2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题

储油罐的变位识别与计量监测管理模型分析摘 要：本文根据微积分原理建立监测管理模型，用以研究储油罐的变位识别与罐容表标定。

根据罐容表的定义，文章从罐内油位高度和储油量（即罐内油品所占体积）的角度出发。

对于问题一，文章解决了小椭圆型储油罐在无变位情况下的油位高度与储油量的关系问题，并建立了相关模型；其次，还得到了小椭圆型储油罐在仅有纵向变位条件下，油位高度与储油量的关系，其中针对其特殊位置的油量关系，进行了分类讨论；最后，根据题目要求，对于罐体变位后的油位高度间隔为1cm 的罐容表进行重新标定，标定结果见表一，得出实际计算进油量与油罐内油量的偏差率为4.5%。

对于问题二，在解决问题一的前提下，根据之前建立的模型，研究了实际储油罐在既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，过程中主要讨论了在实际情况下储油罐在无变位情况，仅存在纵向变位或横向变位情况，以及既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，并建立理想数学模型。

另外，在模型求解的过程中，充分运用了mathematics 数学软件，省去了繁琐的积分演算过程，并且利用了罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数，得出 2.3=α， 8.2=β，从而确立实际数学模型，对罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表重新标定，标定结果见表三。

最后，为了将模型付诸于实践，我们利用实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性，利用包面法在mathematics 软件中的应用，得出实际出油量与计算所得的出油量的偏差率为1.45﹪，数值较为理想，模型可应用于实际。

关键词：储油罐；变位参数；微积分；包面法；偏差1问题重述随着社会经济发展迅速，汽车逐渐普及，加油站点数目不断增长。

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型：()()()()()()()()()()()()()1110022010313120444235454334,0,0,,cos ,,cos ,,cos ,,x d H C V x h x x H x H C V x h x H x H x H C V H S A x B x dx h x H x H x H C C V H x h x H x H C C V H x h x h H H x H ααα==≤≤⎧⎪-⎪==≤≤⎪⎪-⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪-=--=≤≤⎪⎪=--=≤≤⎪⎩⎰刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。

合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时，地基变形小；当荷载增大到一定程度后．油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水来不及消散，地基变形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起，近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。

再利用非线性回归分析的方法通过附表中的数据将α与β非线性拟合出来 ，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给出重要参数()S x (油面横切面的面积)，1l (倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离)，2l (倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离), 3l (倾斜时油箱右上顶点到油面的距离)的值，便可以描述出储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。

以此为基础，给出了两个问题较完备的答案。

关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。

本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。

问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。

分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。

最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。

问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。

在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。

储油罐的变为识别与灌容表标定目录储油罐的变为识别与灌容表标定 (1)目录 (1)摘要 (2)一问题的提出 (3)二符号说明 (3)三模型的假设 (4)四问题分析 (4)五模型的建立及求解 (5)1.问题一 (5)1.1未变位的椭圆球体 (5)1.2变位后的椭圆球体 (7)1.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。

(9)1.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值 (10)2.问题二 (11)2.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系 (11)六．模型的检验 (14)七．模型改进方向 (15)参考文献 (15)摘 要加油站的地下储油罐使用一段时间后会发生变位，针对这个问题，我们建立了数学模型，并利用matlab 和mathmatica 等软件对其进行求解，得到了储油罐的变位后对灌容表的影响和对变位后的罐容量重新标定。

问题一，我们先针对储油罐变位前后分别对体积其建立数学积分模型，用数值积分求得模型，然后用附表一中的有无变位进油中所得的油位高度分别代入两个模型求得体积与附表一相对应的累加进油量和灌内容量初始值之和相差不大，说明我们建立的模型可以接受。

用这两个模型变位前后的曲线，发现变位后的油罐灌容表测得高度值偏大，致使测得容量值与实际值相比偏小。

根据误差分析对模型进行修正并检验，并利用变位后的修正模型模型给出了间隔1cm 的灌容表标定值。

问题二，以圆柱体为主体，两边是两个球冠体的储油罐发生横向偏移和纵向偏移之，首先分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度2h 的影响，储油罐发生纵向倾斜对任意位置油面的高度的影响。

把该储油罐分成中间部分和左右两个球冠体，然后针对储油罐变位后分别对三部分建立数学积分模型，得出油罐中油的体积与油位探针测量的高度2h 的积分关系，比较复杂不易求解，从而对模型进行简化，得到了灌内储油量与油位高度及变位参数α和β的关系5232.532528.3356cos 42.5034cos 56.6712tan v h ββα=+--，通过待定系数法确定了变位参数的值0.2693,21.3484αβ=︒=︒。

数学建模A题油罐问题思路————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010油罐问题思路问题一：解题的总思路是采用微元法求体积。

（1）罐体无变位时的罐容体积模型：当油罐无变位时，取小椭圆油罐截面椭圆，建立适当的坐标系如右图所示：利用椭圆曲线方程，沿右半椭圆曲线对y (0,)h ∈积分,从而 求出小椭圆油截面积为()S h ,由此得出罐体体积()()V h L S h =*。

