第4章 基本变形

超静定结构有维持平衡所不需要的约束，称 为多余约束。每个多余约束都会产生一个多余约 束力，多余约束力的个数就是未知约束力与平衡 方程个数之差，称为超静定阶数 n。
3 1
αα 2
A F
变形几何关系（变形协调方程） 变形几何关系（变形协调方程） 补充 方程 变形内力关系（物理方程） 变形内力关系（物理方程）
}
n = m− f
例4-5
A
求图示两端固定拉压杆的约束反力
EA1
EA2
平衡条件) 解：解除约束(平衡条件)
B
F
a
b
F
RA − RB = F
物理关系
FN1 = RA , FN2 = RB
几何关系 ∆ l1 + ∆ l2 = ∆ l = 0
RA
RB
bA1 aA2
∆ l1 =
FN1a , EA1
∆ l2 =
σ
塑性材料的压缩性质 脆性材料的压缩性质
塑性材料没法压， 塑性材料没法压， 脆性材料强度大。 脆性材料强度大。
ε
4.3 轴的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转
F A
θ
A’
du 线应变 ε x = dx
有大小, 有方向, 有大小, 有方向, 有正负 表示相对伸长或缩短 角应变
u u u+du
90°−γ
dx
γ
两垂直线段变形后 角度的改变
dy
dx 弹性变形 塑性变形 卸载时能够消失或恢复的变形 卸载时不能消失或恢复的变形 残余变形
5 单元体的应力与变形
单元体 微元(正六面) 微元(正六面)体
FN1 = FN2 = −2F = −30kN
A = A3 = a2 = 400mm2 , A2 = 200mm2 1
l1 = l3 = 0.5m, l2 =1m
FN1l1 FN2l2 FN3l3 ∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = + + =L L EA EA2 EA3 1
= −0.1875 − 0.75 + 0.0094 = −0.844mm
拉压超静定问题
包括内力) 所有的约束反力 (包括内力) 能由静力平衡方程确定的结 构称为静定结构 静定结构， 构称为静定结构，未知约束力的个数 m 多于平衡方程个数 f 的结构称为超静定结构 静不定结构。 超静定结构或 的结构称为超静定结构或静不定结构。
∑Fx = 0 : FN1 = FN2
∑Fy = 0 : (FN1 + FN2 ) cosα + FN3 = F
dA
dA
dFN
切应力（剪应力） τ = 切应力（剪应力）
dFQ dA
p2 = σ 2+ τ 2
应力单位： 应力单位： MPa = 106 N / m2 = N / mm2 应力的符号也以截面法线为参照
σ
τ
4 位移 , 变形与应变
位移 构件各部分相位置的改变 线位移 点的新旧坐标差 角位移 直线或平面旋转的角度
超静定结构的特点： 超静定结构的特点：
约束反力与各杆刚度比有关，刚度越大约束反力越大； (1) 约束反力与各杆刚度比有关，刚度越大约束反力越大； (2) 温度变化制造误差等变形因素可能引起内力应力改变。 温度变化制造误差等变形因素可能引起内力应力改变。
作业: 作业 4-10 4-11 4-29
3 材料拉压力学性质 材料拉压力学性质
ε ′ = −µε
例4-4
1-1
计算图示变截面杆的轴向变形
2-2 3F 3-3 F
l
a
a/2
l
2
2
2l
FN 15 kN x -30 kN
a a 已知： 已知：F =15kN，l = 1m， ， ， a = 20mm , E = 200GPa ∆ 求： l 解： 作轴力图 FN3 = F = 15kN
F
0 Nl ∆l＞ : 拉伸 ∆l = EA ∆l＜ : 压缩 0
F
l
l1
∆l N σ ε= = = l EA E
拉压胡克定律
E：弹性模量 ：
σ =εE
∆b ε ＞0:ε ′＜0 横向应变 ε ′ = b ε ＜0 :ε ′＞0 ∆l＞ :∆b＜ 0 0
∆b = b1 − b
ε′ 泊松比（横向变形系数） 泊松比（横向变形系数） µ = − ε
l
平衡方程 不考虑变形
δ
3 外力，内力与应力 外力， 外力：构件受到其它物体所作用的力， 外力：构件受到其它物体所作用的力，
包括载荷和约束反力。 包括载荷和约束反力。 外力的分类：集中力 分布力 均布力,动载荷 分布力,均布力 动载荷,静载荷 外力的分类：集中力,分布力 均布力 动载荷 静载荷 内力：物体内部的相互作用力。 内力：物体内部的相互作用力。
