函数图像及图像变换【典型例题】例3.1将函数y=f(x)的图像左移1个单位、再将横坐标变成原来的2倍 (纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，已知函数y=g(x)的图像与函数y =ln(x +1)的图像关于y 轴对称，则函数y=f(x)的解析式为( ) A. ln(2x －1) B. ln(－2x +3) C. ln(x +) D.ln(－x －2) 【答案】B【解析】将y =ln(x +1)对称得到g(x)，再逆变换：横坐标变成原来的倍、右移1个单位得到f(x)： g(x)=ln(－x +1)，g(x)→g (2x )=ln(－2x +1)→ln(－2(x －1)+1)= ln(－2x +3)【要点】逆变换例3.2 设函数y=f(x)的图像与y =2log 2(x +a )－2的图像关于直线y =－x 对称，且f (2)+f (0)=3，则a = . 【答案】3【解析】－x =2log 2(－y +a )－2，解得y=a －222+-x ,即为f(x)的解析式f (2)+f (0)=2a －3=3，a =3 【要点】重要的对称变换例3.3 若实数m 、n 满足m +2m =5，n +log 2n =5，则一定有( )A. m+n >5B. m+n =5C.m+n <1D. m+n =1 【答案】B【解析】令f(x)=2x ，g(x)=log 2x ，则f(x)、g(x)图像关于y=x 对称m +2m =5化为2m =5－m ，即直线y =5－x 与f(x)的公共点为(m ，5－m ) 同理直线y =5－x 与g(x)的公共点为(n ，5－n )由于直线y =5－x 与y=x 垂直，所以两个公共点关于y=x 对称，即m =5－n 【要点】主动发现两个函数图像的对称性21212121例3.4 函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．【答案】D【解析】f’(x)=2cosx －xsinx ，f’(0)=2，f’(π)<0；【要点】导数、切线、极限、渐近线等在图像识别中的应用例3.5 函数y =x x xx ee e e ---+的图象大致为( )【答案】A【解析】方法很多，例如奇函数+单调性；也可考虑渐近线例3.6函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的所有可能的取值组成的集合为 ( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5} D．{2,3}【答案】B【解析】为图像上一点(x ，f(x))与原点连线的斜率，观察图像即可得到答案【要点】图像的几何意义xx f )(四、函数应用(不等式、方程)【典型例题】例4.1 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是 【答案】(22，1) 【解析】当a >1时：4x >1，log a x <log a12<0，不成立 当0<a <1时：g(x)= 4x －log a x 为增函数，g(x)<0恒成立等价于：g (12)<0，解得答案 【要点】分类讨论例4.2 设a >41，若不等式|x 2－2ax －3a 2|≤4a 对任意x ∈[1,4a ]恒成立，则a 的取值范围是 【答案】(41，]【解析】设f(x)= |x 2－2ax －3a 2|=|(x －3a )(x +a )|；由绝对值及二次函数性质知，f(x)在(－∞,－a )减，(－a ，a )增，(a ，3a )减，(3a ，+∞)增 由f (1)=|3a 2+2a －1|≤4a ，得a ≤1；故∴ f(x)max =max {f (1)，f (4a )}，于是f(x)max ≤4a 等价于 解得答案【要点】二次函数、绝对值函数；图像法例4.3 若x ∈[－2，1]，ax 3－x 2+4x +3≥0，则a 的取值范围是 . 【答案】[－6,－2]【解析】x =0时显然成立；－2≤x <0时原不等式等价于a ≤ 令g(t)=－3t 3－4t 2+t (t ≤－)，则g(t)min =g (－1)=－2，故a ≤－2 同理，0<x ≤1时a ≥g(t) (t ≥1)，g(t)max =g (1)=－6，故a ≥－6 【要点】不等式预处理—参数分离，但要合理使用 (不是万能手段)例4.4 若函数f(x)=3x －sin2x +3a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是【答案】[－31，31]【解析】原命题等价于：f’(x)≥0在R 上恒成立；f’(x)= 3－2cos2x +3a cos x =－4cos 2x +3a cos x+5考虑g(t)=－4t 2+3at+5 (－1≤x ≤1)，则g(t)min =min{g (－1)，g (1)}故g(t)≥0恒成立等价于⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，可解得答案【要点】变量替换54⎪⎩⎪⎨⎧≤=≤-+=aa a f aa a f 45)4(4|123|)1(22xx x x x x 1)1(4)1(3342332+--=--21例4.5 f(x)=2x |log 0.5x |－1的零点个数是 . 【答案】2【解析】分别作出曲线y =|log 0.5x |和曲线y =2－x 的图像 【要点】研究零点的技巧：预处理例4.6 函数f(x)=e x (2x －a )+1有零点，则a 的取值范围是 . 【答案】[2－2ln2，+∞)【解析】f’(x)= e x (2x －a +2)，故f(x)在(－∞，22-a )为减，(22-a ，+∞) 为增 x →+∞时 f(x)→+∞故f(x)有零点的充要条件为：f (22-a )≤0，解得答案 【另解】分别作出y =－e －x 和y =2x －a 的图像，当直线y =2x －a 与曲线y =－e －x 相切时， (－e －x )’=e －x =2，解得x =－ln2，y =－2，即为切点坐标带入直线可解得此时－a =2ln2－2由图像可知，当直线向下移动式满足条件，故－a ≤2ln2－2，即得 【要点】研究零点的方法：(1) 单调性+零点定理 (2) 图像法例4.7 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C【解析】f’(x)=3x (ax －2)当a <0时：f(x)在(－∞，2a )减，( 2a ，0)增，(0，+∞)减依题意：f (2a)>0，解得a <－2当a =0时：f(x)有两个零点不符题意；当a >0时：f(x)在(－∞，0)增， (0，2a)减，(2a，+∞)增，而f (0)=1>0，不符题意【要点】三次函数的零点例4.8 设a >1，f(x)=a x ，若存在实数T ，使得对任意实数x 都有f (x +T )=Tf (x )，则a 的取值范围是 【答案】(1，e1e ]【解析】f(x+T)=a T a x =Ta x ，即存在T ，使得a T =T ；即T ln a =ln T ，ln a =TTln ， 考虑函数g(x)=x x ln ，g’(x)=2ln 1x x -=0得x =e ，故g(x)max =g (e)=e 1，所以ln a ≤e1，解得a ≤e 1e例4.9 设a >1，若有且仅有一个常数c 使得对任意的x ∈[a ,3a ]，都有y ∈[a , a 2]满足方程log a x+log a y=c ，这时a 的取值的集合为 . 【答案】{3}【解析】log a x+log a y=c 等价于y =，当x ∈[a ,3a ]时，y ∈[，]xa c 131-c a 1-c a依题意即2+log a 3≤c ≤3依题意，满足条件的c 只有1个，所以log a 3=1，a =3例4.10设函数π()x f x m=，若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】∵x 0是f (x )的极值点，0ππcos 0x m m =，即012x mk m =+，k ∈Z. ∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，k ∈Z ， 即存在k ∈Z ，使221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭；而212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.例4.11 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 【答案】[32e，1)【解析】注意到f (0)= a －1<0，所以原命题成立的一个必要条件为：f (－1)≥0，解得 a ≥ 32e当x ≥1时f’(x)=e x (2x +1)－a >3e －a >0，故f(x)在(1，+ ∞)为增函数，x ≥1时f(x)≥f (1)=e >0当x <－1时f’(x)=e x (2x +1)－a <－e x －a <0，f(x)为减函数，所以f(x)>f (－1)≥0 所以存在唯一的整数0满足题设 【要点】整数命题：探究—证明【思考】若去掉条件a <1，本题如何解答？【提示】考虑预处理：参数分离 注意到f (1)=e>0， 令g(x)= e x (2x−1)x−1 则当x <1时f(x)<0等价于a < g(x)；当x >1时f(x)<0等价于a > g(x)；g'(x)=e x x(2x−3)(x−1)2 g(x)在(－∞，0)增， (0，1)减，(1，32)减，(32，+∞)增g (0)=1，g (32)=4e32>1，存在唯一的整数x 0<1使得a < g(x 0)的充要条件为：g (－1)≥a >g (0)，解得32e≥a >1(此时对任意x >1都有g(x)> g (32)=4e32>a )存在唯一的整数x 0>1使得a > g(x 0)的充要条件为：g (3)≥a >g (2)，解得5e 32≥a >3e 2(此时对任意x<1都有g(x)< g (0)=1<a )例4.12 设f(x)=，g(x)=x 2－4x －4，若∃a 使得f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围是 . