6.1 函数(1)

6.1函数（1）教学目标【知识与能力】1．通过简单的实例，了解常量、变量、自变量、因变量以及函数的定义．2．会判断某个变化过程中两个变量之间是否是函数关系．【过程与方法】通过写出一些简单的实际问题中变量之间的函数关系，提高抽象能力【情感态度价值观】体会函数思想，体会数学来源于生活教学重难点【教学重点】了解常量、变量、自变量、因变量以及函数的定义【教学难点】会确定常量、变量、自变量、因变量以及函数课前准备无教学过程引入：问题1、汽车从镇江出发沿沪宁高速匀速驶向上海。

行程问题：路程（s）、速度（v）、时间（t）讨论：有不变的数量吗？有变化的数量吗？探索新知定义：（1）常量：在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。

（2）变量：在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。

思考：你能指出下列各式的常量和变量吗？求余角的计算公式为β=900- α圆面积S和半径r的关系式为S=πr2矩形的长a一定，宽b，面积s= a b问题2：这是工作人员根据水库的水位变化与水库蓄水量变化情况而制作的表格：说说表格里有几个变量？他们有怎样的关系呢？问题3：根据小鱼的条数与所需火柴棒的根数的关系，说说你从中获得的信息。

说说这里有几个变量？他们有怎样的关系呢？上述问题都有怎样的共同之处呢？一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 和y 。

如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，我们称y 是x 的函数（function ）.其中，x 是自变量，y 是因变量。

思考1、圆面积s 是半径r 的函数吗？思考2、搭小鱼所需火柴的根数S 是所搭小鱼条数n 的函数吗？你能再举一些你熟悉的函数例子吗？知识运用用一根1m 长的铁丝围成一个长方形。

