下载文档原格式
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．2. ε－N, ε－δ极限定义证明法3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．5. 闭区间上连续函数的几条性质．第一节映射与函数学习指导1．教学目的读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习会求函数的定义域，会求函数的反函数。
会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。
会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
3．应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。
学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。
选修高等数学数学教材目录目录第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 连续与间断1.4 差分与微分1.5 函数的应用第2章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分与线性近似2.5 微分中值定理与应用第3章积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算3.2 定积分的概念与计算3.3 定积分的几何意义与物理意义3.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元法3.5 定积分的应用第4章微分方程4.1 微分方程的基本概念与解法4.2 高阶微分方程与常系数线性微分方程4.3 变量可分离与齐次微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 微分方程的应用第5章无穷级数与幂级数5.1 数列与数列极限5.2 级数的概念与性质5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的概念与性质5.5 幂级数的收敛半径与求和函数的性质第6章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的极限与连续6.3 偏导数与全微分6.4 多元复合函数的求导法则6.5 隐函数与参数方程的求导第7章多元函数的积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的坐标变换7.3 曲线与曲面积分的概念与计算7.4 散度与旋度7.5 多元积分的应用第8章空间解析几何与向量代数8.1 空间点与向量的坐标表示8.2 空间点与直线的位置关系8.3 空间曲线与曲面的位置关系8.4 空间直线与直线的位置关系8.5 空间几何的应用第9章空间平面解析几何与向量代数9.1 平面方程与曲线的位置关系9.2 平面与平面的位置关系9.3 空间平面与直线的位置关系9.4 空间角的概念与性质9.5 向量代数的应用第10章数列与数学归纳法10.1 数列的概念与性质10.2 数学归纳法的基本原理10.3 数列极限与数列收敛10.4 数列极限的计算10.5 数列与级数的应用第11章三角函数与三角恒等变换11.1 弧度与角度的转换11.2 三角函数的定义与性质11.3 三角恒等变换的基本公式11.4 三角方程与三角不等式11.5 三角函数的应用第12章概率与统计12.1 随机事件与样本空间12.2 概率的定义与性质12.3 条件概率与乘法法则12.4 离散型随机变量与概率分布12.5 正态分布与统计推断第13章矩阵与行列式13.1 矩阵与向量的基本概念与运算13.2 矩阵的求逆与转置13.3 行列式的概念与性质13.4 线性方程组与矩阵求解13.5 矩阵与行列式的应用第14章向量空间与线性变换14.1 向量空间的基本概念与性质14.2 线性相关与线性无关14.3 维数与基底14.4 矩阵与线性变换14.5 向量空间与线性变换的应用第15章曲线积分与曲面积分15.1 第一类曲线积分15.2 第二类曲线积分15.3 第一类曲面积分15.4 第二类曲面积分15.5 曲线积分与曲面积分的应用第16章傅里叶级数与傅里叶变换16.1 傅里叶级数的基本概念与性质16.2 傅里叶级数的求解与展开16.3 傅里叶变换的基本概念与性质16.4 傅里叶变换的求解与应用16.5 傅里叶级数与傅里叶变换的应用以上是选修高等数学的数学教材的目录。
高等数学教材的详细答案第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数的定义及性质1.2 映射的分类与性质1.3 复合函数与反函数2. 无穷极限与极限2.1 函数极限的定义2.2 无穷大与无穷小2.3 两个重要极限定理3. 数列极限3.1 数列极限的定义3.2 收敛数列与发散数列3.3 重要数列极限4. 极限的运算4.1 极限运算法则4.2 夹逼准则4.3 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念1.1 导数的定义1.2 几何意义与物理意义1.3 函数连续与可导的关系2. 基本导函数与基本导数公式2.1 幂函数与初等函数的导函数2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数与高阶导数公式3. 隐函数与参数方程的导数3.1 隐函数的导数3.2 参数方程的导数3.3 高阶导数的计算4. 微分与微分近似4.1 微分的定义与性质4.2 微分近似计算4.3 微分中值定理第三章：微分中值定理与导数的应用1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的单调性与曲线的凹凸性2.1 函数单调性的判定2.2 曲线凹凸性的判定2.3 函数特性的应用3. 泰勒公式与函数的展开3.1 泰勒公式的推导3.2 泰勒公式的应用3.3 麦克劳林公式与函数展开4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的定义与性质4.2 基本积分公式4.3 定积分的定义与性质第四章：一元函数积分学1. 牛顿-莱布尼茨公式与基本积分法1.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导1.2 基本积分法及应用1.3 函数定积分的计算2. 反函数与换元积分法2.1 反函数的导数与积分2.2 第一类换元法2.3 第二类换元法与分部积分法3. 定积分的应用3.1 面积与曲线长度的计算3.2 物理应用：质量、重心与转动惯量3.3 统计应用：平均与期望值的计算4. 微分方程的基本概念4.1 微分方程的定义与解法4.2 一阶线性微分方程4.3 可降阶的高阶微分方程总结：高等数学教材中的详细答案涵盖了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、一元函数积分学等各个章节。
(3)BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0). 证明(1): 因为lim f (x )=A , lim g (x )=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x )=A +α,g (x )=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x ) ±g (x )=(A + α) ± (B + β) = (A ± B ) + (α ± β),即f (x ) ± g (x )可表示为常数(A ± B )与无穷小(α ± β)之和. 因此lim [f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B .推论1 如果lim f (x )存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x )]=c lim f (x ).推论2 如果lim f (x )存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x )]n =[lim f (x )]n .定理4 设有数列{x n }和{y n }. 如果A x n n =∞→lim , B y n n =∞→lim ,那么(1)B A y x n n n ±=±∞→)(lim ;(2)B A y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;(3)当0≠n y (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且B ≠0时, BA y x n n n =∞→lim. 定理5 如果ϕ(x )≥φ(x ), 而lim ϕ(x )=a , lim ψ(x )=b , 那么a ≥b . 例1. 求)12(lim1-→x x .解: 11121lim 21lim 2lim )12(lim1111=-⋅=-=-=-→→→→x x x x x x x .讨论: 若n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110 )(, 则?)(lim 0=→x P x x提示: n x x n x x n x x n x x x x a x a x a x a x P 0lim )(lim )(lim )(lim )(lim 1110→-→-→→→++⋅⋅⋅++=n x x x x n n x x n x x a x a x a x a 0lim lim )(lim )(lim 1110→→--→→++⋅⋅⋅++=) )lim ()lim (1100n n x x n x x a x a x a +⋅⋅⋅++=-→→=a 0x 0n +a 1x 0n -1+⋅ ⋅ ⋅+a n =P (x 0).