《运用公式计算》教学设计与反思

七年级数学下册《运用乘法公式进行计算》教学设计第4课时运用乘法公式进行计算教学目标熟练地运用乘法公式进行运算。

能根据多项式的特征正确选择相应的乘法公式进行计算。

通过学习运用乘法公式进行运算，体会转化的数学思想，提高对乘法公式综合运用的能力，分析问题、解决问题的能力。

在学习的过程中培养学生严谨、细致的学习态度。

重点难点重点综合运用平方差和完全平方公式进行多项式乘法的运算。

难点正确选择乘法公式进行运算。

教学过程一、知识回顾1. 请写出平方差公式和完全平方公式。

2. 运用乘法公式进行计算：（1）；（2）；（3）；（4） .学生回顾乘法公式，通过计算，明确两个乘法公式的特征，并会选择合适的公式简化多项式的乘法运算：变形后，相乘的两个多项式如果有一项相同，另一项相反，用平方差公式；如果两项都相同，则用完全平方公式。

二、新课讲解前面我们学习了完全平方公式、平方差公式，能简化一些多项式的乘法的运算，请同学们看下面的问题，怎样运算简便呢？（1）（2）学生观察问题并思考、讨论能否运用乘法公式运算，老师可以提示学生考虑各题是否符合平方差公式、完全平方公式的特点，如不符合，能不能转化为平方差公式或完全平方公式？学生发表看法，并进行计算，最后老师做总结：改变运算顺序，或把某些项看成一个整体，这些是常见的变形方法，特别的，当相乘的两个多项式有些项相同，而有些项相反时，可以通过添括号，把相同的项（或相反的项）看成一个整体，就可以转化成平方差公式的结构。

三、典例剖析例1运用乘法公式计算：（1）；（2）鼓励学生用多种方法计算，只要言之成理，只要是自己动脑筋发现的，都要给予肯定，同时还要引导学生评价哪种运算方法最简洁。

解：（1）解法一：解法二：（2）完成后引导学生总结将多项式变形的方法：改变运算顺序，添括号.例2 已知，，求代数式的值.引导学生想，已知和待求的代数式都与哪个乘法公式相关，于是想到将完全平方公式变形得到，这样就把待求的代数式转化成已知的代数式，问题获得解决.进一步训练学生灵活运用乘法公式的能力，让学生体会转化的数学思想.例3 一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1 ，它的面积就增加到原来的4倍还多21 ，求这个正方形花圃原来的边长.设原来的边长为，根据题意列出方程，运用乘法公式可计算得解.训练学生在不同的背景下仍会运用乘法公式，增强运用知识的能力，也增强学好数学的信心.四、课堂练习1.运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）；（4） .2.计算：（1） .3．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16 ，求这个正方形原来的边长.学生解答，教师巡视，注意学生的计算过程是否合理，组织学生对错误进行分析和点评。

《三角形面积公式》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 学生能够理解并掌握三角形面积公式的推导过程和实际应用。

2. 能够应用三角形面积公式解决简单的几何问题。

3. 培养观察、比较、分析和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解和掌握三角形面积公式，并进行实际应用。

2. 教学难点：公式的推导过程，以及解决复杂的几何问题。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、几何图形、剪刀、纸张等。

2. 准备教学材料：三角形的图片和相关的题目。

3. 预习课本相关内容，布置学生准备纸、剪刀等工具。

四、教学过程：1. 导入新课通过展示一些生活中常见的三角形图片，引导学生观察并思考这些图片中三角形的形状和特点。

接着，引出三角形面积的计算问题，并向学生介绍本节课所要学习的三角形面积公式。

2. 探索公式让学生动手操作，利用手中的三角形纸片进行拼图游戏，探索三角形面积的计算方法。

通过小组合作探究，引导学生总结出三角形的面积公式，并让学生说明公式的推导过程。

3. 公式应用让学生运用所学的三角形面积公式解决一些实际问题，如计算三角形花坛的面积、求三角形的周长等。

通过练习题的形式，让学生进一步熟悉公式的应用方法。

4. 课堂小结引导学生回顾本节课所学的知识点，帮助学生梳理所学内容，强调三角形面积公式的应用方法和注意事项。

同时，鼓励学生分享自己的收获和体会，增强学生的学习自信心和成就感。

5. 作业布置针对本节课所学内容，给学生布置一些相应的作业题，以帮助学生进一步巩固所学知识。

同时，可以鼓励学生通过查阅资料、小组合作等方式自主探究三角形面积公式的其他应用场景，培养学生的自主学习能力和创新思维。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解并熟练掌握三角形面积公式，并能应用于实际问题中。

2. 培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。

3. 提高学生的数学交流和表达能力。

二、教学重难点1. 教学重点：让学生理解和掌握三角形面积公式，并能够运用在实际问题中。

《乘法公式》教学反思《乘法公式》教学反思1乘法公式是《整式的乘除》一章的重要内容，也是今后学习数学的重要工具，要学好这部分，除了要注意：1、掌握公式的几何意义比如完全平方公式。

2、注意掌握公式的结构特点，掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提。

如平方差公式的结构特点是：公式的左边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的右边是这两项的平方差，且是左边的相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方。

