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第2章 解析函数 复变函数与积分变换 教学课件

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复变函数与积分变换-PPT课件

复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n


2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

复变函数与积分变换__第2章

复变函数与积分变换__第2章
连续 可导
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知 在C 上可导， 在 上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即 在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析． 由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一 点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
出版社 理工分社
2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数 把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数 的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
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第2章 解析函数
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社

复变函数与积分变换第二章_解析函数

复变函数与积分变换第二章_解析函数

z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

复变函数与积分变换课件第2章

复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，

复变函数与积分变换讲稿第二章解析函数

第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。

其中，称W 为像；Z 为原像。

若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。

2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。

例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xy v yx u 222。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。

这种函数关系要用两个平面来表示。

函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。

例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv y x u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒==是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。

复变函数课件02章 解析函数


试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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第2章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.1.1 复变函数的导数与微分
1、 复变函数的导数
定义1 设函数 f (z)在包含 z 0 的某区域 D内有定义，
当变量 z在点 z 0 处取得增量 z (z0zD)
时，相应地，函数 f (z)取得增量
若极限
w f(z0 z)f(z0)
lim f(z0z)f(z0)
df[g(z)]df(h)dg(z)
dz
dh dz
2.2.2函数解析的充要条件 定理１ 设函数f(z) u (x ,y ) i(v x ,y )在区域 D
内有定义，则 f (z) 在 D 内可导的充分必要条 件为 u , v 在 D 内任一点 z xiy 处 （1）可微； （2）满足
u v , u v x y y x
（5） g f((z z)) f(z)g([z g )( z)f2 (]z)g(z) (g(z)0 )
（6）{ f[( z )} ] f( w )( z ),其 w 中 ( z ) ；
（7） f(z)(1 w )， 其 中 w f(z)和 z(w )
是两个互为反函数的单值函数，且 （ w）0 .
反之，函数 f (z) 在 z 0 连续却未必在 z 0 可 导，例如，例3中的函数 f(z)x2yi在 复平面内处处连续却处处不可导.
3、ห้องสมุดไป่ตู้复变函数的微分 定义2 称函数 f (z) 的改变量 w 的线性部
分 f (z0)z 为函数 f (z) 在点 z 0 处的微分， 记作 d w z z0 或 df(z) zz0 ，即
z 0
z
（或 lim f (z) f (z0) ）
zz0
z z0
（2.1）
存在，则称 f (z) 在点 z 0 处可导，
此极限值称为 f (z) 在点 z 0 处的导数，记作 f (z0)
dw
或
，即
d z z z0
f (z0 )
dw dz
limf(z0z)f(z0)
z0 z z0
z
如果函数 f (z) 在区域 D内每一点都可导，则 称 f (z)在 D 内可导.
处必连续. 证 因为
z l z i0m f(z)f(z0 ) z l z i0 (m z z0 )f(z z ) z f0 (z0 )
zl izm 0(zz0)zl izm 0 f(zz) zf0(z0)
0 f(z0)0
知 zl izm 0 f(z)f(z0)，故 f (z) 在点z 0 处连续.
解 因为
f (z) 2(z22z4)(2z2)
所以
f( i) 2 [ i( ) 2 2 ( i) 4 ] [ 2 ( i) 2 ]
4(32i)1 (i)
42i0
2.2 解析函数
2.2.1解析函数的定义及其性质
1. 解析函数的定义
定义3 如果函数 f (z) 不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z 0 的某邻域内的每一点都可导， 则称 f (z) 在点z 0 处解析，并称点z 0 是函数的 解析点；如果函数 f (z) 在区域 D内每一点都 解析，则称 f (z) 在区域 D内解析或称f (z) 为 区域 D内的解析函数，区域 D称为 f (z)的解 析区域.
处连续，
且
uv2x,uv2y x y y x
如果 f (z) 在点 z 0 处不解析，,则称z 0 为 f (z)的奇
点.
例1 讨论函数 f (z) z2 的解析性.
解 由例2知， f (z) z2在整个复平面内处处 可导且 f(z)2z，则由函数在某区域内解析 的定义可知，函数 f (z) z2在整个复平面上 解析.
2. 解析函数的运算性质：
设 zz沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，
因而 y 0 ，这时极限
lim x2yilim x1 z 0 xyi z 0x
设 zz 沿着平行于 y轴的直线趋向于 z，
因而 x0，这时极限
lim x2yilim 2yi2 z 0 xyi z 0 y
所以 f(z)x2yi的导数不存在.
2、 可导与连续的关系 若函数 wf(z) 在点 z 0 处可导，则 f (z) 在点z 0
d w z z0 f (z0)z
2.1.4 导数运算法则 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假
设可导）：
（1） (C)0, 其中C为复常数； （2）（zn） nzn1, 其中n为正整数；
（3） f(z ) g (z )f(z ) g (z )； ；
（4） f( z ) g ( z ) f( z ) g ( z ) f( z ) g ( z )
上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条 件（或方程），简称C—R条件（或方程）.
定理２ 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y )在区域 D内 解析的充要条件为
（1） u , u , v , v 在D 内连续；
x y x y
（2）u , v 在 D 内满足C—R条件 ，
（1）若函数 f (z) 和 g ( z ) 在区域 D内解析，
则
f (z)
g (z)
、f (z)g(z) 、
f (z) (g(z) 0) g(z)
在
D 内也解析；
（2）若函数w f(h)在区域 G 内解析，而
h g(z) 在区域 D内解析，且 g(D)G，则
复合函数
w
f[g(z)]在 .
D内也解析，且.
.
例3 求下列函数的导数.
（1） f(z)(2z2i)5 （2）f(z)(1z2)4 (z0)
z2
解 （1） f (z) 5 (2 z2 i)4 4 z 2z(0 2 z2 i)4
（2） f(z)4(1z2)32zz34 2z(1z2)4
z23 (1z2)3(3z21)
例4 设 f ( z ) (z22z4)2,求 f( i)
u v , u v x y y x
例2 讨论函数 f (z) z2 的可导性，并求其导数. 解 由 f (z) z2 (xiy)2x2y2i2xy
得 u (x ,y ) x 2 y 2 ,v (x ,y ) 2 x y
则 u2x,u2y,v2y,v2x
x y x y
显然，在复平面内 u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 的偏导数处