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《数学物理方法》课程教学大纲（72 学时）（理论课程）一课程说明（一）课程概况课程中文名称：《数学物理方法》课程英文名称：Mathematics physics method课程编码：3910252114开课学院：理学院适用专业/开课学期：物理学/第 4 学期学分/周学时：4 学分/周4 学时《数学物理方法》是物理学本科专业的必修专业主干课，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
本课程是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
（二）课程目标通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
（三）学时分配二教学方法和手段1.本课程课堂讲授约需 72 课时。
2.学生在学习过程中应注重各专题所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。
3.在学习过程中，应以推荐教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
物理学专业04013001高等数学 Advanced Mathematics 【156—8—1、2】先修课程：高中数学内容提要：高等数学是物理学专业必修的基础课程。
内容包括函数与极限、微分学、不定积分、定积分、空间解析几何和矢量代数、多元函数微分学、重积分、曲线积分、曲面积分、矢量分析初步、级数、广义积分、含参变量积分和常微分方程等内容。
修读对象：物理学专业本科生教材：《高等数学（物理类）》一、二、三册四川大学高等教育出版社参考书目：《高等数学》同济大学高等教育出版社04013002线性代数 Linear Algebra 【42—2—1】先修课程：高中数学内容提要：线性代数是物理学专业必修的基础课程。
本课程是研究有限线性空间的结构和线性空间的线性变换的数学分支。
内容有行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等内容。
修读对象：物理学专业本科生教材：《高等数学（物理类）》第三册四川大学高等教育出版社参考书目：《线性代数》同济大学高等教育出版社04013003数学物理方法 Methods of Mathematical Physics 【72—4—3】先修课程：高等数学内容提要：数学物理方法是物理学专业必修的基础课程。
内容分三个部分。
复变函数论包括：复数与复变函数、解析函数、哥西定理、解析函数的幂级数表示、残数及其应用、保角变换。
数学物理方程包括：数学物理方程的付氏解、波动方程的达朗贝尔解、数理方程解的积分公式、定解问题的适定性、付里叶变换、拉普拉斯变换。
特殊函数包括：勒让德多项式，球函数、贝塞尔函数、柱函数、厄密多项式和拉盖尔多项式等内容。
修读对象：物理学专业本科生教材：《高等数学（物理类）》第四册四川大学高等教育出版社参考书目：《数学物理方法》梁昆淼高等教育出版社04013004力学 Mechanics 【72—4—2】先修课程：高等数学内容提要：力学是物理学专业必修的基础课程。
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
高等数学物理方法
高等数学物理方法，哇塞，这可真是个超级厉害的东西呢！它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多科学领域的大门。
要学习高等数学物理方法，首先得掌握那些复杂的理论和公式。
这可不是一件容易的事儿啊！得一步一步来，就像爬山一样，得脚踏实地。
要认真理解每个概念的含义，搞清楚那些公式的推导过程，可不能马虎哟！在解题的时候，更是要仔细分析题目，找到关键信息，然后选择合适的方法去求解。
注意啦，千万不能粗心大意，不然就会前功尽弃呀！而且还要多做练习题，这样才能真正掌握这些方法。
在这个过程中，安全性和稳定性也是非常重要的呢。
就好比建房子，基础得打牢，不然房子会摇摇欲坠的。
我们在运用高等数学物理方法的时候，一定要保证每一步都准确无误，这样得出的结果才可靠。
如果中间出了差错，那可就糟糕啦，就像大楼失去了根基一样。
那它的应用场景可多了去啦！在物理学、工程学、计算机科学等领域都大显身手呢。
它的优势也很明显呀，能够帮助我们解决那些超级复杂的问题，让看似不可能的事情变得可能。
这难道不是很了不起吗？
比如说在研究天体物理的时候，通过高等数学物理方法，我们可以精确地计算出天体的运动轨迹。
这就像是给我们装上了千里眼，让我们能够看清遥远天体的一举一动。
还有在电子工程中，它能帮助我们设计出更高效的电路，让我们的电子设备更加强大。
总之，高等数学物理方法真的是太重要啦！它是科学进步的有力工具，没有它，很多领域都没法发展呢。
我们一定要好好学习它，利用它去探索更多的未知，创造更美好的未来呀！。
第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i 试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：321321311223arg;arg ;arg ;z z z z z z z z z z z z αβγ---===---1332213112231;z z z z z z z z z z z z ---••=----arg(1)2;k αβγπ∴++=-+(0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈(0,3);αββπ∴++∈0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于。
证明：有复数的性质得：3213 213arg;arg;arg;z z z zz zz z z z z zαβγ---===---21z zz z-•-arg(1)2;kαβγπ∴++=-+0;k∴=;αβγπ∴++=第一章复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a+=>。
解:由题意44z a=-,所以有()410zaa⎛⎫=->⎪⎝⎭;4cos sin izi eaπππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭;所以24(0,1,2,3)kize kaθπ+==;41iz aeπ=;342iz aeπ=;543iz aeπ=;744iz aeπ=.12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？1212(1).()z z z z z z-=-≠解：此图形表示一条直线，它不是区域。
(2).4;z z≤-≤816;2;x x≤≤此图形为≤x2的区域。
1(3).1;1zz-<+解：222211(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。
(4).0arg(1)2Re()3;4z z π<-<≤≤且解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]4π的部分。
(5).1Im 0;z z ≥>且解：1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。
12(6).Im ;y z y <≤解：它表示虚部大于1y 小于等于2y 的一个带形区域。
(7).231;z z >->且解：此图形表示两圆的外部。
