高二下学期期中数学试卷

江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且()a ab ⊥+rr r ，则y 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题2．已知向量()1,01a =-r ,，则下列向量中与a r成60o 夹角的是（ ）A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-三、单选题3．在函数ln y x x =，cos y x =，2x y =，ln y x x =-中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．ln y x x = B ．cos y x = C ．2x y =D ．ln y x x =-4．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．不确定5．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．如图，在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，5,3,7AB AD AA ==='，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ∠∠'=='︒，则AC '的长为（ ）A BC D 7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的导函数为()'f x ，若()'cos f x x ≥ 恒成立，则()sin f x x ≥的解集为（ ） A ．[)π,-+∞B ．[)π,+∞C ．π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．四、多选题9．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=（ ）A BC D 10．已知()e xxf x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =1处的切线方程为e 10y -=B ．单调递减区间为()1,∞+C ．()f x 的极小值为1eD ．方程2024()1f x =有两个不同的解11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()()ln ln e e e ,ln xx x x x t f x x t x x =====，所以()f x 可看作是由函数()e t h t =和ln t x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数．根据以上材料，关于初等函数1()(0)x h x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e五、填空题12．已知向量(0,1,1),(4,1,0)||a b a b λ=-=+r r r r，λ=.13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为．14．若关于x 的不等式()()e 1ln e 1xa x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是．六、解答题15．已知函数()322f x x ax bx a =+-+，在x =1时取得极小值10.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 在区间[]1,3-上的最值.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱，AC 为圆柱底面的直径，12AB AA BC ===，M 为11AC 中点，N 为1CC 中点.(1)求直线BM 与平面1A BC 所成角的正弦值(2)若求平面1A BC 与平面BMN 所成锐二面角的余弦值．17．已知函数()()e 1xf x ax a =--∈R .(1)若a 为常数，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)判断0.314e 与1.314的大小关系，并说明理由.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PAD V 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．(1)取线段PA 中点M ，连接BM ，判断直线BM 与平面PCD 是否平行并说明理由； (2)求B 到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC求出PEPD的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数()21ln ,,,f x a x mx bx m a b x=+--均为实数，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1,0,2a m b =-==时，求函数()f x 的单调区间; (2)当2,1a m ==-时，若函数()1y f x x =+与直线y bx b =--在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.(3)当0,0a m >=时，已知()()1212,0,x x x x ∞∈+≠，若存在b ∈R ，使得()()12f x f x =成立，求证:()()120f x f x ''+>.。

浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单选题1．直线10x +=的倾斜角是 A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．直线1l 的方向向量()1101ν=-r ，，，直线2l 的方向向量()2202ν=-r，，，则不重合直线1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤4．若二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（ ） A ．9B ．36C ．84D ．1265．若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设抛物线2:4T y x =的焦点为F ，A 为抛物线上一点且A 在第一象限，4AF =，若将直线AF 绕点F 逆时针旋转45︒得到直线l ，且直线l 与抛物线交于,C D 两点，则CD =（ ）A ．32-B ．32-C ．16-D ．16-7．设n 为偶数，则112217C 7C 7C 7n n n n n n n ---++++⋅L 被9整除的余数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-8．设函数()()()1ln xf x ax m e ax x ⎡⎤⎣⎦=-+- （其中e 为自然对数的底数），若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()21,e -+∞D ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知由样本数据(),(1,2,3,,10)i i x y i =⋯组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ2yx =-+，且4x =．