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥--21131a a a a c c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-<+21),1ln(21,122x x x x x【答案】(－1，5)【解析】当x ∈(－∞,－)时f(x)=(+1)2－1∈(－1,0)；当x ∈[－，+∞)时f(x)=ln(x +1)∈[－ln2,+∞)，故f(x)∈(－1,+∞)∴g(b)=－f(a)<1，即b 2－4b －4<1 ⇒ b ∈(－1,5). 【要点】∃a 、b ，使得f(a)=g(b)的充要条件为：① f(a) 在函数g(x)的值域内 ② g(b) 在函数f(x)的值域内五、导数及导数的简单应用【典型例题】例5.1 设f(x)为偶函数，当x ≤0时f(x)= e －x －1－x ，则曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线方程为【答案】y =2x【解析】x ≤0时f’(x)=－e－x －1－1，由f(x)为偶函数可得：f (1)=f (－1)=2，f’(1)=－f’(－1)=2 切线为：y －2=2(x －1)例5.2 若存在直线与曲线y =ln x 和曲线y =x 2+2x +a (x <0)都相切，则a 的取值范围是 . 【答案】(－ln2－1，+∞)【解析】f’(x)= 1x (x >0)，g’(x)=2x +2 (x <0)设切点分别为A(s ，f(s))、B(t ，g(t))，则AB 与两条曲线都相切的充要条件为：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t ，带入：lns−(t 2+2t+a)s−t=1s=2t +2消去s 并化简得：t 2－ln(2t +2)－1=a由s >0解得－1<t <0，令h(t)= t 2－ln(2t +2)－1，则h ’(t)= 2t (t+1)−1t+1<0，故h(t)为减函数所以h(t)的值域为(－ln2－1，+∞) 【要点】公切线的研究方法：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t例5.3 已知a >0，已知曲线C ：y= || (0<x <4)上存在两点，曲线C 在该两点处的切线相互垂直，则a 的取值范围是 .【答案】(0，)【解析】设曲线C 在点(x 1，f (x 1))和(x 2，f (x 2))处的切线相互垂直，不妨设x 1<x 2，则f’(x 1)f’(x 2)=－10<x <a 时，f(x)=－，f’(x)=<0；x>a 时，f(x)=，f’(x)=>0；∴ 0<a <4且0<x 1<a <x 2<4于是f’(x 1)=， f’(x)=；=－1化简得x 1+2a =， 又∵x 1+2a ∈(2a ，3a )，∈(，1)21x121ax ax 2+-21a x a x 2+-2)2(3a x a +-a x a x 2+-2)2(3a x a+21)2(3a x a +-22)2(3a x a +21)2(3a x a +-22)2(3a x a+a x a 232+ax a232+a a 243+∴(2a ，3a )∩(，1)≠Φ，即 解得 0<a <例5.4 设f(x)=x 2，g (x)=－(x －1)2，P 、Q 分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，A(s,f(s))和B(t,g(t))分别是曲线上的定点，满足|AB |≤|PQ |对任意P 、Q 都成立. 下面四个数中，哪一个最接近s ？ A.B. C. D. 【答案】B【解析】设f(x)、g(x)在A 、B 处的切线分别为l 、m ，则当l ∥m 且l ⊥AB 时|AB |取得最小值f’(x)=2x ，g’(x)= 2－2x ，所以：2s =2－2t ，且2s ×s 2+(t−1)2s−t=－1消去t 整理得：4s 3+2s －1=0，设h(s)= 4s 3+2s －1，易得h(s)为增函数 则h (0)<0，h (1)>0，h (12)>0，h (14)<0，h (38)<0所以s ∈(38，12)，区间中点为716例5.5若x =－2是函数f(x)=(x 2+ax －1)e x －1的极值点，则f(x)的极小值为【答案】－1【解析】由f’(－2)=0可得a =－1，此时f ’(x)=(x +2)(x －1) e x －1 f(x)min =f (1)=－1例5.6 已知函数有两个极值点m 、n (m <n )，则 ( )A ．f(m)<0，f(n)<－B ．f(m)<0，f(n)>－C ．f(m)>0，f(n)<－D ．f(m)>0，f(n)>－ 【答案】D【解析】由题意知 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝xax21-， 当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，因此111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故10<<2a 且121<2x x a <.又h (1)＝1－2a ＞0，∴1211<2x x a<<此时f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减． ∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-. 故选D.例5.7设奇函数f(x)满足：f (－1)=0，当x >0时xf’(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的范围是 . 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】f (0)=0不满足；令g(x)= f(x)x ，则g(x)为偶函数，且g’(x)=xf’(x)－f(x)x 2a 243+⎪⎩⎪⎨⎧<+>122433a a a a 211651671691611()(ln )f x x x ax =-21212121依题意x >0时g’(x)<0，故g(x)在(0，+∞)为减函数，在(－∞，0)为增函数 g (－1)=g (1)=0，所以－1<x <0或者0<x <1 【要点】构造函数，利用函数单调性解决不等式问题六、综合例题选讲(重要的代数方法及数学思想)【典型例题】例6.1 已知函数f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，则m 的取值范围是 【答案】(−e+1e 2，+∞) 【解析】令g(x)=|x |e x =|x e x |，令f 1(x )=x e x ，则f 1(x ) (－∞，－1)为为减函数，在(－1，+∞)为增函数 作出y=g(x)的图像，则直线y=t 与曲线y=g(x)的公共点的个数N ：当t <0时N =0；当t =0时N =1；当1e<t <0时N=3；当t=1e时N=2；当t >1e时N=1考虑二次函数h(t)=t 2+mt +1，t =0不是零点， 故f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，当且仅当g(t) 在区间(0，1e)和(1e，+∞)各有1个零点，所以h (0)>0，h (1e)<0，解得 【要点】变量替换例6.2 设函数f (x )＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，若总存在x 0∈[－1，1]，使得f (x 0)>23，则a 的取值范围 是【答案】(－，+∞)【解析】设t=1＋x ＋1－x ，t 2=2+2∈[2,4]，t ∈[,2]；此时f (x )=m(t)=t 2+t －a ，依题意：m(t)max >23 当a ≥0时， m(t)在[,2]上为增函数，m(t)max =m (2)=a +2 >23，符合题意 a <0时，m(t)的对称轴为t = 当<，即a <时，m(t)max =m ()=<23，不符题意当≤≤2，即≤a ≤－时，m(t)max ==m () =－a >23，无解当－<a <0时，m(t)max ==m (2)=a +2>23，符合题意，综上a >－【要点】变量替换例6.3 设f(x)=e x +e －x ，g(x)=f (2x )－2af(x)+4a －2，若g(x)恰有1个零点，则a 的取值范围是 【答案】[2，+∞) 【解析】由于(f(x))2= e 2x +e－2x+2，g(x)= e 2x +e－2x－2a (e x +e －x )+ 4a －2=(e x +e －x )2－2a (e x +e －x ) +4a －4=(f(x))2－2af(x)+ 4a －4=[f(x)－2][f(x)－(2a －2)]2121x -∴22a 2a1-a 1-222-222a 1-22-21a 1-a 21-2121由于f(x)－2=0恰有1个根x =0，所以f(x)－(2a －2)=0无根或只有1个0根 由于f(x)值域为[2，+∞)，所以(2a －2)≤2，解得答案 【要点】变量替换、因式分解例6.4 设a >0，函数f(x)=23x 2－2ax －a 2ln x －b ，若f(x)恰有1个零点，则b 的最大值为 【答案】12e 2【解析】f’(x)=(3x+a)(x−a)x(x >0)，f(x)在(0，a )减，(a ，+∞)增依题意：f(a)=0解得b =－a 2－a 2ln a (记为g(a)) g’(a)=－2a (1+ln a )，g(a)在(0，1e)为增，( 1e，+∞)为减，所以b max =g (1e)= 12e 