第十五章 值和条件极值

条件极值的推导过程要推导条件极值，首先需要了解什么是条件极值。

在数学中，函数的极值是指函数的最大值或最小值。

当函数在其中一点的导数为零或不存在时，这一点称为函数的极值点。

而条件极值指的是在一定条件下，函数的最大值或最小值。

假设我们有一个函数f(x)，需要求在一个区间[a,b]上的极值，但不仅是在这个区间上，我们还有一个条件g(x)=0。

那么我们需要利用这个条件来求解函数的条件极值。

接下来，我们将通过一个具体的例子来详细推导条件极值的过程。

例子：求函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的极值。

首先，我们需要找到函数的极值点。

函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。

令f'(x)=0，我们可以求得x=0。

接下来，我们需要确定x=0是否满足条件g(x)=x-1=0。

将x=0代入g(x)我们发现，当x=0时，g(x)=0-1=-1，而不满足条件。

因此，x=0不是函数的条件极值点。

此时，我们还需要考虑边界点。

根据条件g(x)=x-1=0，我们可以确定边界点为x=1对于边界点，我们同样需要对函数进行分析。

将x=1代入函数f(x)，我们得到f(1)=1^2=1、此时，x=1满足条件g(x)=0，因此x=1是函数的一个条件极小值点。

综上所述，函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的条件极值为极小值，且极小值点为x=1通过这个例子步骤1：求函数的导数f'(x)。

步骤2：令f'(x)=0，求出所有的极值点。

步骤3：对于每个极值点，将其代入条件g(x)并判断是否满足条件。

步骤4：对于满足条件的极值点，判断其是极小值还是极大值。

步骤5：对于非边界点的条件极值点，需要进行极值的验证。

需要注意的是，这个例子只是简单的说明了条件极值的推导过程。

实际上，在实际问题中，推导条件极值可能会更加复杂。

因此，在解决实际问题时，需要根据具体情况灵活应用这些步骤。

总之，通过求解函数的导数、确定极值点、验证边界点和条件，我们可以推导出函数的条件极值。

条件极值的求法条件极值是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。

在解决实际问题时，我们经常需要求解条件极值。

本文将介绍条件极值的求法，包括拉格朗日乘数法、KKT条件法和梯度下降法等。

1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解有约束条件的极值问题的方法。

其基本思想是将原问题转化为一个无约束条件的最优化问题，然后求解该最优化问题得到原问题的解。

设函数f(x, y)为原问题的目标函数，g(x, y)为约束条件。

则原问题的拉格朗日函数为：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ·g(x, y)其中，λ为拉格朗日乘数。

求解原问题的步骤如下：(1) 对目标函数f(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到无约束条件的最优化问题；(2) 对约束条件g(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到约束条件；(3) 将无约束条件的最优化问题与约束条件联立，求解得到原问题的解。

2. KKT条件法KKT条件法是拉格朗日乘数法的一种推广，可以用于求解更复杂的有约束条件的极值问题。

KKT条件包括：(1) 梯度下降方向：对于无约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向；对于有约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向与拉格朗日乘数的比值。

(2) 边界条件：当梯度下降方向指向可行域外时，需要满足一定的边界条件。

常见的边界条件有：梯度下降方向与可行域边界的交点处的梯度必须大于等于零；梯度下降方向与可行域边界的交点处的拉格朗日乘数必须大于等于零。

(3) 非负约束：对于有非负约束的问题，需要满足非负约束条件。

即目标函数的值必须大于等于零。

3. 梯度下降法梯度下降法是一种迭代求解无约束条件的最优化问题的方法。

其基本思想是通过计算目标函数在当前点的梯度，沿着梯度的负方向进行搜索，直到找到局部最优解或满足停止准则。

梯度下降法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α·∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解，α为学习率，∇f(x(k))表示目标函数在x(k)处的梯度。

Ch 15 极值与条件极值计划课时：8 时P 186 — 2042005. 08. 20.Ch 15 极值与条件极值 ( 8 时 )§ 1 极值和最小二乘法:一、极值1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 1 设为函数的极值点 . 则当和存在时 , 有0P )(P f )(0P f x )(0P f x =. ( 证 ))(0P f y 0=函数的驻点，不可导点，函数的可疑点。

