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条件极值论文：条件极值引出的问题解决在高等数学中，我们会遇到大量求多元函数的最值问题，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.同时，求多元函数的极值时，还会遇到对自变量有附加条件的极值问题，即条件极值.对自变量无附加条件约束的极值称为无条件极值.教学中，当讲到拉格朗日乘数法时，学生往往会对条件极值提出很多质疑，本文就条件极值的若干问题加以探讨.一、极值是什么，怎样求极值条件极值与极值有密切的关系，它们都刻画的是函数在局部范围的最值问题.同济大学数学系编的《高等数学》教材上关于二元函数极值的定义是：定义设函数z=f(x,y)的定义域为d，p0(x0,y0)为d的内点.若存在p0的某个邻域u(p0) d，使得对于该邻域内异于p0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为函数的极值点.把二元函数推广到n元函数，即得多元函数极值的概念：设n元函数u=f(p)在点p0的某一邻域u(p0)内有定义，如果对于该邻域内异于p0的任何点p都有f(p)f(p0))，则称函数u=f(p)在点p0有极大值(或极小值)f(p0).求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点.第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处a，b，c的值，并根据ac-b2的符号判定各个驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.二、条件极值是什么，如何求条件极值是高等数学多元函数极值理论中一类重要的问题，但是教材没有给出严格的定义，都以叙述的形式表达.如“求多元函数的极值时，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，往往还受其他附加条件的限制，我们把这种对自变量有其他附加条件约束的极值称为条件极值”等等.关于怎样求条件极值，教材交代了两种方法.其一,求解约束条件比较简单的条件极值问题时，可以把条件极值化为无条件极值，然后加以解决.其二，直接寻求求条件极值的方法，也是教材花大篇幅介绍的方法，即拉格朗日乘数法.先引入lagrange函数l,再求出此函数的驻点，然后做进一步的判断.用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦.三、求极值的方法和拉格朗日乘数法运用的异同是什么二元函数的极值问题，一般是利用偏导数来解决.拉格朗日乘数法是通过引入lagrange函数l，从而将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.从思想上看，两种方法均是缩小自变量的取值范围，先找出候选点（即可能的极值点），再试图缩小范围得到真的极值点.四、能否先求驻点和偏导数不存在的点，再筛选教材在条件极值的定义上存在着不严谨之处，导致的结果是在教学过程中，学生往往会产生这样的困惑：既然极值是在驻点和偏导数不存在的点中寻找，而条件极值只不过是对自变量附加了额外的条件，那求条件极值时完全可以采用先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除，最终对剩余的驻点和偏导数不存在的点做进一步真伪判断即可，何苦要引入拉格朗日函数使得问题复杂化呢？关于这个问题，有一种办法是通过某题按照不同的方法得出不同的结果加以反驳，但最好的办法是揭示二者的本质区别.事实上，以二元函数为例来说，设函数z=f(x,y)的定义域为d，若函极的极值点为p0(x0,y0)，极值为z0，表明在曲面z=f(x,y)上，点(x0,y0,z0)是它较小周围中最高的或者最低的一个点，也可以说点(x0,y0,z0)是它较小周围最凸的或者最凹的点，还可以说在点p0(x0,y0)的较小周围（即存在p0的某个邻域u(p0) d），p0(x0,y0)的函数值z0是最大的或者最小的.然而，对同样的函数z=f(x,y)，附加条件g(x,y)=0后，若条件极值为z1，对应的极值点为p1(x1,y1) ，表明的是在曲面z=f(x,y)上，点(x1,y1,z1)不一定是它较小周围中最高的或者最低的一个点，而是沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最高的或者最低的一个点，也可以说沿着柱面g(x,y) =0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最凸的或者最凹的点，还可以说在xoy平面上沿着g(x,y) =0看，在点p1(x1,y1)的附近，p1(x1,y1)的函数值z1是最大的或者最小的.因此，尽管极值和条件极值都是函数值互相比较大小的结果，是局部小范围的最值，但这两种情况下要考察的自变量的取值范围却有很大的区别：无条件极值互相比较函数值的考察范围是在点p0(x0,y0)的邻域u(p0)中，此领域是一个圆形区域，而条件极值互相比较函数值的考察范围是在g(x,y)=0这条曲线上点p1(x1,y1)的附近，此“附近”是一段曲线弧，当自变量在附加条件形成的区域中取值时，临靠近条件极值点时，以条件极值为最值.