掌握了这些特点，就能在各种情况下正确运用平方差公式进行计算了。

3、注意公式中字母的广泛意义，乘法公式中的字母既可以代表任意的数，又可以代表代数式，只有注意到字母所表示的意义的广泛性，就能扩大乘法公式的应用范围。

对课本中的教材必须要看的更深也更广，所以我就在学生对乘法公式的基础知识掌握的还不错的基础上专门提出了今天的内容，可以说是带点专题性质也可以说是课本知识的一种延续，让学生还要注意乘法公式的逆用，不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。

还要注意乘法公式的变形，要善于对公式变形的应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和广泛性。

同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。

在课堂的反映中，我深刻的感到这个这样的教学内容虽然脱离了课本，但是又和课本内容紧密联系非常受学生欢迎，主要表现在学生的注意力相当集中，尽管没有让更多的同学表达他们的思路，但是让同学们的思维都动了起来，当有些同学有了自己的思路之后，都能大胆地发表自己的见解，或者在老师的启示下能够产生新的解题方法，但是我也发现对部分领悟能力较弱的孩子有一定的困难，需要老师把解题过程能够全部的展现出来。

《乘法公式》教学反思2数学课程标准中关于公式的教学目标是：会推导公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能简单计算。

《三角形面积公式》教学设计一、教学目标1、让学生理解并掌握三角形面积的计算公式。

2、能够运用三角形面积公式解决简单的实际问题。

3、通过动手操作和推导，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学重难点1、教学重点理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形面积的计算公式。

2、教学难点三角形面积公式的推导过程中，对图形的转化和等积变形的理解。

三、教学方法讲授法、演示法、实践操作法四、教学准备1、多媒体课件。

2、每个学生准备两个完全一样的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

五、教学过程（一）创设情境，引入新课1、展示生活中常见的三角形物体，如三角形的旗帜、三角尺等，引导学生思考三角形在生活中的广泛应用。

2、提出问题：如果要给一块三角形的广告牌刷漆，需要知道它的面积，那么如何计算三角形的面积呢？（二）探索新知1、回顾平行四边形面积的推导过程通过多媒体展示将平行四边形通过剪拼转化成长方形的过程，引导学生回忆平行四边形面积的计算公式：面积＝底×高，并强调转化的数学思想。

2、动手操作，推导三角形面积公式（1）让学生拿出准备好的两个完全一样的锐角三角形，尝试将它们拼成一个学过的图形。

（2）学生展示拼出的图形，可能是平行四边形。

（3）引导学生观察并思考：拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？（4）得出结论：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。

（5）同样的方法，让学生用两个完全一样的直角三角形和钝角三角形进行操作，得出相同的结论。

3、推导三角形面积公式（1）因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形的面积＝底×高，所以一个三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。

（2）得出三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，用字母表示为：S ＝ ah÷2 （其中 S 表示三角形的面积，a 表示三角形的底，h 表示三角形的高）（三）巩固练习1、基础练习（1）给出三角形的底和高，让学生计算面积。

初中数学《公式法-平方差公式》教学设计及说课稿模板《公式法-平方差公式》教学设计一、教学目标【知识与技能】理解和掌握公式(平方差)的结构特征，会运用公式法(1)因式分解。

【过程与方法】培养观察、分析能力，深化逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想。

【情感态度价值观】让学生在自主学习的过程中探究新知，体验获取新知的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。

二、教学重难点【教学重点】会运用公式法(1)因式分解。

【教学难点】准确理解和掌握公式的结构特征，并灵活运用公式法因式分解。

三、教学过程(一)引入新课提问：1.我们学过哪些因式分解的方法?2.我们学过哪些整式乘法的公式?(二)探索新知课件展示以下问题，由学生独立完成：1.还记得七年级学过的整式的乘法公式吗?2.你能用数学语言描述平方差公式吗?3.如果将平方差公式反过来，就可以得到一个什么样的公式：这种因式分解的方法叫做公式法。

请用数学语言描述这一公式。

4.思考：什么样的多项式可以用这一公式因式分解?(1)公式有什么结构特征?(二次二项式)(2)两个平方项的符号有什么特点?(3)公式中的字母a、b可以表示什么?小组内三分钟内交流答案，把解决不了的难点归纳总结出来由老师帮忙解决。

(三)课堂练习让学生自己尝试完成书上的例1和例2。

(四)小结作业提问：今天学到了什么?本节课的课后作业我设计为：完成书后练习题。

四、板书设计《栽蒜苗（二）-折线统计图》说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《公式法-平方差公式》。

新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。

今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材首先谈谈我对教材的理解，《公式法-平方差公式》是北师大版-初中数学-八年级下册-第四章-第3节-《公式法》的内容，因式分解是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。

《使用公式计算数据》教学设计一、教学内容分析本节课的教学内容是宁夏教育厅教研室编著的《信息技术》八年级下册第四单元第一节使用公式计算数据的内容。

完成了对工作表中数据的采集和美化后。

本节课主要介绍利用Excel处理数据的特点，使用公式处理数据，完成对工作表中数据统计分析，提高学生处理信息的能力。

二、学习者分析从学生特点来看，八年级的学生思维活跃，想象力丰富，好奇心强，同时又有了一定的自学能力和动手能力。

但多数情况下还比较肤浅和不够成熟，尤其对于一些知识和技能的掌握还处于一知半解的状态，整体表现肤浅，不求甚解，教师点则通，不点则不通。

通过前面课程的学习，学生已基本掌握了在工作表输入数据、编辑、修饰工作表的基本操作，在此基础上进一步让学生学会如何在Excel中进行数据计算，使学生对数据处理有个感性认识。