（1）当长方形的宽为0.1m 时，长为m（2）当长方形的宽为0.2m 时，长为m（3）当长方形的宽为a m 时，长为m（4）长方形的长是宽的函数吗？为什么？拓展延伸1、在圆的周长公式2c r π=中，下列说法正确的是（ ）A.常量为2，变量为,,c r πB.常量为2,,π变量为,c rC.常量为2,,r π，变量为cD.以上答案都不对2、分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的自变量与因变量（1）一个正方形的边长为3cm ，它的各边减少xcm 后，得到的新的正方形的周长为 ycm ，求x 与y 之间的函数关系式。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初二数学6.1函数（1）主备：：陈秀珍审校:郁胜军日期：2013年11月28日教学目标：1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．2．通过实例，让学生多角度、多层面地认识和理解函数的意义，感受函数的多种表示形式．3．能说出一些函数的实例，并能判断两个变量间的关系是否是函数关系．教学重点：1.函数概念的建立；判断两个变量间的关系是否是函数关系．教学难点：函数概念中的常量、变量的理解及其对应关系探索．教学内容：一、自主探究1.十年前大家还是个蹦蹦跳跳的孩子，随着年龄的增长，大家的个子越来越高．我们生活在一个四季明显的地理位置上，随着四季的变化，气温也随之变化……“变化”让我们的生活多姿多彩，“变化”也时常给我们带来困惑，所以“变”引领我们去探索新知，这节课开始让我们在变化过程中去感悟新知识——函数．2.下面我们先来看一个有关行程的问题．（1）从甲地到乙地，有一辆匀速行驶的列车．在从甲地到乙地的行驶过程中，有哪些量？在这些量中有哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？在上面的过程中，列车行驶的速度数值不变，甲地到乙地的路程数值不变，这样的量我们称之为常量．而列车行驶的时间，列车距起点、终点的路程不断变化，这样的量我们称之为变量．由此，我们得到两个新的概念：常量与变量的概念．（2）在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．你还能举出生活中的某些变化过程，并说明其中的常量和变量吗？在刚才的问题中我们看到：随着年龄的增长，大家的个子越来越高；随乘车时间的增加距离目的地越来越近；随音乐播放时间的推进国旗的高度越来越高……在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量．在不同变化过程中探索变量与变量之间的关系．二、自主合作问题1 看一个波纹问题．一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆．你能用语言描述变化中圆的面积与其半径大小之间的关系吗？问题2 看一个水库蓄水问题．已知水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：你能从表格里获得哪些信息？水位高低与蓄水量有什么关系？注意：利用表格，工作人员能根据观察的水位，及时报告水库蓄水量．解：从表中可以看出，水位为106 m时，蓄水量为2．30×107m3；水位为120 m时，蓄水量为7．09×107m3 ．……变量：水位和蓄水量．在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减少，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变．问题3 看搭小鱼问题．如图，搭一条小鱼需要8根火柴，每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的常量和变量．下面我们重点讨论这两个变量间的关系：你能写出搭n条小鱼所需的火柴根数s与小鱼条数n之间的关系式吗？说说你从关系式中获得的信息．解: 变量：总共需要的火柴数和所搭小鱼的条数．S＝8＋6（n－1），由上面的关系式可知，在搭小鱼的过程中，火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数s也保持一定．三、自主展示1.上面三个实际问题的共性为：上面的每个变化过程都有两个变量，且当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定．一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称 y是 x的函数，x是自变量．回头看前面的实例（回放图片），现在可以用函数的思想来理解其中两个变量间的关系了．在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，蓄水量是水位的函数；在搭小鱼的过程中，总共需要的火柴数随所搭小鱼的条数的变化而变化，所用火柴根数s是小鱼条数n的函数；在波纹逐渐变化的过程中，圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积是半径的函数．注意到我们可以用多种方式表示变化过程中的函数关系．你还能举出一些类似的实例吗？四、自主拓展1.按图示的运算程序：输入x→＋2→×5→－4→输出y输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y， y 是 x 的函数吗？为什么？如果用x代表左边的数字，用y代表右边的数字，那么变量y是否是变量x的函数？为什么？3．下列各变量之间的关系，不能构成函数关系的是( ) ．A．圆的周长与半径； B．长方形的宽一定，它的面积与长；C．正方形的面积与周长；D．等腰三角形的面积与底边长．五、自主评价1．把一根2m长的铁丝围成一个长方形．（1）当长方形的宽为0.1 m时，长为多少？（2）当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？（3）这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？2.“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量是什么？课堂小结：1.通过本节课的学习，对自己说，你有哪些收获？让我们一起回顾一下今天我们这节课的内容．本节课我们首先感受了生活中反映变化过程的几个事例，并从中抽象出常量和变量的概念；接着我们关注了一些只含有两个变量，并且当一个变量确定时另一个变量也随之唯一确定的实际的变化过程，由此引入了函数的概念；2.我们学会用函数的思想认识事物运动变化的过程．布置作业：：课本P141习题6.1第1题．教学反思：。

6.1二次函数教学目标:1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

教学过程：一、情景创设：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。

2．用16m 长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y (㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。

二、探索活动：上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。

一般地，我们称 表示的函数为二次函数。

其中 是自变量， 函数。

一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？三、例题教学：例1．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑷菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．四、巩固拓展;1． 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3． 一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间函数关系式。

4． 一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式______________________________5． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．6． 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ． ⑴求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；⑵求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）五、作业：P8 3、4、5（第4题）六、课外作业:1．已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a、b、c为常数），当a_____时，是二次函数；•当a_______，b_______时，是一次函数；当a______，b_____，c______时，是正比例函数．2．已知函数y=（m+2）x2m m 是关于x的二次函数，则满足条件的m值为______．3．从边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为xcm的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）间的函数关系为______．4．化工厂在一月份生产某种产品200t，三月份生产yt，则y与月平均增长率x的关系是______________________________________．5．把函数y=（2－3x）（6－x）化成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式__________________．6．根据如图1所示的程序计算函数值:（1）当输入的x的值为23时，输出的结果为________．（2）当输入的数为______时，输出的值为－4．(1) (2)7．下列函数关系式中，关于x的二次函数的个数有（）（1）2+2x+5；（2）y=－5+8x－x2；（3）y=（3x+2）（4x－3）－12x2；（4）y=ax2+bx+c；（5）y=mx2+x；（6）y=bx2+1（b≠0）;（7）y=x2+kx+20 A．3 B．4 C．5 D．68．下列结论正确的是（）A．二次函数的取值范围是非零实数; B．二次函数自变量的取值范围是所有实数;C．形如y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数; D．二次方程是二次函数的特例9．满足函数y=x2－4x－4的一个点是（）A．（4，4） B．（3，－1） C．（－2，－8） D．（－32，174）10．如图2所示，直角三角形ABO中，AB⊥OB，用AB=OB=3，设直线x=t，截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A ．S=tB ．S=12t 2 C ．S=t 2 D ．S=12t 2－1 11．若y=（m －3）232mm x -+是二次函数，求m 的值．12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，•现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y 元，试求出y 与售出价x 之间的函数关系式．13．某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （小时）的函数：M=t 2－5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为_____℃．14．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，•5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （•x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．1616．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD ，它的上底AD=•15cm ，•下底BC=40cm ，垂直于底的腰CD=30cm ，现要截成一块矩形铁皮MPCN ，使它的顶点M ，P ，N 分别在AB ，BC ，CD 边上，求矩形MPCN 的面积S 关于MN 的长x 的函数关系式．17．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （台）之间的关系如下表：（1）若日销售量y 是销售价x 的一次函数，求这个一次函数？（2）当每件产品的销售价定为145元时，日销售利润为多少？。