反映在函数图像上，前者是面上的考量，后者是线上的考量.显然，当无条件极值的极值点同时也满足条件极值附加条件g(x,y)=0的情况发生时，这样的无条件极值点一定也是条件极值点，另一方面，当满足g(x,y)=0的条件极值点确定后，这样的条件极值点不一定是无条件极值点.条件极值点和无条件极值点可以有非空交集，也可以交集为空.附加条件不是g(x,y)=0情形可做类似分析.有了上述剖析，学生的困惑就迎刃而解.如若“先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除”，这样就会漏掉一些可能的条件极值点，使得解题不全面.五、结语在约束条件g(x,y)=0下讨论二元函数z=f(x,y)的极值问题时，如果由g(x,y)=0能求得x或y，此时把求二元函数的条件极值可转化为求一元函数的极值.但有时通过方程g(x,y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用这种方法就困难了.在教授学生新知识、新概念时，教师对学生容易或者可能出现的错误要有足够的认识，对学生产生的疑难，要从本质上加以解决，给学生留下深刻的印象，防止日后重犯错误.。
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
条件极值问题
条件极值问题是数学建模中的一种基本问题。
它属于一类优化问题，它包含了一些非常有趣的内容，能够让使用者更好地深入了解所求问题。
条件极值问题非常重要，主要用于最优化问题，让我们能够在有限的资源条件下最大限度地发挥出资源的最大价值。
条件极值问题是一种优化问题，它的基本思想是：在满足一定限制条件的情况下，求出一组变量的最优解。
简单来说，它主要是要求出在满足某种限制条件的情况下，优化一组变量的最优解。
条件极值问题包括了定义优化问题的变量、限制条件、目标函数等多个方面，都是非常重要的内容。
条件极值问题经常用于把一个组合优化问题分割成若干个单一变量优化问题，使用者可以根据自己的需求和条件来选择不同的优化模型，从而得到自己所需要的结果。
在求解条件极值问题时，有很多的技术和方法可以用。
如果问题是一个简单的条件极值问题，可以使用梯度法或者凸优化算法来求解。
如果问题比较复杂，则可以使用拟牛顿法、共轭梯度法或者其他优化算法。
条件极值问题可以用在很多场合，如生产调度问题、分配问题、最佳化规划问题等。
例如，在生产调度问题中，可以使用极值条件来减少计划内生产成本；在分配问题中，可以使用极值条件来获得最大收益。
条件极值问题的求解是一个技术活，目前已经有了不少的技术
来求解这种问题，但这些技术仍然是有限的，因此神经网络等新技术的出现可能会拓宽条件极值问题的解决方案。
条件极值问题是一个很有趣的问题，它可以让我们更好地探索和利用资源，让资源发挥最大价值，对于实践中的各类问题都可以有所作为。
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem）是数学优化学中一种经典的问题。
它是寻找函数代数形式中给定条件下的极大值或极小值的问题，也称为特征值问题。
条件极值问题是非线性规划中最重要的研究内容之一，它在工程、科学和经济领域有广泛的应用。
条件极值问题的基本概念是以决策变量给定的函数的形式而存在。
它是一种非线性的数学问题，可以用来模拟复杂的现实系统，并得出最优解。
条件极值问题可以分为线性条件极值问题、二次条件极值问题、多项式条件极值问题和非线性条件极值问题四大类。
线性条件极值问题的特点是，它的结果是一个固定的最优值，而不是函数的极值，这样优化问题就可以转换为数学模型，从而解决函数极值的求解问题。
它的求解方法可以是单纯形法、拉格朗日法和变分法等。
二次条件极值问题涉及到函数结构和约束条件，使用等式和不等式条件限制函数极值，从而实现函数最优化。
这些条件中必须包含几个变量，以使求解过程更加复杂。
一般来说，这类问题的求解方法可以是梯度法、拉格朗日法和凸规划法等。
多项式条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列多项式来表示，而这系列多项式都符合条件限制。
多项式条件极值问题的求解方法可以是微积分法、牛顿法和拉格朗日法等。
非线性条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列非线性函数来表示，而这系列函数都符合条件限制。
非线性条件极值问题的求解方法可以是拉格朗日法、曲线法、局部搜索法和迭代法等。
条件极值问题有着广泛的应用。
在工程设计中，如汽车设计、机床设计和航空设计等，都需要考虑优化问题，如参数选择、尺寸设定和构型设计等，这些问题都可以用条件极值问题解决。
在经济学领域，它可以用来模拟复杂的经济体系，以求最终的最优解。
条件极值问题有着广泛的应用，其解决方法也非常多，但其都存在某些不足。
例如，很多方法往往只能求解一些特定的问题，而在复杂的环境中，常常无法得出全局最优解；另外，由于它涉及到非线性条件，这些条件也影响求解的结果。