剔除一个偏高直线较大的异常点()14,2--后，得到新的回归直线经过点()7,4-．则下列说法正确的是（ ）A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点()6,2-D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小 10．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（ ）A ．函数()f x 的极小值点为21e - B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-11．设一组样本的统计数据为：12,,,n x x x L ，其中*12N ,,,,R n n x x x ∈∈L ，已知该样本的统计数据的平均数为x ，方差为2s ，设函数()()12,R ni i f x x x x ==-∈∑，则下列说法正确的是（ ）A ．设R b ∈，则12,,,n x b x b x b +++L 的平均数为x b +B ．设R a ∈，则12,,,n ax ax ax L 的方差为22a sC ．当x x =时，函数()f x 有最小值中22n sD ．()()()2212n f x f x f x n s ++⋯+≥三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()1126P A P A B =⋂=，，则()P A B ⋂=．13．我们把形如()22122:10,0x y C a b a b -=>>和()22222:10,0y x C a b b a-=>>的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线12,C C 的离心率分别为12,e e ，则1212e e +的最大值是．14．已知函数()44,4x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n +个不同的交点，则22212n k k k +++=L ．四、解答题15．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数X 的分布列； (2)求X 的期望和方差16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且关于x 的方程2*10,nx n n +++=∈N 有两个相等的实数根．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()12n an n b a =+⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且4n n T λ≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的最大值．17．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为102p p ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知13p =，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．且离心率为(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于A ，B 两点，A ，B ，F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（i ）证明：直线l 过定点； （ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．将2024表示成7个正整数1234567,,,,,,x x x x x x x 之和，得到方程12345672024x x x x x x x ++++++=①，称七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x 为方程①的解，对于上述的七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x ，当1,7i j ≤≤时，若()()max i j x x t t -=∈N ），则称()1234567,,,,,,x x x x x x x 是t -密集的一组解．(1)方程①是否存在一组解()1234567,,,,,,x x x x x x x ，使得()11,2,3,4,5,6i i x x i +-=等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记721i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值：若不存在，请说明理由．。

广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若随机变量ξ服从正态分布()22,3N ，()()3521P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．已知函数()1e xf x x m=--的定义域内R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞3．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其经验回归方程为ˆˆˆybx a =+.已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，4b =$，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A ．162B ．166C ．170D ．1744．将甲、乙、丙等7名志愿者分到,,A B C 三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（） A ．148B ．124C ．170D ．1355．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为A ．{}|11x x -<<B ．{}|1x x <-C ．{}|11x x x -或D ．{}|1x x >6．若某射击手每次射击击中目标的概率为p （01p <<），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的125，则p 的值为（ ） A ．16B ．15C ．45D ．567．定义；各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008，2205，则所有“好运数”的个数为（ ）A ．165B ．162C ．156D ．1448．已知函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ，()1f x +与()g x 均为偶函数，且()01f =，则()20240k f k ==∑（ ）A ．