2【要点】等价转化例6.5 已知函数f(x)=e x －ax 2+bx －1 满足f (1)=0，且f(x)在区间(0，1)内有零点，则a 的取值范围是 【答案】(e －1，1)【解析】注意到f (0)=f (1)=0，依题意f(x)在(0，1)内至少有2个极值点，即f’(x)在(0，1)内至少有2个零点 由f (1)=e －a +b －1=0，可得b =1－e +a f’(x)= e x －2ax +b ，(f’(x))’=e x －2a ，由e>e x >1若a ≤12，则(f’(x))’ >0，f’(x)为增函数，不会有2个零点，不符题意； 若a ≥e 2，同理不符题意当 12<a <e 2 时，f’(x)在(0，ln2a )为减函数，(ln2a ，1)为增函数f’(x)在(0，1)内有2个零点，充要条件为：{f ′(0)>0f ′(ln2a )<0f ′(1)>0解得：e －1<a <1 【要点】等价转化例6.6 若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 【答案】16【解法一】由f (1)=f (－1)=0，f(x)图像关于x ＝－2对称，所以f (－5)=f (－3)=0 故a =－(－3－5)=8，b =15此时f (x )＝－(x +1)(x －1)(x +3)(x +5)=－(x 2+4x +3)(x 2+4x －5) =－(t 2－2t －15)=－(t －1)2+16其中：t = x 2+4x ∈[－4，+∞），当t= 1时f(x)max =16【解法二】考虑g(x)=f (x －2)为偶函数，g (－1)=g (－3)=0，所以g (1)=g (3)=0 故g(x)=－(x +3)(x +1)(x －1)(x －3)=－(x 2－1) (x 2－9)=－(x 2－5)2+16 【要点】(1) 变量替换(2) 灵活处理对称条件21例6.7 设f(x)=e x －x －e +1，命题p ：f(x)≤0，命题q ：－1≤x ≤1，则p 是q 的： A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】注意到f (1)=0，f’(x)= e x －1，所以f(x)在(－∞，0)为减，(0，+∞)为增f (－1)=2+e －1－e<0，f (－2)=3+e －2－e>0，所以f(x)在(－∞，0)上有一个零点，设为x 0， f(x)≤0的充要条件为x 0≤x ≤1由于－2<x 0<－1，故为－1≤x ≤1的必要不充分条件 【要点】单调性与不等式例6.8 设f(x)=e x －ax －1，g(x)=ln x －ax+a ，若总存在x ∈(1，2)，使得f(x)g(x)<0，则a 的取值范围 是 【答案】[ln2，e 2−12]【解析】f’(x)= e x －a ，g’(x)= 1x－a ，注意到e x ∈(e ，e 2)，1x∈( 12，1)，故对a 分类讨论(1) 当a ≤12时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，故f(x)、g(x)都是(1，2)上的增函数，f(x)>f (1)= e －a －1>0，g(x)>g (1)=0，故不符题意；(2) 当12<a ≤1时，同理f(x)> 0，而g(x)在(1，1a)为增，( 1a ，2)为减依题意：g (2) ≤0，解得ln2≤a ≤1(3) 1<a ≤e 时：g(x)是(1，2)上的减函数，所以g(x)<g (1)=0f(x)是(1，2)上的增函数，故f(2)≥0，解得1<a ≤e(4) e<a ≤e 2时：同理g(x)<0，此时f(x)在(1，ln a )为减，(ln a ，2)为增，故f(1)≥0或者f(2)≥0解得e<a ≤e 2−12(5) a ≥e 2时：f(x)是(1，2)上的减函数，f(x)<f (1)= e －a －1<0，同理g(x)<0，不符题意【要点】分类讨论例6.9 设f(x)=2ax 2+(a －1)x －1 (a >0)，求函数y =|f(x)|在[－1，1]上的最大值【分析】结合|f(x)|的图像，判定f(x)的零点与定义域的位置关系，再比较极值与端点函数值的大小【解析】 由a >0，f (0)=－1<0， f (－1)=a >0，所以：f(x)有两个零点(设为x 1x 2)满足：x 1<－1<x 2 f(x)的对称轴为x 0=a a 41-，t 0－1=aa451- 情形①：当0<a ≤51时，1≤x 0，| f(x)|在(－1，x 1)减，(x 1, 1)增x 2x 0－1x 1而|f (1)|= 2－3a >|f (－1)|，所以：|f(x)|max =2－3a情形②：51<a <32时，x 0<x 2<1， |f(x)|在 (－1，x 1)减，(x 1， x 0)增，(x 1， x 2)减，(x 2，1)增|f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)|，|f(1)|}|f (1)|－|f (－1)|=2(a －1)<0|f (x 0)|=a a a 8162++ |f (x 0)|－|f (－1)|=a a a 8)1)(17(-+->0所以：|f(x)|max =aa a 8162++情形③：a 32≥时， x 0<1≤x 2， |f(x)| 在(－1，x 1)减，(x 1，x 0)增，(x 0，1)减 |f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)| } 故当 a <1时：|f(x)|max =aa a 8162++当a ≥1时：|f(x)|max =|g (1)|=3a －2综上，|f(x)|max ={2−3a ，0<a ≤15a 2+6a+18a， 15<a <13a −2， a ≥1．【要点】分类讨论。

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数综合及其应用答案部分x1．A【解析】解法一函数f (x) 的图象如图所示，当y | a |的图象经过点(0, 2) 时，可2y x a 的图象与y x 2 的图象相切时，由 2x 知a 2 ．当 a x ，得2 x 2 xx x 2 2ax 4 0 ，由0，并结合图象可得a 2 ，要使f (x)≥| a |恒成立，当2a ≤时，需满足 a ≤2 ，即2≤a ≤0 ，当a 0 时，需满足a ≤2 ，所以2≤a ≤2．y654321–4–3–2O 1 2 3 4–1–1xx 解法二由题意x 0 时，f (x) 的最小值2，所以不等式f (x)≥| a |等价于2x| a |≤2 在R上恒成立．2x ，不符合题意，排除C、D；当a 2 3 时，令x 0 ，得| 2 3 | 22x ，不符合题意，排除B；当a 2 3 时，令x 0 ，得| 2 3 | 22选A．2．B【解析】由f (x ) f (2 x)知f (x)的图像关于直线x 1对称，又函数y | x 2 2x 3||(x 1)2 4 | 的图像也关于直线x 1对称，所以这两个函数图像的交点也关于直线x 1对称，不妨设x xx x x ，则 1 1，即x x ，1 m 2m1 2 m2，m同理x 2 x m 1 2 ，……，由Array x x x xi 1 2 mi11m2 x (x x ) (x x ) (x x ) 2mi 1 m 2 m 1 m 1所以i1，所以mx mii1，故选B．3．B【解析】由已知可设f(x)2 ( 0)xxx2( 0)x，则f(a)2 (a0)a2a( 0)a，因为f(x) 为偶函数，所以只考虑a 0 的情况即可．若f(a ) 2b，则2a 2b，所以a b．故选B．4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V 48 升．而这段时间内行驶的里程数S 35600 35000 600 千米．所以这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为48100 8 升，故选B．6005．B 【解析】采用特殊值法，若x 1, y 2, z 3,a 1,b 2,c 3，则ax by cz 14 ，az by cx 10 ，ay bz cx 11，ay bx cz 13 ，由此可知最低的总费用是az by cx ．6．B【解析】由题意可知p at 2 bt c过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p at 2 bt c中可解得a 0.2,b 1.5,c 2 ，∴p 0.2t 2 1.5t 2 0.2(t 3.75)2 0.8125∴当t 3.75分钟时，可食用率最大．7．D【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1p )(1q)a a (1x)2 ，解得x (1p )(1q ) 1，故选D．8．A【解析】解法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y= -x，在(2，0)处的切线方程为y= 3x-6，以此对选项进行检验．A选项，y 1 x 3 1 x 2 x ，显然过两个定点，又 3 2 1y x x ，2 2 2则y y ，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．| 1, | 3x 0 x 2解法二设该三次函数为f (x) ax3 bx2 cx d ，则f (x) 3ax2 2bx c2f (0)f (2) 0由题设有，解得f (0) 1f (2) 31 1a ,b ,c 1,d 0 ．2 2故该函数的解析式为 1 3 1 2y x x x ，选A．2 29．A【解析】设所求函数解析式为y f (x) ，由题意知f (5) 2, （f 5）2，且f (5) 0，代入验证易得 1 3 3y x x 符合题意，故选A．125 5110．