下载文档原格式
条件极值论文：条件极值引出的问题解决在高等数学中，我们会遇到大量求多元函数的最值问题，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.同时，求多元函数的极值时，还会遇到对自变量有附加条件的极值问题，即条件极值.对自变量无附加条件约束的极值称为无条件极值.教学中，当讲到拉格朗日乘数法时，学生往往会对条件极值提出很多质疑，本文就条件极值的若干问题加以探讨.一、极值是什么，怎样求极值条件极值与极值有密切的关系，它们都刻画的是函数在局部范围的最值问题.同济大学数学系编的《高等数学》教材上关于二元函数极值的定义是：定义设函数z=f(x,y)的定义域为d，p0(x0,y0)为d的内点.若存在p0的某个邻域u(p0) d，使得对于该邻域内异于p0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为函数的极值点.把二元函数推广到n元函数，即得多元函数极值的概念：设n元函数u=f(p)在点p0的某一邻域u(p0)内有定义，如果对于该邻域内异于p0的任何点p都有f(p)f(p0))，则称函数u=f(p)在点p0有极大值(或极小值)f(p0).求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点.第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处a，b，c的值，并根据ac-b2的符号判定各个驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.二、条件极值是什么，如何求条件极值是高等数学多元函数极值理论中一类重要的问题，但是教材没有给出严格的定义，都以叙述的形式表达.如“求多元函数的极值时，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，往往还受其他附加条件的限制，我们把这种对自变量有其他附加条件约束的极值称为条件极值”等等.关于怎样求条件极值，教材交代了两种方法.其一,求解约束条件比较简单的条件极值问题时，可以把条件极值化为无条件极值，然后加以解决.其二，直接寻求求条件极值的方法，也是教材花大篇幅介绍的方法，即拉格朗日乘数法.先引入lagrange函数l,再求出此函数的驻点，然后做进一步的判断.用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦.三、求极值的方法和拉格朗日乘数法运用的异同是什么二元函数的极值问题，一般是利用偏导数来解决.拉格朗日乘数法是通过引入lagrange函数l，从而将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.从思想上看，两种方法均是缩小自变量的取值范围，先找出候选点（即可能的极值点），再试图缩小范围得到真的极值点.四、能否先求驻点和偏导数不存在的点，再筛选教材在条件极值的定义上存在着不严谨之处，导致的结果是在教学过程中，学生往往会产生这样的困惑：既然极值是在驻点和偏导数不存在的点中寻找，而条件极值只不过是对自变量附加了额外的条件，那求条件极值时完全可以采用先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除，最终对剩余的驻点和偏导数不存在的点做进一步真伪判断即可，何苦要引入拉格朗日函数使得问题复杂化呢？关于这个问题，有一种办法是通过某题按照不同的方法得出不同的结果加以反驳，但最好的办法是揭示二者的本质区别.事实上，以二元函数为例来说，设函数z=f(x,y)的定义域为d，若函极的极值点为p0(x0,y0)，极值为z0，表明在曲面z=f(x,y)上，点(x0,y0,z0)是它较小周围中最高的或者最低的一个点，也可以说点(x0,y0,z0)是它较小周围最凸的或者最凹的点，还可以说在点p0(x0,y0)的较小周围（即存在p0的某个邻域u(p0) d），p0(x0,y0)的函数值z0是最大的或者最小的.然而，对同样的函数z=f(x,y)，附加条件g(x,y)=0后，若条件极值为z1，对应的极值点为p1(x1,y1) ，表明的是在曲面z=f(x,y)上，点(x1,y1,z1)不一定是它较小周围中最高的或者最低的一个点，而是沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最高的或者最低的一个点，也可以说沿着柱面g(x,y) =0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最凸的或者最凹的点，还可以说在xoy平面上沿着g(x,y) =0看，在点p1(x1,y1)的附近，p1(x1,y1)的函数值z1是最大的或者最小的.因此，尽管极值和条件极值都是函数值互相比较大小的结果，是局部小范围的最值，但这两种情况下要考察的自变量的取值范围却有很大的区别：无条件极值互相比较函数值的考察范围是在点p0(x0,y0)的邻域u(p0)中，此领域是一个圆形区域，而条件极值互相比较函数值的考察范围是在g(x,y)=0这条曲线上点p1(x1,y1)的附近，此“附近”是一段曲线弧，当自变量在附加条件形成的区域中取值时，临靠近条件极值点时，以条件极值为最值.反映在函数图像上，前者是面上的考量，后者是线上的考量.显然，当无条件极值的极值点同时也满足条件极值附加条件g(x,y)=0的情况发生时，这样的无条件极值点一定也是条件极值点，另一方面，当满足g(x,y)=0的条件极值点确定后，这样的条件极值点不一定是无条件极值点.条件极值点和无条件极值点可以有非空交集，也可以交集为空.附加条件不是g(x,y)=0情形可做类似分析.有了上述剖析，学生的困惑就迎刃而解.如若“先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除”，这样就会漏掉一些可能的条件极值点，使得解题不全面.五、结语在约束条件g(x,y)=0下讨论二元函数z=f(x,y)的极值问题时，如果由g(x,y)=0能求得x或y，此时把求二元函数的条件极值可转化为求一元函数的极值.但有时通过方程g(x,y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用这种方法就困难了.在教授学生新知识、新概念时，教师对学生容易或者可能出现的错误要有足够的认识，对学生产生的疑难，要从本质上加以解决，给学生留下深刻的印象，防止日后重犯错误.。
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
