平方根数值表

在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。

平方根表（一）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。

2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。

3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。

4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。

二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。

2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。

三、教学过程由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。

我们看下面的计算：由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。

用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。

为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。

我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。

表中间最头部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。

由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。

这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。

内容对应本章知识①整体思想实数③数形结介思想平方根、实数⑫方程思想立方根⑬分类讨论的思想算术平方根全章方法及技巧梳理I.保分点全掌握---------------知识点系统学习知识点1:平方根典例解读出题角度1:(重点)求一个数的平方根【例1一1】求下列各数的平方根：9(1)16； (2) 0： (3) 0・ 49； (4) ——:(5) 一9・121解析：根据平方根的定义及性质即可求解.解:(1)因为(±4) 2=6 所以16的平方根是±4：(2)W为02=0,所以0的平方根是0；(3)因为(±0. 7) 2=0. 49,所以0・49的平方根是土0. 7；(4)因为(±2)丄丄,所以2的平方根是±丄：II 121 121 11(5)因为一9<0,所以一9没有平方根.出题角度2：(拔高点)平方根性质的应用【例1一2】求下式中的X：(I) X2 = 64 ； (2) 2=144：(3) X2=1.69； (4) 49^=25 .解：(】)因为=64 •所以x=±8： (2) W为9/ = 144 ,所以x=±—・(3)3|丸为j2 = 1.69 ,所以x=±l ・ 3； (4)因为49A2= 25 ,所以x2=—,所49以x=±-・7方法规律1：本题中，对于(2)、(4),运用了等式的基本性质2.在求x的值时，则运用了平方根的定义.方法规律2：在求•个数的平方根时，经常需要判断这个数“是哪个数的平方”，因此，记住常见的•些数的平方，对学好本部分知识很有帮助.11121314151617181920知识浓缩1. 如果•个数的平方等于e那么这个数叫做d的_________ ,也称为_____ .如果x~ = (1 1那么就叫做__ 的平方根.2. •个正数a的正的平方根，记作“ ______ ",正数a的负的平方根记作“ _____ ”.这两个平方根合起来记作“ __________ ",读作“正、负根号求•个数的平方根的运算，叫做3・易错捉示：回•个正数的平方根有________ 个，它们互为 __________ : 0只有_____ 个平方根，它是0本身; ______ 没有平方根.举•反三训练1-1.求下列各式的值(1) 土屈;(2) -V16 ：(4)举•反三训练1-2.求满足下列各式的X的值:(1) 169X2=100；(2) +-3 = 0：(3) (2x-l)2 =9 ・1-3.已知加-1的平方根是±3,3“ + b -l 的平方根是±4,求“ + 2b 的值. 知识浓缩 举仮三训练 2-1.求下列各数的算术平方根: (1) 16： 9；(3)I. 21：36・49(5) -4.133r25x+6,解：因为•个正数的平方根互为相反数，所以(3A -2)+(5A +6)=0,所以 -丄，所以3x-2=--,所以这个数是巴. 2 24易错点拨出题角度3：(易错题)概念不淸导致错误 【例1—4】1?的平方根是 ________________ ・16错解^原式=±1-.或丄.44错解解析：•个带分数计算平方根时，我们需要先将带分数化为假分数, 然后再分/、分母分别开平方，本题错误的原因是把1和2分别计算平16方根，然后再合起来的，这样不符合任何运算规律. 正确解法：1善的平方根为土洁 =±扌.方法规徐：带分数开平方时可先化为假分数，然后再考虑开平方.知识点2：算数平方根 典例解读出题角度1：(重点)算数平方根的概念 【例2-1］求下列各数的算术平方根(1)64;(2) (-3)2：(3) 1—.49解析：根据算术平方根的左义，求一个数d 的算术平方根可转化为求 一个数的平方等于"的运算，更具体地说，就是找岀平方后等于"的 正数. 解：(2)因为8?=64,所以64的算术平方根是8,即奶=8：(2)因为(-3尸=32=9,所以(-掰的算术平方根是3,即圧产=3；(3) 因为1兰=里，又(-)2=-,所以1兰的算术平方根是色，即49 49 7 49 49 7方法规律：这类问题应按算术平方根的左义去求.要注意(-3)2的算术 平方根是3,而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其举仮三训练2-2.小张计划用100举•反三训练举•反三训练2-4.化简 J （x-2）2 .举•反三训练2-5.下列各组数据中的三个数，可 作为出题角度2：（拔高点）算数平方根的实际应用【例2-2］ ■段电路中的电阻R （单位:欧）和电压5单位：伏）以及电流 （单位：安）之间的关系是：U 』R.己知电压为220V,电阻是22欧,求此时的电流.解：根据U=FR 、知道220=rx22,所以尸=100,由于/是正数，所以/=10 安.易错点拨出题角度3：（易错题）概念不清导致错误 【例2-3］厲的算术平方根是____________ . 错解：厲的平方根是±3.错解解析：的本身就衣示9的算术平方根，即屁3.在这里实际上是 求3的平方根.正确解法：厲的平方根是±苗.出题角度4：（易错题）忽视隐含条件导致错误 【例2-4】化简炉茹7. 错解：J （3-;r ），= 3 -；r.错解解析：错解忽视了 3-”<0这•隐含条件，因为庙$0,所以其值 不能为负数. 匸确解法：J （3—；r ）‘ =13—龙1=龙一3.方法规律：形如后的式J'•开平方，应注意被开方数中a 的正负情况： 当心0时，長=。