[ , 2]【解析】当3≤x≤0 时，f (x)≤| x | 恒成立等价于x 2 2x a 2≤x 恒成8立，即a ≤x 2 3x 2 恒成立，所以a ≤(x 3x 2) 2；2min当x 0 时f (x)≤| x | 恒成立等价于x 2 2x 2a ≤x 恒成立，即x x x x 1 22a≥恒成立，所以a≥( ) ．max2 2 8综上，a 的取值范围是[1 ,2]．811．36【解析】取SC 的中点O ，连接OA,OB ，因为SA AC,SB BC ，所以OA SC,OB SC ．因为平面SAC 平面SBC ，所以OA 平面SBC ．设OA r ，1 1 1 1V S OA r r r r23A SBC SBC3 3 2 3所以1 3 9 3r r ，3所以球的表面积为4r 2 36．1【解析】由题意，u x2 y2 x2 (1x)2 2x2 2x 1，且x[0,1]，12．[ ,1]2x 时， 2 2 11又x 0 时，u x2 y2 1，u x y ，当x 1时，u x2 y2 1，2 21所以x2 y2 取值范围为[ ,1]．21 113．7 【解析】由体积相等得：452 +22 8= r2 4 r2 8 r 7 ．3 3314．(2 10,) 【解析】函数g(x) 的定义域为[1, 2] ，h x g x( ) ( )根据已知得f x2，所以h(x)=2 f (x ) g(x ) 6x 2b 4 x2 ，h(x ) g(x) 恒成立，即6x 2b 4 x 2 4 x2 ，令y 3x b ，y 4 x2 ，则只要直线y 3x b在半圆x 2 y 2 4(y≥0) 上方即可，由| b | 2，解得b 2 10（舍去负值），故实10数b 的取值范围是(2 10,) ．15．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为4m3 ，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得2 4 4 4y 20 4 10(2x ) 80 20(x )≥8020 2 x 160．x x x16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，f (x) A 函数y f (x) ，x D 的值域为R ，由函数值域的概念知，函数y f (x) ，x D 的值域为R b R ,a Df a b ，所以①正确；对于②，例如函数( ) (1)| |( ) f x 的值域(0,1]包含于区间[1,1]，x2所以f (x)B，但f (x) 有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若f (x ) g(x) B ，则存在一个正数M，使得函数f (x ) g(x) B 的值域包含于区1间[M ,M ] ，所以M ≤f (x)1 1 1g(x)≤M ，由g(x)B知，存在一个正数M ，1 2使得函数g(x) 的值域包含于区间M2 g(x) M 2[M ,M ]，所以≤≤，亦有2 2M2 ≤-g(x)≤M2 ，两式相加得(M M ) ≤f (x) ≤M M ，于是f (x) B ，1 2 1 2与已知“. f (x)A”矛盾，故f (x ) g(x ) B ，即③正确；对于④，如果a 0 ，那么x , f (x ) ，如果a 0 ，那么x 2, f (x ) ，所以f (x) 有最大值，必须a 0 ，此时 f (x )x 在区间(2,)上，有 1 ( ) 1≤f x ≤，所以x 2 2 21f (x)B，即④正确，故填①③④．417．【解析】(1)当0 x≤30 时，f (x ) 30 40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30 x 100 时，若40 f (x) ，即2x 1800 90 40，解得x 20（舍）或x 45 ；x∴当45 x 100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为n x% ，乘公交人数为n (1x%) ．因此人均通勤时间30n x % 40n (1x%), 0 x≤30ng x( ) 1800，(2x 90)n x % 40n (1x %)x x,30 100n整理得：g(x)x40 , 0 x≤30101(x 32.5) 36.875,30 x 100250，则当x(0, 30]U(30,32.5]，即x(0,32.5] 时，g(x) 单调递减；当x(32.5,100) 时，g(x) 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．18．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为5, 40，20, 2.5．将其分别代入yax b2a40a1000．25b，得，解得a b 02.5400 b（2）①由（1）知， y1000 1000（ 5 x 20 ），则点 的坐标为 t ,，xt22设在点 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 A ， B 点，2000，yx310002000则 l 的方程为 yx t，由此得tt23Α 3t ,0 2 ， 3000Β 0,t2． 53t30003 4 10226f tt2故22t2t24，t 5, 20．410616106②设，则．令 g t0，解得t 10 2 ．g ttg t 2t2tt45当t 5,10 2时， g t 0 ， g t 是减函数；当t10 2, 20时，g t 0， g t是增函数．从而，当t 10 2 时，函数 g t有极小值，也是最小值，所以g t min 300 ，f t min 15 3 ． 此时答：当t 10 2 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 千米．19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为1002rh 200rh 元，底面的总成本为160r 元，所以蓄水池的总成本为（ 200rh 160r 2 ）元.2又题意据 200rh 160r 2 12000 ，所以1 (300 42 )h r ， 5r从而V (r ) r 2h (300r 4r 3 )．因 r 0 ，又由 h 0 可得 r 5 3 ，5故函数V (r ) 的定义域为 (0, 5 3) .（Ⅱ）因 ( )(300 4 3 ) ．令V (r ) 0，V r r r ，故V (r ) (300 12r 2 )5 5解得 r r （因r r （因 1 5, 2 5r 不在定义域内，舍去）.2 5 当 r (0,5)时，V (r ) 0，故V (r ) 在 (0, 5) 上为增函数；当r (5, 53) 时，V(r) 0 ，故V (r) 在(5, 5 3) 上为减函数.由此可知，V (r) 在r 5 处取得最大值，此时h 8．即当r 5 ，h 8时，该蓄水池的体积最大.20．【解析】（1）当b 1,c 1,n …2时，f (x) x n x 1．∵内存在零点．f f ，∴f (x) 在(1 ,1)( ) (1) ( ) 1 01 1 12 2n 2 2又当上是单调递增的，x时，f (x) nx n1 10，∴f (x) 在(1 ,1)( ,1)12 261∴f (x) 在区间( ,1)2内存在唯一的零点；（2）解法一由题意知剟f1 ( 1) 1,1剟f (1) 1,即0剟2,b c2剟b c0,由图像知，b 3c 在点(0,2) 取得最小值6 ，在点(0, 0) 取得最大值0 ．cbO-2解法二由题意知1剟f (1) 1 b c 1，即2剟b c 0 ．…①1剟f (1) 1b c 1，即2?-b c ?0．…②① 2 +②得6?2(-b c ) (b c ) b 3c ?0，当b 0,c 2 时，b 3c 6 ；当b c 0 时，b 3c 0 ．所以b 3c 的最小值6，最大值0 ．f (1) 1b c,解法三由题意知，f (1) 1 b c,f (1) f (1) f (1) f (1) 2解得b ,c ，2 2b 3c 2 f (1) f (1) 3．又∵剟1 f ( 1) 1,，∴6?b 3c ?0 ．1剟f (1) 1,当b 0,c 2 时，b 3c 6 ；当b c 0 时，b 3c 0 ．所以b 3c 的最小值6，最大值0 ．(3)当n 2 时, f (x) x2 bx c ．对任意x x [1,1]都有有1, 2f(x ) f (x ) …4 等价于f (x) 在[-1,1]上的最大值与最1 2小值之差M …4．据此分类讨论如下:7b ,即b 2时, M f (1) f (1) 2 b 4 ,与题设矛盾．(ⅰ)当 12b b b(ⅱ)当1…0,即0 b …2时, M f (1) f () ( 1)2 …4 恒成立．2 2 2b b b(ⅲ) 当0…1,即2剟b 0 时, M f (1) f () ( 1)2 …4 恒成立．2 2 2综上可知, 2剟b 2 ．21．【解析】设包装盒的高为h （cm），底面边长为a （cm），由已知得a 2x h 60 2x x x, 2(30 ),0230.（1）S 4ah 8x (30 x ) 8(x 15)2 1800 ,所以当x 15 时，S 取得最大值．（2）V a2h 2 2 (x 2 30x2 ),V 6 2x (20 x). 由V 0得x 0（舍）或x =20．当x (0,20) 时，V 0 ；当x(20,30)时V 0 ．所以当x =20 时，V 取得极大值，也是最小值．此时ha1，即装盒的高与底面边长的比值为212．8。