为验证模型的准确合理性：取附录一数据中的高度h 代入体积公式算出对应的剩余油量理论值，将其与实际剩余值进行曲线拟合。

（2）纵向变位倾斜角04.1α=时的罐容表标定模型： 同样利用积分思想求变位后的体积，对油罐正面示意图建立相应的坐标系，如下图所示：其中120.4, 2.05,3L m L m M m ===根据上图可求得横坐标油面的高度为：1()*tan y h L x α=+- 根据罐油量的多少，可以将它分为三种类型讨论：① 当20tan h L α≤≤，如右下图所示：可求得油罐量的体积为：1tan 10()(()*tan )h L V h S h L x dx αα+=+-⎰②当21tan tan L h M L αα<<-时，如下图所示： 可求得油罐量的体积为：1210()(()*tan )L L V h S h L x dx α+=+-⎰③当1tan M L h M α-≤≤时，如图所示： 可求得油罐量的体积为：1tan 10(()*tan )hL m V V S h L x dx αα+=-+-⎰然后进行模型的验证：由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量V ，将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律，作出误差分析，判断模型建立的合理性。

根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h 的公式，则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的灌容表标定值。

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要在加油站的储油罐中，一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据。

在问题1中，我们对无α=︒的纵向变位的情况利用重积分的方法建立了基本数学模型，并对倾斜角 4.1变位建立了罐体变位后对灌容表影响的两种数学模型，并利用MATLAB软件中误差分析函数，对附件1的数据进行处理，同时对两种模型进行校验得出了最优模型，并确定了罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值。

在问题2中，我们利用问题1的相关结论以及近似、微元法、迭代法、重积分、数理统计等常用的数学方法建立了罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型，而后通过MATLAB软件对附件2数据进行分析与校验，最终确定了所建数学模型的变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

同时进一步利用附件2中的实际检测数据验证了所建模型的正确性与方法的可靠性。

关键词：变位、最优化处理、微元法、数理统计、迭代法、MATLAB一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。

针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用了积分知识和几何知识分析解决储油罐的变位识别和罐容表标定问题。

模型一的对象是小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）。

我们首先运用几何知识对变位罐体进行分析，得到垂直于罐体的液高1h 和储油罐水平状态下的液高2h 之间的关系，2h =1h +1L ×tan()α（倾斜角α，1L =0.4m ，为罐体长的一部分）。

然后以椭圆中心为中心，以椭圆的长轴和短轴分别为x 轴y 轴，建立空间直角坐标系，再对x 求定积分可得椭圆面上的储油面积为S =(2)f h dx ⎰，继而求得储油的体积V =S ×L （L 为罐体的水平总长度）。

并且在不同的情况下，运用分段函数的思想将罐容分为四段，解得各部分罐容表达式。

并且，以附件一中给出的油位高度为自变量，运用matlab 求得对应的罐容。

将求的的罐容与附件一中加上初始油量后的罐容相比较，分析数据得到其平均误差率为0.038371<0.05，较为合理。

因此，便可根据上述函数关系编定小椭圆罐体罐体变位后的油位高度1h 间隔为1cm 的罐容表标定。

模型二对于图4所示的实际储油罐，可由题中所给数据算出球冠形封头的半径为1.625m,所对应的圆心角为134.76度，弧长为 3.822m考虑到所对圆心角较大及弧长相对于油罐的高度D = 3m 相差不是很大，利用问题一中的模型可近似的认为 当液面由倾斜状态转化为水平状态时，两球冠形内的液面高度与卧式圆柱体内的液面高度近似相等，都等于圆柱体内的油在水平状态下的高度2h ，此时罐内液体的体积为两球冠形封头内液体的体积与圆柱体内液体的体积之和。

当油罐同时在倾斜和偏转的状态下时，利用油浮子测得的液面高度为3h ,3h 可化为仅在倾斜状态下的液面高度1h ，进而转化为水平状态下的液面高度2h ，从而h2可油位高度及纵向倾斜角α和横向偏转角β 表示出来，即()()()()()()13cos ,212tan 3cos tan h R h R h h R h R βαβα=+-=+=+-+cos(β)在已建立的较合理的模型一的基础上建立问题二的模型，将h2带入即可求得罐体变位后储油量与油位高度和变位参数α，β的关系。

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：加油站储存燃油的地下储油罐，通常用罐容表进行计算，来反映罐内油位高度和储油量的变化情况。

但是某些外界因素使得罐体变位，导致罐容表发生改变。

因此需要定期对罐容表进行重新标定。

问题一：研究罐体变位对灌容表的影响。

首先用积分导出小椭圆型储油罐无变位时的油液容积与油位高度的关系。

用分段积分的方法算出储油罐倾斜时油位高度与贮油量的关系式。

根据积分得出的油位高度与贮油量的关系，用MATLAB 软件求解得出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（见附录表一）最后分别用实验数据和计算得出的数据拟合曲线进行对比，重合度较高，说明此模型可行性较好。

问题二：研究罐体横向，纵向都有变位时，储油量与油位高度及变位参数之间的关系。

我们将变位分为两步进行，先纵向变位，得出一个储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型。

因为横向变位只于高度有关，此变位处理只需对高度处理。

在计算储油罐贮油量时，将油罐分为三部分求解，即右左身V V V V ++=。

分别对三部分积分求解。

关键词： 储油罐的变位 罐容表 油位高度 贮油量 体积积分 曲线拟合一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1（见附录）是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。