2025B ．2024C ．1D ．0二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．某人解答5个问题，答对题数为X ，若()~5,0.6X B ，则() 1.2D X =C ．在103x⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等D ．已知一系列样本点(),i i x y （1i =，2，3…）的经验回归方程为$$3y x a=+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差相等，则310m n +=10．已知函数()3232f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 有两个极值点()2,2-，()0,2-B ．()f x 有三个零点C ．点()1,0-是()f x 的对称中心D ．()f x 在区间(),4a a +上有最大值，则a 的取值范围为(]6,3--11．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）A ．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是15B ．第二次抽到红球的概率是25C ．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为29D ．小明获得4块月饼的概率是1140三、填空题12．从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女生的选法有 种.13．()()423x y x y +-的展开式中23x y 项的系数为 .14．已知关于x 的不等式e ln 10kx kx x x -+--≤在()0,∞+上有解.则实数k 的取值范围为 .四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，251031a a a ++=. (1)求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S ； (2)若3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析.(1)选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；(2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.17．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>），经过点(，离心率为2，圆O 以椭圆的短轴为直径.(1)求椭圆E 的标准方程和圆O 的方程；(2)设P 为椭圆的左顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，设直线1l 与椭圆E 的另一个交点为Q ，直线2l 交圆O 于A ，B 两点，求ABQ V 面积的最大值. 18．已知函数()214ln 22x a x f x x =---.(1)若1a =，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)若函数()y f x =在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(3)若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，求证：()()12 6.52ln f x f x a +<-. 19．阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题： 知识卡片1：一般地，如果两数()f x 在区间[],a b 上的图象连续不断，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L 将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1i =，2，…，n ），作和式()1Δn i i f x ξ=∑()1ni i b af nξ=-=∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即()()1lim bni ni ab af x dx f n∞ξ→=-=∑⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式.从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 的图象连续不断且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线x a =，xb =，0y =和曲线()y f x =所围成的区域（称为曲边梯形）的面积. 知识卡片2：一般地，如果()f x 在区间[],a b 上的图象连续不断，并且()()F x f x '=，那么()()()()d a ba bf x x F x F b F a ⎰==-.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数()1f x x =（0x >），从几何上看，定积分1b a dx x⎰的值为由直线x a =，x b =，0y =和曲线1y x=所围成的区域即曲边梯形ABQP 的面积，根据微积分基本定理可得1ln ln ln aba b dx x b a x⎰==-.(1)求下列定积分： ①ππ2sin d x x =⎰ ；②12d x x =⎰ ；③x =⎰ ； ④e1ln xdx x=⎰ . (2)已知()7234567012345671x a a x a x a x a x a x a x a x +=+++++++，计算： ①11234567234567S a a a a a a a =++++++；②20123456711111112345678S a a a a a a a a =+++++++(3)当x ∈R ，1x <时，有如下表达式：2111n x x x x+++++=-L L .计算：231111111112223212n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L。

浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A.或 B.C. D.2．已知复数( )A.-2B.2C.D.3．若a ,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列说法错误的个数为( )①已知,若,则②已知,则A.0B.1C.2D.35．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律：在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若,则k 的值为( )A.14B.15C.24D.256．袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,取得白球得1分,取得黑球得2分,取得红球得3分,直到取到的球的总分大于{ln 0}M x x =>01xN xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭M N = {1x x <-0}x >{1x x -<1}>{}01x x <<{}1x x >z =z z -=4i -4i0b >a b >3ln 3ln a b b a ->-()210X N σ~,()809P X ≥=．()81208P X ≤≤=．153X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()5093E X D X ==,．b n ()log b bP n =()()*165ln6ln2ln2ln8kn p n k =-=∈+∑N ()*4k k ∈>N ,或等于4分时终止,用X 表示终止取球时所需的取球次数,则( )7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为( )8．已知函数,当大值为M ,有,则实数k 的最大值为( )二、多项选择题9．下列选项中正确的有( )A.已知在,则C.若非零向量,D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是10．下列命题错误的是( )A.线性相关模型中,决定系数越大相关性越强,相关系数r 越大相关性也越强B.回归直线至少会经过其中一个样本点C.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则D.以模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则a,b 的值分别为3,411．如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P 是下底面圆周上一动点,则( )()3P X ==()()322111432f x x x a x b a b ⎛⎫=-+-+≥∈ ⎪⎝⎭R ,0x ∈［，(M k ≥ab 5252a b ⋅=)b c a b c⋅≤ a b b = 2b += ()12a = ，()23b = ，a a b λ+ λ58⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2R ()i i x y ,()()i 123i i x y =⋯,，，ˆ2ˆy x a =+()2m ，()3n ,28m n +=e bx y a =ln z y =4ln3z x =+OO '4AB =2BC =AC BC ⊥A.圆台的侧面积为B.圆台C.当点P 是弧中点时,三棱雉的内切球半径D.的最大值为三、填空题12．的展开式中的常数项为____________.13．在锐角三角形中,边长为1,且,则边的长度取值范围是___________.14．某学校举办校庆,安排3名男老师和2名女老师进行3天值班,值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有____________种（用数字作答）.四、解答题15．设函数,其中,已知.（1）求的解析式;（2）已知,求的单调递增区间及值域.16．在如图所示的直三棱柱中,,,D ,E 分别是线段,上的动点.（1）若平面,,求的值;OO '6πOO πAB A BCP -23r >2PA PC +922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC BC 2B A =AC ()cos f x x x ωω=-()0,3ω∈π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 111ABC A B C -2AB BC ==12AA =BC 11A B //DE 11ACC A 1132B E EA =::CD BD :（2）若三棱柱是正三棱柱,D 是的中点,求二面角余弦值的最小值.17．已知函数,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）讨论的单调性;（3）证明：当时,.18．某超市为促进消费推出优惠活动,为预估活动期间客户投入的消费金额,采用随机抽样统计了200名客户的消费金额,分组如下：,,,,（单位：元）,得到如图所示频率分布直方图：表示）（2）若把消费金额不低于800元的客户,称为“活跃客户”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,求列联表中x,y 的值,并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？（3）为感谢客户,该超市推出免单福利,方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人,从中抽取2人进行免单,试写出总单金额YBC D BE A --()()212ln 22f x x x a x =+++a ∈R ()y f x =()()11f --,()f x 2a <-()234a f x a a ae ++>-[)0200，[)200400，[)400600， []10001200，95%的分布列及其期望.（每一组消费金额按该组中点值估计,期望结果保留至整数.）附：19．已知①设函数的值域是C ,对于C 中的每个y ,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为x ,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.②是定义在D 且取值于D 的一个函数,定义,,,,则称是函数在D 上的n 次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其n 次迭代函数,我们引入如下一种关系：对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质：（1）若,则（2）若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.（i ）若函数,求（写出结果即可）（ii ）证明：若,则.（iii ）若函数,求（桥函数可选取）,若,试选取恰当桥函数,计算.()()()()()2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()()y f x x A =∈()g y ()g y x ()()x g y y C =∈()()y f x x A =∈()()1x f y y C -=∈()()1x f y y C -=∈()()1y f x x C -=∈()()1y f x x C -=∈()()y f x x A =∈()()1f f x x -=2x y =2log x y =2log y x =2x y =2log y x =2x y =()f x ()()0f x x =()()()1f x f x =()()()()2f x f f f f x =- ⋯()()()n f x f f f ff f x == ()()n f x ()f x ()f x x a =+()()n f x x na =+()f x ()g x ()x ϕ()1x ϕ-()()1f xg x ϕϕ-= ()f x ()g x ()x ϕf g ϕ~()x ϕf g ϕ~1g fϕ-~0x ()f x ()00f x x =()0x ϕ()g x ()22f x x =()()n f x f g ϕ~()()n n fg ϕ~()22f x x x =+()()n f x ()1x x ϕ=+()2612c x x x =-+()()n c x参考答案1．