训练目标 (1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义. 训练题型 (1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数单调性求最值.解题策略(1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性. 2．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．3．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是________． 5．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．7．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．8．(2015·上海黄浦区期中调研测试)若函数f (x )＝2x 2＋ax ＋1－3a 是定义域为R 的偶函数，则函数f (x )的单调递减区间是________．9．设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的最大值为________．10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是________．11．(2015·洛阳二模)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 13．(2015·广东深圳五校联考)已知函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x ，当θ∈(0，π2)时，恒有f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0成立，则实数m 的取值范围是________．14．(2015·昆明模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接)答案解析1．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f (x )＝x 2－2mx －3的对称轴为x ＝m ，函数在区间[1,2]上单调，则m ≤1或m ≥2.2．[1，32) 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32. 3.43解析 因为f (x )＝1(x －12)2＋34，所以当x ＝12时，f (x )取得最大值43. 4．[－3，－2]解析 要使函数在R 上是增函数则有⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2.5．[2,4] 解析 由f (x )＝(x －2)2＋1知，当x ＝2时，f (x )的最小值为1，当f (x )＝5，即x 2－4x ＋5＝5时，解得x ＝0或x ＝4.依据图象(图略)，得2≤m ≤4.6.23解析 令f (x )＝0，得x ＝1；令f (x )＝1，得x ＝13或3. 因为f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故b －a 的最小值为1－13＝23. 7．(－1，＋∞)解析 由题意知，存在正数x ，使a >x －12x ，所以a >(x －12x )min ，而函数f (x )＝x －12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a >－1.8．(－∞，0]解析 由已知得a ＝0，从而f (x )＝2x 2＋1，由复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0]．9．－2解析 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a －22，则函数f (x )在(－∞，－a －22)上单调递减，在区间[－a －22，＋∞)上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 10．0≤m ≤4解析 由于f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)＞f (0)，解得a ＜0.又因为f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a 2a＝2.所以x 在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.11．[a ，1]解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(12，＋∞)， 单调递增区间为[0，12]． ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]．12.⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.13．[－12，＋∞) 解析 因为函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 是奇函数且f ′(x )＝－3x 2－1＋cos x ≤0，所以函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 在R 上是减函数．不等式f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0等价于f (cos 2θ＋2m sin θ)>－f (－2m －2)＝f (2m ＋2)⇔cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2⇔2m (1－sin θ)>cos 2θ－2⇔m >cos 2θ－22(1－sin θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，θ∈(0，π2)． 记g (θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，令sin θ＝t ∈(0,1)， 则g (t )＝t 2＋12(t －1)，g ′(t )＝2t (t －1)－(t 2＋1)2(t －1)2＝t 2－2t －12(t －1)2＝(t －1)2－22(t －1)2<0在t ∈(0,1)上恒成立，所以函数g (t )＝t 2＋12(t －1)在t ∈(0,1)上是减函数，从而g (θ)＝sin 2θ＋12×(sin θ－1)<02＋12×(0－1)＝－12在(0，π2)上恒成立，所以实数m 的取值范围为[－12，＋∞)． 14．b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .。

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数综合及其应用答案部分1．A【解析】解法一根据题意，作出f (x) 的大致图象，如图所示yy=f(x)O 1x当x ≤1时，若要 f (x) ≥|x+a | 恒成立，结合图象，只需x 2 -x +3≥-(x+a) ，即2x 2 -x+3 +a ≥0，故对于方程x 2 -x+3 +a =0 ，∆=(-1)2 -4(3+a)≤0，解得2a ≥-47；当x >1 时，若要f (x)≥|x+a | 恒成立，结合图象，只需x +2≥x+a ，2 2 216 2x 2即+≥a，又+≥2 ，当且仅当=，即x = 2 时等号成立，所以a ≤2 ，2 x 2 x 2 xx 2 x 2 x 2综上，a 的取值范围是[-47, 2] ．选A．16解法二由题意f (x) 的最小值为11，此时x =1．不等式f (x) ≥|x+a | 在R 上恒成立等价于| x+a |≤11在R 上恒成立．422 2 4当a =-2 3 时，令x =1，|x-2 3 |=|8 3 -1|>11，不符合，排除C、D；2 2 48当a =39时，令x =1，|x+39|=|43|>11，不符合，排除B．选A．16 2 2 16 16 82．D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗1 升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80 千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用pq丙车比用乙车更省油,选 D ．3．B 【解析】由题意可知 p = at 2 + bt + c 过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p = at 2 + bt + c 中可解得a = -0.2,b = 1.5, c = -2 ，∴ p = -0.2t 2 +1.5t - 2 =-0.2(t - 3.75)2 + 0.8125 ，∴当t = 3.75 分钟时，可食用率最大．4．D 【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为a ，则(1+ p )(1+ q )a = a (1+ x ) 2，解得x = (1+ p )(1+ q ) -1 ，故选 D ．5．①④【解析】①e xf (x ) = e x⋅2-x= ( e )x 在R 上单调递增，故 f (x ) = 2- x具有M 性质； 2② e x f (x ) = e x ⋅3 -x = ( e)x 在R 上单调递减，故 f (x ) = 3- x不具有M 性质；3③ e x f (x ) = e x ⋅ x 3，令 g (x ) = e x ⋅ x 3，则 g '( x ) = e x ⋅ x 3+ e x ⋅ 3x 2= x 2e x( x + 2) ，∴当 x > -2时， g '(x ) >0 ，当 x < -2时， g ' (x )< 0 ，∴ e x f (x ) = e x ⋅ x 3 在(-∞, -2) 上单调递减，在(-2, +∞) 上单调递增，故 f (x ) = x 3 不具有M 性质；④e xf (x ) = e x(x 2 + 2)，令 g (x ) = e x (x 2 + 2)， 则 g '(x ) = e x (x 2 + 2) + e x ⋅ 2x = e x [(x + 1)2+ 1]> 0 ，∴ e x f (x ) = e x (x 2 + 2) 在R 上单调递增，故 f (x ) = x 2 + 2具有M 性质．