若n n n a x a x a x P +⋅⋅⋅++=- )(110, 则)()(lim 00x P x P x x =→.例2. 求351lim23 2+--→x x x x . 解: )35(lim )1(lim 351lim223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x3l i m l i m 5l i m 1l i m l i m 2222232→→→→→+--=x x x x x x x x 325)lim (1)lim (2232+⋅--=→→x x x x 3731021223-=+--=. 提问: 如下写法是否正确？35lim 1lim 351lim 223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x 3731021223-=+--=. )35(lim )1(lim 351lim 223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x 37)3102(lim )12(lim 2232-=+--=→→x x .例3. 求93lim 2 3--→x x x .解: 31lim)3)(3(3lim 93lim 3 32 3+=+--=--→→→x x x x x x x x x 61)3(lim 1lim33=+=→→x x x . 例4. 求4532lim2 1+--→x x x x .解: 031241513245lim 22 1=-⋅+⋅-=-+-→x x x x ,根据无穷大与无穷小的关系得4532lim 2 1+--→x x x x =∞.提问: 如下写法是否正确？∞=-=+--=+--→→→01)45(lim )32(lim 4532lim 21 121x x x x x x x x x . 讨论:有理函数的极限?)()(lim 0=→x Q x P x x提示:当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→.当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去.例5. 求357243lim 2323-+++∞→x x x x x .解: 先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限: 73357243lim 357243lim 332323=-+++=-+++∞→∞→xx x x x x x x x x . 例6. 求52123lim 232+---∞→x x x x x . 解: 先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限: 020512123lim 52123lim 332232==+---=+---∞→∞→xx x x x x x x x x x .例7. 求12352lim 223--+-∞→x x x x x .解: 因为052123lim 232=+---∞→x x x x x , 所以 ∞=--+-∞→12352lim 223x x x x x .讨论:有理函数的极限? lim 110110=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mm m nn n x b x b x b a x a x a 提示:⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→m n m n b a mn b x b x b a x a x a m m m n n n x 0 lim 0110110. 例8. 求xx x sin lim ∞→.解: 当x →∞时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为x xx x sin 1sin ⋅=, 是无穷小与有界函数的乘积,所以 0sin lim =∞→xx x .定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义, 若0)(lim 0u x g x x =→, A u f u u =→)(lim 0, 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义. 若g (x )→u 0(x →x 0), f (u )→A (u →u 0), 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.简要证明 设在{x |0<|x -x 0|<δ0}内g (x )≠u 0.要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f [g (x )]-A |<ε .因为f (u )→A (u →u 0), 所以∀ε >0, ∃η>0, 当0<|u -u 0|<η时, 有|f (u )-A |<ε .又g (x )→u 0(x →x 0), 所以对上述η>0, ∃δ1>0, 当0<|x -x 0|<δ1时, 有|g (x )-u 0|<η. 取δ=min{δ0, δ1}, 则当0<|x -x 0|<δ时, 0<|g (x )-u 0|<η, 从而 |f [g (x )]-A |=|f (u )-A |<ε .注:把定理中0)(lim 0u x g x x =→换成∞=→)(lim 0x g x x 或∞=∞→)(lim x g x ,而把A u f u u =→)(lim 0换成A u f u =∞→)(lim 可类似结果.把定理中g (x )→u 0(x →x 0)换成g (x )→∞(x →x 0)或g (x )→∞(x →∞), 而把f (u )→A (u →u 0)换成f (u )→A (u →∞)可类似结果. 例如 例9 求39lim23--→x x x . 解 392--=x x y 是由u y =与392--=x x u 复合而成的.因为639lim 23=--→x x x , 所以6lim 39lim 623==--→→u x x u x .§1. 7极限存在准则 两个重要极限 准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε ,即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义,OCADB 1 x准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xx sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即 sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (2 0π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα. 这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u . 1sin lim 0=→x x x , 1)()(sin lim =x x αα(α(x )→0). 例1. 求xx x tan lim 0→.解: x x x tan lim 0→x x x x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→xx x x x .例2. 求20cos1lim x x x -→. 解: 20cos 1lim xx x -→=220220)2(2sinlim 212sin 2lim x x x x x x →→= 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n )11(lim +∞→存在.设n n n x )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有n n n nn n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n . 比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得 3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即 e nn n =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e x x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim [x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim [αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim [x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim [αα(α(x )→0).例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是 x x x )11(lim -∞→t t t -∞→+=)11(lim et t t 1)11(1lim =+=∞→. 