平方根和乘法公式平方根是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们求解一些复杂的计算问题。

乘法公式也是数学中的一个基础知识，通过乘法公式，我们可以简化乘法计算，提高计算效率。

接下来，我将分别介绍平方根和乘法公式的概念以及应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方等于该数本身的非负实数解。

常见的平方根符号是√，√a表示a的平方根。

例如，√4=2，因为2²=4。

1. 性质和表示方法平方根具有一些重要的性质，其中最重要的是非负性和下界性质。

这意味着一个非负实数的平方根是非负的，并且它的值不会小于零。

在数学计算中，我们可以使用不同的表示方法来表示平方根。

常见的表示方法有：根式表示、小数表示和指数表示。

根式表示是使用根号符号来表示平方根，例如√9=3。

小数表示是使用十进制数表示平方根，例如√2≈1.414。

指数表示是使用幂运算符号来表示平方根，例如2^(1/2)=√2。

2. 平方根的计算方法在实际计算中，我们可以使用不同的方法来计算平方根。

其中，最常用的方法是牛顿迭代法和二分法。

牛顿迭代法是一种逐步逼近的方法，它通过不断迭代求解一个函数的零点来计算平方根。

具体步骤如下：（1）选择一个初始值x0；（2）计算函数的近似导数f'(x)；（3）使用迭代公式x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f'(x_n)来逼近平方根，直到精度达到要求。

二分法是一种通过二分查找来逼近平方根的方法。

具体步骤如下：（1）确定一个搜索范围[a, b]，其中a为0，b为要求的平方根的数值；（2）计算范围的中间值mid=(a+b)/2；（3）比较mid的平方与目标值是否相等，如果相等则mid为所求的平方根；（4）如果mid的平方大于目标值，则将搜索范围调整为[a, mid]，否则调整为[mid, b]，重复步骤（2）和（3），直到找到所求的平方根。

二、乘法公式乘法公式是数学中用于简化乘法计算的基本公式，它可以帮助我们高效地求解复杂的乘法运算。

根号的开方计算方法一、根号的定义根号是一种数学符号，通常表示对一个数或表达式进行开方操作。

根号其实是平方根的简称，来自于平方这个概念，所以我们经常说根号就是平方根。

根号被称之为二次方根，表示一个数的平方根，如√4=2，因为2的平方等于4。

同样，√9=3，因为3的平方等于9。

当然，根号不仅仅适用于正整数，它也可以适用于小数和负数。

二、根号的基本知识1、根号的表示方法在数学中，常见的根号符号是由一条长横线加上两条垂直短线组成，其中被开方数写在长横线下方。

符号的左边，通常会有一个相应的数字，这个数字表示开几次方。

如果有数字而没有符号，那么我们默认认为是对这个数进行二次方根运算。

例如：√9 表示对9进行二次方根运算，结果为3√(7+2) 表示对7+2进行二次方根运算，即对9进行运算，结果为3√7+2 表示对7进行二次方根运算，结果为根号7，再加上2，结果为根号7+22、根号的含义根号其实就是求平方根的一种方法。

