2012-2013第一学期高二期末考试文科数学试题及答案

试卷类型：甲卷A唐山市2012-2013学年度高二年级第一学期期末考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p ：R x ∈∀，032≤+-x x ，则⌝p 为（ A ）A ．R x ∈∃，032>+-x xB ．R x ∈∃，032≥+-x xC ．R x ∈∀，032>+-x x D ．R x ∈∀，032≥+-x x2．“m ＝－4”是“直线()0132=+++my x m 与直线()032=-+-y x m 相互垂直”的（ B ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ B ）A ．2B ．1C ．32D ．314．直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线x y =对称，则（ A ） A ．31=a ，6=b B ．31=a ，2-=b C ．3=a ，2-=b D ．3=a ，6=b 5．空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 成90°角，E,F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成的角为（ C ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°6．空间坐标系O-xyz 中，z 轴上到A （1，0，2），B （1，－3，1）距离相等的点的坐标为（ D ） A ．（－3，0，0） B ．（0，3，0） C ．（0，0，3） D ．（0，0，－3） 7．圆012222=+--++y x D y x 的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ B ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+ 8．A,B,C,D 四点都在一个球面上，AB ＝AC ＝AD ＝2，且AB,AC,AD 两两垂直，则该球的表面积为（ D ）A ．π62B ．π6C ．π12D ．π69．与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e 的双曲线的方程为（ D ） A ．1162522=-y x B ．116922=-y x C ．191622=-x y D ．191622=-y x 10．圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ A ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆11．已知m,n 为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题：①m//n ，m//α⇒n//α；②m ⊥n ，m ⊥α⇒n//α；③m//α，α//β⇒m//β；④m ⊥β，m ⊂α⇒α⊥β．其中不正确的有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 经过点（a ，0）和点（0，b ），原点到直线l的距离为c 43，则此双曲线的离心率为（ C ） A ．2 B ．332 C ．2或332 D ．4或34第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上. 13．直线013=++y x 的倾斜角是 150︒ ．14．直线0=-y x 被圆076222=+--+y x y x 截得的弦长为 2 ．15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行；②CN 与BE 异面；③BE 与CDEF 所成的角为30°；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ ．16．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积为 4三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题p ：焦点在x 轴上的椭圆的方程2210x mx -+=有实数根；命题q ：双曲线1422=+m y x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,0e ；q ：点P （1，－1）在圆07422=-+-+m x y x 外，若q p ∧为真命题，求实数m 的取值范围．若命题p 为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜4，0＜e 2＝1－ m 4＜ 1 2，解得2＜m ＜4． …4分圆x 2＋y 2－4x ＋7－m ＝0化为(x －2)2＋y 2＝m －3．若命题q 为真，则有⎩⎨⎧m －3＞0，(1－2)2＋(－1)2＞m －3，解得3＜m ＜5． …8分∵p ∧q 为真命题，∴p 真q 真，故有⎩⎨⎧2＜m ＜4，3＜m ＜5，即3＜m ＜4．故所求实数m 的取值范围是3＜m ＜4． …10分18．（本小题满分12分）抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且经过点P （1，2）． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设A ()11,x y ，B ()22,x y 是C 上的两点，若221-=x x ，求证：直线AB 过定点．（Ⅰ）由题意，设所求抛物线方程为x 2＝2py ，由点P (1，2)在抛物线上，故1＝4p ，p ＝ 1 4，故所求抛物线C 的方程为x 2＝ 1 2y ，即y ＝2x 2．…5分（Ⅱ）由题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，得2x 2－kx －b ＝0．由题设，得x 1x 2＝－ b2＝－2，b ＝4，即直线AB 的方程为y ＝kx ＋4，显然直线AB 过定点(0，4)．