答案：D解析：,,所以,所以或,所以 或, 所以.故选：D.2．答案：C 解析：,所以.故选：C.3．答案：C解析：由可得,令,,所以 在上单调递增,所以由,即,当时,因为 在 上单调递增, 所以 ,当 ,因为 在 上单调递增,所以 ,所以 “”是“ ”的充要条件.故选:C.4．答案：B 解析：5．答案：A解析：即,{ln 0}{1}M x x x x =>=>∣∣0>(1)0x x +>0x >1x <-{1N x x =<-∣0}x >{1}M N x x => ∣2i12i iz -==--12i =-+4i z z -=-3ln 3ln a b b a ->-3ln 3ln a b a b +>+()3ln (0)x F x x x =+>1()3ln 30x F x x'=+>()F x (0,)+∞3ln 3ln a b a b +>+()()F a F b >a b >()F x (0,)+∞()()F a F b >()()F a F b >()F x (0,)+∞a b >a b >3ln 3ln b a b a ->-161616161656781()log log log log 567kn k p n k=+=++++∑ ()*ln 6ln 2,4ln 2ln 8k k -=∈>+N 16161log log 35k +=,解得.故选: A.6．答案：B解析：由题意,时, 取球的情况为：白白红,白白黑, 白黑白, 白黑黑, 白黑红, 黑白白,黑白黑, 黑白红,所以故选：B.7．答案：D解析：如图, 设正三棱锥的底面边长为,高为,外接球半径为.因为体积为1 ,所以,所以不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1）,外部（图2)还是与G 重合（图3）,其外接球半径均满足,将当且仅当即故选：D.8．答案：C 解析：3=14k =3X =21122211122111(3)54335433354333P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯++⨯⨯+++⨯⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB BC AC a ===GS h =OA OS R ==211132V h =⨯=2a h =2222()3h R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭2a h ===≥==312a =a =9．答案：BC 解析：10．答案：AB 解析：11．答案：ABD 解析：12．答案：5376解析：的展开式的通项为:,,令,解得: ,所以 的展开式中的常数项为:.故答案为:5376 .13．答案：解析：因为 , 所以 ,由正弦定理得, ,因为,所以 ,因为是锐角三角形,所以,解得,所以,即边的长度取值范围是.故答案为：.14．答案：252解析：若上午值班均为女教师, 则不同的安排方法共有 种,可知下午值班均为男教师,则不同的安排方法共有 种,则不同的安排方法共有 种;922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()921831992C C (2)rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0,19r =⋯1830r -=6r =922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭669C (2)5376-=2B A =sin sin 22sin cos B A A A ==2cos b a A =1a =2cos b A =ABC △π0,2π20,2ππ30,2A B A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos b A =∈AC3226-=33A 6=6636⨯=若上午值班有男教师, 则不同的安排方法共有种,①当上午值班的男教师不下午值班时,则不同的安排方法共有 种;②当上午值班的男教师也下午值班时, 则不同的安排方法共有 种;则不同的安排方法共有种;综上所述：不同的安排方法共有种.15．答案：（1）（2）解析：（1）可化为,所以所以,又所以,所以（2）令解得又所以故的单调递增区间为所以所以1333C A 18=3226-=33A 6=18(66)216⨯+=36216252+=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()[]12f x ∈-，()f x ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππsin 2666πf ω⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2k π662ω--=-+212k ω=-k ∈Z ()03ω∈，0k =2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()111πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()111ππππ63k x k k -≤≤+∈Z π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10k =()f x π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()[]12f x ∈-，解析：方法1.（1）过点E 作,交于M ,连接,如图,由平面,平面,则平面又平面,,且,平面,故平面平面又平面平面,平面平面,所以方法2过点D 作,可得,所以四点共面四边形是平行四边形1//EM A A AB DM 1AA ⊂11AA C C ME ⊄11AA C C //EM 1ACC A 32BM AM ==//DE 11ACC A DE EM E = DE EM ⊂DEM //DEM 11ACC A DEM ABC DM =11A ACC ABC AC =//DM ACBD CD ==23=//MD AB //MD AE 1MDEA 11111111////A ED AA C C AA C C EA MD A M ED A M ED E MD⎧⎪=∴⎨⎪⊂⎩平面平面平面，平面∴1EA MD 1A E MD ∴=25DM CD AB CB ===23=（2）过D 作,垂足为G ,正三棱雉可得平面,再过作,垂足为N ,连接,则即为二面角的平面角.当E 位于时故二面角方法2：取的中点O 由正三棱锥得平面如图建立空间直角坐标系,,,设平面的法向量令平面法向量DG AB⊥DG ⊥11A ABB GGN BE ⊥DN ,EB NG EB DG EB DGN EB ND NG DG G ⊥⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨=⎩平面 DNG ∠B AE D --cos GN DNG DN ∠===1A min DG =min DNG ∠==B AE --BA OC ⊥11AA B B()2,,0E t ()0,1,0B -[]10112D t ⎛-∈- ⎝，，()21,0BE t =+ ,102BD ⎛= ⎝ ，DEB ()n x y z =,, ()102210BD n y z BE n x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩y =)11t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11AA B B ()001m =，，当时取到17．