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1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义.(重点)3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题.1.角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角如图1-1-1，则α＝________，β＝________.图1-1-1【解析】α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.【★答案★】240°－120°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.轴线角：终边在坐标轴上的角.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)180°是第二象限角.()(2)－45°是第一象限角.()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角.()【解析】(1)×.180°是轴线角.(2)×.－45°是第四象限角.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角.【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理3终边相同的角阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题.与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.1.与30°角终边相同的角的集合可表示为________.【解析】由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}.【★答案★】{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}2.将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________.【解析】设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.【★答案★】(－3)×360°＋195°[小组合作型]角的概念辨析(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角.其中正确的结论是________(填序号).图1-1-2(2)如图1-1-2所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.【精彩点拨】(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角.(2)图形→正负角的概念→∠AOC的大小【自主解答】(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确.(2)由角的定义可知∠AOC＝45°＋(－90°)＝－45°.【★答案★】(1)②④(2)－45°1.解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别.2.判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可.[再练一题]1.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.【解析】时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.【★答案★】－100°－1 200°终边相同的角与象限角已知α＝2 016°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.【精彩点拨】令2 016°＝k·360°＋β――――――→k∈Z0°≤β＜360°求k，β―→θ＝k·360°＋β求k―→求θ【自主解答】(1)用2 016°除以360°商为5，余数为216°，∴k＝5，∴α＝5×360°＋216°(β＝216°)，∴α为第三象限角.(2)∵θ＝k·360°＋216°，k∈Z，又－360°≤θ＜720°，∴k＝－1，0，1，∴θ＝－144°，216°，576°.1.把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.3.终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.[再练一题]2.在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角.(1)－736°；(2)904°18′. 【导学号：48582001】【解】(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角.(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角.[探究共研型]区域角的表示【提示】不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}.探究2终边落在x轴上的角如何表示？【提示】{α|α＝k·180°，k∈Z}.探究3若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？【提示】角α，β的终边落在同一条直线上.写出终边落在阴影部分的角的集合.图1-1-3【精彩点拨】法一：先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可.法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可.【自主解答】法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}.法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}.与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}.1.本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异.2.解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角(或终边在同一条直线上的角)写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围.[再练一题]3.如图1-1-4所示：图1-1-4(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】 (1)终边在OA 的最小正角为150°，故终边在OA 的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z }.同理，终边在OB 上的最大负角为－45°，故终边在OB 的角的集合为{β|β＝k ·360°－45°，k ∈Z }.(2)由题图知，阴影部分区域表示为{x |k ·360°－45°≤x ≤k ·360°＋150°，k ∈Z }.1.－210°为第________象限角.【解析】 －210°＝(－1)×360°＋150°，150°是第二象限角.【★答案★】 二2.钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________.【解析】 分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周.【★答案★】 －120° －1 440°3.下列四个角中与30°角终边相同的角是________.①－30°；②210°；③390°；④－360°.【解析】 ∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同.【★答案★】 ③4.在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________.【解析】 ∵－120°＝－360°＋240°，∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.【★答案★】 240°5.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素.【导学号：48582002】【解】 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }.(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n＜113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。
高一数学任意角的知识点数学是一门抽象而又实用的学科，无论是在学术研究中还是在实际应用中，数学都起着重要的作用。
而高中数学作为数学学科中的核心部分，对于学生来说尤为重要。
在高中数学课程中，任意角是一个重要的概念，它是指角度可以在任何实数范围内取值。
接下来，我们将深入探讨高一数学任意角的知识点。
1. 任意角的概念在初中数学中，我们学习了角的概念，角是由两条射线或线段所围成的图形，通常用大写字母表示。
而在高一数学中，我们引入了任意角的概念，它没有任何限制，可以在任何实数范围内取值。
任意角的优势在于，它能够覆盖所有可能的角度，并且在实际问题中更加灵活和方便。
2. 弧度制与角度制的转换在任意角的概念中，我们经常用到的是弧度制和角度制的转换。
弧度制是一种表示角度的单位，用弧长和半径相等的圆所对应的圆心角来定义。
而角度制是另一种表示角度的单位，将360度平分为60分钟，每分钟再平分为60秒。
两者之间的转换公式是：弧度制角度= (180/π) × 角度制角度角度制角度= (π/180) × 弧度制角度通过这样的转换，我们可以在不同的问题中方便地使用弧度制或角度制来计算和表示任意角。
3. 任意角的三角函数在任意角的概念中，三角函数也发挥着重要的作用。
下面，我们将简单介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义：正弦函数sinθ = 对边/斜边余弦函数cosθ = 邻边/斜边正切函数tanθ = 对边/邻边这些三角函数在不同的数学问题中有不同的应用，它们可以帮助我们求解角度间的关系、证明几何等式以及解决实际问题。
4. 任意角的性质除了上述的知识点外，任意角还有一些重要的性质需要我们掌握和运用。
下面是其中几个重要的性质：(1) sinθ = sin(θ + 2πk)，其中k为整数(2) cosθ = cos(θ + 2πk)，其中k为整数(3) tanθ = tan(θ + πk)，其中k为整数这些性质使得我们可以在解决问题时，通过调整角度的取值范围来简化运算或者寻找关联。