6．8【解析】由于 f (x ) ∈[0,1) ，则需考虑1≤ x <10 的情况，在此范围内， x ∈Q 且 x ∈ D 时，设x = q , p , q ∈ N * , p ≥ 2 ，且 p , q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1) ，可设lg x =n, m , n ∈ N *, m ≥ 2 ，且m , n 互质， mn 10 = 10n = ( q )m因此m，则pp，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内 x ∈ D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期 x ∉ D 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1, 0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x ∉ D 的部分，且 x =1处(lg x )' =1=1< 1 ，则在 x =1 附近仅有一个交点，x ln10 ln10因此方程 f (x ) - lg x = 0 的解的个数为 8．7． 4 15 【解析】如图连接OE 交 AC 于G ，由题意OE ⊥ AC ，设等边三角形ABC 的边长为 x （0 < x < 5 ），则OG = 3 x ，GE = 5- 6 3 x ． 6EAGFO CBD由题意可知三棱锥的高h =GE 2 - OG 2=(5-3 x )2 - (3 x )2 = 25-5 3 x底面 S∆ABC =3 x 2， 4663三棱锥的体积为V = 1⨯3 x 2⨯ 25- 5 3 x = 15 5x4 - 3 x5 ， 34 3 12 3设h (x ) = 5x 4 -3 x 5 ，则h '(x ) = 20x 3 - 5 3 x 4（0 < x < 5 ）， 3 3令 h '(x ) = 0 ，解得x = 4 3 ，当x ∈(0, 4 3) 时， h '(x ) > 0 ，h (x ) 单调递增； 当 x ∈(4 3,5) 时，h '(x ) < 0 ， h (x ) 单调递减，⎩所以 x = 4 3 是h (x ) 取得最大值h (4 3) = (4 3)4所以V = 15 ⨯ h (4 3) = 15⨯ (4 3)2 = 4 15． max812 12⎧ x 3- 3x ,x ≤ 0 ． 2 ，(-∞, -1) .【解析】①若 a = 0 ，则 f (x ) = ⎨ -2x , x > 0，当 x > 0 时，-2x < 0 ；当 x … 0 时， f '( x ) = 3x 2 - 3 = 3( x + 1)(x - 1) ，所以函数 f ( x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，在(-1, 0] 上单调递减，所以函数 f ( x )在(-∞, 0] 上的最大值为 f (-1) = 2 ．综上函数 f (x ) 的最大值为 2．②函数 y = x 3- 3x 与 y = -2x 的大致图象如图所示y 321–2 –1 O–1–2123若 f (x ) 无最大值，由图象可知-2a > 2 ，即a < -1．⎧ e b= 192 9．24【解析】由题意得⎨ e 22k +b = 48 ⎧e b =192 ⎪⎨e 11 k = 1 ，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是 ⎪⎩ 2y = e 33k +b = (e 11k )3 ⋅ e b = (1)3⨯ 193= 24 ．210．(2 10, +∞)【解析】函数 g (x ) 的定义域为[-1, 2] ，根据已知得h ( x ) + g ( x )= f (x ) ，2所以 h (x )=2 f (x ) - g (x ) = 6x + 2b - 4 - x 2 ， h (x ) > g (x ) 恒成立，即6x + 2b - 4 - x 2 > 4 - x 2 ，令 y = 3x + b ，y = 4 - x 2 ，则只要直线y = 3x + b在半圆 x 2 + y 2= 4( y ≥0) 上方即可，由 | b |10> 2，解得b > 2 10 （舍去负值），故实数b 的取值范围是(2 10, +∞) ．⎩ ，即11．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为4m 3 ，高为1m ，所以长方体的底面矩形的宽为4m ，依题意，得xy = 20⨯ 4+ 10(2x + 2⨯4) = 80+ 20(x + 4)≥ 80+ 20⨯ 2 x ⋅ 4= 160x x x12．①③④【解析】对于①，根据题中定义， f (x )∈ A ⇔ 函数 y = f (x ) ， x ∈ D 的值域为R ，由函数值域的概念知，函数 y = f (x ) ， x ∈ D 的值域为R ⇔ ∀b ∈ R ,∃a ∈ Df (a ) = b ，所以①正确；对于②，例如函数 f (x ) = ( 1)|x | 的值域(0,1] 包含于区间[-1,1] ，2所以 f (x ) ∈ B ，但 f (x ) 有最大值 l ，没有最小值，所以②错误；对于③，若f (x ) +g (x )∈ B ，则存在一个正数 M 1 ，使得函数 f (x ) + g (x )∈ B 的值域包含于区间[-M 1, M 1] ，所以-M 1 ≤ f (x ) +g (x ) ≤ M 1 ，由 g (x ) ∈ B 知，存在一个正数M 2 ，使得函数 g (x ) 的值域包含于区间[-M 2 , M 2 ]，所以-M 2 ≤ g (x ) ≤ M 2 ，亦有-M 2 ≤ -g (x ) ≤ M 2 ，两式相加得 -(M 1 + M 2 ) ≤ f (x ) ≤M 1 + M 2 ，于是 f (x ) ∈ B ，与已知“. f (x ) ∈ A ”矛盾，故 f (x ) + g (x ) ∉ B ，即③正确；对于④，如果a > 0 ， 那么 x → +∞, f (x ) → +∞ ，如果a < 0 ，那么 x → -2, f (x ) → +∞ ，所以 f (x ) 有最大值，必须a = 0 ，此时 f (x ) = x x 2+1 在区间(-2, +∞) 上，有- 1 ≤ f (x )≤ 1 ，2 2所以 f (x ) ∈ B ，即④正确，故填①③④．13．【解析】(1)当0 < x ≤30 时， f (x ) = 30 < 40 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间； 当30 < x <100 时，若40 < f ( x ) ，即 2x + 1800 - 90 > 40 ，解得x < 20（舍）或x > 45 ；x∴当45 < x <100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为n ⋅ x % ，乘公交人数为n ⋅ (1- x %) ．⎨ x n B⎧ 30 ⋅ n ⋅ x % + 40 ⋅ n ⋅(1 - x %) ,0 < x ≤30n 因此人均通勤时间 g (x ) = ⎪ ， ⎨ (2x + 1800 - 90)⋅ n ⋅ x % + 40⋅ n ⋅ (1- x %) ⎪⎪, 30 < x < 100 ⎩⎧40 - 整理得： g (x ) = ⎪ 1 x, 0 < x ≤ 30 10 ， 2⎪ ⎪⎩50(x - 32.5) + 36.875, 30 < x < 100则当 x ∈ (0, 30] (30, 32.5]，即 x ∈ (0, 32.5] 时， g (x ) 单调递减； 当x ∈(32.5,100) 时， g (x ) 单调递增．实际意义：当有32.5% 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多， 则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．14．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于 H ，则PH ⊥ MN ，所以OH =10．PDCG θE KM AO HN过O 作OE ⊥ BC 于 E ，则OE ∥ MN ，所以∠COE =θ， 故OE = 40cos θ， EC = 40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为2⨯ 40cos θ(40sin θ+10) = 800(4sin θcos θ+ cos θ) ，∆CDP 的面积为1⨯ 2 ⨯ 40 cos θ(40 - 40 sin θ) =1600(cos θ-sin θcos θ) ．2过N 作GN ⊥ MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和 K ，则GK = KN = 10 ．令∠GOK =θ ，则sin θ = 1 ，θ ∈ (0,π) ．0 04 0 6当θ∈[θ ,π) 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ，0 2所以sin θ的取值范围是[ 1,1) ．4答：矩形 ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+ cos θ)平方米， ∆CDP 的面积为1600(cos θ- sin θcos θ) ， sin θ的取值范围是[ 1,1)．