…12分19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，E 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB1//平面BEC1（Ⅱ）若AB ＝AA1＝2，求四面体ABEC1的体积．（Ⅰ）连结CB 1，设BC 1与CB 1交于点F ，连结EF ．在△AB 1C 中，易知F 为CB 1的中点，又E 为AC 的中点，所以EF ∥AB 1．∵EF ⊂平面BEC 1，AB 1⊂/平面BEC 1，∴AB 1∥平面BEC 1．…6分（Ⅱ）易知CC 1⊥平面ABE ，四面体ABEC 1的体积V ＝ 1 3S △ABE ×CC 1＝ 1 3× 1 2×1×3 ×2＝3 3．…12分20．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A （－1，0）和B （1，2），且圆心在直线1-=x y 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）求与圆C 相切且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．（Ⅰ）由已知，设C (a ，a －1)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋(a －1)2＝(a －1)2＋(a －3)2，解得a ＝1，半径r ＝|CA |＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4． …6分 （Ⅱ）由已知，原点O 在圆C 内部，故设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0，由l 与圆C 相切，得|1＋0－m |2＝2，解得m ＝1±22 ，故直线l 的方程为x ＋y －1±22 ＝0．…12分21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AB ＝2．（Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求点C 到平面PAB 的距离．（Ⅰ）由已知，△ADB 和△ADP 都是正三角形，设O 为AD 的中点，连接PO ，BO ，故AD ⊥OP ，AD ⊥OB ，所以AD ⊥平面POB ，故AD ⊥PB ． …5分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊥AD ，所以PO ⊥平面ABCD ．EA BCB 1A 1C 1F又PB ＝PO 2＋OB 2＝6 ，PA ＝BA ＝2，可得S △PAB ＝152． 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120︒，可得S △ABC ＝3 ． 设点C 到平面PAB 的距离为h ，由V P －ABC ＝V C －PAB ，得h ＝2155．…12分22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率23=e ，且过点P （－2，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）与直线OP （O 为坐标原点）平行的直线l 与C 交于A,B 两点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程．（Ⅰ）椭圆C 的离心率e 满足e 2＝1－b 2a 2＝ 3 4，所以a 2＝4b 2． ①点P (－2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以4a 2＋1b2＝1．② 由①②，解得a 2＝8，b 2＝2，椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．…5分（Ⅱ）∵直线OP 的斜率为－1 2，所以设直线l 的方程为y ＝－ 12x ＋m （m ≠0）， 代入x 28＋y 22＝1，并整理，得x 2－2mx ＋2(m 2－2)＝0，判别式∆＝4m 2－8(m 2－2)＝4(4－m 2)＞0，得0＜m 2＜4．…7分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以|AB |＝√____________________(1＋ 1 4)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(4－m 2) ．点O 到直线AB 的距离d ＝|2m |5，…9分所以△AOB 的面积S ＝ 1 2|AB |d ＝|m |4－m 2≤m 2＋(4－m 2)2＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2 时，△AOB 的面积最大，此时直线l 的方程为y ＝－ 12x ±2 ．…12分[唐山市2012～2013学年度高二年级第一学期期末考试文科数学甲卷参考答案及评分标准一、选择题： A 卷：ABBA CDBD DACC B 卷：DBAB CDBA DACC二、填空题： （13）150︒ （14）2 （15）③④ （16）43三、解答题： （17）解：若命题p 为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜4，0＜e 2＝1－ m 4＜ 1 2，解得2＜m ＜4． …4分圆x 2＋y 2－4x ＋7－m ＝0化为(x －2)2＋y 2＝m －3．若命题q 为真，则有⎩⎨⎧m －3＞0，(1－2)2＋(－1)2＞m －3，解得3＜m ＜5． …8分∵p ∧q 为真命题，∴p 真q 真，故有⎩⎨⎧2＜m ＜4，3＜m ＜5，即3＜m ＜4．故所求实数m 的取值范围是3＜m ＜4． …10分（18）解：（Ⅰ）由题意，设所求抛物线方程为x 2＝2py ， 由点P (1，2)在抛物线上，故1＝4p ，p ＝ 14，故所求抛物线C 的方程为x 2＝ 1 2y ，即y ＝2x 2．…5分（Ⅱ）由题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，得2x 2－kx －b ＝0．