6 杆件变形的基本形式
拉伸与压缩 F F T 弯曲 M M R 剪切 F R F 扭转 T
F
4.2 杆件的拉伸与压缩
1 内力 , 应力与强度
受力特点： 受力特点： 外力的合力与 杆的轴线重合 变形特点： 变形特点： 轴线伸长或缩 短, 伴随横向 变细或变粗
F
F
F
F
内力： 与杆轴线重合，称为轴力 内力： 与杆轴线重合，称为轴力
αα 2
A A´ F
（一阶超静定） 一阶超静定）
几何关系： 几何关系： AA′ = ∆l3 = ∆l1 cosα , ∆l1 = ∆l2 物理方程 补充方程
∆l i = FNi l i E i Ai
E1 A1 FN1 = FN3 cos2 α E3 A3
FN1 =
∆l 1
∆l 3
∆l 2
A´
联立求解
σ σ
单元体基本受力 单向受力 纯剪切受力 切应力互等定理
τ′
τ=τ′
τ
τ′
σ
τ
单元体基本变形 棱边的伸缩： 棱边的伸缩：线应变 棱边夹角的改变： 棱边夹角的改变：角应变 简单受力下应力应变之间的关系 胡克定律
σ = Eε
剪切胡克定律
τ = Gγ
E （拉压）弹性模量 拉压）
G 切变（剪切弹性）模量 切变（剪切弹性）
D
q
解：
F = qA = q
π D2
4
= FN
A=
πd 2
4
σ=
FN ≤[σ ] (拉) nA
FN 1.2 ×106 × 4002 n≥ = =14.8 2 A[σ ] 18 × 40
应取 n = 16
作业: 作业 4-5 (d) 4-6 4-7
拉压斜截面应力
F K
α
K
F
F
FNα
n
α
FN=F
FQα = F sin α FNα = F cosα F F pα = = cosα = σ cosα A A α σ σα = pα cosα = (1+ cos 2α )
附加内力: 由于载荷作用引起的内力， 附加内力: 由于载荷作用引起的内力，简称 内力
内力特点：引起变形，传递外力，与外力平衡。 内力特点：引起变形，传递外力，与外力平衡。
截面法
一分为二，去一留一， 平衡求解， 一分为二， 去一留一，平衡求解，注意正负 F F
内力的符号以截面法线为参照
应力 内力是合力，连续分布在截面上 dF dFQ p 全应力 p = τ dA dF dFN 正应力（法向应力） 正应力（法向应力）σ = σ
n : 安全因数 [σ ] : 许用应力
强度条件的应用： 强度条件的应用： (1) 校核强度 定性 (2) 设计截面形状和尺寸 定型 (3) 确定载荷 定载
例4-2
已知压缩机汽缸直径 D = 400mm，气压 q =1.2 ， MPa，缸盖用 M20 螺栓与汽缸联接，d =18 mm 螺栓与汽缸联接， ， [σ] = 40 MPa，求：螺栓个数 n。 ， 。
第四章 杆件基本变形的 承载能力
4.1 承载能力的 有关基本概念
1 承载能力
强度 构件抵抗 破坏的能力 刚度 构件抵抗 变形的能力 稳定性 构件保持 原有平衡形式的能力
1999年 1999年1月4 日，重庆市綦 江县彩虹桥发 生垮塌，造成 生垮塌， 40人死亡14人 40人死亡 人 人死亡14 受伤；直接经 受伤； 济损失631万 济损失631万 元。
m
F
m
F
F
FN’ = F
轴力符号规则： 轴力符号规则：与截面外法线 方向一致时为正；否则为负。 方向一致时为正；否则为负。
{
}
FN = F
F
正的轴力表示拉伸， 正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩
拉压应力分布： 拉压应力分布：
实验表明轴向拉压时变形 均匀，应力分布也均匀 横截面 正应力
σ
F
}
FN = F
FN σ= A
FN ≥ 0，σ ≥ 0 拉应力
FN ≤ 0，σ ≤ 0 压应力
例 4-1
求图示等截面直杆的内力( 求图示等截面直杆的内力( kN )和 应力( 应力(面积 A = 400 mm2 ) 解:
30 40 B
50 10 -20
20 A FN
（kN）
C
20
FN A
30 20
FNB =10
FNB
拉伸试件 压缩试件
d
h = (1 ~ 3)d
h
l
5 倍试样：l = 5d = 5.65 A
10倍试样：l = 10d = 11.3 A
试件的装夹与加载 结果的测定与分析
低碳钢的拉伸性质
比例加载阶段：比例极限 比例加载阶段 比例极限 σp 弹性模量 E = σ ε = tanα 弹性极限 σe 屈服阶段： 屈服阶段 屈服极限 σs 强度 强化阶段： 强化阶段 强度极限 σb 指标