因此，根据学生心理特点，从帮助老师计算期末考试总分入手，激发学生兴趣，抓住学生熟悉的素材，利用课本资源，将信息技术课程的教学观念从单纯学习技术转为更加注重对学生跨学科知识的开放教育，让学生在实践中成长，超越学科上的技能，满足学生对新鲜知识的渴求，体验信息技术教学的魅力。

三、教学策略设计本节课采用的教学方式是学生自主探究、教师点拨指导，即教学活动主要是在教师的指导下，通过学生尝试、讨论和自主学习，学会在Excel中进行数据计算。

课堂上的主要时间是学生自主探究和创作练习的时间，这样的设计和安排不仅使知识简单的课程得到了升华，同时也培养了学生创新和解决问题的能力，有助于提升学生的信息素养。

如在归纳总结与作品评价上，主要由学生进行归纳、总结，自评和互评，这样不仅能够激发学生学习的积极性，而且使学生的思维、情感、语言表达能力得到了发挥。

四、教学目标1、知识与技能：掌握Excel中的数据计算的方法；学会在Excel单元格中正确地输入公式；能对照书中表格中的内容找出错因并改正。

2、过程与方法：公式的输入；单元格引用；复制公式并自动填充公式的计算结果。

人教版八年级数学上册14.3.2.1《运用平方差公式因式分解》教学设计一. 教材分析1.内容概述：本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。

平方差公式是八年级数学中的一个重要知识点，掌握平方差公式对于学生后续学习代数和几何知识具有重要意义。

2.地位与作用：平方差公式是因式分解的一种基本方法，它可以帮助学生简化代数表达式，提高解题效率。

通过学习平方差公式，学生能够巩固和拓展之前学过的知识，为高中阶段的学习打下基础。

二. 学情分析1.学生特点：八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解有一定的了解。

但部分学生在运用平方差公式进行因式分解时，容易出错。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导。

2.学习需求：学生需要掌握平方差公式的推导过程、记忆方法以及应用技巧。

同时，学生需要通过大量的练习，提高运用平方差公式进行因式分解的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程、记忆方法及应用；提高学生运用平方差公式进行因式分解的能力。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

四. 教学重难点平方差公式的推导过程及应用。

平方差公式的灵活运用，特别是遇到复杂表达式时的因式分解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决难题，提高学生的团队合作意识。

4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动，提高教学效果。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，突出平方差公式的推导过程和应用实例。

2.练习题：准备一定数量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。

圆的面积计算公式推导的教学反思圆的面积计算公式推导的教学反思（精选8篇）身为一名刚到岗的人民教师，我们要有一流的课堂教学能力，在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，怎样写教学反思才更能起到其作用呢？以下是小编为大家整理的圆的面积计算公式推导的教学反思，希望能够帮助到大家！圆的面积计算公式推导的教学反思篇1圆是小学阶段最后的一个平面图形，学生从学习直线图形的认识，到学习曲线图形的认识，不论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，都有所变化，是学习上的一次飞跃。

通过对圆的研究，使学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。

这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念来说，进入了一个新的领域。

因此，通过对圆有关知识学习，不仅加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为以后学习圆柱，圆锥和绘制简单的统计图打下基础。

这节课中，我渗透了曲线图形与直线图形的关系，即化曲为直的思想。

本节课，我认为我主要有以下几个亮点：一、故事激趣，渗透“转化”重视自主探究，发挥学生主体性。

教学“圆的面积”计算公式推导时，故事激趣，渗透“转化”我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。

再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，看看他们的推导方法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。