它表达的是这样一个含义，如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就称之为另一个数的平方根。

例如，2的平方等于4，所以2是4的平方根。

3、根号的运算根号运算是一种数学基本运算，它可以应用于整数、分数、正数、负数等情况。

一般来说，我们将根号运算分为两类：整平方根和小数平方根。

（1）整平方根对于一个整数N，如果它的某个正整数平方等于N，那么这个正整数就是N的一个整平方根。

例如：9=3^2，所以3就是9的一个整平方根。

（2）小数平方根对于一个正实数a，如果存在一个正实数b，使得b^2=a，则称b为a的平方根，也就是a的小数平方根。

例如：√2 就是2的小数平方根。

4、开方规律因数的性质：如果一个数能被分解为两个数积的形式，那么这两个数必有一个不大于这个数的平方根，另一个不小于这个数的平方根。

例如25=5×5，其中5≤25的平方根，而5≥25的平方根。

耐心写好开方的奇数串(3、5、7、9、11……)我们可以以5次方开5次方根来举例，它的大概过程如下所示：求5次方根，即：√（x^5）转换成幂指数：x^5(1/5)化简指数：x(1/(5*1/1))=x^(1/5)将x^(1/5)写在根号下面，即：√x^(1/5)将1/5写在根号上面，即： 5 1√x^(---)5这样就得到了x的5次方根。

a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.

数字的平方根表：给出30到40的数字的
平方根结果表
---
---
在数学和科学领域中，平方根是一个重要的概念。

它表示一个数字的平方根，即某个数字的平方等于该根的平方。

平方根的计算
极为重要，它在众多领域中被广泛应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

- 数字30的平方根为5.4772
- 数字31的平方根为5.5677
- 数字32的平方根为5.6569
- 数字33的平方根为5.7446
- 数字34的平方根为5.8309
- 数字35的平方根为5.9161
- 数字36的平方根为6
- 数字37的平方根为6.0828
- 数字3根为6.1644
- 数字39的平方根为6.245
- 数字40的平方根为6.3246
根据表格的数据，我们可以观察到数字的平方根逐渐增加。

此外，每个数字的平方根也是一个近似值，通常在小数点后保留几位有效数字。

平方根是数学中一个重要而有趣的概念，在实际应用中有着广泛的用途。

例如，平方根常用于计算机图形学中的三维坐标变换，用于测量物体的边长或物理量的强度等。

总结而言，本文档给出了30到40之间数字的平方根结果表。

这个表格展示了每个数字的对应平方根值，为读者提供了一个方便查阅相关数值的工具。

运算规则的异同点
定义：平方根是求一个数的平方 等于给定值，立方根是求一个数 的立方等于给定值。
运算优先级：在四则运算中，先 进行乘方运算，再进行乘除运算， 最后进行加减运算，但在实际计 算中，人们通常先进行乘除运算， 再进行加减运算。
添加标题
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运算规则：平方根有正负两个解， 因为正数的平方和负数的平方可 能相等；立方根只有一个解，因 为任何数的立方不可能为负数。
运算方法：使 用牛顿迭代法 或二分法等数 值计算方法求
解。
运算性质：立 方根具有非负 性，即对于任 何实数a，其立 方根³√a也是
非负的。
运算符号：在 数学中，表示 立方根的符号 是“³√”，读
作“三次根 号”。
平方根和立方根的
03
应用
在数学领域的应用
平方根在几何学中的应用：用于 计算矩形的面积和周长
计算立方根
立方根的性质
定义：求一个数的立方等于另一个数的值的过程 பைடு நூலகம்符号：表示为“³√”，读作“三次根号” 性质：立方根是连续的，即对于任何实数a，都存在唯一的实数b，使得b³=a 运算性质：立方根具有结合律、交换律和指数律，类似于普通算术运算中的加法、乘法和幂运算
立方根的运算规则
定义：求一个 数的立方等于 另一个数的值， 即x³=a，则x 为a的立方根。
平方根的运算规则
定义：求一个数的平方根，即求一个数a的平方根，记作√a，其中a≥0。
运算规则：正数a的平方根有两个值，分别为正数和负数；0的平方根是0；负数没有实数 平方根。
运算性质：平方根具有非负性，即对于任意实数a，有√a≥0。
运算方法：可以使用牛顿迭代法等数值计算方法求解平方根。