6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）上海曙光中学陶慰树一．教学内容分析本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。

对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。

为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。

正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。

二．教学目标设计1、能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；3、通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；4、在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

三．教学重点难点正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。

四．教学用具准备多媒体设备五．教学流程设计六．教学过程设计一．复习引入1．复习：学生口述函数的定义。

2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x 和正弦值x sin （或x cos ）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。

3．讨论：对自变量x 的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。

复习引入正弦函数、余弦函数的概念正弦函数和余弦函数的图像 转化 转化单位圆中的正弦线和余弦线 五点作图法巩固与深化、应用课堂总结以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。

苏科版数学八年级上册6.1《函数》教学设计1一. 教材分析《苏科版数学八年级上册6.1《函数》》是学生在学习了初中数学的基础知识后，进一步学习数学的重要内容。

本节课的主要内容是让学生了解函数的概念、性质和图像，以及函数的表示方法。

教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生逐步理解函数的本质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但函数的概念和性质较为抽象，学生可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。

三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.了解函数的性质，能够分析函数的图像。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

4.提高学生的学习兴趣，增强学生的自信心。

四. 教学重难点1.函数的概念和性质。

2.函数图像的分析。

3.函数的表示方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入函数的概念，让学生在实际情境中感受函数的意义。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，从而激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

3.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队协作能力。

4.动手操作法：让学生动手画函数图像，加深对函数性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的课件，辅助教学。

2.实例材料：准备相关的生活实例，用于引入函数概念。

3.练习题：挑选适当的练习题，巩固所学知识。

4.板书设计：合理安排板书内容，突出重点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如温度随时间的变化，引入函数的概念。

引导学生关注实例中的变量关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、列表法、图象法。

通过课件展示函数的图像，让学生感受函数的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，分析给定的函数图像，总结函数的性质。

苏科版数学八年级上册6.1《函数》说课稿1一. 教材分析苏科版数学八年级上册6.1《函数》是学生在初中阶段首次接触函数概念和性质的重要章节。

本节内容主要包括函数的定义、函数的性质以及函数的表示方法等。

通过对本章的学习，使学生能够理解函数的基本概念，掌握函数的性质，并能够运用函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的运算、方程的解法等基础知识。

但函数概念的引入对学生来说较为抽象，需要通过具体实例来帮助学生理解和接受。

同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以便在学习过程中能够主动探索和发现函数的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解函数的概念，掌握函数的性质，学会用函数的表示方法。

2.过程与方法目标：通过观察、分析和探究，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：函数的概念、函数的性质以及函数的表示方法。

2.教学难点：函数概念的理解，特别是函数的单射性、满射性和一一对应性。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.知识讲解：讲解函数的定义、性质以及表示方法，通过具体例子使学生理解和掌握。

3.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用函数知识解决问题，巩固所学内容。

4.小组讨论：让学生分组讨论，发现函数的性质，培养学生团队合作意识和自主学习能力。

5.课堂练习：布置一些练习题，让学生及时巩固所学知识，及时发现问题并加以解决。

6.总结归纳：对本节课的内容进行总结，使学生对函数的概念和性质有一个清晰的认识。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出函数的关键概念和性质。