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k > 0) ，则年总产值为4k ⨯800(4sin θcos θ+cos θ) +3k ⨯1600(cos θ-sin θcos θ)= 8000k (sin θcos θ+ cos θ) ，θ∈[θ ,π) ．0 2 设 f (θ) = sin θcos θ+ cos θ，θ∈[θ ,π) ，0 2则 f '(θ) = cos 2 θ- sin 2 θ- sin θ= -(2 sin 2 θ+ sin θ-1) = -(2 sin θ-1)(sin θ+1) ． π令 f '(θ) = 0 ，得θ= 6 ，当θ∈ (θ ,π) 时， f ′(θ)>0，所以 f (θ)为增函数；0 6当θ∈ (π,π) 时， f ′(θ)<0 ，所以 f (θ) 为减函数， 6 2π因此，当θ= 6时， f (θ) 取到最大值．π答：当θ= 6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．15．【解析】（1）由log 2 ⎭ + 5 >1 ，解得 x ∈⎛-∞, - 1 ⎫ (0, +∞)．4 ⎪ ⎝ ⎭ （2） 1+ a = (a - 4)x + 2a - 5 ，(a - 4) x 2 +(a -5)x -1= 0 ，x当a = 4 时， x = -1 ，经检验，满足题意．当a = 3时， x 1 = x 2 = -1，经检验，满足题意．当a ≠ 3 且a ≠ 4 时， x 1 =1a - 4 ，x 2 = -1 ， x 1 ≠ x 2 ． x 1 是原方程的解当且仅当 1+ a > 0 ，即a > 2 ；x 1 x 2 是原方程的解当且仅当 1+ a > 0 ，即a >1 ．x 2于是满足题意的a ∈(1, 2] ．⎛ 1 + 5 ⎫> 0 ，得 1⎝x ⎪ x1 ⎩ ⎭综上，a 的取值范围为(1, 2] {3, 4}．（3）当0 < x < x 时， + a > 1 + a ，log ⎛ 1 + a ⎫> log ⎛ 1 + a ⎫ ， 1 2xx2 x ⎪ 2 x⎪ 1 2所以 f (x )在 (0, +∞)上单调递减．⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭函数 f (x )在区间 [t ,t +1]上的最大值与最小值分别为 f (t ) ， f (t +1) ．f (t ) - f (t +1) = log⎛ 1 + a ⎫ - log ⎛ 1 + a ⎫≤ 1 即at 2 + (a +1)t -1≥ 0 ， 2 t ⎪ 2 t +1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭对任意t ∈⎡1 ,1⎤成立． ⎢⎣2 ⎥⎦因为 a > 0 ，所以函数 y = at 2 + (a +1)t -1在区间⎡ 1 ,1⎤上单调递增， ⎢⎣ 2 ⎥⎦t = 1 时， y 有最小值3 a - 1 ，由 3 a - 1 ≥ 0，得a ≥ 2 ．2 4 2 4 2 3故a 的取值范围为⎡ 2 , +∞⎫．⎢⎣ 3 ⎪16．【解析】（1）由题意知，点M ， N 的坐标分别为(5, 40) ，(20, 2.5) ．⎧ a= 40将其分别代入y = a，得⎪ 25+ b ⎧a = 1000 ，解得． x 2+ b⎨ a ⎨b = 0⎪ 400+ b = 2.5（2）①由（1）知， y = 1000 （ 5 ≤ x ≤ 20 ），则点P 的坐标为 ⎛t , 1000⎫ ，x 2t2 ⎪ ⎝ ⎭ 设在点P 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 A ， B 点， y ' = - 2000，x3 则l 的方程为 y - 1000 = - 2000 ( x - t )，由此得A ⎛ 3t , 0 ⎫， B ⎛ 0, 3000⎫． t 2 t 32 ⎪ t 2 ⎪⎛ 3t ⎫2⎛ 3000 ⎫23 24 ⨯106 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ t ∈ 5, 20故 f (t ) = 2 ⎪ + t 2 ⎪ = 2 t + t 4 ， [ ]．⎝ ⎭ ⎝ ⎭②设 g (t ) = t 2 + 4 ⨯10 6 ，则g '(t ) = 2t - 16⨯106．令g '(t )= 0 ，解得t 10 2 ．t 4 t 5=⎩当t ∈(5,10 2)时，g '(t )< 0 ， g (t ) 是减函数；当t ∈(10 2, 20) 时， g '(t )> 0 ，g (t ) 是增函数． 从而，当t = 10 2 时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min = 300 ，此时 f (t )min = 15 3 ．答：当t = 10 2 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 千米．17．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为100⋅2πrh = 200πrh 元，底面的总成本为160πr 2 元，所以蓄水池的总成本为（ 200πrh +160πr 2 ）元.又题意据200πrh +160πr 2=12000π，所以h =1(300 - 4r 2 ) ，5r从而V (r ) =πr 2h = π(300r - 4r 3) ．因r > 0 ，又由h > 0 可得r < 5 3 ，5故函数V (r ) 的定义域为(0, 5 3) .（Ⅱ）因V (r ) = π(300r - 4r 3 ) ，故V '(r ) = π(300 -12r 2) ．令V '(r ) = 0 ，5 5解得r 1 = 5, r 2 = -5 （因 r 2 = -5不在定义域内，舍去）. 当r ∈ (0,5) 时，V '(r ) > 0 ，故V (r ) 在 (0, 5) 上为增函数；当r ∈(5,5 3) 时，V '(r ) < 0 ，故V (r ) 在(5, 5 3) 上为减函数. 由此可知，V (r ) 在r = 5 处取得最大值，此时h = 8 ． 即当r = 5 ， h = 8时，该蓄水池的体积最大．18．【解析】（1）当b = 1,c = -1, n …2 时， f (x ) = x n+ x - 1．∵ f (1) f (1) = ( 1 - 1 )⨯1< 0 ，∴ f (x ) 在( 1,1) 内存在零点．2 2n 2 2又当 x ∈( 1 ,1) 时， f '(x ) = nx n -1+ 1> 0 ，∴ f (x ) 在( 1 ,1) 上是单调递增的，2 2∴ f (x ) 在区间( 1,1) 内存在唯一的零点；2⎧-1剟f (-1) 1, ⎧ 0 剟b - c 2, （2）解法一 由题意知 ⎨ -1剟f (1) 1, 即 ⎨-2 剟b + c 0, 由图像知，b + 3c 在点⎩ ⎩(0, -2) 取得最小值-6 ，在点(0, 0) 取得最大值0 ．⎨-1剟f (1) 1,cO b - 2解法二 由题意知-1剟f (1) =1+b +c 1 ，即-2 剟b +c0 ．…①-1剟f (-1) =1-b +c1，即-2 ? --b +c ?0 ．…②①⨯2 +②得-6 ? 2(-b +c) + (-b +c) =b + 3c ? 0当b = 0, c =-2 时，b + 3c =-6 ；当b =c = 0 时，b + 3c = 0所以b + 3c 的最小值-6 ，最大值0 ．⎧f (-1) =1 -b +c,解法三由题意知⎨⎩ f (1) =1 +b +c,,解得b = f (1) -f ( -1) , c = f (1) +f ( -1) -22 2b + 3c = 2 f (1) +f (-1) - 3 ．又∵⎧-1剟f (-1) 1,, ∴-6 ?b +3c ? 0⎩当b = 0, c =-2 时，b +3c =-6 ；当b =c = 0 时，b +3c = 0 所以b + 3c 的最小值-6 ，最大值0 ．(3)当n = 2 时, f (x) =x2 +bx +c ．对任意x1, x2∈[-1,1] 都有有 f (x1) -f (x2) …4 等价于f (x) 在[-1,1]上的最大值与最小值之差M … 4 ．据此分类讨论如下:(ⅰ)当b>1 ,即b > 2时,2M =f (1) -f (-1) = 2 b > 4 ,与题设矛盾．(ⅱ)当-1…-b<0 ,即0 <b …22 时,M =f (1)-f (-b) = (b+ 1)2 …2 24 恒成立．(ⅲ) 当0 …-b<1 ,即-2 剟b20 时, M =f (-1)-f (-b) =(b-1)2 …2 24 恒成立．综上可知, -2 剟b 2 ． 19．【解析】设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得 2 （1） S = 4ah = 8x (30 - x ) = -8( x -15)2 +1800, 所以当x = 15 时， S 取得最大值． （2）V = a 2h = 2 2 - (x 2 + 30x 2 ),V ' = 6 2x (20- x ). a = 2x ,h = 60 - 2x = 2(30 - x ),0 < x < 30. 由V ' = 0得x = 0 （舍）或x =20． 当 x ∈ (0,20) 时，V ' > 0;当x ∈ (20, 30)时V ' < 0 ． 所以当 x =20 时，V 取得极大值，也是最小值． 此时 h = 1 即1 装盒的高与底面边长的比值 a 2 2 2。