由题设，得x 1x 2＝－ b2＝－2，b ＝4，即直线AB 的方程为y ＝kx ＋4，显然直线AB 过定点(0，4)． …12分（19）解：（Ⅰ）连结CB 1，设BC 1与CB 1交于点F ，连结EF ．在△AB 1C 中，易知F 为CB 1的中点，又E 为AC 的中点，所以EF ∥AB 1． ∵EF ⊂平面BEC 1，AB 1⊂/平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．…6分（Ⅱ）易知CC 1⊥平面ABE ， 所以四面体ABEC 1的体积V ＝13S △ABE ×CC 1 ＝1 3× 12×1EA BCB 1A 1C 1F×3 ×2 ＝33．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知，设C (a ，a －1)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋(a －1)2＝(a －1)2＋(a －3)2， 解得a ＝1，半径r ＝|CA |＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4．…6分（Ⅱ）由已知，原点O 在圆C 内部，故设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0，由l 与圆C 相切，得|1＋0－m |2 ＝2，解得m ＝1±22 ，故直线l 的方程为x ＋y －1±22 ＝0．…12分（21）解：（Ⅰ）由已知，△ADB 和△ADP 都是正三角形，设O 为AD 的中点，连接PO ，BO ，故AD ⊥OP ，AD ⊥OB ， 所以AD ⊥平面POB ，故AD ⊥PB ． …5分（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊥AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．又PB ＝PO 2＋OB 2＝6 ，PA ＝BA ＝2，可得S △PAB ＝152． 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120︒，可得S △ABC ＝3 ．设点C 到平面PAB 的距离为h ，由V P －ABC ＝V C －PAB ，得h ＝2155． …12分（22）解：（Ⅰ）椭圆C 的离心率e 满足e 2＝1－b 2a 2＝ 3 4，所以a 2＝4b 2． ①点P (－2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以4a 2＋1b2＝1．② 由①②，解得a 2＝8，b 2＝2，椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．…5分（Ⅱ）∵直线OP 的斜率为－1 2， 所以设直线l 的方程为y ＝－ 12x ＋m （m ≠0），代入x 28＋y 22＝1，并整理，得x 2－2mx ＋2(m 2－2)＝0，判别式∆＝4m 2－8(m 2－2)＝4(4－m 2)＞0，得0＜m 2＜4． …7分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以|AB |＝√____________________(1＋ 1 4)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(4－m 2) ．点O 到直线AB 的距离d ＝|2m |5，…9分PACDO所以△AOB 的面积S ＝ 1 2|AB |d ＝|m |4－m 2≤m 2＋(4－m 2)2＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2 时，△AOB 的面积最大，此时直线l 的方程为y ＝－ 12x ±2 ．…12分[。

绝密★启用前宿迁市2012~2013学年度第一学期高二年级期末调研测试数学(文科)（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方． 2．答题时，请使用0．5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．写出命题 “2,10x x ∀∈+R ≥”的否定： ▲ ．2．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产量之比为2:3:5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中B 种型号的产品有12件，则样本容量n = ▲ ．3．写出命题“若22a b>，则>a b ”的逆否命题： ▲ ．4．一个质点的运动方程为23=+S t （位移单位：m ，时间单位：s ），则该质点在2=t s 的瞬时速度为 ▲ m/s ．5．根据如图所示的伪代码，若输入,a b 的值分别为5，6 则输出的m 值是 ▲ ．Read ,a b If >a b Then m ←a Elsem ←b End If Print m（第5题图）6．如图，是一个算法的流程图，则输出S 的值为 ▲ ． 7．若“12≤≤x ”是“0≤≤x m ”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 8．有一组样本数据：9，x ，10，7，8，已知它的平均数为9，则这组数据方差2s 的值 为 ▲ ．9．双曲线2212-=x y k的离心率(1,2)∈e ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．10．设长度为3的线段AB 的中点为C ，若在线段AB 上随机选取一点P ，则满足1PC ≤的概率是 ▲ ．11．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 ▲ ． 12．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ，若12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ ．13．