这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。

二、大胆猜测，激发探究在凸现圆的面积的意义以后，我让学生猜测圆的面积可能与什么有关。

当学生猜测出圆的面积可能与圆的半径有关系时，设计实验验证：以正方形的边长为半径画一个圆，用数方格的方法计算出圆的面积，探索圆的面积大约是正方形面积的几倍。

《平方差公式》教学设计一、教学目标1.掌握平方差公式的结构特征，理解公式中的字母含义。

2.能够运用平方差公式进行简单的计算，并解决生活中的实际问题。

3.培养学生的观察、归纳和概括能力，以及实际应用能力。

二、教学内容与过程引入通过展示一系列形式为(a+b)(a−b)的乘法算式，引导学生观察并发现其中的规律，引出平方差公式的概念。

讲解与演示1.讲解公式的结构特征：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

2.演示如何运用平方差公式进行计算，并强调公式中的注意事项。

课堂活动1.让学生自行举例说明如何运用平方差公式进行计算，并给予适当的提示和指导。

2.通过小组讨论的形式，让学生自主总结出平方差公式的结构特征和运用方法。

反馈与评价1.通过让学生完成一些简单的练习题，检测他们对平方差公式的掌握程度。

2.对学生的答案进行点评和纠正，帮助他们更好地理解和掌握平方差公式。

三、教学方法与手段1.运用多媒体教学工具进行演示和讲解，提高教学效果。

2.通过小组讨论的形式，让学生自主探究和学习。

3.给予学生适当的提示和指导，帮助他们更好地理解和掌握平方差公式。

四、教学资源与环境1.教室、黑板、投影仪等教学设备。

2.教学PPT、练习册等教材资料。

3.学生小组讨论的场所和必要的教具。

五、教学评估与反馈1.通过观察学生的课堂表现和完成练习题的情况，评估他们对平方差公式的掌握程度。

2.收集学生的反馈意见，了解他们对教学方法和内容的评价和建议。

3.根据评估结果和反馈意见，对教学方案进行调整和改进，以提高教学质量。

六、教学反思与总结1.对本次教学进行反思，总结出成功和不足之处。

2.思考如何更好地运用平方差公式解决实际问题，以及如何将其与其他数学知识进行联系和整合。

3.为今后的教学提供参考和借鉴，不断提高自己的教学水平。

《使用公式计算数据》教学设计教学设计之《使用公式计算数据》摘要本教学设计主要针对初中数学《使用公式计算数据》这一知识点展开，通过引导学生理解公式的含义与应用，培养学生使用公式计算数据的能力，以及培养学生运用逻辑思维解决实际问题的能力。

通过形象的案例引入，激发学生的学习兴趣，通过合作探究的方式进行教学，激发学生的合作意识和团队精神。

关键词：公式计算；数据分析；逻辑思维；合作学习一、教学目标：1.知识目标：（1）了解公式的定义和含义；（2）掌握使用公式计算数据的方法；（3）理解公式在实际问题中的应用。

2.能力目标：（1）培养学生观察、分析和抽象问题的能力；（2）培养学生使用逻辑思维解决实际问题的能力；（3）培养学生独立学习和合作学习的能力。

3.情感目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热爱；（2）培养学生乐于合作、积极参与课堂活动的态度。

二、教学内容：三、教学重点与难点：1.重点：学生掌握使用公式计算数据的方法。

2.难点：学生理解公式在实际问题中的应用。

四、教学方法及过程：1.教学方法：合作探究法、讲授法。

2.教学过程：（1）导入与引入（10分钟）教师通过一个生活中常见的问题引入本节课的主题，并与学生进行互动，激发学生的学习兴趣。

（2）学习与合作（35分钟）a)学生分成小组，在教师的指导下，观察一组实际生活中的数据，并思考如何使用公式计算这组数据。

b)学生在小组内讨论并归纳出使用公式计算数据的规律。

c)学生在小组内互相交流并对归纳的规律进行讨论和修正，形成最终结果。

（3）展示与讲解（20分钟）a)学生代表小组进行展示，介绍使用公式计算数据的方法和应用情况。

b)教师对学生的展示进行点评，帮助学生深入理解公式的含义和应用。

（4）练习与巩固（25分钟）a)学生进行个体练习，根据给定问题使用公式计算数据。

b)学生之间进行互评和讨论，帮助他们发现问题并进行解决。

c)教师对学生的练习情况进行评价，帮助学生查漏补缺。

《完全平方公式》教学设计与反思刘清15．3．2完全平方公式（一）学科：数学 教师：刘清课 题:完全平方公式（一）教学目标:1.理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．2.正确运用公式进行计算．3.通过推导公式培养学生发现问题、探索规律的能力．4.培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．5.渗透数学公式的结构美、和谐美．重 点:完全平方公式的结构特点，正确运用公式进行计算.难 点:对完全平方公式的理解,并能灵活应用公式进行计算．教学过程:1.计算导入,求得公式(1)叙述平方差公式的内容并用字母表示；(2)计算下列各式,你能发现什么规律?（可以利用前面归纳的公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++进行计算）① =(1)(1)x x ++= ;② =(2)(2)m m ++= ;③ =()()x b x b ++= ;④ =()()a b a b ++= .再运用和的完全平方公式推导出差的完全平方公式,即[]222222()()2()()2a b a b a a b b a ab b -=+-=+⋅⋅-+-=-+得到乘法的完全平方公式:符号叙述:①2222)(b ab a b a ++=+ ②2222)(b ab a b a +-=- 或合并为：2222)(b ab a b a +±=±文字叙述:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.我们还可以从几何角度去解释完全平方公式:2.结合图形，理解公式你能根据图A 和图B 中的面积说明完全平方公式吗？（用幻灯片和纸板演示）分别得出结论：2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-3.探索新知，讲授新课（1）例1 运用完全平方公式计算：①2(4)m n +; ②21()2y -.分析：若选公式①，则在①中，可以把4m 看成a ，n 看成b ，即222(4)(4)2(4)m n m m n n +=+⋅⋅+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓222()2a b a a b b +=+⋅⋅+解：①22222(4)(4)2(4)168;m n m m n n m mn n +=+⋅⋅+=++分析：若选公式②，则在②中，可以把y 看成a ，12看成b ，即 222111()2()222y y y -=-⋅⋅+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2222)(b b a a b a +⋅⋅-=- 解：②22221111()2().2224y y y y y -=-⋅⋅+=-+ 4.课堂练习，巩固知识（1）练习①2(4);m n -- ②21();2y - ③2(25);x -+ ④232().43x y -（2）思考:①2)(b a +与2)(b a --相等吗? 2)(b a -与2)(a b -相等吗？为什么？②下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？(3)例2运用完全平方公式计算：①2102 ②2995.课堂小结①引导学生说明完全平方公式的结构特征。

《长方形和正方形的周长计算》案例与反思數學教案
設計
《长方形和正方形的周长计算》案例与反思数学教案设计
一、教学目标
1. 知识与技能：学生能够掌握长方形和正方形的周长计算方法，理解并运用公式。

