2020学年最新高二第二学期期中考试
数学试卷（理）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，
第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，
第Ⅱ卷3至4页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：该题共12个小题，每个小题有且只有一个选项是正确的，每题5分，共60分。
1.曲线y=11
x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A ．41 B ．－12 C ．43 D ．18
2.)('x f 是)(x f 的导函数，)('x f 的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.33
2除以9的余数是（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有( )
A.48种
B.72种
C.96种
D.108种 5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A ．360
B ．520
C ．600
D ．720
6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类 节目不相邻的排法种数是（ ）
A ．72
B ．120
C ．144
D ．168
7.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p ，则P(－1<ξ<0)等于( ) A. 12p B ．1－p C ．1－2p D. 12
－p 8.从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于 （ ）
5
5
2
4 (7979)
A B C D 9.已知与之间的一组数据：
则与的线性回归方程必过点
A ．(2,2)
B ．(1,2)
C ．(1.5,0)
D ．(1.5,5)
10.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；
②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；
③如果一组数据1，2，x ，4的中位数是3，那么x=4；
④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．
其中错误的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）
是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ）
Ａ．45p q ==，
Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q =-=， Ｄ．43p q ==，
12. 实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2
的最大值为（ ） A 、27 B 、4 C 、2
9 D 、5 第Ⅱ卷
二、填空题：该题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。
13.设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x
-展开式中的第6项的系数为 ;
14.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲
种不同的选派方案.（用数字作答）
15.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为
,x t y =⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个．
16. 18.已知整数数对如下排列： )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1(，按此规律， 则第60个数对为__________
三、解答题：该题共6个小题，共70分，请将正确答案规范书写在答题卡的相应位置。
17、（本小题满分10分）
极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相
同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+，的直线l 交y 轴于点E （0,1）． （I ）求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；
（II ）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|EA|+|EB |。
18. （本小题满分12分）
已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
（1）127a a a +++； （2）017||||||a a a +++.
19. （本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合
格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是12，12，23
，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）
(1)用二项式定理证明：32n －8n －1能被64整除(n ∈N *)；
(2)求230－3除以7的余数．
21. （本小题满分12分）
用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．
(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；
(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
(3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a 、b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
22. （本小题满分12分）
已知函数32()(63)x
f x x x x t e =-++(t R ∈,e 为自然对数的底数)
(Ⅰ)若函数()y f x =有三个极值点,求t 的取值范围
(Ⅱ)若存在实数]2,0[∈t ,使对任意的],1[m x ∈,不等式x x f ≤)(恒成立,求正整数m 的最大值
