2018高考数学考点突破课件——解析几何：抛物线

∵|BC|=2|BF|,
∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30°, ∴∠AFx=60°,
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1, 则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,
则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即 p=32,故抛物线方程为 y2=3x.
考点1
考点2
考点3
考点 3 直线与抛物线的关系
例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且 |AF|=3.
-23-
(1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线 GA相切的圆,必与直线GB相切. 思考直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些?
说法中,正确的是( )
A.等于1 B.等于4
C.最小值是1 D.最大值是4
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,
P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,
若������������=4������������,则|QF|=(
)
A.72
B.52
C.3
D.2
答案: (1)A (2)C
考点1
9.7 抛物线
知识梳理
双基自测
自测点评
123
-2-
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的
距离相等
的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线
的 准线 .
的点
-3-
知识梳理
双基自测
自测点评
123
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程

即
y＝
33x－
3 4.
y2＝3x，
联立 y＝＝0.
∴x1＋x2＝－－172＝221，即 xA＋xB＝221. 3
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
所以|AB|＝221＋23＝12.
答案：C
角度三 直线与抛物线的综合问题 3．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：y＝－x 的一个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A、 B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
由yy＝ 2＝24x2，（x－1）， 得 2x2－5x＋2＝0，
解得 x＝2 或 x＝12，从而 B12，－
2.
又 G(－1，0)，
所以 kGA＝2－2 （2－－10）＝23 2，kGB＝12－－（2－－10）＝－2 3 2，
所以 kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直
(2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1＝1，x2 ＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)，B(4，4 2)．
设 C(x3，y3)，则O→C＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4，4 2) ＝(4λ＋1，4 2λ－2 2)． 又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
(1)(2014·上海卷)若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x92＋y52＝1 的右
焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．

学案8 抛 物 线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距
离 相等
点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线
的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .
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2.抛物线的标准方程和几何性质(如表所示)
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
图形
范围 准线方程 性 焦点 质 对称轴
点,最小值为|AF|= 5 .
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(2)同理|PF|与P点到准线的距离相等,如图: ∵|P1Q|=|P1F|, ∴|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. ∴|PB|+|PF|的最小值为4.
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考点四 抛物线的应用 如图,有一块抛物线形钢板,其垂 直于对称轴的边界线AB长为2r, 高为4r,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状 ,以 AB为下底 , 上底CD的端点在抛物线上 , 记 CD=2x,梯形面积为S.(1) 求面积S,使其为以x为自变量的 函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值. 【分析】根据题意先建立坐标系,利用CD的长求出梯形AB CD的高,进而表示梯形面积;然后利用导数求面积S的最大值.
【解析】将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6.
∵ 6＞2,∴A在抛物线内部.
如图，设抛物线上点P到准线l:x=- 1 的距离为d,由
定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,
2
当PA⊥l时,|PA|+d最小,
最小值为 7 ,即|PA|+|PF|
2
的最小值为 7 ,此时P点纵坐标
2
为2,代入y2=2x,得x=2,

) )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(
(4)AB 为抛物线 y ＝2px(p>0)的过焦点
2
p F2，0的弦，若
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
p2 则 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( [ 答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
1 (1)A (2)2 [(1)由 y ＝x，知 2p＝1，即 p＝2，
2
因此焦点
1 F4，0，准线
1 l 的方程为 x＝－4.
设点 A(x0，y0)到准线 l 的距离为 d，则由抛物线的定义可知 d＝|AF|. 1 5 从而 x0＋4＝4x0，解得 x0＝1.
(2)由 y2＝4x，知 p＝2，焦点 F(1,0)，准线 x＝－1. 根据抛物线的定义，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1. 因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2. 所以|AC|＋|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值， 又|AB|＝2p＝4 为最小值． 故|AC|＋|BD|的最小值为 4－2＝2.]
抛物线的定义及应用
(1)(2014· 全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，点 A(x0，y0) 5 是 C 上一点，|AF|＝4x0，则 x0＝( A．1 C．4 ) B．2 D．8
(2)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
5．(2016· 浙江高考)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是________．