2. 过程与方法：通过观察、比较、分析等活动，提高学生的空间观念和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学学习的兴趣，养成认真、严谨的学习态度。

二、教学重难点
重点：长方形和正方形的周长计算方法。

难点：理解和运用周长计算公式。

三、教学过程
1. 导入新课：教师展示一些长方形和正方形的图片，让学生观察并提出问题。

引导学生思考如何知道这些图形的周长。

2. 新知讲解：
- 长方形的周长：通过实际测量长方形的长和宽，引导学生发现长方形的周长等于长加宽的两倍，即C=2(a+b)。

- 正方形的周长：通过实际测量正方形的边长，引导学生发现正方形的周长等于边长的四倍，即C=4a。

3. 实践操作：学生自己动手测量一些长方形和正方形的边长，然后计算出它们的周长。

4. 总结归纳：教师引导学生总结长方形和正方形的周长计算方法，并强调公式的应用。

四、教学反思
在这次的教学中，我采用了直观教学的方法，让学生通过观察和实践来理解和掌握知识。

在实践中，我发现这种方式很有效，学生们都能够积极参与，并且很快就掌握了长方形和正方形的周长计算方法。

但是我也注意到，有些学生在运用公式时仍然会出错，这可能是因为他们还没有完全理解公式的含义。

因此，在以后的教学中，我会更加注重培养学生的理解能力和逻辑思维能力，让他们不仅能够记住公式，而且能够灵活运用。

初中数学公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握初中阶段常用的数学公式，并能熟练运用到实际问题中。

2. 培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学素养。

3. 引导学生体会数学公式的美妙，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容：1. 初中阶段常用的数学公式，如平方差公式、完全平方公式、二次方程求解公式等。

2. 公式推导过程的讲解，让学生理解公式的来源和应用。

3. 实际问题中的应用，培养学生学以致用的能力。

三、教学重点与难点：1. 重点：掌握初中阶段常用的数学公式，并能熟练运用到实际问题中。

2. 难点：公式推导过程的理解和应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解公式的推导过程和应用方法。

2. 采用案例分析法，分析实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与，提高学生的动手操作能力。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过简单的数学问题，引入本节课要讲解的数学公式。

2. 讲解公式：详细讲解公式的推导过程，让学生理解公式的来源。

3. 案例分析：分析实际问题中的应用，让学生学会将公式运用到实际问题中。

4. 互动环节：学生分组讨论，合作完成一些数学题目，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考公式的拓展应用。