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数的综合及其应用一、选择题1．（2017天津）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 2．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟4．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD1 二、填空题5．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2xf x -=②2()f x x=③()3xf x -=④()cos f x x =6．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52，c＝0.50.2．而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．5．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．8．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．10．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．11．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．12．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．13．【2018年天津理科05】已知a＝log2e，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．14．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．15．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．16．【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（），故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．17．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：A．18．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．19．【2017年天津理科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b ＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．20．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．21．【2019年全国新课标2理科14】已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣e ax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣322．【2019年江苏04】函数y的定义域是．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．23．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．24．【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．25．【2018年江苏09】函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x），则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1|，f（）＝cos（）＝cos，即f（f（15）），故答案为：26．【2018年浙江11】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z＝81时，x＝，y＝．【解答】解：，当z＝81时，化为：，解得x＝8，y＝11．故答案为：8；11．27．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．28．【2018年上海04】设常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）＝3，解得a＝7．故答案为：7．29．【2018年上海07】已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．32．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）33．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：834．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．35．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．36．【2017年上海08】定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若g（x）为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为．【解答】解：若g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f﹣1（x）＝2，可由f（2）＝1﹣3﹣2，可得f﹣1（x）＝2的解为x．故答案为：．37．【2017年上海09】已知四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从四个函数中任选2个，基本事件总数n，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）．故答案为：．38．【2019年江苏18】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB （AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．39．【2018年上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f （x ）＝2x90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40；当30＜x ＜100时，g （x ）＝（2x 90）•x %+40（1﹣x %）x +58；∴g （x ）；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．4C ．2±D ．4±【答案】C 【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(()ln g x ax =也为奇函数.而(()ln g x ax -=-+，故((()()ln ln 0g x g x ax ax -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴()()22f log 3?f log 3-= ∵320log 21,log 31,< f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23f log 3f log 2f 0<<，即()()()23f log 3f log 2f 0-<<故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==--- 故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误； 当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误； ()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4 又()f x 为奇函数()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==即：()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()()()1232019505123440f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅=⨯+++-=⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,4【答案】D 【解析】 解：y 211111111x x x x x x x -+-⎧==⎨----⎩，＞或＜，＜＜， 画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4，①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象．．
．．
2023春·广东韶关·高二统考期末）
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是（
．．
． ．
2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为（ ）
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示，则该函数是（
A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数． ．
． ．
2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A．B．
C．D．
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A．2
=-B．
4
y x x。