答案：（1）（2）时增区间为,当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）见解析解析：（1）令又过点直线方程为可化为（2）当,在上恒成立,故在上单调递增;当时,令得令得故在上单调递增,在上单调递减综上所述：时增区间为当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）证明：不等式可化为恒成立由（2）知,当时,,令,cos cos ,m n θ== 1t =min cos θ=()112ya x a =++-0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()()()222222x a a f x x x x x '++=++=>-++()111x k f a='=--=+,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭-()()3112y a x +=++()112y a x a =++-()()()2222x af x x x ++=+'>- 0a ≥()0f x '>()2,x ∈-+∞()f x ()2,-+∞0a <()0f x '>2x >-+()0f x '<22x -<<-()f x ()2-++∞(2,2--+0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()2340a f x a a ae ++-+>2a <-()(()min 112ln 222f x f a a a =-+=-+--()()()222min 154343ln 222a a a f x a ae a f x a ae a a a a ae a ++-+≥++-+=-+-++()()215ln 222a g a a a a ae a =-+-++则.令则.因为,所以所以在上单调递增.所以,所以,所以在上单调递减.因为,所以,所以,即当时,.18．答案：（1）620（2）有的把握与性别有关（2）列联表如下因此有的把握与性别有关.（3）可视作抽出消费900元8人,消费1100元4人()()12ln 32a a g a a a e ae =+---+'()()12ln 32a a h a a a e ae =+---+()()1222a h a e a a=+-+'2a <-()0h a '>()h a ()2∞--，()()2121ln202h a h e -<-=-++<()0g a '<()g a ()2-∞-，()22ln2210g e --=-++>()()20g a g >->()()()22min 43430a a f x a ae a f x a ae a g a ++-+≥++-+=>2a <-()234a f x a a ae ++>-95%100013000155000270002590002110001620=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()2220012003200952410010060140χ⨯-==⨯⨯⨯．23841χ>．95%19．答案：（1）（2）成立（3）见解析解析：（1）（2）因为,有,即所以有,即由数学归纳法或递推法可知成立.（3）根据相似函数不动点也相似,桥函数选取时可令不动点为一解,当,可选取桥函数（不唯一）,易得由（2）可知,即有.当,选取桥函数,.易得由（2）可知,,即有.()141611800200022001933333311E Y =⨯+⨯+⨯≈2122n n x -⋅()()n n f g ϕ~()()2122n n n f x x -=⋅f g ϕ~1f g ϕϕ-= f g ϕϕ= 1f f g f g g g g ϕϕϕϕϕϕ-=== ()()22fg ϕ~()()n n f g ϕ~()22f x x x =+()1x x ϕ=+()()()211121,11211x x g f f x x x ϕϕϕϕ---=-==+=-+-+= ()2n n g x =()()n n fg ϕ~()()()()2n 1111nn n f g g x ϕϕϕ-==-=+- ()2612c x x x =-+()3x x ϕ=-()1123x x g f x ϕϕϕ--=+==, ()2n n g x =()()n n f g ϕ~()()()2133n n n f g x ϕϕ-==-+。

广东省广州市育才中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知椭圆2222:16x y C a a +=-C 的长轴长为（ ） A．B．C．D．2．已知数列{}n a 满足()*12n n a n a +=∈N 且4534a a a =，则1a =（ ） A ．18 B ．14 C ．12 D ．13．函数()e 2x f x x -=--的图象在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．10y +=B ．10y -=C ．210x y ++=D ．210x y +-=4．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ） A ．36种 B ．45种 C ．48种 D ．72种 5．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到白球”为事件B ，则()|P B A =（ ） A ．415 B ．25 C ．35 D ．456．已知5260126(2)(1)kx x a a x a x a x +⋅+=++++L ，其中225a =，则0246a a a a +++=（ ） A ．16B ．32C ．24D ．48 7．函数()2sin 2a f x x x =-，若()f x 在(0,)2π上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．()0,1 C ．(),0∞- D ．()1,0- 8．已知函数()(e e )(e e )x x f x a x x =++与2()e x g x =的图象恰有三个不同的公共点（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭二、多选题9．已知二项式92⎛ ⎝的展开式，则（ ） A ．常数项是512B ．有理项（x 的指数为整数的项）共有5项C ．第4项和第5项的二项式系数相等D ．展开式的二项式系数和为512三、单选题10．已知函数32(3 )1f x x x bx =+++的导函数()f x '的极值点同时也是()f x 的零点，则（ ）A ．2b =B ．()f x 在R 上单调递增C ．()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称D ．过坐标原点只有两条直线与曲线()y f x =相切四、多选题11．给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11,,N n n n n n n a a a a a a n ++∆=-∆=∆-∆∈．