六、课后作业：1. 复习本节课讲解的数学公式，巩固记忆。

2. 完成课后练习题，提高运用公式解决问题的能力。

3. 思考公式的拓展应用，培养学生的创新意识。

七、教学评价：1. 学生对公式的掌握程度，是否能熟练运用到实际问题中。

2. 学生在合作交流中的表现，是否能积极参与，发挥团队精神。

3. 学生对公式拓展应用的思考，是否能提出新的解题思路。

通过本节课的教学，让学生掌握初中阶段常用的数学公式，提高学生的数学素养，培养学生学以致用的能力。

同时，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识。

“球的体积公式及其应用”的教学设计、实践与反思上海市格致中学(201401)林佳乐上海市黄浦区教育学院(200023)徐庆惠摘要球的体积公式是上海教育出版社的数学高中三年级第十五章“简单几何体”的中的内容之一.教材中对于球的体积公式没有给出具体推导过程,本节课设计了运用祖暅原理推导半球的体积公式,加深了学生对祖暅原理的理解,培养学生将空间图形转化为平面图形解决问题的能力,在课堂中培养学生的核心素养,体会其中蕴含的类比、转化等数学思想方法.关键词球的体积公式;祖暅原理;核心素养1教学目标和教学重点、难点1.1教学目标(1)会运用祖暅原理推导球的体积公式;会解决与球的体积有关的问题.(2)经历运用祖暅原理构造辅助体的过程,体会化归与转化的数学思想;对球体积公式的应用,加强空间想象能力及运算能力.(3)感受数学的文化价值,发展探索精神.1.2教学重点利用祖暅原理推导球的体积公式;球与正方体、正四面体的几个特殊的位置关系的问题.1.3教学难点构造符合祖暅原理条件的几何体的过程.2教学过程(片段)2.1探究新知已知球的半径为R,求球的体积V.设计意图通过课堂练习检测学生对三个重要不等式的掌握情况,学生在练习中增强分析问题与解决问题的能力及理性思维能力,在听取教师评讲的过程中完善知识,难度适中.3教学思考3.1逻辑推理素养的落实源于教学中让学生弄清知识间的逻辑关系数学是高度逻辑化的学科,知识的发生、发展与形成都离不开逻辑,数学的定理是在概念与原有知识的基础上经过逻辑推理产生的,数学知识间都存在着某种逻辑关系内在紧密联系着.学习数学,就是要理顺弄清知识间的内在联系,不仅要学习知识,更是要提升逻辑思维的能力.数学教学,就应引导学生探究知识间内在逻辑关系,使知识融合为一体,明白知识的来龙去脉,数学知识与数学方法间的关系,在学生解决有关问题时才能得以应手地使用知识和方法去分析问题,寻找解决方案,在思考与表达时做到“重论据、有条理、合逻辑”,更好地发展逻辑推理素养.3.2注重不同推理形式的应用及教学评价,促进逻辑推理素养发展“数学是锻炼思维的体操”,学习数学,能使学生增长知识形成能力,同时能促进思维的发展,促进形成使人终身受益的逻辑推理素养.思维的发展离不开逻辑推理,数学推理形式有合情推理和演绎推理,它们在思维的发展中相互补充,互相促进.合情推理中的归纳推理实现特殊到一般的猜想,而类比推理实现由此到彼的推断,这两种合情的想象为科学的发展插上了翅膀,使我们在现有认知基础上猜想或推断可能正确的结论.而演绎推理帮助我们辨别猜想或推断的真伪,去证明其成立性或找出反例说明其错误性,可见在教学中要注重不同推理形式的应用,以促进思维的全面发展.在教学中会发现学生经常出现推理的错误或不严谨的思维方式,要重视学生课堂回答问题或课后解答问题的评价,让学生明白自己错误的根源,达到表达规范,思维慎密,推理严谨,合乎逻辑,以促进逻辑推理素养的发展.参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版[M].北京:人民教育出版社,2018.[2]张英伯,黄秦安,曹一鸣,等.数学教育原理[M].北京:北京师范大学出版社,2010.[3]赵银仓.围绕核心素养透视教育价值[J].数学教学通讯(下旬),2019(8):73-74.师:我们需要利用祖暅原理,祖暅原理中关键是两个几何体底面积相等,高相等,而球没有底面,所以我们先来求半球的体积.问题1:我们根据祖暅原理,来推导半球的体积公式,那么我们需要构造一个怎样的几何体呢?这个几何体需要满足什么条件呢?生1:在任意等高处用一组平行平面去截两个几何体时,截面面积相等.师:那么也就是说这两个几何体符合祖暅原理的条件对不对?生2:对的.师:好,另外该几何体体积应该可求的,所以我们需要借助熟悉的几何体.该几何体与半球夹在两个平行平面之间,即要求该几何体与半球等高.(ppt 展示)我们知道该几何体高应该是R ,当用平行于底面的任意一个平面去截半球,我们思考下所得的截面面积如何求?设截面与底面之间的距离为h (0<h <R ),我们用已知R 和h 表示面积S 1,师:首先想想看截面是什么图形?生2:是圆.师:那么这个圆的面积S 1如何表示?生2:S 1=πr 2=π(R 2−h 2).师:我们看这是两项的差πR 2−πh 2,可以表示什么图形的面积差呢?生2:表示圆环的面积.师:非常好,具体来说这是两个半径分别为R 和h 的圆的面积之差,即圆环的面积.(ppt)师:而截面为圆的几何体我们会想到什么几何体?生:(部分同学)圆柱和圆锥.师:好的,那么我们来看同底等高的圆锥和圆柱,观察同底等高的圆锥、半球、圆柱,这三个截面,(h 变化时截面变化几何画板动态演示)我们发现圆柱截面面积是不变的,而圆锥的截面面积随着的增大而减小,接下来同学小组讨论一下,构造怎样的截面使得截面面积是πR 2−πh 2呢?请同学们构造一下这个几何体.问题2:πR 2表示圆柱的截面,那么πh 2这个圆在哪里?学生小组讨论师:你们找到πh 2了吗?生3:这个几何体应该是圆柱里面挖去圆锥.师:能不能说明为什么?πh 2在哪里?生3:圆锥的截面面积.师:圆锥的顶点和截面上的点分别为P 和O ,那么圆锥的半径是多少?