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唐山市第十二中学 张海青
(a、 b、 c是常数 , 定义： y ax bx c a0 ）
2
1、二次函数的定义
定义要点：①a≠0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：
2 2 y 100 5 x 1、 y x 、 y 2x 、 x
2
2
y 3x 2x 5 ，其中是二次 数的有 个
-1 0 1 x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
4、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 求出表达式后化为一般形式.
根据下面的函数图象，尽可能多的找出结论.
（1）a＞0，b＜0， c＞0.
y
开口向上 a＞0
2 y 1 )( x 5 ) （2）函数解析式： 5(x 2 2 12 即 y x x2 c＞ 0 5 5
2 8 或 y (x3 )2 5 5 （3）对称轴：直线x=3；
(0,2) · · O (1,0) · · 1 (5,0) x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2
1.如图2×2网格(每个小正方形的边长为1)中,A,O, B,C,D,E,F,H,G九个格点.抛物线L的解析式为: 1 2 y x bx c 2 (1)若L经过点O(0,0)和B(1，0),则b=____; c=____; 它还经过的另一格点的坐标为_____ ． （2）若L经过点H(-1，1)和G(0，1),求它的解析式 及顶点坐标；通过计算说明点D(1，2)是否在L上． （3）若L经过这九个格点中的三个，直接写出所有 满足这样的抛物线的条数.
·
x
x
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、 a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
(4)已知二次函数的图像如图所示: 下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc﹥0 ⑷ b=2a D 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3y 个 D 4个
2 3
2当m_______时,函数
y ( m 1 ) x
是二次函数.
m m
2
2 x 1
2、二次函数的图像及性质
y 0 x y
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
8 ( 3 , ) （4）顶点坐标 5 8 （5）当x=3 时，y有最小值 5
·
·
·
（6）图象在x轴上截得的线段长为4. （7）在对称轴的左侧，y 随 x 增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随 x 增大而增大.
b2-4ac＞0
ab ＜ （8）当x =1 或 5 时，y = 0 ； 当1 ＜x ＜5 时，y ＜0 ；当 x0＜1 b＜0 或x ＞5 时，y ＞0.
增减性
最值
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最小值为 2 a 4 a
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最大值为 2 a 4 a
已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐 标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，点A在点B左侧，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值 时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多 少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
1 2 3 y x x 2 2
(1,0) x
•
(-3,0)
• • • (-1,-2)
0
•
3 (0,-– 2)
3、a，b，c符号的确定 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0 c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 a、b同号 对称轴在y轴左侧 a、b异号 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac=0 与x轴有一个交点 2-4ac<0 b 与x轴无交点
（5）a+b+c的符号： 当x=1时,y=a+b+c, (6)a-b+c的符号： 当x=-1时,y=a-b+c,
(１)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y 所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 o C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0c (2)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 y 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 o C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 (3)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 y 图 C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） o
