气体扩散.ppt

积分可以求出速率范围在v1－v2内分子数占总 分子数的比率为
N v2 f v dv v1 N

归一化条件

f (v)dv 1
0
平均值
v vf (v)dv
0
v v f (v)dv
2 2 0

g (v) g (v) f (v)dv
0

二、麦克斯韦速率分布 早在1859年，英国物 理学家麦克斯韦利用平衡 态理想气体分子在三个方 向上作独立运动的假设导 出了麦克斯韦速率分布， 其表达式如下：
（3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞可视为 完全弹性碰撞。
2．统计假设
（1）容器中各处的分子数密度相同。
（2）分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占 优势，即分子向各个方向运动的几率均等。在任一 时刻，朝着直角坐标系的x、－x、y、－y、z和－z 轴各个方向运动的分子数应相等，并且都等于总分 子数的1/6。 （3）分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均 值相等。如：
vx v y vz 0
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
二、理想气体压强公式 容器内的气体施加在器壁上的压强，从微观看 是大量气体分子不断与器壁碰撞的结果。每个分子 每次碰撞都给器壁一微小的冲量，大量分子不断碰 撞，表现为一个恒定、均匀、持续的压力。
设贮有理想气体的容器的容积为V，气体分子 的质量为m，分子总数为N，则单位体积内的分子数 为n=N/V。为了便于讨论，将分子分成若干个“等 速组”，即每组内分子具有大小相等、方向相同的 速度vi。将单位体积内速度分别为v1、v2…vi…的分 子数表示为n1、n2 …ni …于是有
分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频 繁的相互碰撞。分子热运动具有混乱性和无序性。 分子无规则运动的剧烈程度与温度有关。
Байду номын сангаас
三、分子力 分子之间同时存在吸引力 和排斥力。实验证明当分子间 距较大时，存在的引力很小， 随着间距的减小，引力逐渐加 强，当r＝r0时，分子力为零， 称r0为平衡位置。r＜r0分子力 表现在排斥力，r＞r0分子力表 现在吸引力，当r＞10r0时，分 子力可以忽略不计。 分子间彼此趋近到分子的直径d时，分子将在强 大的斥力作用下被排斥开，类似小球间“弹性碰撞 ”过程。d的平均值称为分子有效直径，数量级约为 10-10m。
2mvix ni vix dtdS 2ni mv dtdS
2 ix
对于所有可能的速度，全部分子施于dS的总冲量为
dI
vix 0
2n mv dSdt
i 2 ix
式中限制了vix>0，这是因为vix<0的分子是不可 能与dS相碰的。只要除以2即可去掉vix>0 的限制。 于是有
dI m n v dSdt mnv dSdt
2
v
2
3 RT
3 ( 2 ) t kT 1.5 138 10 23 273 5.65 10 21 J 2
v
2


3 8.31 1273 3 1 1 . 06 10 m s 28 10 3 3 8.31 273 1 493 m s 28 10 3
四、统计规律
统计规律，是指大量偶然事件整体所遵循的规 律。虽然每个事件都是偶然、无规律的，但总体上 却存在着确定的规律性。伽尔顿板是说明统计规律 的演示实验。 单个小球下落时与哪些铁 钉碰撞，最后落入哪个狭槽完 全是无法预测的偶然事件(随机 事件)。大量小球总体上的分布 有确定的规律性:落入中央狭槽 的小球较多，而落入两端狭槽 的小球较少。重复几次同样实 验，得到的结果都近似相同。
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
mv 2 2 kT
v dv
2
其中T是气体的热力学温度，m是每个分子的质量， k为玻尔兹曼常量.
关于麦克斯韦分布说明几点： •（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 •（2）在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有 确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质 量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度 的变化趋势示于图。
df (v) dv
v v p
0
可得
2kT 2 RT RT vp 1.41 m M M
2．平均速率
8kT 8RT v vf (v)dv m M 0
3．方均根速率


v
2
0
3kT f v v dv m
2
因此有
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
气体动理论
6－1 物质的微观模型 统计规律性
物质结构的微观模型 ：
1 、宏观物体是由大量微观粒子 — 分子（或原子 ）组成的，分子之间有空隙；
2、分子在不停地作无规则的运动，其剧烈程度与 温度有关； 3、分子之间存在相互作用力。 这些观点就是气体动理论的基本出发点。统计物 理学的任务就是从上述物质分子运动论的基本观点 出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性质。
3 RT