若抛物线22=-y x 上到点(,0)A m 距离最近的点是其顶点，则实数m 的取值范围是▲ ． 14．已知函数()2sin =-f x x x ，对任意的[]3,1∈-t ，()()320-+<f tx f x 恒成立，则实数x 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设命题p ：方程22142x y m m-=-+表示焦点在x 轴上的双曲线，命题q ：函数3()f x x mx =-在区间()1,+∞上为单调递增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．16．将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷两次．（Ⅰ）求向上的点数之和能被3整除的概率；（Ⅱ）记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),= a m n ，()1,2=-b ，求 a 与 b 的夹角为钝角的概率．17．已知抛物线22y px =（0>p ）与双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b均过点(1,2)．（Ⅰ）若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，求抛物线和双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线离心率e 的取值范围．18．请您设计一个粮仓．它下部的形状是高为3(m)的圆柱，上部的形状是母线长为9(m) 且与圆柱共底面的圆锥（如图所示）．设粮仓的容积为y （3m ）． （Ⅰ）按下列要求建立函数关系式：⑴设圆锥的高为h （m ），将y 表示成h 的函数；⑵设圆锥的母线与其底面所成角为θ（rad ），将y 表示成θ的函数； （Ⅱ）请您选择（Ⅰ）中的一个函数关系确定粮仓的设计，使得粮仓的容积最大．（第18题图）19．如图，B A ,是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右顶点，M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，左、右焦点的坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且椭圆经过点3(1,)2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点1(0,)3N ，求线段MN 长度的最大值；（Ⅲ）设直线AM 交椭圆C 的右准线l 于点P ，PQ MB ⊥,垂足为Q ，问：直线PQ是否经过定点？若经过定点，求出其坐标；若不经过定点，请说明理由．20．已知函数()e x f x ax b a =-+∈R ，（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若e =a ，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线320+-=x y 平行．（1）当函数()f x 有两个不同的零点时，求实数b 的取值范围；（2）当0b =，且方程()=f x kx 有四个不相等的实数根时，求实数k 的取值范围．2012~2013学年度宿迁市高二第一学期期末测试数学试卷(文科)参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．2,10x x ∃∈+<R ； 2．40； 3．若≤a b ，则22ab≤； 4．4； 5．6； 6．55； 7．[2,)+∞； 8．2 ； 9．(0,6)； 10．32； 11．(0,1) ； 12( ； 13．[1,)-+∞； 14．(3,1)-．二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：若p 真，则40,20,->⎧⎨+>⎩m m 即24m -<<． (4)分若q 真，则在区间()1,+∞上，2()30f x x m '=-≥恒成立，所以3m ≤． ……………………………………8分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 、q 一真一假，…………………10分若p 真q 假，则34m <<， ……………………………………12分若p 假q 真，则2m -≤，综上所述：34m <<或2m -≤． ………………………………………………14分16．解：（Ⅰ）将一颗骰子先后抛掷2次共有：6636⨯=个等可能的基本事件．………２分记“向上的点数之和能被3整除”为事件A ，则事件A 中有如下基本事件： （1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1）， （5，4），（6，3），（6，6），共有`12个基本事件． ………………4分故121()363P A ==． …………………………………6分 答：向上的点数之和能被3整除的概率为13． ……………………………………7分（Ⅱ）记“ a 与b 的夹角为钝角”为事件B ，由条件得0< a b 且 a 与 b 不共线，即202m n m n-+<⎧⎨≠-⎩ ，解得2m n > …………9分故事件B 中有如下基本事件：（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2）， 共有6个基本事件． ………………………………11分故61()366P B ==． ………………………………13分答： a 与 b 的夹角为钝角的概率为16． ………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为点(1,2)在抛物线22y px =上，所以2p =，所以所求的抛物线方程为24y x =．………………………………………………………2分其焦点坐标为(1,0)-．