生3:是h .师:我们知道这个圆锥比较特殊,底和高均为R ,所以母线和高所成的角为45◦,P O 等于多少?生3:R −h ,哦,半径是R −h .师:对的,所以面积并不是πh 2对吧.生3:嗯…是的(思考中)师:我们来看,如果圆锥的截面半径刚好是h 就是我们需要的,那就是说圆锥的顶点到截面的距离应该是h ,而我们知道截面距底面的距离为h ,即圆锥顶点应该在底面所在平面上,这说明什么呢?生3:哦…需要圆锥倒过来放.师:非常好,我们把圆锥倒过来放,这是截面半径为h ,那么截面面积为πh 2对吧.(结合ppt)师:因此随着截面高度h 变化时,截得圆锥的截面圆的半径始终是h ,圆柱的截面面积与圆锥的截面面积之差为S 1=πR 2−πh 2和半球截面面积始终相等.我们构造的几何体是与半球同底等高的圆柱挖去一个同底等高的倒置圆锥而组成的几何体.(圆锥移到圆柱中几何画板动态演示).由祖暅原理,我们知道半球的体积与构造出的几何体体积相等,而这个由圆柱挖去圆锥构造出的几何体体积我们如何求?生4:半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积(教师板书)V 半球=V 柱−V 锥=πR 3−13πR 3=23πR 3,∴V球=43πR3.师:很好,我们利用祖暅原理得出了球的体积公式,那么运用公式时只需知道球的半径.接下来我们一起来研究和球体积有关的问题.2.2应用提升例设正方体的棱长为a,求(1)正方体内切球的体积;(2)正方体外接球的体积;(3)与正方体的棱都相切的球的体积.师:大家思考下内切球满足什么条件?生5:内切球球心到各个面的距离相等.师:球心在哪里?生5:在正方体的中心.师:很好,所以半径为…生5:半径等于正方体棱长的一半,R=a 2 .师:很好,所以代入体积公式可得内切球体积V1=4 3πR3=π6a3我们也可以画出截面图形是这样的(ppt).师:接下来请你再思考下,正方体外接球呢?生5:我认为正方体外接球球心还是正方体的中心,半径是球心到各个顶点距离,R=√32a,也可以求出体积.师:非常好,截面图形是这样吧(ppt).师:接下来我们思考,如果球与正方体各棱相切,想象一下,这个球怎样能做到和正方体各条棱都相切?思考30s师:能不能请一位同学给大家描述一下.生6:我觉得球心仍然是正方体的中心…(思考片刻)师:既然相切,切点位置在哪里?生6:切点在正方体棱的中点.师:对不对?也就是说球心到各棱中点距离是相等的对吧,所以切点是各条棱的中点!(教师拿出空的正方体教具演示)我们可以想象这个正方体中我们有一个气球,在吹这个气球过程中,我们要把气球理想化想象成球体,则气球逐渐变大过程中,到某一时刻气球与各条棱均相切了,所以我们求半径即求球心到各棱中点的距离,容易求得的.(ppt)如图所示,连接AB,因此该球的直径大小为面对角线长度√2a,则R=√22a,则V3=43πR3=√23πa3.小结:正方体与球的几种位置关系,需要确定球心位置,切点位置,转化到平面图形中,求出半径.内切球半径为球心到正方体各个面的距离,大小等于棱长的12,外接球半径为球心到正方体各个顶点的距离,大小为正方体体对角线的12,与各棱相切的球的半径为球心到各棱的距离,大小为正方体面对角线的12.(如图)变式:如果把正方体改为正四面体,设各棱长为a,三种情况下球的体积又为多少?【设计意图】本例题是关于球与正方体、正四面体的几个特殊的位置关系的问题,是对球的体积公式的应用,也是对正方体、正四面体中寻找基本量所在的平面图形的巩固.从中体现类比、转化的思想方法.(学生画图求解,教师板书画图)师:我们需要如何找到这三种情况下的半径呢?生7:先确定内切球球心位置.师:非常好,球心在哪里?生7:球心在正四面体的高AN上.师:对的!大家观察老师用3D打印这个正四面体和内切球,当然其中一面是没有开放不封闭的,我们从这个角度观察,球心应该在正四面体的高上对吧?师:那么在各个面的切点在哪里?生7:在底面的切点为三角形的中心.师:在图中用字母表示(如图所示)M,N分别为切点,所以内切球半径为?生7:半径为ON或OM.师:我们再看外接球的半径是什么?(思考片刻…)生7:线段OA.师:能不能解释下?我们知道O是内切球球心,你的意思是O也是外接球球心?能不能说说原因.生7:是的,因为AM=DN,OM=ON,所以Rt∆AOM和Rt∆DON全等,所以OA=OD.师:很好,那么与OB,OC相等为什么呢?(教师连接OB,OC)生7:因为BN=CN=DN,所以三个直角三角形全等,所以OB=OC=OD.师:具体是哪三个直角三角形全等?生7:三角形ONB,ONC,OND全等.师:非常好,请坐!我们知道ON是公共的直角边,BN=CN=DN,所以OB=OC=OD.那么也就是说内切球球心也是外接球球心,那么大家思考下是不是与棱相切的球的球心呢?(部分同学回答:是的)师:没错,此时球心也是O,我们可以证明的.那么与棱相切的切点在哪里?(部分学生回答:棱的中点)所以我们所求半径是哪条线段?生8:可以取AD的中点Q,OQ是半径.师:很好,还可以是哪条线段?生8:OP.师:对的!请坐!那么我们看,这三个半径我们都可以转化到哪个平面图形中求解呢?(学生齐声回答:平面AP D中)师:对的!那么∆AP D又是一个什么三角形呢?(部分学生答道:等腰三角形!)师:没错!由于AP=P D,这个等腰三角形三边已知,那么我们要求的三个半径如果能求出其中一个,另外两个是否可求呢?(学生点头)师:好,那么我们再思考,例题中是正方体与球的几种特殊的位置关系,那么正四面体与正方体之间有没有什么关系呢?(部分学生回答:正四面体可以放入正方体中)师:有同学说可以放入正方体中,也就是说,正方体中有没有正四面体?(学生齐声回答:有的)(教师ppt展示正方体中的正四面体)师:那么我们看,正四面体的外接球和正方体有什么关系?