1.44
1.9881 2.0164 2.0449 2.0736
• 由上表的结果判断，面积为2cm2的正方形 边长长度介于哪两个数之间？
因为1.9881cm2＜2cm2＜2.0164cm2，所 以介于1.41cm~1.42cm之间
（四）边长1.41cm~1.44cm的正方形图形
2.0736 cm2
因此18和-18都是324的平方根
（二） 做做看
ex：利用标准分解释求下列的平方根
（1）441 （2）576
sol：（1）441 = 32 ×72 =3×3×7×7 =（3×7）×（3×7） =（3×7）2 =（21）2=（- 21）2
（2）576 = 26 ×32 =2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×3）×（2×2×2×3） =（2×2×2×3）2 =（24）2=（- 24）2
（四）你答对了吗？
1. 请问 6 是 36 的平方根吗？36 还有其他 的平方根吗？ 是，36 还有另一个平方根 -6
2. 256有几个平方根？它们是多少？ 两个，16 和 -16
3. 13是何数的平方根？此数还有其他的平方 根吗？ 169，169 还有一个平方根 -13
（五）小结
1. 正整數有兩個平方根 , 且互為相反數 2. a2 b a 是 b 的平方根 ;

9 25
2.
因為
9 25


3 5
2

,
所以
9 25
的平方根是
3 5
和-
3 5
3.
因為1
32 49
=
81 49
=

9 7
2

, 所以 132 49

1到100的开平方根表1. 1的开平方根是12. 2的开平方根是1.4143. 3的开平方根是1.7324. 4的开平方根是25. 5的开平方根是2.2366. 6的开平方根是2.4497. 7的开平方根是2.6468. 8的开平方根是2.8289. 9的开平方根是310. 10的开平方根是3.162在1到10之间的数的开平方根大致可以保留三位小数。

11. 11的开平方根是3.31712. 12的开平方根是3.46413. 13的开平方根是3.60614. 14的开平方根是3.74215. 15的开平方根是3.87316. 16的开平方根是417. 17的开平方根是4.12318. 18的开平方根是4.24319. 19的开平方根是4.35920. 20的开平方根是4.472在11到20之间的数的开平方根可以保留三位小数。

21. 21的开平方根是4.58222. 22的开平方根是4.69023. 23的开平方根是4.79624. 24的开平方根是4.89925. 25的开平方根是526. 26的开平方根是5.09927. 27的开平方根是5.19628. 28的开平方根是5.29229. 29的开平方根是5.38530. 30的开平方根是5.477在21到30之间的数的开平方根可以保留三位小数。

32. 32的开平方根是5.65733. 33的开平方根是5.74534. 34的开平方根是5.83135. 35的开平方根是5.91636. 36的开平方根是637. 37的开平方根是6.08338. 38的开平方根是6.16439. 39的开平方根是6.24540. 40的开平方根是6.325在31到40之间的数的开平方根可以保留三位小数。

41. 41的开平方根是6.40342. 42的开平方根是6.48143. 43的开平方根是6.55744. 44的开平方根是6.63345. 45的开平方根是6.70846. 46的开平方根是6.78248. 48的开平方根是6.92849. 49的开平方根是750. 50的开平方根是7.071在41到50之间的数的开平方根可以保留三位小数。