4-6-2 条件极值与函数的最值学习要求：一、会用拉格朗日乘数法求条件极值二、会求二元函数的最值一、条件极值拉格朗日乘数法实例：某人有20元，现用来购买笔和本子，设他购买x支笔，y本本子达到最佳效果，效果函数为u(x, y)=ln x+ln y如果笔每支２元，本子每本5元，问他如何分配这20元以达到最佳效果？问题的实质：求函数u(x, y)=ln x+ln y在2x+5y=20条件下的极值.条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法：要找函数z=f(x, y)在条件φ(x, y)=0下的可能极值点，其步骤如下：（1）构造拉格朗日函数F(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y) λ——拉格朗日乘数. （2）令F'=0, F'y=0, F'λ=0,解出x, y, λ ,其中(x, y)x就是可能的极值点的坐标.（3）判断求出的(x, y)是否为极值点，一般实际问题中由问题的实际意义判定.拉格朗日乘数法的推广拉格朗日乘数法可推广到条件多于两个的情况：要求函数u=f(x,y,z,t)在条件φ(x,y,z,t)=0和ψ(x,y,z,t)=0下的极值.（1）构造拉格朗日函数F(x,y,z,t,λ1,λ2)=f(x,y,z,t)+λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)其中λ1,λ2为参数.（2）令对所有自变量和参数偏导数为零解出，即得可能极值点的坐标.二、二元函数的最值1、有界闭区域D上连续函数的最值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.2、实际问题中的最值实际问题中，如果根据实际意义确定函数的最值一定能在D的内部取得，且D的内部只有一个驻点，那么函数在该点上一定取得最值.例1 求函数 f (x , y )=xy -x 2-y 2在有界闭区域D ： x 2+y 2≤1上的最大值和最小值.解 先求D 内的驻点 令 ⎩⎨⎧=-='=-='02),(02),(y x y x f x y y x f y x 求得驻点(0,0)经验证，在（0,0）取得极大值f (0,0)=0再求函数在D 的边界上的最大值和最小值.该问题就是求f (x , y )在条件x 2+y 2=1下的极值.——拉格朗日乘数法设F (x , y , λ)=xy -x 2-y 2+λ(x 2+y 2-1),令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+-='=+-='010*******y x F y y x F x x y F y x λλλ解得 22,22±=±=y x 可能的极值点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,22,22,22,22,22,22,22,2122,2222,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 2322,2222,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 综上，f (x ,y )在D 上的最大值是0，最小值是 .23-解 x yo 6=+y x DD如图,先求函数在D 内的驻点22(,)(4)6,z f x y x y x y x y x y D ==--+=例求函数在直线轴及轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 200,AC B A -><，故 f (2,1)=4为极大值 解方程组再求f (x , y )在边界上的最值求得区域D 内唯一驻点(2,1)在边界x =0和 y =0上，函数值均为0.在边界6=+y x 上，即x y -=6于是)2)(6(),(2--=x x y x f ,由 02)6(42=+-='x x x f x,得4,021==x x ,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f x y o 6=+y x D 比较可知 f (2,1)=4为最大值，f (4,2)=-64为最小值.解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ例3 设某工厂生产甲产品数量S (吨)与所用两种原料A 、B 的数量x , y (吨)间的关系式S (x ,y )=0.005x 2y ，现准备向银行贷款150万元购原料，已知A ,B 原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?该问题就是求S (x , y )=0.005x 2y 在条件x +2y =150下的最大值.作拉格朗日函数20.0100.0052021500x y F xy F x x y λλ'=+=⎧⎪'=+=⎨⎪+-=⎩令25,100==y x 解得 因仅有一个驻点，且最大值一定存在，故在点(100,25)处取得最大值S (100,25)=125（吨）即购A 原料100吨，B 原料25吨时，可以使产量达到最大.例4 求表面积为a 2体积为最大的长方体的体积.分析：该问题可以看成，求在表面积为a 2条件下的长方体的体积的最大值.目标函数： =V xyz 条件： 220xy yz xz a ++=（）-2(,,,)(222)F x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-66x y z a ===求偏导，解方程组，得 解 设 驻点唯一,最大值存在,故最大体积在驻点取得3366a V =。