3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为 222),(cy bxy ax y x g ++= . ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b b a ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全,),(y x g ⇔0 > 是半正定的,),(y x g ⇔ 顺序主子式全; 0 ≥ⅱ> 是负定的, , 其中为阶顺序主子式.),(y x g ⇔0||) 1(1>−k ij k a k ij a 1||k 是半负定的, . ),(y x g ⇔0||) 1(1≥−kij k a ⅲ> < 0时, 是不定的.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b b a ),(y x g 充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有),(y x f ),(000y x P )()(!21)(),() , (20200000ρD +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=−++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f + + =)(0P f x h )(0P f y k[])()()(2)(!21220020ρD +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 , , , 则当为驻点时, 有)(0P f A xx =)(0P f B xy =)(0P f C yy =0P [])(221),() , (2220000ρD +++=−++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ.可见式),() , (0000y x f k y h x f −++的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有222Ck Bhk Ah ++),(y x f ⅰ> , 为 ( 严格 ) 极小值点 ;0 , 02>−>B AC A 0 P ⇒ⅱ> , 为 ( 严格 ) 极大值点 ;0 , 02>−<B AC A 0 P ⇒ⅲ> 时, 不是极值点;0 2<−B AC 0P ⅳ> 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .0 2=−B AC 0P 综上 , 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则)(P f 0P 0P ⅰ> ()0)( , 0)(020>−>P f f f P f xy yy xx xx 时 , 为极小值点;0P ⅱ> ()0)( , 0)(020>−<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 为极大值点;0P ⅲ> ()0)( 02<−P f f f xy yy xx 时 , 不是极值点;0P ⅳ> ()0)( 02=−P f f f xy yy xx 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 0P 例1—4 P 189—191 . 二． 最小二乘法：215三．函数的最值：例5 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+−−+=在域D = 上的最值 . } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 解 令 解得驻点为. ⎩⎨⎧=+−==−+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx ) 2 , 1 (1) 2 , 1 (−=f . 在边界上 , , 驻点为) 40 ( 0≤≤=y x y y y f 42),0(2+−=1=y , ;2)1,0(=f 在边界上 , , 没有驻点;) 40 ( 0≤≤=x y x x x f 10)0,(2−=在边界) 40 ( 4≤≤−=x x y 上 , , 16185)4 , (2−+−=−x x x x f 驻点为, .8.1=x 2.0)8.14 , 8.1(=−f 又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(−=−==f f f .于是 , ==)}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=−−−=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{−=−−−=. Ex P 195 .§ 2 条件极值 ( 1 时 )一、条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数z V xyz =xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二、 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点 , 且在该点函数=z ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点就是一元函数0x 216217 )()( , x g x f z =的极限点 , 有0)(=′+=x g f f dxdz y x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ−=′, 就有 0),(),(),(),(00000000=−y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, ( 以下、、x f y f x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点的值 . ) ),(00y x 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 ( , ) x f y f (⋅y ϕ ,x ϕ−)0= .可见向量( , )与向量x f y f (y ϕ , x ϕ−)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ−)正交, 即得向量( , )与向量x f y f (x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使( , ) + x f y f λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕ三、Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 的解.⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1．求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 .例2．抛物面被平面z y x =+221=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3． 求函数在条件xyz z y x f =),,()0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++− , 其中 为任意正常数 . c b a , ,218。

500第十四章 极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。

本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。

§1 无条件极值一、基本概念：设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。

定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。

注：类似可定义极小值（点）。

注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。

类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。

设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。

考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：00(,)|x df x y dx=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x∂=∂。

类似：0(,)|0M f x y y∂=∂。

故，若0M 是极值点，则必有0(,)|M f x y x∂=∂0， 0(,)|0M f x y y ∂=∂。

501定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足0(,)|M f x y x∂=∂0，0(,)|0M f x y y ∂=∂，称0M 为函数),(y x f 的驻点。