131(8).;2222i i z z ->->且解：211()22y +->2x ，2231()22x y +->，它表示两相切圆半径为12的外部区域。
(9).Im 12;z z ><且解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。
(10).20arg ;4z z π<<<且）解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,的部分，它是区域。
第二章 解析函数（1）4.若函数()f z 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明()f z 必为常数.()()0f z z D '=∈证明：因为()f z 在区域上解析，所以,u v u v x y yx ∂∂∂∂==-∂∂∂∂。
令()()(),,f z u x y iv x y =+，即()0u vf z i x y ∂∂'=+=∂∂。
由复数相等的定义得：0u v x y ∂∂==∂∂，0u vy x ∂∂=-=∂∂。
所以，()1,u x y C =(常数) ，()2,v x y C =(常数)，即()12f z C iC =+为常数。
5 .证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。
（1）(cos sin )(cos sin ).x x e x y y y ie y y x y -++ 证明：设()()(),,f z u x y iv x y =+=(cos sin )(cos sin ).x xe x y y y ie y y x y -++ 则(),(cos sin )x u x y e x y y y =-，(),(cos sin )xv x y e y y x y =+ (cos sin )cos x x u e x y y y e yx ∂=-+∂；cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ∂=-+∂(sin sin cos )x u e x y y y y y ∂=-++∂； (cos sin sin )x v e y y x y y x ∂=++∂满足;u v u vx y yx ∂∂∂∂==-∂∂∂∂。
即函数在z 平面上(),x y 可微且满足C R -条件，故函数在z 平面上解析。
()(cos sin cos )(cos sin sin )x x u vf z i e x y y y y ie y y x y y x x ∂∂'=+=-++++∂∂8．由已知条件求解析函数()f z u iv =+， 22u x y xy =-+，()1f i i =-+。
解：2,2x y u x y u y x =+=-+，2,2xx yy u u ==-。
所以xx yy u u +=即u 是平面上调和函数。
由于函数解析，根据C R -条件得2x y u v x y ==+，于是，22()2y v xy x ψ=++,其中()x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得2'()x v y x ψ=+=2y u y x-=-，所以'()x x ψ=-，即2()2x x c ψ=-+。
于是22222y x v xy c=+-+又因为()1f i i =-+，所以当0,1x y ==，时1u =，112v c =+=得12c =所以()22221(2)222y x f z x y xy i xy =-+++-+。
第二章 解析函数（2）12.设ω是z 的解析函数，证明x y u v ∂∂=∂∂，x y vu ∂∂=-∂∂ (,)u iv z x iy ω=+=+。
证明：ω是z 上的解析函数，所以，ω在(),x y 上处处可微，即u v x y ∂∂=∂∂，u vy x ∂∂=-∂∂，所以，u v y v u x x y v y x u ∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂，所以x y u v ∂∂=∂∂， 同理，u v y v u x y y vx x u ∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂，所以，x y v v ∂∂=-∂∂ 即得所证。
14.若z x iy =+，试证：（1）sin sin cos z xchy i xshy =+。
证：sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+=()sin cos 22iiy i iy iiy iiye e e e x xi --+-+ =()sin cos 22y y i iy ye e e e x i x--+-+sin cos xchy i xshy =+18.解方程ln 2i z π=。
解：ln ln arg 02i z z i z π=+=+， 即1,arg 2z z π==，设z x iy =+1=，()arg 2x iy π+=得0,1x y ==，即z i =。
20.试求2(1),3,,i i i ii i e ++及(1)Ln i +。
解：(2)222,0,1,2,i k ik iiLnii eeek ππππ+--====±±⋅⋅⋅(2)(1)244(1)(cos ln sin ln i k i iLn i k i eei e e ππππ+++===，0,1,2,k =±±⋅⋅⋅(1)ln(1)22(2)44Ln i i i k ii k i k πππππ+=++=+=+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅3(ln32)3cosln3sin ln3i iLn i k e e i π+===+ 222(cos1sin1)i i e e e e i +==+22，求证0sin lim 1z z z →=证: z x iy =+(x,y,均为实数)，所以,sin sin()lim lim z x y z x iy z x iy →∞→∞+=+ 当0x →则极限趋近于z 轴，有sin lim 1iy iyi y iy e e iy iyz -→∞-==当0y →时，则极限趋于z 轴，有sin lim 1x x x →∞=，故sin lim 1z z z →∞=。
第三章 柯西定理 柯西积分（1）1.计算积分120),ix y ix dz +-+⎰（积分路径是直线段。
解：令z=(1+i)dz ， dz=(1+i)dt ，则：120(1)it i dz =+⎰⎰1+i20(x-y+ix )dz 312011(1)(1)033t i i t dt i -=-=-=⎰。
2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：1(11)z it t dz idt z t =-≤≤==（）令，， ，11111()iiz dz t idt i t dt i tdt i---==-+=⎰⎰⎰⎰所以(2).cos sin ()(sin cos )122z i dz d z ππθθθθθθ=+-≤≤=-+=令：，， ，则2222sin cos 022iiz i d i d i iππππθθθθ---=-+=+=⎰⎰⎰3(3).cos sin ((sin cos )122z i dz i d z ππθθθθθθ=+=-+=令 从到），， ，223322sin cos 022iiz d i d i iππππθθθθ-=-+=+=⎰⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C 为单位圆。