3 ( 3 ) t kT 1.5 138 10 23 123 2.55 10 21 J 2
v
2
3 RT


3 8.31 123 1 331 m s 28 10 3
6-3 气体分子速率分布定律
玻耳兹曼分布
一个分子在某一时刻的速度完全是随机的，但 是这并不是说气体分子的运动速度就无规律可循。 实验表明，在一定条件下，大量分子的整体的速度 分布服从统计规律。 一、速率分布函数与平均速率 气体分子速率允许取值范围为：0→∞，为讨论 分子速率分布，选一速率小区间 vv+dv，此小区 间内的分子数为dN，总分子数为 N，则 dN/N表示 这一速率小区间内的分子数占总分子数的比率，也 可认为是一个分子其速率正好处在上述速率小区间 内的概率。
2 i ix 2 ix i
压强P为
dI 1 2 2 P mn vix mn v dSdt 3
理想气体压强公式的简易推导
1 2 引入气体分子平均平动动能 ： k mv 2
则又有
2 1 2 2 P n ( mv ) n k 3 2 3
三、温度的微观本质 1．温度公式 由理想气体状态方程得
. . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
例3
设想有N个气体分子，其速率分布函数为
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均 根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
Av(v0 v ) 0 v v0 f (v ) 0 v v0
描述单个分子运动情况的物理量，称为微观量 。例如分子的坐标、速度、动量、能量等，都是微 观量。由于大量气体分子间频繁的碰撞，许多微观 量都是随机量，个别分子的运动规律是无法把握的 。但在平衡态下用于描述系统整体性质的各宏观物 理量（P、T等）均有确定、稳定的值，这说明由大 量分子所组成的系统要遵从确定的统计规律。 本章将要研究的理想气体的压强公式和温度公 式、能量均分定律、麦克斯韦速率分布律等都是统 计规律。从个别分子的力学规律入手，通过对大量 分子求算术平均，建立微观量的统计平均值与宏观 量的联系，从而揭示出宏观量的微观实质，这种方 法称为统计方法。
2
以上三种速率都与热力学温度的平方根
与
T
成正比
m 或
M
成反比。在数值上，方均根速率
最大，最概然速率最小。
三种速率之比： v p : v :
v 2 1.41 : 1.60 : 1.73
这三种速率在不同的问题中有不同的用途：在 计算分子的平均平动动能时，用到方均根速率；在 讨论分子速率分布时，要用最概然速率；而在讨论 分子碰撞时，将用到平均速率。
6－2 理想气体的压强公式 温度的微观实质
一、理想气体分子的微观模型和统计假设 1．理想气体分子的微观模型 （1）由于气体分子间距较大，分子的大小可以忽 略不计，即可把分子视为质点。
（ 2 ）气体分子间的相互作用力很弱，可忽略不计 。即认为除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容 器壁之间都没有相互作用力。
一、分子的线度与间隙 在标准状态下，气体分子间的距离约为分子直径 的10倍，于是每个分子所占有的体积约为分子本身 的体积的1000倍。因而气体分子可看成是大小可以 忽略不计的质点。 气体分子的间距很大，因而很容易压缩；液体 和固体分子间也有空隙，如：50升水＋50升酒精＝ 97升溶液；在2万个大气压下，液体也会从钢管壁 上渗出等等。 二、分子热运动
2
例1 一容器内贮有气体, 温度是27C,(1)压强为 1.013 105Pa时,在1m3中有多少个分子;(2)在高真空 时压强为1.33 10 -5Pa,在1m3中有多少个分子?
解:按公式 p=nkT,可知 (1)
p 1.013 105 25 3 n 2 . 45 10 ( m ) 23 kT 1.38 10 300
n ni
如图，在器壁上任取一小块面 积dS，设某一分子以速度vi与dS 相碰，碰撞是完全弹性的，所以 Y、Z两个方向的速度分量viy变为 －vix。所以，碰撞一次，分子的 动量变化为