………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末
数学物理方法 课程考试题（ 分钟） 考试形式： B 卷 考试日期 2006年 月 日
一、 填空（5*4= 20分） 1
、
定
解
问
题
20,(,0)
(,0)0,(,0) 1
tt xx t u a u x t u x u x -=-∞<<∞>⎧⎨
==⎩的解为
(,)_________________.u x t t =
2、确定下列本征值问题()()0
(0)0,()0X x X x X X l λ''+=⎧⎨'==⎩
的本征值λ
＝22
2
(21),0,1,24k k l
π+=，本征函数
()X x ＝(21)sin ,0,1,2
2k x k l
π+=
3、1
2
3581050
1()()d ________0__________.x P x P x x -=⎰ 4、已知 01
()1,(),P x P x x ==则2()P x =2312
x -；而函数21
()352f x x x =+-按()l P x 的
展开式为()f x =2101
2()5()()2
P x P x P x ++。
二、
一根杆由截面相同的两段连接而成，两段的材料不同，杨氏模量分别为,Y Y I ∏，写
出衔接条件。（10分）
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
解：设两段杆的接点为0x =，在连接处位移u 是连续的，所以有0
x x u u -+I
II
=，
在连接处两方的作用力为：
1x x u u F Y S
Y S
n
x
--I
I
I I ∂∂==∂∂
2x x u u F Y S
Y S
n x
++II
II
II
II
∂∂==∂∂
12F F =-
x x u u Y S
Y S
x
x
-+I
II
I
II
∂∂∴=∂∂
三、 在圆域0
ρρ<上求解泊松方程的边值问题022
()u a b x y u c ρρ=⎧∆=+-⎪⎨=⎪⎩
（20分）
提示：先设法找到特解，再利用u v w =+，把问题转化为w 的定解问题。
【解】 先设法找到泊松方程的一个特解．显然有22
(), ()22
ax ay a a ∆=∆=，为对称起见，取22()4
x y a +．又因为42
()12bx bx ∆=，42()12by by ∆=．这样，找到一个特解 22
442222224()()()()cos 2412412412
a b a b a b x y x y x y x y ρρρϕ=++-=++-=+v
令
24
cos 2,412
a b u ρρϕ=+=
++v w w 就把问题转化为w 的定解问题．
24
000
cos 2.412a b c ρρρρϕ=∆=⎧⎪
⎨=--⎪⎩
w w 在极坐标中用分离变量法求解拉普拉斯方程的一般结果为
∑++∑+++=∞
=-∞
=1
1
00)sin cos ()sin cos (ln ),(m m m m m m m m m D m C m B m A D C u ϕϕρϕϕρρϕρ
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
并且w 在圆域内应当是有界的．但上式的ρln 和
m -ρ当ρ趋于零（圆心）时为无限大，所以应当排除，
故0,0,00===m m D C D ．于是 0
(,)(cos sin ).m
m m m A m B m ρϕρ
ϕϕ∞
==+∑w
把上式代入边界条件
24
0000
(cos sin )co 412
s 2m m m m b a A m B m c ρϕϕρρϕ∞
=+=--
∑ 比较两边系数得
220020,, 0 (0,2); 0412
m m a b
A c A A m
B ρρ=-=-=≠=
这样，所求解为
22222
00()()cos 2412a b u c ρρρρρϕ=+=+-+-v w
四、用特征线法解2222222
300:3,0u u u
x
x y y u y u x y ⎧∂∂∂+-=⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪===⎪∂⎩
（15分）
解：特征方程为
23
(
)2301
dy dy
dy dx dx
dx ⎧--=⇒
=⎨-⎩ 1
2
331dy
x y c dx dy
x y c dx
=⇒-==-⇒+=
令3x y x y ξη=-⎧⎨=+⎩，作特征变换，最后原来方程变为：20u ξη∂=∂∂
所以
()()(3)()u F G F x y G x y ξη=+=-++
利用初始条件得到
2''
(3)()3(3)()0*F x G x x F x G x ⎧+=⎨-+=⎩ 对（*）积分得到 1
(3)()3F x G x c -+= 所以