若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且1*(2)2,N n n b n n -∆=+⋅∈，则（ ）A ．存在0M >，使得2n a M ∆<恒成立B ．12n n b n -=⨯C ．对任意0M >，总存在*N n ∈，使得n b M <D ．对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2n n b M b ∆>五、填空题12．老师排练节目需要3名男生和2名女生，将这5名学生随机排成一排，2名女生不相邻的排法为 .13．已知数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前 n 项和， 1331614a a S ==，， 则 2a = ；记 ()1212n n T a a a n ==L L ，，， 若存在 *0n ∈N 使得 n T 最大， 则 0n 的值为 ．14．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且(0)1f =，当()0,x ∈+∞时，(())1ln x f x a x -≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 ．六、解答题15．已知函数()32133f x x bx cx =+++在(),1-∞-和()3,+∞上为增函数，在()1,3-上为减函数．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的极值．16．已知n S 为数列n a 的前n 项和，11,a =n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：122311111132n n a a a a a a +≤+++<L ． 17．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，14AB AA ==，M ，N 分别为11A B ，AD 的中点．(1)求证：1//A N 平面BDM ；(2)若60BAD ∠=︒，求AM 与平面1DD M 所成角的正弦值；18．已知动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设过点P 且斜率为1）中的曲线交于A 、B 两点，求AOB S V ；(3)设点(,0)N a 是x 轴上一定点，求M 、N 两点间距离的最小值()d a ． 19．已知函数()2ln f x ax x =-．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)0a >时，求()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)当1x >时，不等式()()2ln 21f x x x x a <-++-恒成立，求整数a 的最大值．。

青岛九中高二下期中考试数学试题山东名校考试联盟2023-2024 学年高二年级下学期期中检测数学试题参考答案2024.05一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的。

题号12345678答案D A C B D D C A1. 设函数 f (x ) 在 x =x 0 处的导数为 2,则 lim Δx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)Δx=（ ）A. 12 B. 1 C. 2 D. 4【解析】 limΔx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)Δx=2limΔx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)2Δx=2lim2Δx→0f (x 0+2Δx )−f (x 0)2Δx=2f ′(x 0)=4 ,故选 D2. 个位数大于十位数的两位数共有（ ）个A. 36 B. 40 C. 42 D. 56【解析】个位数大于十位数的两位数个位数显然不能为 0 , 故只需在 1-9 九个数字中选两个,大的在个位,小的在十位即可,故共有 C 29=36 种可能,故选 A 3. 已知函数 f (x ) 的导函数 f ′(x ) 的图象如图所示,则 f (x ) 的图象可能为（ ）【解析】由导函数图像可知原函数应是先增后减再增的,故在 B 、C 中选择,随着 x 的增大, 导函数越来越大, 故原函数增长越来越快, 应选 C 4. 已知函数 f (x )=12x 2−f ′(1)x +ln x ,则 f ′(1)=（ ）A. −32 B. 1 C. 32 D. 2【解析】 f ′(x )=x−f ′(1)+1x ,将 x =1 带入可得 f ′(1)=1−f ′(1)+11 ,解得 f ′(1)=1 ,故选 B5.(y +x 2y)(x +y )6 的展开式中 x 3y 4 的系数为（ ）A. 6B. 20C. 21D. 26【解析】 (y+x2y)(x +y )6=y (x +y )6+x 2y (x+y )6 其中含 x 3y 4 的项为 yC 36x 3y 3+x 2y C 56xy 5,x 3y4 的系数为 C 36+C 56=26 故选 D6. 书架上已有四本书, 小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上, 若两本小说不能放到一起, 则不同的放法有 ( ) 种A. 30 B. 90 C. 120 D. 150【解析】人物传记有 5 种放法, 这样五本书之间有 6 个空, 两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻,共有 5 A 26=150 种方法,故选 D7. 已知 a =A 2020,b =1020,c =C 2040 ,则（ ）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a【解析】 a =20×19×18×⋯×2×1,b =10×10×10×⋯×10×10 ,均由 20 个数相乘组成,其中前两项和最后一项比较 20×19×1<10×10×10 ,其他项 18×2<10×10,17×3<10×10 直到 11×9<10×10 ,故 a <b ,c =40×39×38×⋯×22×2120×19×18×⋯×2×1<2×310×43×52×6×8×11×21 ,其中 a =20×19×18×⋯×2×1 里面前四项大于 2×310×43×52×6×8×11×21 中的后五项,即 20×19×18×17>5×6×8×11×21 ,其他项均要对应大于或等于剩余 2×310×43×5 中的每一项, 故 c <a ,故选 C8. 已知曲线 y =x ln x 过点 (0,−1) 的切线与函数 y =ax 2+(a +2)x 的图象只有一个公共点, 则 a 的值为（ ）A. 0 或 1 B. 0 或 12 C. 12 D. 1【解析】设切线与曲线y=x ln x的切点为(x0,x0ln x0) ,函数y=x ln x的导函数为y′=ln x+1 , 故y′=ln x0+1=x0ln x0+1x0,解得x0=1 ,故切线方程为y=x−1 ,当a=0时, y=ax2+(a+2)x=2x ,显然成立,当a≠0时, y=ax2+(a+2)x与y=x−1联立, ax2+(a+1)x+1=0 ,其中Δ= (a+1)2−4a=0 , 解得a=1 ,故选A二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。

