专题十一：最短路径——造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【方法指引】（1）如图，在直线l 上找M 、N 两点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小，且MN=d 。
方法：将点A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于直线l 的对称点A"，连接A"B 交直线l 于点N ，将点N 向左平移d 个单位到M ，点M 、N 即为所求，此时AM+MN+NB 最小为A"B 。
（2）如图，1l ∥2l ，1l ，2l 之间距离为d ，在1l ，2l 分别找M 、N 两点，使得MN ⊥1l ，且AM+MN+NB 最小。
方法：将点A 向下平移d 个单位到A ′，连接A ′B 交直线2l 于点N ，将点N 向上平移d 个单位到M ，点M ，N 即为所求，AM+MN+NB 的最小值为A ′B+d 。
（3）如图，点P ，Q 在∠AOB ，分别在OA ，OB 上找点C ，点D ，使四边形PCDQ 的周长最小.方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小本质为转化思想：（1）化同侧为异侧（对称变换），（2）平移定距离（平移变换），（3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【例题精讲】类型一：两定点两动点形成最短路径型例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a，0)，F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由．【分析】四边ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A′，连接A′M，可得点E的位置，从而问题得解．类型二：两定点一定角形成最短路径型例2．如图，在∠POQ部有两点M，N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．【分析】分别作M关于射线OP的对称点M′,点N关于射线OQ的对称点N′，连接N′M，连接M′N，即可得到答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .2, 2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=2连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′，则当A′B+BE′取最小值时，点E′的坐标为.4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.5．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．6.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的解析式为；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标．7．矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0）、C （O ，3），直线y=x 与与BC 边相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P ，使四边形ABDP 的周长最小，并求出最小值；8. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，连接AM 交OC 于点R ，连接AC ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．10. 已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠的图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称. （1）求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M ，N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM ，MK ，求HN+NM+MK 和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．备用图答案：例1 .在四边形ABEF 中，AB ，EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．例2．(1)图略，点A ，B 即为所求．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M ′；②连接M ′N 交OP 于点A ；③作点N 关于射线OQ 的对称点N ′；④连接N ′M 交OQ 于点B.(2)AM ＋AN ＝BM ＋BN.【专题过关】1.80°.2.2254 .3.（，1）. 4．18 .5． 4 ．作PE ⊥l 1于E 交l 2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l 2于B ，作BA ⊥l 1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18， ∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===4 ．6.(1)y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如图①，图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)| . 由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是25 4；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．图②设直线H1M 1的函数解析式为y＝mx ＋n ，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133.∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)；当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0) .故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．7．（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．把y=3代入y=x中得，x=4，∴D（4，3）；（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的解析式为y=﹣x+. 当x=3时，y=﹣×3+，即P（3，）．四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+A E=3+2+=3+2+5=10.8. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：解得∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0) .∵AO＝1，CO＝3，在Rt△AOC中，AC＝＝.∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴FM＝BF＝1.∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF.∴，即＝.解得RO＝.∴CR＝OC－OR＝3－＝,AR＝＝＝，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP′.图①则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，∵A′为OF中点，∴A′坐标为(1，0) . 设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入,得解得∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋.令x＝2，得y＝－＋＝－，∴点H的坐标为(2，－) .∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．9. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）证明：∵直线l：333y x=+，当x=﹣3时，3-33y=⨯+（3）＝0，∴点A在直线l上.（2）∵点H、B关于过A点的直线l：333y x=+对称，∴AH=AB=4.过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=AB=2，HC＝2. ∴顶点H(－1，2)，代入二次函数解析式，解得a=-.∴二次函数解析式为2-3333-+22y x x =； （3）直线AH 的解析式为=333y x +.直线BK 的解析式为=33y x -，由3=33= 33y x y x ⎧+⎪⎨⎪-⎩ ，解得=3=23 x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即()323K ，，则BK =4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，()323K ，，∴HN +MN 的最小值是MB .过K 作KD ⊥x 轴于点D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于点E ，==23KD KE ，则QM =MK ，==23QE EK ，AE ⊥QK ， ∴根据两点之间线段最短得出BM +MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN +NM +MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ =∠HEQ =90°.由勾股定理得()2222423238QB BK QK =+=++=，∴HN +NM +MK 的最小值为8.(备用)9.(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得，解得 ∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ，∴四边形BDPQ 是平行四边形.∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2.∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD .由勾股定理，得AD ＝＝＝，BC ＝＝＝. ∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC ＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD＝＋2＋＝2＋2.设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. 当x ＝－1时，y ＝，即P (－1，) .由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，)，故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，)，点Q 的坐标为(－1，)，四边形CBQP 周长的最小值是2＋2.。