生9:(思考片刻)也是正方体的外接球.师:能解释下为什么吗?生9:因为各个顶点都在球上,球心到各个顶点距离相等.师:很好!所以半径应该可以求出来喽,正四面体的棱长为a,那么正方体的棱长为…生9:正方体棱长为√22a,然后体对角线为√62a,所以球半径为√64a.师:嗯!所以代入体积公式可求体积对吧!那么我们再思考下,正四面体与棱相切的球和正方体有什么位置关系吗?生10:正四面体与棱相切的球是正方体的内切球!师:很好!他认为这个球是正方体的内切球,(ppt展示),切点在棱的中点也就是正方体的各个面的中心对吧,所以这个球与正方体的各面相切,是内切球!从而我们也可以求出半径和体积对不对?(学生点头)师:那么相应的正四面体的内切球半径通过外接球或者与棱相切的球的半径可求,大家课后思考下,正四面体的内切球半径还可以通过什么方法求解吗?小结:通过对正四面体内切球,外接球,与棱相切的球的研究,我们发现,内切球半经为球心O到等腰三角形AP D 腰的距离,外接球半径为球心O到等腰三角形AP D底边顶点的距离,与棱相切的球的半径为球心O到等腰三角形AP D顶点的距离或底边的距离,这三种情况均可以转化到平面图形中去解决.而内切球半径与外接球半径之和为正四面体的高.另外,可以将正四面体放入正方体中,转化到正方体和球的位置关系进行相应计算.2.3课堂小结我们来总结一下今天所学的内容:我们利用祖暅原理推导出了球的体积公式,在构造几何体时要符合祖暅原理的条件,通过圆柱挖去倒置的圆锥来求出半球的体积,从而得出了球的体积公式.另外应用球的体积公式解决相关问题,球与正方体、正四面体的三种位置关系下的体积计算,关键是确定球心,找到切点,转化到平面图形中求出不同情况下球的半径.3教学反思3.1关于课堂的环节(1)“球的体积公式”是教材中“由祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式可得球的体积公式”这样一句话带过,而笔者认为,祖暅原理的应用的重要性可以从课本中基本的公式的推导体现,因此将根据祖暅原理推导半球的体积公式的整个过程呈现在课堂中,希望学生在经历公式推导的过程中,加深了对祖暅原理的理解,体会其中蕴含的数学思想方法.另外,有理数乘法“负负得正”教学再思考*广东省中山市远洋学校(528403)陈晓明广东省中山市民众中学(528441)杨良畏摘要“负负得正”的教学是“世界性难题”,能够把它说清楚确实很困难.众多教材选择“匀速直线运动状况分析”情境教学或“从正数×正数出发的归纳推理”教学模式.前者较为抽象,学生难理解;后者较为简单,教师不易引导学生顺着思路展开教学.关键词负负得正;归纳推理;抽象1教学困惑分析有理数乘法难教原因就是说不清楚“负负得正”这个法则,或者说生活中没有较好的情境去解说这个法则.人教版教材曾尝试用“蜗牛爬行”的情境,一只蜗牛沿直线爬行,它现在的位置恰好在l上的点O.如果蜗牛一直以每分钟2厘米的速度向右(左)爬行,3分钟后(前)它在什么位置.显然,对于刚上初一的学生来说,要理解这个情境是很困难的,第一种方式本质上是用一个有理数知识建模解决实际问题的过程,涉及到时空因素,而且“时”包括未来、现在和过去,“空”包括左右两个方向,这种情境对于初一学生来说很复杂,对抽象思维能力要求较高,反而对学习造成干扰.对于构造符合祖暅原理条件几何体也是一个开始,后面可以根据学生的能力对高考题目中出现的祖暅原理的应用进行拓展训练,培养学生自主探究解决问题,对任何事物要养成知其然而更知其所以然的习惯.(2)公式推导过程中,学生在教师的引导下,一步步完成构造与半球体积相等的几何体,这也是本节课的难点,实际上在构造几何体时,符合祖暅原理条件的可能不是圆柱中挖去圆锥,可以构造四棱锥等方法求解,所以如果这一环节能够大胆放手让学生自主构造,培养学生主动探索的精神,同时也可以课后让学生自己再构造一个几何体,注重知识的发生.(3)求正四面体的内切、外接、与棱相切的球的半径时,球心相同,这个地方也是需要严格证明的,由于课堂时间以及重点内容的关系,这个说理过程可以课前或者课后说明.而通过教具模型的展示,学生应该可以从直观上观察得到这个结论.(4)正四面体中的三个半径均转化到等腰三角形中求解,而这三个半径已知任意一个半径,可求出其他两个半径,因此将三种情况一起考虑,可以先将正四面体的情况转化为正方体的情况来求解.而在求内切球半径时可以利用等体积方法求解,可以作为课后思考让学生自主探索研究完成.3.2立体几何教学中提升核心素养的思考(1)立体几何不光是空间想象能力,空间逻辑推理、分析、说理的能力同样重要立体几何的教学,往往很多人认为只要学生能想出来即可,然而立体几何中不光要有空间想象能力,对于空间中的逻辑推理,说理能力要求才是真正体现核心素养的地方.核心素养中的“直观想象”中也要蕴含逻辑推理、分析说理等素养.(2)在日常教学中培养学生的核心素养,渗透数学思想方法核心素养的培养与三维目标的建立、数学思想方法的渗透、数学能力的培养等是息息相关,应该体现在日常的教学中,需要我们教师不断思考,从日常教学中能够体现核心素养的内容,掌握好方式方法,尤其对于立体几何是提升直观想象素养的重要载体,而本节课中数学抽象、数学运算(转化为平面图形中计算相关问题)、逻辑推理(构造几何体的截面面积与半球的截面面积相等)等核心素养也相应得到体现,这些需要在日常教学中不断渗透和培养.参考文献[1]徐光伟.祖暅原理与一类曲线旋转体体积[J].数学通讯,2002(5):14-15.[2]程玮.高考数学文化之祖暅原理例析[J].数学通讯,2017(5):10-11.[3]王威.巧用祖暅原理及其推论推导旋转体的体积[J].2013(1):65-67.*中山市教育科研2018年度青年项目课题“基于学生发展核心素养的初中数学概念建构的教学策略研究”(课题编号:C2018057)的阶段性成果.。