因为抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，所以双曲线中的1c = (4)分又22222141,,a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩ (6)分解得2232,a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩221=． (8)分（Ⅱ） 因为点(1,2)在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则22141a b -=，所以22141a b =+ 所以2221b e a=+……………………………………………………………………………10分2241(1)b b=++25b =+ ………………………………………………………………12分因为0b >， 所以25e >，又1e >所以e >所以双曲线离心率e 的取值范围是)+∞． ………………………………………14分18．解：（Ⅰ）⑴设圆锥的底面半径为r （m ），则2281r h =-，………………………2分所以22221133(81)(81)33y r r h h h h ππππ=+=-+-321(981729)3h h h π=-+--（09h <<） …………………………5分⑵ 由题意，9cos r θ=，9sin h θ= …………………………7分22221133(9cos )(9cos )9sin 33y r r h πππθπθθ=+=+22243(coscos sin )πθθθ=+2243πcos (1sin )θθ=+（02πθ<<） (10)分（没有写出定义域的扣1分） （Ⅱ）选择⑴由231(729981)3y h h h π=-+-（09h <<）， 得221(18813)(627)3y h h h h ππ'=-+-=-+- (12)分令0y '=得3h =当(0,3)h ∈时，0y '>；当(3,9)h ∈时，0y '<．因此函数y 在3h =时取到极大值及最大值288π． ………………………15分 故只要粮仓的上部圆锥的高为3（m ）时，可以使粮仓的容积最大……………16分 选择⑵22243(cos cos sin )y πθθθ=+（02πθ<<）23243(1sin sin sin )πθθθ=+--令sin (01)t t θ=<<，得23243(1)y t t t π=+-- ……………………………12分 所以22243(123)243(321)y t t t t ππ'=--=-+- 令0y '=得13t =当1(0,)3t ∈时，0y '>；当1(,1)3t ∈时，0y '<．因此函数y 在13t =即1sin 3θ=时取到极大值及最大值288π． …………15分 故只要母线与其底面所成角为θ满足1sin 3θ=时，可以使粮仓的容积最大． (16)分 19．解：（Ⅰ）法一：由椭圆第一定义，得2a =4，所以2a =， (2)分又1c =，所以222b ac =-=3，所以所求椭圆C 的方程为22143x y += ……………4分法二：由已知得222221,191,4,c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ …………………………………………………2分解得224,3,a b ⎧=⎨=⎩所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=． (4)分（Ⅱ）设(,)M x y ，则13422=+y x ，即22344y x -=． 222221421()43339MN x y y y y =+-=-+-+940)1(31937323122++-=+--=y y y (8)分又33≤≤-y ∴当1-=y时，max MN =． ………………………………………………10分（Ⅲ）直线PQ 恒过定点1(,0)2-，理由如下： ………………………………………11分设00(,)M x y ，由上可得(2,0),(2,0)A B -，右准线方程为4x =，2200143x y +=， 所以AM 的方程为00(2)2y y x x =++，点p 在AM 上，所以点p 的坐标为006(4,)2y x +，又002MB y k x =-，PQ MB ⊥，所以02PQ x k y -=，所以PQ 的方程为000062(4)2y x y x x y --=-+ ………………………………………14分法一：由0y =，得22644y x x =--， 由2200143x y +=，得2200443x y -=，代入上式得12x =-， 所以直线PQ 恒过定点1(,0)2-． …………………………………………………16分 法二：化简得：220000(2)6(4)(4)y x y y x x +-=--由2200143x y +=，得2200443x y -=，代入上式得 2200004(2)6(4)3y x y y y x +-=-000242033x y y y y x +--=002(2)(12)03x y x y +-+=当120,0,x y +=⎧⎨=⎩即1,20,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，00x y +2,可以取任意值． 所以直线PQ 恒过定点1(,0)2-． (16)分20．解：（Ⅰ） 因为()x f x e e '=-，令()0f x '>，解得1>x ．所以函数()f x 的单调递增区间是(1)+∞，； …………………………2分 令()0f x '<，解得1<x ．所以函数()f x 的单调递减区间是(1)-∞，……………… ………………………4分 （说明：用列表给出结果同样给分）（Ⅱ）由题意知，0(0)3f e a '=-=- ,解得4=a ．所以()4xf x e '=-． ………………………………………………6分（1）令()0f x '>，解得ln 4>x ．函数()f x 在(ln 4)+∞，上单调递增； 令()0f x '<，解得ln 4<x ．函数()f x 在(ln 4)-∞，上单调递减； 所以函数()4xf x e x b =-+在ln 4x =处取极小值，也是最小值．最小值为44ln 4+-b ． …………………8分 又因为当x →-∞或x →+∞时，()f x →+∞高二文科数学试卷 第 11 页 （共 11 页） 故使函数()f x 有两个零点时，min ()<0f x ，即44ln 4+<0-b ，所以实数b 的取值范围为(,4ln 44)-∞-． …………………10分（2）由题意得，()e 4=-x f x x ．