单元格开方公式在 Excel 中，单元格的开方计算可是个实用的小技巧。

说起这个，我就想起之前帮我家小侄子做数学作业的时候，那可真是一段有趣的经历。

当时小侄子拿着他的数学作业，愁眉苦脸地来找我。

题目要求计算一堆数的开方，他正拿着笔在纸上苦苦计算，草稿纸都快写满了。

我一看，这多费劲呀，直接用 Excel 不就轻松解决了嘛。

我打开电脑，新建了一个 Excel 表格，准备给他演示如何快速计算开方。

我告诉他：“宝贝儿，看这里，咱们在 Excel 里，只需要一个简单的公式就能搞定开方。

”先说最常用的开平方公式，那就是“=SQRT(数值)”。

比如说，我们要计算 9 的平方根，就在一个单元格里输入“=SQRT(9)”，然后回车，结果马上就出来了，是 3 。

如果不是开平方，而是开 n 次方，那就要用到“=数值^(1/n)”这个公式。

比如说要计算 8 的立方根，就在单元格里输入“=8^(1/3)”，回车，答案 2 就出来啦。

小侄子瞪大眼睛，看着我操作，一脸的惊奇。

我接着给他出了几道题，让他自己在表格里输入公式计算。

他一开始还小心翼翼的，生怕出错，等看到结果都正确的时候，兴奋得手舞足蹈。

这让我不禁想到，在我们的学习和工作中，很多时候都会遇到类似需要计算开方的情况。

掌握了这个单元格开方公式，真的能大大提高效率。

比如在做数据分析的时候，需要对大量的数据进行开方运算，如果靠手动计算，那得耗费多少时间和精力啊。

但有了这个公式，一切都变得简单快捷。

而且呀，这个公式不仅仅在数学作业里有用，在很多实际的场景中都能派上用场。

像财务计算、工程预算、科学研究等等领域，都经常会用到开方运算。

所以说，学会这个单元格开方公式，就像是给自己的工具库又增添了一件利器，能让我们在处理数据和解决问题的时候更加得心应手。

总之，熟练掌握单元格开方公式，能让我们在面对各种数据处理需求时更加从容不迫，节省时间和精力，提高工作和学习的效率。

希望大家都能把这个小技巧用起来，让我们的生活变得更加轻松便捷！。

按照前面的方法, 即
2
=1.41421……
确切地说 2 这个数的精确值是无法求得的，我们 可以计算出它的小数位数，并且这些数是没有规律的， 是无限的，我们把它叫做无限不循环小数,我们以后把这 样的数叫做无理数。 实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小 数。例如 3 ， 5 ， 7 ，…， 由于这些数的精确值无法得 到，所以我们只能引入符号“ ”来表示一个非负数的算术 平方根。其实圆周率也是一个这样的数，所以我们用π来表 示它，3．14是它的近似值，现在用世界上运算速度最快的超 级计算机已求得小数点后面的第2061亿位了。
先请同学们独立思考，然后再讨论交流。
2
1
=
分析: 1)
我们不知道 2 的具体值，那么它的大小 在什么范围内呢？ 2
2
1
2
4
通过画图我们发现，面积为1的正方形的边长是1，面积 为4的正方形的边长为2 ，而面积为2的正方形边长为 2,即 比1大比2小,所以它的边长 2应该在1和2之间．
2)
1< 2 <2．也即2是1点几的数，它到底应等于多少呢？ 只要确定十分位的数就好了 ,可怎么确定十分位数的大小呢？ 通过上面的计算,我们知道 1.4< 2 <1.5,所以我们确定十分 位上是4,那么百分位数又是多 少呢? 所以百分位上的数是1
学习了算术平方根的概念，我们用逼近法探求 和用计算器求它的算术平方根．
2 有多大
求一个正数或零的算术平方根有两种情况： 1.当这个数是完全平方数时，可以直接用平方的方法算 出它的平方根，例如：9的算术平方根是3，0．01的算术平 方根是0．1； 2.当这个数a不能表示成另一个数的平方时，我们暂时 还不能求出它的算术平方根的具体数值，但可以用符号 a 来表示，例如上节课我们已经用拼图的方法知道了面积为2 的正方形的边长是 2 ，这就是说数2的算术平方根是 2 。 那 么 2 究竟是多少呢?