或 )1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e x x x .§1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续. 注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有 ∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=, 因为当∆x →0时, ∆y 是无穷小与有界函数的乘积, 所以0lim 0=∆→∆y x . 这就证明了函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x 1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点. 如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x , )(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠, 所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f (x )和g (x )在点x 0连续, 则函数f (x )±g (x ), f (x )⋅g (x ),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时) 在点x 0也连续.f (x )±g (x )连续性的证明:因为f (x )和g (x )在点x 0连续, 所以它们在点x 0有定义, 从而f (x )±g (x )在点x 0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 00000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→. 根据连续性的定义, f (x )±g (x )在点x 0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f (x )在区间I x 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y )也在对应的区间I y ={y |y =f (x ),x ∈I x }上单调增加(或单调减少)且连续.证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x 在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f [g (x )]由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成,g f D x U ⊂)(0. 若0)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f (u )在0u 连续, 则 )()(lim )][lim 000u f u f x g f u u x x ==(→→. 简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f [g (x )]-f (u 0)|<ε .因为f (u )在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u 0|<η 时, 有|f (u )-f (u 0)|<ε .又g (x )→u 0(x →x 0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|g (x )-u 0|<η.从而 |f [g (x )]-f (u 0)|<ε .(2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 00x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f [g (x )]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(l i m )]([lim 00u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g (x ),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=. 把定理5 中的x →x 0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim 23--→x xx . 解: 93lim 23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=. 提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续. =g (x 0)定理4 设函数y =f [g (x )]由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, U (x 0)⊂D f o g . 若函数u =g (x )在点x 0连续, 函数y =f (u )在点u 0=g (x 0)连续, 则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 0也连续.证明: 因为ϕ(x )在点x 0连续, 所以0lim x x →ϕ(x )=ϕ(x 0)=u 0. 又y =f (u )在点u =u 0连续, 所以 0lim x x →f [ϕ(x )]=f (u 0)=f [ϕ(x 0)]. 这就证明了复合函数f [ϕ(x )]在点x 0连续.例4. 讨论函数xy 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及xu 1=复合而成的. sin u 当-∞<u <+∞时是连续的, x1当-∞<x <0和0<x <+∞时是连续的, 根据定理4, 函数x1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的. 三、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数a x (a >0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log a x (a >0, a ≠1)作为指数函数a x 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x μ 的定义域随μ的值而异, 但无论μ为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x >0, 则y =x μ=x a a log μ, 因此, 幂函数x μ可看作是由y =a u , u =μlog a x 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于μ取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f (x )是初等函数, 且x 0是f (x )的定义区间内的点, 则0lim x x →f (x )=f (x 0). 例5. 求201lim x x -→. 解: 初等函数f (x )=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x . 例6. 求x x sin ln lim 2π→.解: 初等函数f (x )=ln sin x 在点20π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x . 例7. 求xx x 11lim 20-+→. 解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x 02011lim 20==++=→x x x .例8. 求xx a x )1(log lim 0+→. 解: xx a x )1(log lim 0+→x a x x 10)1(log lim +=→a e a ln 1log ==. 例9. 求xa x x 1lim 0-→. 解: 令a x -1=t , 则x =log a (1+t ), x →0时t →0, 于是x a x x 1lim 0-→=a t t a t ln )1(log lim 0=+→.§1. 10 闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==21 31 110 1)(x x x x x x f y .定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证明:二、介值定理零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f (a )=A 及f (b )=B ,那么, 对于A 与B 之间的任意一个数C , 在开区间(a , b )内至少有一点ξ , 使得f (ξ)=C .定理4'（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )≠f (b ), 那么, 对于f (a )与f (b )之间的任意一个数C , 在开区间(a , b )内至少有一点ξ , 使得f(ξ)=C.证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C (a<ξ<b).定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.。