因为由（1）知函数()4=-x f x e x 在ln 4x =处取得的最小值44ln 4-是小于零的， 并且当x →-∞或x →+∞时，()f x →+∞故函数()f x 必有两个零点12,x x ，不妨令12<x x ． 令函数()()=g x f x ，则函数()g x 在1(,)-∞x ，2()x ln4,上单调递减；在1(,ln 4)x ，2()+∞x ，上单调递增；…12分因为(0)10f =>，(1)40f e =-<，3(3)120f e =->所以10x >，当12( , )x x x ∈时，()4e xg x x =-，令函数()=h x kx ，若()=h x kx 与函数()4x g x x e =-的图象相切，设切点为00(,)x y ， 则切线方程为：0000(4)(4)()x x y x e e x x --=--，因为切线经过原点，所以00004(4)x x x e e x -=-，解得0=1x ，所以切线的斜率4=-k e ． 因为方程()=f x kx 有四个不相等的实数根，所以实数k 的取值范围是(0,4)-e ．………16分（注：如果采用对x 的讨论分离参数k 的，可酌情给分）。

中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在△ABC 中，60A =︒，45C =︒，c =20，则边a 的长为 A． B． C． D．2．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 A ．4B ．8C ．4±D ．8± 3. 不等式(50)(60)0x x -->的解集是A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞4. 不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是A ．B ．C ．D ．5．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩由此可计算出7F = A ．8 B ．13 C ．21 D ．34 6．函数()ln f x x x =的单调递减区间是A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞7．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =A ．153B ．182C ．242D ．2738．关于双曲线221169y x -=，下列说法错误的是A ．实轴长为8，虚轴长为6B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±9．下列命题为真命题的是A ．x ∀∈N ，32x x >B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b = 10．已知函数3()4f x x x =-，x ∈[-2，2]. 有以下命题：① x ＝±1处的切线斜率均为-1； ② f （x ）的极值点有且仅有一个； ③ f （x ）的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是（ ）. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）11．椭圆221259x y +=的离心率为 .12．小明用TI-Nspire™ CAS 中文图形计算器作出函数1()(2)(3),[4,4]8f x x x x x =+-∈-的图像如右图所示，那么不等式()0f x ≥的解集是 .（用区间表示）13．在周长为定值8的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 .14．已知抛物线2()2f x x x =-上一点(3,(3))P f 及附近一点'(3,(3))P x f x +∆+∆，则割线'PP 的斜率为'(3)(3)PP f x f k x+∆-==∆ ，当x ∆趋近于0时，割线趋近于点P 处的切线，由此可得到点P 处切线的斜率为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）已知函数()(2)(3)f x x x x =+-.（1）求导数()f x '； （2）求()f x 的单调递减区间.16．（13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n*∈均在直线12y x =+上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n a n b =，试证明数列{}n b 为等比数列.17．（14分）已知倾斜角为60的直线L 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，其中O 坐标原点．（1）求弦AB 的长； （2）求三角形ABO 的面积．18．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c . （1）若边BC 上的中线AD 记为a m，试用余弦定理证明：a m . （2）若三角形的面积S =2221()4a b c +-，求∠C 的度数.19．（13分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?20．（14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上, 右焦点到直线0x y -+的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线1y kx =+相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求实数k 的值.中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（文科）答案一、选择题：ABCBB CDDDB 二、填空题：11.45； 12. [2,0][3,4]-； 13. 2，4； 14. 