表格中数值的几次方公式
表格中的数值可能需要使用几次方来表示。

以下是一些常用的几次方公式：
1. 平方公式
平方就是一个数的二次方，可表示为：a²（a的平方）
例如，2的平方等于4：2² = 4
2. 立方公式
立方就是一个数的三次方，可表示为：a³（a的立方）
例如，2的立方等于8：2³ = 8
3. 开方公式
开方是求一个数的平方根或立方根等，可表示为：√a （a的开方）
例如，16的平方根等于4：√16 = 4
4. 指数公式
指数是数的几次方，可表示为：aⁿ （a的n次方）
例如，2的4次方等于16：2⁴ = 16
5. 对数公式
对数是某个数在给定底数下所得的幂指数，可表示为：logₐb （以a为底数，b的对数）
例如，以10为底数，100的对数等于2：log₁₀ 100 = 2
6. 科学计数法
科学计数法是一种表达极大或极小数的方法，可表示为：a × 10ⁿ
例如，300,000,000可以表示为3 × 10⁸
表格中使用这些公式可以方便地表达数值的大小，使人们在使用时更加简便和准确。

总的来说，根据不同的需求，应选用合适的公式来表达数值。

这能够有效地提高信息的传达效率，同时保证信息的准确性。

平方根的竖式计算法
平方根的竖式计算法是一种方便又简单的计算平方根的方法。

其基本原理是将平方根数值分解成一个个整数和小数的和，然后采用类似竖式除法的方式进行计算。

具体步骤如下：
1. 将要计算平方根的数值写成一个整数和一个小数的和的形式，如√123.45=√123+0.45。

2. 从左往右，将整数部分的数值分成一组一组的两个数字，如
果最左侧的数字不足两个，可以在其前面补0。

对于每一组数字，先找出一个较大的整数，使得这个整数的平方小于这一组数字。

然后，将这一组数字减去这个整数的平方并将余数带到下一组数字中，如下图所示。

1|2|3
---|---|---
1| 1 |2
|1 2|
3. 对于小数部分，先将小数点后的数字乘以100并加上余数(小数点后第一位的余数为整数部分的余数乘以100)，然后按照上述方
法进行计算，直到计算得到所需精度的平方根为止。

4. 将整数部分的所有较大整数按从左到右的顺序排列起来，就
是所求的平方根的整数部分。

将小数部分的所有较大整数按从左到右
的顺序排列起来，就是所求的平方根的小数部分。

通过这种方法，我们可以快速准确地计算出任意数值的平方根，大大提高了数学计算的效率。

定理证明
于是由A正定得：
D (P T )1 AP 1
xT Dx xT (P T )1 AP 1 x (P 1 x)T AP 1 x yT Ay 0
即D正定，所以D的对角元素均为正数。
令 D~ diag( u11 , , unn ) 则 A PT (D~)T D~P (D~P)T D~P LLT
0
7
0 25 / 4
78
2 / 25
1566 // 1215
同解方程组为：
4 1
1
0 x1 7
11 / 4
3/4 50 / 11
0
2 78 / 25
x2 x3 x4
25 / 4
6 156
/ /
11 25
回代得 x4 2, x3 1, x2 2, x1 1.
)
U
A(n)
0 ...
a (n) 22
...
a
(n) 2n
...
...
...
0
0
...
a
(n) nn
A LU
故消元过程是把系数矩阵A分解成下三角 矩阵与上三角矩阵的乘积的过程—LU分解
上一讲 要 点 回 顾
LU分解的应用 假定Ax=b AX=（LU)x=L( U x ) = b 令 U x=y,则原线性方程组 Ax=b
平方根法
假设线性方程组: Ax b
其系数矩阵A对称正定，则A的各阶顺序主子式和 全部特征值均大于零 （对称正定矩阵的LU分解形式更加简单，平方根 法就是针对正定矩阵的LU分解法）
定理: 设A是对称正定矩阵,则存在唯一的非奇异
下三角阵L,使得
A LLT
且L的对角元素皆为正.