定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。

上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。

多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。

研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。

一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。

偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。

考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。

函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。

当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。

二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。

通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。

此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。

假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。

使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。

条件极值问题条件极值问题是数学中有关条件变量的局部最大值和最小值的问题。

它也称为最佳化问题，是研究优化问题的基础。

主要的研究内容是寻求满足所给出条件的极值，即在给定的条件下，函数的极值或局部极值。

条件极值问题由极值，限制变量和条件组成，因此也称为有约束的极值问题。

极值是指所求的最大值或最小值，限制变量是指限制条件影响的变量，条件是指检验最大值或最小值是否为最优解的条件。

条件可以约束极值，也可以检验极值是否为最优解，即检验条件是否有效。

条件极值问题的解法一般分为三步：1、明确极值（函数的最大值或最小值）；2、数学约束（限制变量和条件）；3、求解极值（按照条件计算最优解）。

在明确极值时要先考虑函数的定义域和值域，并确定函数的正、负局部极值点；而在求解极值时可以用微分法、迭代法、最优化法和随机搜索等方法。

在条件极值问题中，处理限制变量和条件也很重要，可以用函数单调性、区间分析、多重极值和表达式的变换等方法。

单调性对于判断局部极值是否是全局最优解很有用，它是指在一定区间内，当函数增加时，其值也随之增加；当函数减少时，其值也随之减少。

区间分析是指在极值点之间画出函数的几何图像，通过几何图像判断极值点的极性。

而多重极值和表达式的变换能够限制变量或条件，有助于求解问题。

条件极值问题在许多实际问题中有所应用，比如在经济学和财务学中，用来确定生产技术的最佳资源配置方式；在社会科学中，可以用来研究社会经济系统的优化配置；在计算机科学中，可以用来优化算法和数据结构；在数学中，可以用来研究函数的最优解等等。

条件极值问题是一个有效的工具，可以求解复杂的优化问题。

它的优点在于可以有效地求解函数的最优解，并且条件和约束可以用数学关系式来表示，这样可以得到更准确的解。

综上所述，条件极值问题是一个重要的数学研究主题，也是优化研究的基础，有着广泛的应用领域。

CH 15 极值和条件极值1．极值的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 的邻域内成立不等式 ),(),(00y x f y x f ≤ (或),(),(00y x f y x f ≥)就称),(y x f z =在点),(00y x 取得极大值(或极小值),点),(00y x 称为函数),(y x f z =的极大值点(或极小值点)极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 2．函数),(y x f z =取得极值的必要条件设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在),(00y x 点处具有极值,则0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y .3．二元函数极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(00y x 的邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,令A y x f xx =),(00,B y x f xy =),(00,C y x f yy =),(00,则(1)02>-B AC 时有极值,且当0<A 时有极大值, 0>A 时有极小值; (2) 02<-B AC 时没有极值;(3) 02=-B AC 时可能有极值,也可能无极值.4．二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下极值的求法(1) 从条件方程 0),(=y x ϕ中解出)(x f y =,带入))(,(x y x f z =,即化为一元函数的无条件极值问题.(2) Lagrange 乘数法:作),(),(),(y x y x f y x F λϕ+= (λ为参数),在从方程组0),(),(=+=y x y x f F x x x λϕ,0),(),(=+=y x y x f F y y y λϕ,0),(=y x ϕ中解出y x ,就是可能的极值点.例1．数xyz f =在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。

条件极值点的必要条件引言：在数学中，我们经常会遇到求解函数的条件极值点的问题。

条件极值点是指在一定条件下，函数在某点上取得极大值或极小值。

而要找到这些条件极值点，我们需要依据一定的必要条件进行分析和求解。

本文将介绍条件极值点的必要条件，并通过示例进行说明。

一、一元函数的条件极值点必要条件对于一元函数f(x)在点x0处存在条件极值点，以下两个必要条件必须同时满足：1. f'(x0) = 0，即函数在该点处的导数为0；2. f''(x0) ≠ 0，即函数在该点处的二阶导数不为0。

这两个条件的含义是：条件极值点处函数的斜率为零，且该点处的曲线弯曲程度不为零。

示例：求解函数f(x) = x^3 - 3x的条件极值点。

计算函数的一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3，然后令f'(x) = 0，得到x = ±1。

接着，计算函数的二阶导数f''(x) = 6x，将x = ±1代入，得到f''(±1) = ±6。

根据必要条件，当f'(x) = 0且f''(x) ≠ 0时，x = ±1为函数f(x)的条件极值点。

二、多元函数的条件极值点必要条件对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)在点(x10, x20, ..., xn0)处存在条件极值点，以下两个必要条件必须同时满足：1. ∇f(x10, x20, ..., xn0) = 0，即函数在该点处的梯度为零向量；2. Hessian矩阵H(x10, x20, ..., xn0)为正定或负定。

这两个条件的含义是：条件极值点处函数的梯度为零向量，且该点处的Hessian矩阵的特征值均为正或均为负。

示例：求解函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy的条件极值点。

计算函数的梯度∇f(x, y) = (2x - 2y, 2y - 2x)，然后令∇f(x, y) = (0, 0)，得到2x - 2y = 0和2y - 2x = 0，解得x = y。