东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（进择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班叙填写在答题卡上.2．回答第I 卷时，进出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑．如需改动，用粮皮擦干净后，再进涂其他答案标号．写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无放.第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的.1. 在数列中，若，，则（ ）A B. C. 1D. 42. 已知函数的导函数为，若，则（ ）A. B. C. 1D. 23. 随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 设是数列的前项和，,，，，则（ ）A. B. C. D.5. 点A 是曲线上任意一点，则点A 到直线的最小距离为（ ）A.B.C.D.6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ）.{}n a 11a =142n na a +=-12a =2-43-()fx ()f x '()2(1)ln f x xf x '=+(1)f '=2-1-2~(,)N ξμσ()²4f x x x ξ=-+12n S {}n a n 0n a >18a =212log log 1n n a a +-=-312k S =k =567823ln 2y x x =-21y x =-1361025A. B. C. D. 7. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（）A.B.C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）A. 在区间上是增函数B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数C. 是的极大值点D. 是的极小值点10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. 中最大D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 函数存在两个不同的零点.324325326395()()2sin 0f x x x x =+>{}n a ()9sin a =1212-4ln 4a =1e b -=5ln 5c =a b c a b c>>c a b >>b c a >>b a c>>()y f x =()y f x '=()f x (3,1)-()f x (2,4)(1,2)-2x =()f x =1x -()f x d {}n a n n S 11120,0S S ><0d >70a >{}n S 6S 49a a <()21e xx x f x +-=()f xB. 函数只有极大值没有极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，，则t 的最小值为2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．13. 已知变量y 关于x 的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x 线性相关，现有一组数据如下表所示：x 12345y则当时，预测y 的值为____________．14. 已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16. 已知函数.（1）求曲线过点处切线；（2）若曲线在点处切线与曲线在处的切线平行，求的值.17. 为提高居家养老服务质量，某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人，统计结果如下：性别需要志愿者不需要志愿者男40160的的()f x e 0k -<<()f x k =[),x t ∈+∞()2max 5ef x =()21e 2xf x ax a =++()0,∞+a 0.6e bx y -=0.6e bx y -=ln y e3e 4e 6e 7e 6x =()e ,0xf x a a =>{}n a ()110,n n a a f a +==0M >N n *∈n a M ≤{}n a 11a =125a a a ，，{}n a 2nn n b a =⋅{}n b n n S ()()3211,ex f x x x g x -+=-++=()y f x =()1,1()y f x =()1,1()y g x =()R x t t =∈t女30270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）中的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的比例？说明理由．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若存在零点，求实数的取值范围．19. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake ）．的99%22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++αx α()()e 2,ln 1,xf xg x ax x a =-=+-∈R ()g x ()()()hx f x g x =-()h x a现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a 1＝1，并作了如下探究：P1P 2P 3P 4…Pn边数31248192…从P 2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P 2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）1P 2P n P n P n P n a 19219319n a ()*1,2n a n n -∈≥N {}n a 797500lg 30.477≈lg 20.301≈东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）或 （2）【17题答案】【答案】（1）14% （2）有关（3）答案略【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）【19题答案】【答案】（1）填表略；（2）（3）第7个[)1,-+∞9e 1(0,e21n a n =-()12326n n S n +=-⋅+230x y +-=430x y -+=12t =[)e 1,∞-+()1*134,249n n n a a n n --⎛⎫=+⨯∈≥ ⎪⎝⎭N ()1*834559n n a n -⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭N。