初中要背的根号表根号表：一、平方根：1．√2=1.4142．√3=1.7323．√4=24．√5=2.2365．√6=2.4496．√7=2.6467．√8=2.8288．√9=3二、立方根：1．∛2=1.2592．∛3=1.4423．∛4=1.5874．∛5=1.7055．∛6=1.8176．∛7=1.9127．∛8=2三、更高阶根：1．∜2=1.1892．∜3=1.4423．∜4=1.5874．∜5=1.7025．∜6=1.8176．∜7=1.9137．∜8=2一、平方根：1. √2是一个有着1.414数值的根号表示方式，用它可以表示一个数的平方的平方根。

2. √3的数值为1.732，它代表了三的平方根。

3. √4的数值为2，表示4的平方根。

4. √5的数值为2.236，表示五的平方根。

5. √6的数值为2.449，它是六的平方根。

6. √7的数值为2.646，表示七的平方根。

7. √8的数值为2.828，等于八的平方根。

8. √9的数值为3，它就是九的平方根。

二、立方根：1. ∛2是一个有着1.259数值的根号表示方式，用它可以表示数的立方的立方根。

2. ∛3的数值为1.442，它代表了三的立方根。

3. ∛4的数值为1.587，它是四的立方根。

4. ∛5的数值为1.705，表示五的立方根。

5. ∛6的数值为1.817，等于六的立方根。

6. ∛7的数值为1.912，表示七的立方根。

7. ∛8的数值为2，代表了八的立方根。

三、更高阶根：1. ∜2是一个有着1.189数值的根号表示方式，用它可以表示两的更高阶根。

2. ∜3的数值为1.442，代表了三的更高阶根。

3. ∜4的数值为1.587，等于四的更高阶根。

4. ∜5的数值为1.702，它是五的更高阶根。

5. ∜6的数值为1.817，表示六的更高阶根。

6. ∜7的数值为1.913，代表了七的更高阶根。

7. ∜8的数值为2，表示八的更高阶根。

225的平方根一、引言在数学中，平方根是指一个数乘以自己等于给定的数，也就是求解方程x^2 = a的解x。

对于正数a，平方根可以分为正平方根和负平方根。

在本文中，我们将讨论225的平方根，并探讨如何求解。

二、正平方根和负平方根对于任意一个正数a，它的平方根有两个解：一个是正平方根，记为√a，另一个是负平方根，记为-√a。

正平方根代表的是与原数同号的解，而负平方根则代表与原数异号的解。

例如，对于25来说，√25 = 5，-√25 = -5。

三、求解225的平方根现在我们来具体讨论225的平方根求解方法。

对于求解正平方根，我们可以使用数学方法，其中最常用的是开方法和试探法。

1. 开方法：开方法是通过数学运算，将一个数的平方根求出。

对于225，我们可以使用开方法进行求解。

具体步骤如下：a) 将225表示为两个数的乘积，例如15 * 15，或3 * 75等。

b) 使用开方的加法公式，即(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，来求解平方根。

c) 对于225来说，我们可以将其表示为15 * 15。

根据加法公式，15^2 = 15 * 15 = 225。

因此，√225 = 15。

2. 试探法：试探法是一种通过猜测来逐步逼近平方根的方法。

对于225，我们可以使用试探法进行求解。

具体步骤如下：a) 选取一个数作为初始值，例如我们选取15作为初始值。

b) 将初始值平方，即15^2 = 225。

c) 检查平方值与给定数值的关系，如果它们相等，那么初始值即为所求平方根；如果平方值小于给定数值，那么我们需要增大初始值，反之，如果平方值大于给定数值，我们需要减小初始值。

d) 利用这种逐步逼近的方法，可以不断调整初始值，直到找到给定数值的平方根。

根据试探法，我们可以得出√225 = 15。

四、结论根据我们的求解方法，225的平方根为√225 = 15。

通过开方法和试探法，我们可以对任意正数进行平方根的求解。

这些方法为我们提供了一种数学工具，用于求解平方根问题。