112x +∆， 11.三、解答题：15. 解：（1）由原式得32()6f x x x x =--，………………（3分）∴2()326f x x x '=--. ……（6分）（2）令()0f x '<x <<， ………………（10分）所以()f x的单调递减区间为.………………（13分）16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n =+即212n S n n =+. ………………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ……（6分） 当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ………………（7分）所以*12()2n a n n N =-∈. ………………（8分）（2）证明：由（1）得12233nn a n b -==，……………………（9分） ∵12(1)2211223393n n n nb b +-+-===，………………（11分） ∴ {}n b 为等比数列.………………（13分）17. 解：（1）由题意得：直线L的方程为1)y x =-， ……………………（2分） 代入24y x =，得：231030x x -+=.………………（4分） 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 12103x x +=. ………………（6分） 由抛物线的定义得：弦长121016233AB x x p =++=+=.………………（9分）（2）点O 到直线AB的距离d =， ………………（12分）所以三角形OAB的面积为12S AB d =⋅=． ………………（14分）18. 解：（1）在ABD ∆中，222()2cos 22a ac m B a c+-=； ………………（2分）在ABC ∆中，222cos 2c a b B c a+-=.………………（4分）∴ 222222()2222a ac m c a b a c a c +-+-=，………………（5分）化简为：2222222222()424a a c ab bc a m c +-+-=+-=，∴a m =………………（7分） （2）由S =2221()4a b c +-，得12ab sin C =12cos 4ab C .………………（10分）∴ tan C =1，得C =45︒. ……（13分）19. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域. ……（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212zl y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z最大，即z 取最大值. 解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，…………（10分）max 85127124z =⨯+⨯=.………………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元. ……（13分）解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a+=> ，………………（1分）则右焦点F . ……（2分）3=, 解得：23a =. ………………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213x y +=.………………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立22113y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 22(31)60k x kx ++=.………………（8分）23231M N p x x k x k +∴==-+， 从而 21131p p y kx k =+=+， 21323p App y k k x k++∴==- . ………………（10分）又 ,A M A N A P M N =∴⊥，则： 23213k k k+-=-，解得：k =. ………………（14分）。

2
21. [解法 1] (Ⅰ)如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0), B ( 2,0,0), D (0,2,0), C ( 2,2,0) ，
E A F
D y
C
P(0,0,2), E (0,1,1), F (1,1,1) ------2 分
所以 PD = (0,2,−2), AE = (0,1,1), AF = (1,1,1) ． 因为 PD • AE = 0, PD • AF = 0 ， 所以 PD ⊥ AE , PD ⊥ AF ．-----6 分 又 AE ∩ AF = A, 故PD ⊥ 面AEF ．------7 分 (Ⅱ)设直线 PC 与平面 AEF 所成角为 θ ， 由（1）知，面 AEF 的法向量 n = (0,1,−1) ，而 PC = ( 2,2,−2) ，----10 分
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2012 学年第一学期期末考试样卷 高二数学试题卷（文） 答案及评分标准
一、 选择题（本大题共有 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 D 8 B 9 D 10 C
x
B
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故 sin θ =
PC ⋅ n PC ⋅ n
=
4 2 12
=
6 ．--------13 分 3 6 ．----14 分 3
所以，直线 PC 与平面 AEF 所成角的正弦值是 [解法 2]： (Ⅰ)Q PA ⊥ 面ABCD， ∴ PA ⊥ CD ．
Q CD ⊥ AD, PA ∩ AD = A ， ∴ CD ⊥ 面PAD， ∴ CD ⊥ PD ．----------2 分 Q EF // CD,∴ EF ⊥ PD ．---------4 分