数学模型试题及答案
一．简答题
1、什么是数学模型？（5分）
答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
2、建立数学模型的方法有哪些？（5分）
答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。
二、.智力题 九宫图,请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3乘以3的正方形格子,使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15. 建模求解出这9个数字的填法
(1) 先证明填入中间格数字为5 (7分)
(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(建模只说明求解,不求具体解,8分) 解:
(1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,12,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记
为x 多出现了3次,列出方程 ( 4分)
1543)987654321(⨯=+++++++++x ( 2分)
解方程得 x=5, ( 1分) 中间格x 22为5
(2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9
而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法
由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为 第一组(3,4,8)预放入第1行
, 第
2组(2,6,7) 预放入第3
行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果
(2)别一法:利用上图列出方程
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++6
10141515k c n b m a k n m c b a ( 5分) 解空间是1维,取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数 ( 3分)
三． 不允许缺贷的存贮模型,试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解(共15
分) 解:
模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r (2分)
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 (2分)
3. 生产能力无限大 (2分) 模型建立
一周期总费用如下:
2
2
21rT C C C +=: (3分)
一周期平均费用为
2
)(21rT
C T C T f += (2分)
模型求解:用微分法解得
周期
2
12rC C T = (2分)
贮存量 2
12C rC Q =
(2分)
四．建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球的初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为2，（与地面夹角），试建立投掷距离与α..h v 的关系，并求在h v .一定的条件下最佳的出手角度2。
解：如图建立坐标系，易得t 时刻铅球的位置),(y x p 满足如下方程。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====ανcos 0
00022
t t dt dx x dt x d ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧==-===αsin 20022
v dt y R y g dt y
d t t ............8分 解之得：t v x ⋅=αcos (1)
h t v gt y +⋅+-=αsin 2
12
…………（2） ……………10分
由（2）令0=g ，求得铅球的落地时间 t 代入（1）求得掷远为
ααααcos 2sin cos sin 2
1
2
222v g h g v g v R ⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⋅= ……（3） ………13分
（3）又可表示为：)tan (cos 22
2
2
αα⋅+⋅=⋅R h v g R
令
0=αd dR 得出最佳出手角度)
(2sin 21
gh v v
+=-*α …………15分
五．经济型捕鱼模型是
⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=∙
∙
y x yx
cx x t y t x )1()1(1.0)()(2
其中00
试求出平衡点,并判断平衡点稳定性 解:
解方程⎩
⎨⎧=-=--0)1(0)1(1.02y x yx cx x 得到平衡点⎩⎨⎧-==c y x 1.01.01 （2分）
设右2元函数求偏导得
x f y cx f
y x
-=--='2'
,3.01.0
1,''-==x g y g y x （2分）
平衡点)1.01,1(c -时,系数矩阵⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=01.01.012.0c c
A （2分） 不难得出特征方程0,0,02
>>=++q p q p λλ （2分） 的两个特征根是实部是负数,其是稳定的,中心 （2分）
六、相对总目标C ，准则21,c c 的权重为T
w ]5.0,5.0[0=，
相对与准则1c ，方案321,,A A A 的判断距阵为⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212
/1521
A ， 相对与准则2c ，方案321,,A A A 的判断距阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1535/113/13/131B ，
试用和法求方案321,,A A A 对总目标的权重。 答：
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521
A 中各列归一化
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛8/17/117/28/27/217/58/57/417/10
